高中数学人教B版 (2019)选择性必修 第三册5.1.2 数列中的递推课后作业题

【特供】5.1.2 数列中的递推-1同步练习

一．填空题

1．数列满足：，，则__________.

2．已知数列的首项，前n项和为，且满足，则___________.

3．已知集合，将A中的正整数从小到大排列为．．．，若，则正整数__________.

4．已知数列满足，.若从四个条件：①；②；③；④中，选择一个作为条件补充到题目中，将数列的通项表示为的形式，则___________.

5．若，则___________．

6．已知数列满足，则______.

7．已知数列满足，则___________.

8．已知数列满足，且，则_______．

9．数列中，，，则______.

10．数列1,2,，，，中的第26项为________．

11．普林斯顿大学的康威教授于年发现了一类有趣的数列并命名为“外观数列”(Lookandsaysequence)，该数列的后一项由前一项的外观产生.以为首项的“外观数列”记作，其中为．．．．．，即第一项为，外观上看是个，因此第二项为；第二项外观上看是个，因此第三项为；第三项外观上看是个，个，因此第四项为，，按照相同的规则可得其它，例如为．．．．．.给出下列四个结论：

①若的第项记作，的第项记作，其中，则,；

②中存在一项，该项中某连续三个位置上均为数字；

③的每一项中均不含数字；

④对于，，的第项的首位数字与的第项的首位数字相同.

其中所有正确结论的序号是___________.

12．已知数列的前n项和公式，则其通项公式________.

13．若数列满足递推公式，且，则___________．

14．数学家斐波那契，以兔子繁殖为例，引入“兔子数列”：即．．．．．．．．．．．．．，在实际生活中，很多花朵（如梅花，飞燕草，万寿简等）的瓣数恰是斐波那契数列中的数，斐波那契数列在物理及化学等领域也有着广泛得应用.已知斐波那契数列满足：，，，若则__________

15．已知数列，，，则，分别为______，猜想______．

参考答案与试题解析

1．【答案】

【解析】分析：由题意，把转化为，可判断出为等比数列，求出的通项公式，即可得到.

详解：因为，

所以，

所以，

又因为，

所以为首项为1，公比为3的等比数列，

所以，所以.

故答案为：.

【点睛】

数列求通项公式的方法：①观察归纳法；②公式法；③由Sn求an；④累加（乘）法；⑤由递推公式求通项公式；

2．【答案】

【解析】分析：直接利用递推公式求出.

详解：∵，

∴当n=1时，，∴，

当n=2时，，∴，

当n=3时，，∴.

故答案为：

3．【答案】1516

【解析】分析：利用平方差公式可得，对和分别研究即可得到集合中的所有正整数，然后从小到大排列，观察规律可得出结果.

详解：，

当时，表示奇数；

当时，表示4的倍数；

所以中的整数从小到大排列为，即数列满足，又因为，所以，

故答案为：1516.

4．【答案】或

【解析】分析：由递推关系推出的通项公式，发现周期为2，求出，则排除②，再根据，，的取值，求出，排除④，分别讨论①和③作为条件时是否成立，得到最终的表达式.

详解：解：因为，，则，，，，， ，所以数列周期为2，即，解得，则②不能作为条件，此时，

有 解得：，则④不能作为条件，此时，

当①作为条件时，，，此时，，代入成立，故①可作为条件，此时

当③作为条件时，，则，此时，代入成立，故③可作为条件，此时.

故答案为：或.

【点睛】

思路点睛：（1）本题在求出数列的通项公式后，先根据周期性和特殊值确定和的值，排除部分选项，然后逐一讨论其他选项是否成立； （2）三角函数中解析式的确定，一般由周期确定，由特殊值确定，由最值确定，由对称中心确定.

5．【答案】

【解析】根据趋势得，再化简即可得极限.

详解：因为，所以

故答案为：

【点睛】

本题考查数列极限，考查基本分析求解能力，属基础题.

6．【答案】

【解析】令求得的值，令，由题干中的等式得出，两式相减可得，再对是否满足在时的表达式进行检验，综合可得出数列的通项公式.

详解：对任意的，.

当时，则有；

当时，，

则，

两式相减得，解得.

满足，因此，对任意的，.

故答案为：.

【点睛】

本题考查利用求，一般利用来求解，但需对是否满足在时的表达式进行检验，考查计算能力，属于基础题.

7．【答案】5050

【解析】分析：根据，得到，用累加法求解.

详解：因为，

所以，

左右分别相加得：

，

，

，

.

故答案为：5050

8．【答案】212

【解析】分析：利用分类讨论思想，分析为奇数和偶数的情况，由此得到之间的递推关系，然后根据递推关系以及等差数列的求和公式求解出的值.

详解：当为奇数时，设，所以，

当为偶数时，设，所以，

所以，所以，

所以

所以，所以，

故答案为：.

【点睛】

关键点点睛：解答本题的关键在于根据的取值特点采用对分奇偶讨论的方法，通过递推关系确定出奇数项之间的联系.

9．【答案】

【解析】分析：根据递推关系可得数列是以3为周期的周期数列，即可求解.

详解：，，

，，，

数列是以3为周期的周期数列，

，.

故答案为：.

10．【答案】

【解析】∵a1＝1＝，a2＝2＝，

a3＝，a4＝，a5＝，

∴an＝，

∴a26＝＝＝2.

11．【答案】①③④

【解析】分析：列出．的前四项，观察规律，可判断①的正误；利用反证法可判断②的正误；利用②中的结论可判断③的正误；根据和各项首位数字出现的周期性可判断④的正误.

详解：对于①，，，，，，，

，，，，，，

由递推可知，随着的增大，和每一项除了最后一位不同外，其余各数位都相同，

所以，，①正确；

对于②，若中存在一项，该项中连续三个位置上的数字均为，即，

由题中定义可知，中必有连续三个位置上的数字均为，即，.

以此类推可知，中必有连续三个位置上的数字均为，这与矛盾，②错误；

对于③，由②可知，的每一项不会出现某连续三个数位上都是，故中每一项只会出现．．，③正确；

对于④，对于，，有，，，，，，，

由上可知，记数列的首位数字构成数列，则数列为：．．．．．．．，

且当时，；

记的第项记为，则，，，，，，，，，

记数列的首位数字构成数列，则数列为：．．．．．．．．．，

且当时，.

由上可知，，，，，

所以，当时，，④正确.

故答案为：①③④.

【点睛】

关键点点睛：本题考查数列中的新定义，解题时要紧扣“外观数列”的定义，充分利用数列的规律．数列的周期性等基本性质来解决问题.

12．【答案】.

【解析】分析：利用关系式，当时，，当时，，即可求解.

详解：由题意，数列{an}的前n项和公式

当时，，

又由当时，，

所以数列的通项公式为.

故答案为：

13．【答案】2021

【解析】分析：根据递推关系式，将式子递推到即可.

详解：因为，，

所以

故答案为：2021.

14．【答案】60

【解析】分析：利用化简得出，即可得出结果.

详解：由于，则

，

因此，.

故答案为：60.

15．【答案】，   

【解析】利用数列的递推公式可求得．的值，进而可猜想出数列的通项公式.

详解：且，，，

猜想.

故答案为：，；.

【点睛】

本题考查利用数列的递推公式写出数列中的项，同时也考查了利用观察法写出数列的通项公式，考查计算能力，属于基础题.