高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第一册1.2 空间向量基本定理课后作业题

第一章　1.2

A级——基础过关练

1．已知{a，b，c}是空间的一个基底，则可以与向量p＝a＋b，q＝a－b构成基底的向量是(　　)

A．2a B．2b

C．2a＋3b D．2a＋5c

【答案】D　【解析】由于{a，b，c}是空间的一个基底，所以a，b，c不共面，在四个选项中，只有D与p，q不共面，因此，2a＋5c与p，q能构成一组基底．

2．如图，设OABC是四面体，G1是△ABC的重心，G是OG1上的一点，且OG＝3GG1，若＝x＋y＋z，则(x，y，z)为(　　)

A． B．

C． D．

【答案】A　【解析】由已知＝＝(＋)＝[＋(＋)]＝＋[(－)＋(－)]＝＋＋，从而x＝y＝z＝.

3．已知向量a，b满足|a|＝5，|b|＝6，a·b＝－6，则cos〈a，a＋b〉＝(　　)

A．－　　 B．－　　

C．　　 D．

【答案】D　【解析】∵|a|＝5，|b|＝6，a·b＝－6，∴a·(a＋b)＝|a|2＋a·b＝52－6＝19.|a＋b|＝＝＝＝7，因此cos〈a，a＋b〉＝＝＝.

4．如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，M，N分别是A1B，B1C1上的点，且BM＝2A1M，C1N＝2B1N.设＝a，＝b，＝c，用a，b，c表示向量为(　　)

A．a＋b－c

B．a＋b＋c

C．a－b＋c

D．a＋b＋c

【答案】D　【解析】＝－＝＋－，因为BM＝2A1M，C1N＝2B1N，＝，所以＝＋－＝＋－(－)＝＋(－)－(－)＝＋＋＝a＋b＋c.

5．已知{e1，e2，e3}为空间向量的一个基底，若a＝e1＋e2＋e3，b＝e1＋e2－e3，c＝e1－e2＋e3，d＝e1＋2e2＋3e3，且d＝αa＋βb＋γc，则α，β，γ分别为________．

【答案】，－1，－　【解析】由题意得a，b，c为三个不共面的向量，∴由空间向量基本定理可知必然存在唯一的有序实数组(α，β，γ)，使得d＝αa＋βb＋γc，∴d＝α(e1＋e2＋e3)＋β(e1＋e2－e3)＋γ(e1－e2＋e3)＝(α＋β＋γ) e1＋(α＋β－γ) e2＋(α－β＋γ) e3.又d＝e1＋2e2＋3e3，∴解得

6．如图，在四棱锥P－ABCD中，四边形ABCD为平行四边形，AC与BD交于点O，G为BD上一点，BG＝2GD，＝a，＝b，＝c，用基底{a，b，c}表示向量＝________.

【答案】a－b＋c　【解析】＝＋＝＋＝＋(＋)＝＋(－＋－)＝－＋＝a－b＋c.

7．从空间一点P引出三条射线PA，PB，PC，在PA，PB，PC上分别取＝a，＝b，＝c，点G在PQ上，且PG＝2GQ，H为RS的中点，则＝________(用a，b，c表示)．

【答案】－a＋b＋c　【解析】＝－＝(b＋c)－a＝－a＋b＋c.

8．如图，已知在四面体ABCD中，＝a－2c，＝5a＋6b－8c，对角线AC，BD的中点分别为点E，F，则＝________.

【答案】

3a＋3b－5c　【解析】如图，取BC的中点G，连接EG，FG，则＝－＝－＝＋＝(5a＋6b－8c)＋(a－2c)＝3a＋3b－5c.

9．如图，在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，设＝a，＝b，＝c，M，N，P分别是AA1，BC，C1D1的中点，试用a，b，c表示以下各向量：

(1)；

(2)；

(3)＋.

解：(1)因为P是C1D1的中点，

所以＝＋＋＝a＋＋＝a＋c＋＝a＋c＋b.

(2)因为N是BC的中点，

所以＝＋＋＝－a＋b＋＝－a＋b＋＝－a＋b＋c.

(3)因为M是AA1的中点，所以＝＋＝＋＝－a＋＝a＋b＋c.

又＝＋＝＋＝＋＝c＋a，

所以＋＝＋＝a＋b＋c.

10．已知四棱锥P－ABCD的底面是平行四边形，如图，M是PC的中点，问向量，，是否可以组成一个基底，并说明理由．

解：，，不可以组成一个基底，理由如下：

如图，连接AC，BD相交于点O，连接OM.

因为ABCD是平行四边形，

所以O是AC，BD的中点．

在△BDM中，＝(＋)，

在△PAC中，M是PC的中点，O是AC的中点，

则＝，即＝＋，即与，共面．所以，，不可以组成一个基底．

B级——能力提升练

11．给出下列命题：

①若{a，b，c}可以作为空间的一个基底，d与c共线，d≠0，则{a，b，d}也可作为空间的一个基底；②已知向量a∥b，则a，b与任何向量都不能构成空间的一个基底；③A，B，M，N是空间四点，如果，，不能构成空间的一个基底，那么A，B，M，N共面；④已知{a，b，c}是空间的一个基底，若m＝a＋c，则{a，b，m}也是空间的一个基底．其中真命题的个数是(　　)

A．1 B．2

C．3 D．4

【答案】D　【解析】空间任何三个不共面的向量都可作为空间的一个基底，易知①②③④均为真命题．

12．若{a，b，c}是空间向量的一个基底，且存在实数x，y，z使得xa＋yb＋zc＝0，则x，y，z满足的条件是________．

【答案】x＝y＝z＝0　【解析】若x≠0，则a＝－b－c，即a与b，c共面．由{a，b，c}是空间向量的一个基底，知a，b，c不共面，故x＝0，同理y＝z＝0.

13．已知点A在基底{a，b，c}下的坐标为(8,6,4)，其中a＝i＋j，b＝j＋k，c＝k＋i，则点A在基底{i，j，k}下的坐标是________．

【答案】(12,14,10)　【解析】设点A在基底{a，b，c}下对应的向量为p，则p＝8a＋6b＋4c＝8i＋8j＋6j＋6k＋4k＋4i＝12i＋14j＋10k，故点A在基底{i，j，k}下的坐标为(12,14,10)．

14．如图，三棱柱ABC－A1B1C1中，底面边长和侧棱长都等于1，∠BAA1＝∠CAA1＝60°.

(1)设＝a，＝b，＝c，用向量a，b，c表示，并求出BC1的长度；

(2)求异面直线AB1与BC1所成角的余弦值．

解：(1)＝＋＝＋－＝＋－＝a＋c－b，

因为a·b＝|a|·|b|cos∠BAA1＝1×1×cos 60°＝，

同理可得a·c＝b·c＝，

所以||＝＝

＝

＝.

(2)因为＝a＋b，

所以||＝＝＝＝.

因为·＝(a＋b)·(a＋c－b)＝a2＋a·c－a·b＋b·a＋c·b－b2＝1＋－＋＋－1＝1，

所以cos〈，〉＝＝＝.

所以异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为.

C级——探究创新练

15．已知正方体ABCD－A1B1C1D1中，点E为上底面A1C1的中心，若向量在以{，，}为单位正交基底下的坐标为(1，x，y)，则x＝________，y＝________.

【答案】　　【解析】＝＋＝＋＝＋(＋)＝＋(＋)＝＋＋.

16．在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，设＝a，＝b，＝c，E，F分别是AD1，BD的中点．

(1)用向量a，b，c表示，；

(2)若＝xa＋yb＋zc，求实数x，y，z的值．

解：(1)＝＋＝－＋－＝a－b－c，

＝＋＝＋＝－(＋)＋(＋)＝(a－c)．

(2)＝(＋)

＝＋

＝＋(－)

＝－＋－

＝－c＋a－b，

所以x＝，y＝－，z＝－1.