辽宁省辽河油田第一高级中学2021-2022学年高二上学期期末数学试题（教师版）

辽宁省辽河油田第一高级中学2021-2022学年高二上学期期末数学试题

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题

1．已知方程表示的曲线是焦点在轴上的椭圆，则的取值范围

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】

【分析】

根据条件，列出满足条件的不等式，求的取值范围.

【详解】

曲线表示交点在轴的椭圆，

，解得：.

故选A

【点睛】

本题考查根据椭圆的焦点位置求参数的取值范围，意在考查基本概念，属于基础题型.

2．抛物线的焦点到双曲线的渐近线的距离是（       ）

A． B． C．1 D．

【答案】B

【解析】

【分析】

先确定抛物线的焦点坐标，和双曲线的渐近线方程，再由点到直线的距离公式即可求出结果.

【详解】

因为抛物线的焦点坐标为，

双曲线的渐近线方程为,

由点到直线的距离公式可得.

故选：B

3．已知随机变量服从正态分布，且，则（       ）

A．0.16 B．0.32 C．0.68 D．0.84

【答案】C

【解析】

【分析】

根据对称性以及概率之和等于1求出，再由即可得出答案.

【详解】

∵随机变量服从正态分布，

∴

故选：C.

4．经过点，且被圆所截得的弦最短时的直线的方程为（       ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【解析】

【分析】

当是弦中点，她能时，弦长最短．由此可得直线斜率，得直线方程．

【详解】

根据题意，圆心为，当与直线垂直时，点被圆所截得的弦最短，此时，则直线的斜率，则直线的方程为，变形可得，

故选：C.

【点睛】

本题考查直线与圆相交弦长问题，掌握垂径定理是求解圆弦长问题的关键．

5．在平形六面体中，其中，，，，，则的长为（       ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】

【分析】

根据空间向量基本定理、加法的运算法则，结合空间向量数量积的运算性质进行求解即可.

【详解】

因为是平行六面体，

所以，

所以有：，

因此有：

，

因为，，，，，

所以，

所以，

故选：B

6．已知甲、乙、丙三名同学同时独立地解答一道导数试题，每人均有的概率解答正确，且三个人解答正确与否相互独立，在三人中至少有两人解答正确的条件下，甲解答不正确的概率

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】

【分析】

记“三人中至少有两人解答正确”为事件；“甲解答不正确”为事件，利用二项分布的知识计算出，再计算出，结合条件概率公式求得结果.

【详解】

记“三人中至少有两人解答正确”为事件；“甲解答不正确”为事件

则；

本题正确选项：

【点睛】

本题考查条件概率的求解问题，涉及到利用二项分布公式求解概率的问题.

7．为发挥我市“示范性高中”的辐射带动作用，促进教育的均衡发展，共享优质教育资源．现分派我市“示范性高中”的5名教师到，，三所薄弱学校支教，开展送教下乡活动，每所学校至少分派一人，其中教师甲不能到学校，则不同分派方案的种数是（       ）

A．150 B．136 C．124 D．100

【答案】D

【解析】

【分析】

对甲所在组的人数分类讨论即得解.

【详解】

当甲一个人去一个学校时，有种；

当甲所在的学校有两个老师时，有种；

当甲所在的学校有三个老师时，有种；

所以共有28+48+24=100种.

故选：D

【点睛】

方法点睛：排列组合常用的方法有：简单问题直接法、小数问题列举法、相邻问题捆绑法、不相邻问题插空法、至少问题间接法、复杂问题分类法、等概率问题缩倍法. 要根据已知条件灵活选择方法求解.

8．设，分别是双曲线：的左､右焦点，过点作的一条渐近线的垂线，垂足为，，为坐标原点，则双曲线的离心率为（       ）

A． B．2 C． D．

【答案】D

【解析】

【分析】

先求过右焦点且与渐近线垂直的直线方程，与渐近线方程联立求点P的坐标，再用两点间的距离公式，结合已知条件，得到关于a，c的关系式.

【详解】

双曲线的左右焦点分别为 、，一条渐近线方程为 ，过与这条渐近线垂直的直线方程为 ，

由 ，得到点P的坐标为 ，

又因为 ，所以，所以 ，所以 .

故选：D

二、多选题

9．下列说法正确的有（       ）

A．两个随机变量的线性相关性越强，则相关系数的绝对值越接近于0

B．，

C．设随机变量服从正态分布，若，则

D．甲、乙、丙、丁4个人到4个景点旅游，每人只去一个景点，设事件“4个人去的景点各不相同”，事件“甲独自去一个景点”，则

【答案】CD

【解析】

根据相关系数的定义，可判定A错误；由期望的计算公式，可判定B错误；根据正态分布的概率的计算，可判定C正确；根据条件概率的计算公式，可判定D正确.

【详解】

对于A中，根据相关系数的定义，可得两个随机变量的线性相关性越强，则相关系数的绝对值越接近于1，所以A错误；

对于B中，由，，所以B错误；

对于C中，设随机变量服从正态分布，，

则，所以C正确；

对于D中，甲、乙、丙、丁4个人到4个景点旅游，每人只去一个景点，设事件“4个人去的景点各不相同”，事件“甲独自去一个景点”，

则，所以D正确.

故选：CD.

【点睛】

本题主要考查命题的真假判定，其中解答中涉及到相关系数的定义，期望的计算公式，正态分布的概率的计算，以及条件概率的求解，着重考查推理与计算能力.

10．甲罐中有5个红球，2个白球和3个黑球，乙罐中有4个红球，3个白球和3个黑球．先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别以，和表示由甲罐取出的球是红球，白球和黑球的事件；再从乙罐中随机取出一球，以B表示由乙罐取出的球是红球的事件，则下列结论中正确的是（       ）

A． B．

C．事件B与事件相互独立 D．，，是两两互斥的事件

【答案】BD

【解析】

【分析】

A. 由 求解判断； B. 由条件概率求解判断； C. 由独立事件的概率判断； D.由互斥的事件的定义判断.

【详解】

因为每次取一球，所以，，是两两互斥的事件，故D正确；

因为，所以，故B正确；

同理，

所以，故A错误；

因为，所以，故C错误.

故选：BD

11．若，其中为实数，则（       ）

A． B． C． D．

【答案】BC

【解析】

【分析】

换元后用二项式定理及赋值法依次判断.

【详解】

令，则原式转化为：，

由二项式定理，

令，得，

令，得，所以.

故选：BC.

12．已知直线过抛物线的焦点，且与该抛物线交于，两点，若线段的长是16，的中点到轴的距离是6，是坐标原点，则（       ）．A．抛物线的方程是              B．抛物线的准线方程是

C．直线的方程是 D．的面积是

【答案】AD

【解析】

【分析】

根据已知可得横坐标和，再由焦半径公式，求出，判断选项A；求出抛物线的准线方程，判断选项B；设直线方程为，与抛物线方程联立，设得到关系，进而求出的值，建立的方程求解，可判断选项C；利用利用关系，即可求解，判断选项D.

【详解】

设，，

根据抛物线的定义可知，

又的中点到轴的距离为6，∴，

∴，∴．

∴所求抛物线的方程为．故A项正确；

抛物线的准线方程是，故B项错误；

设直线的方程是，联立，

消去得，则，

所以，解得，

故直线的方程是或．故C项错误；

．

故D项正确．

故选：AD．

【点睛】

本题考查抛物线方程和性质、直线与抛物线的位置关系，注意根与系数关系设而不求的方法求解相交弦问题，考查数学计算、逻辑推理能力，属于中档题.

三、填空题

13．已知随机变量，且，则______.

【答案】

【解析】

【分析】

根据二项分布的均值与方差的关系求得,再根据方差的性质求解即可.

【详解】

,所以,又因为,所以．

故答案为：12

【点睛】

本题主要考查了二项分布的均值与方差的计算,同时也考查了方差的性质,属于基础题.

14．根据如下样本数据

得到的回归方程为若，则的值为___________.

【答案】-1.4##

【解析】

【分析】

分别求出 的值，即得到样本中心点，根据样本中心点一定在回归直线上，可求得答案.

【详解】

，

则得到样本中心点为 ，

因为样本中心点一定在回归直线上，

故，解得，

故答案为：

15．若展开式的二项式系数之和是64，则展开式中的常数项的值是__________.

【答案】

【解析】

【分析】

首先利用展开式的二项式系数和是求出，然后即可求出二项式的常数项.

【详解】

由题知展开式的二项式系数之和是，

故有，

可得，

知当时有.

故展开式中的常数项为.

故答案为：.

【点睛】

本题考查了利用二项式的系数和求参数，求二项式的常数项，属于基础题.

16．圆锥的轴截面是边长为2的等边三角形，为底面中心，为的中点，动点在圆锥底面内（包括圆周）．若，则点形成的轨迹的长度为______．

【答案】

【解析】

【详解】

建立空间直角坐标系．

设，，，，．

于是，，．

因为，所以，．

从而，，此为点形成的轨迹方程，其在底面圆盘内的长度为．

四、解答题

17．已知函数.

（1）求的单调递减区间；

（2）在锐角中，，，分别为角，，的对边，且满足，求的取值范围.

【答案】（1）（2）

【解析】

（1）根据降幂公式化简的解析式，再用整体代入法即可求出函数的单调递减区间；

（2）由正弦定理边化角，从而可求得，根据锐角三角形可得从而可求出答案．

【详解】

解：（1），

由得

所以的单调递减区间为；

（2）由正弦定理得，

∵∴，

即，

，

得，或，

解得，或（舍），

∵为锐角三角形，

∴解得

∴

∴的取值范围为．

【点睛】

本题主要考查三角函数的化简与性质，考查正弦定理的作用，属于基础题．

18．如图，在四棱锥中，已知平面ABCD，为等边三角形，，，.

(1)证明：平面PAD；

(2)若M是BP的中点，求二面角的余弦值.

【答案】(1)证明见解析

(2)

【解析】

【分析】

（1）根据条件先证明，再根据线面平行的判定定理证明平面PAD；

（2）确定坐标原点，建立空间直角坐标系，从而求出相关的点的坐标，进而求得相关向量的坐标，再求相关平面的法向量，根据向量的夹角公式求得结果.

(1)

证明：由已知为等边三角形，且，所以

又因为，,

在中，，

又，

所以在底面中，，

又平面，平面，

所以平面.

(2)

解：取的中点，连接，则，由（1）知，所以，

分别以，，为，，轴建立空间直角坐标系.

则，，，

所以，

由已知可知平面ABCD的一个法向量

设平面的一个法向量为，

由，即，得，

令，则，

所以，

由图形可得二面角为锐角，

所以二面角的余弦值为.

19．近年来，我国电子商务蓬勃发展.2016年“618”期间，某网购平台的销售业绩高达516亿元人民币，与此同时，相关管理部门推出了针对该网购平台的商品和服务的评价系统.从该评价系统中选出200次成功交易，并对其评价进行统计，网购者对商品的满意率为0.6，对服务的满意率为0.75，其中对商品和服务都满意的交易为80次.

（1）根据已知条件完成下面的列联表，并回答能否有的把握认为“网购者对商品满意与对服务满意之间有关系”?

（2）若将频率视为概率，某人在该网购平台上进行的3次购物中，设对商品和服务都满意的次数为随机变量，求的分布列和数学期望.

临界值表：

的观测值：（其中）.

【答案】（1）列联表见解析，能有；（2）分布列见解析，.

【解析】

（1）利用数据直接填写联列表即可，求出，即可回答是否有的把握认为“网购者对商品满意与对服务满意之间有关系；

（2）由题意可得的可能值为0，1，2，3，分别可求其概率，可得分布列，进而可得数学期望.

【详解】

（1）

，

因为，

所以能有的把握认为“网购者对商品满意与对服务满意之间有关系”

（2）每次购物时，对商品和服务都满意的概率为，且的取值可以是0，1，2，3.

；；

；.

的分布列为：

所以.

【点睛】

本题主要考查独立检验以及离散性随机变量的分布列以及期望的求法，考查转化思想以及计算能力，属于中档题.

20．如图，在直三棱柱中，平面侧面，且.

(1)求证：；

(2)若直线与平面所成的角为，请问在线段上是否存在点，使得二面角的大小为，若存在请求出的位置，不存在请说明理由.

【答案】(1)证明见解析

(2)存在，点E为线段中点

【解析】

【分析】

(1)通过作辅助线结合面面垂直的性质证明侧面，从而证明结论；

（2）建立空间直角坐标系，求出相关点的坐标,再求相关的向量坐标，求平面的法向量，利用向量的夹角公式求得答案.

(1)

证明：连接交于点，

因，则

由平面侧面，且平面侧面，

得平面，又平面，所以.

三棱柱是直三棱柱，则底面ABC，所以.

又，从而侧面，

又侧面，故.

(2)

由(1).平面，则直线与平面所成的角,

所以，又，所以

假设在线段上是否存在一点E，使得二面角的大小为,

由是直三棱柱，所以以点A为原点，以AC､所在直线分别为x，z轴,以过A点和AC垂直的直线为y轴，建立空间直角坐标系，

如图所示，则，

且设， ，

得

所以，

设平面的一个法向量，由，得：

，取,

由(1)知平面，所以平面的一个法向量,

所以，解得,

∴点E为线段中点时，二面角的大小为.

21．新冠肺炎疫情发生以来，我国某科研机构开展应急科研攻关，研制了一种新型冠状病毒疫苗，并已进入二期临床试验.根据普遍规律，志愿者接种疫苗后体内会产生抗体，人体中检测到抗体，说明有抵御病毒的能力.通过检测，用表示注射疫苗后的天数，表示人体中抗体含量水平（单位：，即：百万国际单位/毫升），现测得某志愿者的相关数据如下表所示：

根据以上数据，绘制了散点图.

(1)根据散点图判断，与（a，b，c，d均为大于0的实数）哪一个更适宜作为描述y与x关系的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）

(2)根据（1）的判断结果求出y关于x的回归方程，并预测该志愿者在注射疫苗后的第10天的抗体含量水平值；

(3)从这位志愿者的前6天的检测数据中随机抽取4天的数据作进一步的分析，记其中的y值大于50的天数为X，求X的分布列与数学期望.

参考数据：

其中.参考公式：用最小二乘法求经过点，，，，的线性回归方程的系数公式，；.

【答案】(1)

(2)，4023.87

(3)分布列答案见解析，数学期望：

【解析】

【分析】

（1）由于这些点分布在一条曲线的附近，从而可选出回归方程，

（2）设，，则建立w关于x的回归方程，然后根据公式和表中的数据求解回归方程即可，再将代入回归方程可求得在注射疫苗后的第10天的抗体含量水平值，

（3）由题意可知x的可能取值为0，1，2，然后求对应的概率，从而可求出分布列和期望

(1)

根据散点图可知这些点分布在一条曲线的附近，所以更适合作为描述y与x关系的回归方程类型.

(2)

设，变换后可得，

设，建立w关于x的回归方程，

，

所以

所以w关于x的回归方程为，

所以，

当时，，

即该志愿者在注射疫苗后的第10天的抗体含量水平值约为4023.87miu/mL.

(3)

由表格数据可知，第5，6天的y值大于50，

故x的可能取值为0，1，2，

，

，

，

X的分布列为

.

22．已知椭圆：的一个焦点与曲线的焦点重合，且离心率为.

(1)求椭圆的方程

(2)设直线：交椭圆于M，N两点.

①若且的面积为，求的值.

②若轴上的任意一点到直线与直线（为椭圆的右焦点）的距离相等，求证：直线恒过定点，并求出该定点坐标

【答案】(1)

(2)①；②证明见解析，定点的坐标为

【解析】

【分析】

（1）由所给条件确定基本量即可.

（2）①代入消元，韦达定理整体思想，列出关于的方程从而得解；②由已知可知，得到关于、的一次关系式可得证.

(1)

由已知椭圆的右焦点坐标为，，

所以，

椭圆的方程：

(2)

①将与椭圆方程联立得.

设，，则，解得，

∴，，

点到直线的距离为，

∴，解得（舍去负值），

∴.

②设，，

将与椭圆方程联立，

得，当时，

∴，.

，，

若轴上任意一点到直线与的距离均相等，

则轴为直线与的夹角的平分线，

∴，即，

∴.

∴，解得.

∴.

∴直线恒过一定点，该定点的坐标为.