广东省台山市第一中学2022-2023学年高二上学期期末考试数学试题

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台山一中2022—2023学年度第一学期期末高二数学试卷答案和解析 1.【答案】   2.【答案】   3.【答案】 解：，设其前项和为，则数列的前项和为．故选B．4.【答案】 解：以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，设正方体棱长为，则，，，，，，设异面直线与所成角为，则．异面直线与所成角的余弦值是．故选：．  5.【答案】  解：抛物线：的焦点为，准线为：，
设，，，到准线的距离分别为，，
由抛物线的定义可知，，
于是．
，易得到，
则，结合抛物线对称性，不妨取，
因为，
直线的斜率为，
，直线的方程为：，
将，代入方程，化简得，
，于是，
6.【答案】 解：由题意得直线的方程为，
如图：

点到直线的距离最大值为图中过点且与直线平行的切线与直线之间的距离，
设过点的切线方程为，
联立椭圆方程可得，
消去整理得，
由，
解得，
结合图形可得过点的切线方程为，
所以点到直线的距离最大值为：．
  7.【答案】 解：圆的圆心坐标为，半径为，
圆：，圆心坐标为，半径为．
，两圆的半径差的绝对值为，
由，解得或．“两圆内切”是“”的必要不充分条件．  8.【答案】 解：，
，
得：，

当时，，符合上式，
．
，
数列是以为首项，为公比的等比数列，
  9.【答案】 解：，故A选项错误

选项正确

，故C选项错误
，故D选项正确．10.【答案】 解：根据题意，数列的前项和为，
当时，，
当时，，
故，故C正确；
则是首项为，公差为的等差数列，
则数列是递减数列，故A错误，B正确；
由，可得，是递减数列，
即该等差数列第项为，第项到第项为正数，从第项开始为负，
所以数列的最大项为和，故D正确；11.【答案】 解：若 ，方程  即为 ，它表示圆，错；对于选项B，若 ，则方程可变形为 ，它表示焦点在  轴上的双曲线； ，；若 ，则方程可变形为 ，它表示焦点在  轴上的双曲线； ，，故B正确；对于选项C，若 ，则方程可变形为 ，它表示焦点在  轴上的双曲线；若 ，则方程可变形为 ，它表示焦点在  轴上的双曲线，故C正确；对于选项D，若 ，则 ，故方程  表示焦点在  轴上的椭圆；若 ，则 ，故  表示焦点在  轴上椭圆，则错．12.【答案】 【解答】解：对于，在正方体中，可得，又由，且均在平面内，所以平面，又因为平面，所以平面平面，所以A正确；
对于，因为，又因为平面平面，且点在平面内，所以点到平面的距离为点到平面的距离，又因为平面，所以点到平面的距离为，所以多面体的体积即为，所以多面体的体积为定值，所以B正确；对于，如图：连接，交于点，

由正方形可得，又因平面，且平面，所以，因为，均在平面内，所以平面，因为平面，所以，所以当与重合时，，此时不是锐角三角形，故C不正确；对于，以为坐标原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，
 可得，设，则，设与所成的角为，
则，因为，所以，即，因为，所以D正确．13.【答案】 解：由知，
点的轨迹是以、为焦点的双曲线下支，
得，，
，，
故动点的轨迹方程是．故答案为：．  14.【答案】 解：点，，为空间三点，
设以，为邻边的平行四边形的顶点的坐标为，
，即，
，解得，，，
．故答案为：．15.【答案】 解：正项等比数列的公比设为，，
由，可得，即，即，，
与的等差中项为，可得，即，，
相除可得，解得舍去，
则．故答案为：．  16.【答案】 解：如图所示：以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，

 设，，
则， ，，
， ，
，
，
 ，
，，又，实数的取值范围是．  17.【答案】解：，
当时，；
当时，，
时，，
所以；
证明：，
则，
令，则，解得，
，，
所以不等式的解集为． 18.【答案】解：证明：在直三棱柱中，，，，，
由于平面，平面，所以，，
又，所以，
则、、两两互相垂直，
以为坐标原点，直线、、分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，如下图所示：

则，，，，，
，，
，．
假设在上存在点，使得，
设，其中，
于是，则，
，且，，解得，
在上存在点，使得，这时点与点重合． 19.【答案】解：因为抛物线过点，所以，解得，
所以抛物线的方程为：，焦点坐标为；
设，因为为圆的切线，所以，，
所以，
所以当时，有最小值且最小值为． 20.【答案】解：Ⅰ证明：当时，，故．
当时，，
则，
，
数列是等比数列，首项为，公比为．
Ⅱ由Ⅰ得，
，


． 
 21.【答案】解：，轴且与椭圆相交于、两点，则直线的方程为，联立，解得，则，抛物线的方程为，联立解得，即，，即，即，，解得，因此，椭圆的离心率为；由知，，椭圆的方程为，联立，消去并整理得，解得或舍去，由抛物线的定义可得，解得．因此，曲线的标准方程为，曲线的标准方程为． 22.【答案】解：Ⅰ证明：依题意和均为以直角为顶点的等腰直角三角形，
则，，
又，平面，，
平面，
又，
建立以为原点，，，为，，轴的空间直角坐标系，

则，，，，，，，
，，
，．
Ⅱ解：，，
设是平面的法向量，
则，令，得，
平面的一个法向量，
，
由图得二面角为锐二面角，
二面角的大小为．
Ⅲ解：设，，，
则，，
令，则，解得，为的中点，
平面，平面，，
当为的中点时，平面平面，
此时，，．
线段的长为．