广东省阳江市第三中学2022-2023学年高二上学期期末考试数学试题

阳江三中2022-2023学年度第一学期期末考试

高二数学

考试时间：120分钟；  命题人：李永贵  

一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）

1. 已知空间向量，，则=（    ）

A.             B. 6              C. 36              D. 40

2. 直线的倾斜角为（    ）

A. 45°              B. 135°            C. 60°             D. 120°

3. 如图，在四面体OABC中，，，.点M在OA上，且,为BC中点，则等于（    ）

A.        B.

C.        D.

4. 已知圆：与圆：，则两圆的位置关系是（   ）

A. 相交       B. 相离      C. 内切         D. 外切

5. 若方程表示椭圆，则实数m的取值范围为（    ）

A.       B.      C.      D.

6. 设点，，直线过点且与线段相交，则的斜率的取值范围是（    ）

A. 或    B. 或     C.      D.

7. 直三棱柱ABC—A′B′C′中，AC＝BC＝AA′，∠ACB＝90°，E为BB′的中点，异面直线CE与所成角的余弦值是（    ）

1.  B.  

C. - D.

8. 已知点P为圆：上任一点，点Q为圆：上任一点，则的最小值为（    ）

A. 1          B.           C. 2          D. 4

二、多项选择题：（本题共4小题，每小题5分，共20分．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分）

9. 已知直线的方程为，则（    ）

A. 直线在轴上的截距为2          B. 直线在轴上的截距为3

C. 直线的倾斜角为锐角             D. 过原点且与垂直的直线方程为

10. 已知椭圆的中心在坐标原点，离心率为，且椭圆上一点到椭圆的两个焦点的距离之和为，则椭圆的方程为（   ）

A.     B.     C.      D.

11. 对于方程，下列说法中正确的是（    ）

A．当时，方程表示椭圆     B．当时，方程表示焦点在x轴上的椭圆

C．存在实数，使该方程表示双曲线     D．存在实数，使该方程表示圆

12. 已知圆心为圆与点，则（    ）

A. 圆的半径为2                   B. 点在圆外

C. 点与圆上任一点距离最大值为

D. 点与圆上任一点距离的最小值为

三、填空题（每小题5分，共4小题20分）

13. 双曲线的焦距为___________.

14. 已知平面的一个法向量为，平面的一个法向量为，若，则的值为__________.

15. 已知焦点在轴上的椭圆的离心率为，则的值为______.

16. 已知圆与圆相交于两点，则公共弦的长度是___________．

四、解答题（第17题10分，第18-22题各12分，共6小题70分）

17. 已知三角形的三个顶点，，.

（1）求线段的中线所在直线方程；

（2）求边上的高所在的直线方程.

18. （1）直线：，圆，若直线与圆交于A、两点，求弦的长．

（2）过点作与圆相切的直线l，求直线l的方程.

19.求满足下列条件的曲线的标准方程：

(1)长轴在x轴上，长轴的长为12，离心率为的椭圆的标准方程；

(2)准线方程为的抛物线的标准方程；

(3)焦点，，一个顶点为的双曲线的标准方程.

20.2022年7月1日是中国共产党建党101周年，某党支部为了了解党员对党章党史的认知程度，针对党支部不同年龄和不同职业的人举办了一次“党章党史”知识竞赛，满分100分分及以上为认知程度高，结果认知程度高的有m人，按年龄分成5组，其中第一组：第二组：第三组：第四组：第五组：，得到如图所示的频率分布直方图，已知第一组有10人．

(1)根据频率分布直方图，估计这m人的平均年龄和第80百分位数；

(2)现从以上各组中用分层随机抽样的方法抽取20人，担任“党章党史”的宣传使者．若有甲年龄，乙年龄两人已确定入选宣传使者，现计划从第四组和第五组被抽到的使者中，再随机抽取2名作为组长，求甲、乙两人至少有一人被选上的概率。

21.已知双曲线的方程为，离心率为2，右顶点为.

(1)求双曲线的标准方程；

(2)过的直线与双曲线的一支交于、两点，求的取值范围.

22. 如图，在直角梯形ABCD中，ABDC，∠ABC=90°，AB=2DC=2BC，E为AB的中点，沿DE将△ADE折起，使得点A到点P位置，且PE⊥EB，M为PB的中点，N是BC上的动点(与点B，C不重合).

（1）求证：平面EMN⊥平面PBC；

（2）是否存在点N，使得二面角B﹣EN﹣M的余弦值？若存在，确定N点位置；若不存在，说明理由.

2022-2023上学期高二数学期末考试参考答案

1. 【答案】B【详解】由题意，.

2. 【答案】B【详解】由直线，可得

所以直线的斜率为k=-1，设其倾斜角为α，（0°≤α＜180°），则tanα=-1，解得α=135°．

3. 【答案】B【详解】连接,

是的中点，,,

.

4. 【答案】C

详解：圆，圆,，所以内切．故选C

点睛：两圆的位置关系判断如下：设圆心距为，半径分别为，则：

，内含；，内切；，相交；，外切；，外离．

5. 【答案】C

【详解】变形为，要表示椭圆需要满足 ，解得.

6. 【答案】B

【详解】如图所示：

因为，

所以当直线过点且与线段相交时，的斜率的取值范围是或。

7. 【答案】D

【详解】直三棱柱中，，，为的中点．

以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，

设，则，0，，，2，，，0，，，0，，

，2，，，0，，

设异面直线与所成角为，

则．

异面直线与所成角的余弦值为．

8. 【答案】A

【详解】解：由题知，圆半径为，圆心坐标为，圆半径为，圆心坐标为，所以两圆的位置关系为内含，所以，，所以的最小值为．

9. 【答案】BCD

【详解】在中，令，得，所以A不正确；

令，得，所以B正确；

因为直线l的斜率为，所以直线l的倾斜角为锐角，故C正确；

因为与l垂直的直线方程可设为，又直线过原点，所以，故D正确.

10. 【答案】AC

【详解】由椭圆的定义可得，可得，椭圆的离心率为，则，

所以，.

若椭圆的焦点在轴上，则椭圆的方程为；

若椭圆的焦点在轴上，则椭圆的方程为.

11.【答案】BCD

【详解】方程，当，即或时表示椭圆，A不正确；

当时，，则方程表示焦点在轴上的椭圆，故B正确；

当，即或时，方程表示双曲线，故C正确；

当，即时，方程为，表示圆，故D正确.

12. 【答案】BCD

【解】依题意，圆：，则圆心，半径，A不正确；

因点，则，点在圆外，B正确；

因点在圆外，在圆上任取点P，则，当且仅当点P，C，A共线，且P在线段AC延长线上时取“=”，C正确；

在圆上任取点M，则，当且仅当点C，M，A共线，且M在线段CA上时取“=”，C正确.

13. 【详解】令双曲线的半焦距为c，则有，解得，

所以双曲线的焦距为.

14. 【答案】4【详解】解：，，

存在实属使得，解得：．故答案为4.

15. 【详解】由已知可得，，可得，，

所以，，解得.

16. 【答案】

【详解】由题意所在的直线方程为：，

即，因为圆的圆心，半径为，

所以圆心到直线的距离为1，所以．

17. 【解】（1）由题得BC的中点D的坐标为（2，-1）,-------------1分

所以,--------------------------------------3分

所以线段的中线AD所在直线方程为

即.-------------------------------------------------------------5分

（2）由题得,-----------------------------------------7分

所以AB边上的高所在直线方程为，即.-------------------------------------------------------10分

18. 【解】（1）解：由圆变形得，

∴ 圆心，半径，-------------------------------2分

圆心到直线：的距离，------------4分

∴ ．------------------------------6分

（2）解：由题意，圆的圆心为，半径为1，----------7分

∴ 到的距离为，    

 ∴ 点在圆外，-----------------------------------------8分

当切线斜率不存在时，切线方程为，所以是其中一条切线；------------9分

当切线斜率存在时，设切线方程为，

则，解得，

∴ 切线方程为．--------------------------11分

综上：切线方程为或．--------------------------12分

19. 解：（1）由已知，，，得：，，------------------2分

从而，所以椭圆的标准方程为.-----------------------------------------4分

（2）抛物线的准线方程为，

所以抛物线的焦点在轴的正半轴，且焦点到准线的距离是，-----------------------6分

所求抛物线的标准方程为：------------------------------------------------------------------------8分

（3）设双曲线方程为，

由题设可得，故，------------------------------------------10分

故双曲线方程为.--------------------12分

20. 【解】（1）解：设这m人的平均年龄为，

则岁-----------------------------------------------------------------------------2分

设第80百分位数为a，

由，解得-----------------------------------------------5分

（2）解：由题意得，第四组应抽取4人，记为A，B，C，甲，第五组抽2人，记为D，乙.---------------------------------------------------------------------------6分

对应的样本空间为：,甲，,乙，，，,甲，,乙，，,甲，,乙，，甲,乙，甲,，乙,，共15个样本点.----------------------------------------------------------------------9分

设事件“甲、乙两人至少一人被选上”，

则,甲，,乙，,甲，,乙，,甲，,乙，甲,乙，甲,，，乙,，共有9个样本点，------------------------------------------------------------------------------11分

所以，------------------------------------------------------------12分

21. 解：（1）由离心率又,所以，----------------------2分

又右顶点为，所以，所以，----------------------------------3分

故双曲线的标准方程为.---------------------------------------------------------4分

（2）设直线的方程为，设，

则由得，因为直线与双曲线一支交于、两点，

所以 ，解得，----------------------------------------------------8分

因此

，------------------------------------------------------10分

因为，所以，所以，所以，

故.---------------------------------------------------------------------------------12分

22. 解：（1）证明：由PE⊥EB，PE⊥ED，EB∩ED=E，

所以PE⊥平面EBCD，又BC⊂平面EBCD，-----------------------2分

故PE⊥BC，又BC⊥BE，

故BC⊥平面PEB，EM⊂平面PEB，

故EM⊥BC，又等腰三角形PEB，-------------------------------4分

EM⊥PB，BC∩PB=B，

故EM⊥平面PBC，EM⊂平面EMN，

故平面EMN⊥平面PBC；---------------------------------------------6分

（2）假设存在点N，使得二面角B﹣EN﹣M的余弦值.

以E为原点，分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，

设PE=EB=2，设N(2，m，0)，B(2，0，0)，D(0，2，0)，

P(0，0，2)，C(2，2，0)，M(1，0，1)，----------------------------------8分

，，，

设平面EMN的法向量为，

由，令，得，

平面BEN的一个法向量为，---------------------------------10分

故，

解得：m=1，    故存在N为BC的中点.--------------------------------------------------------12分