冀教版29.4 切线长定理精品课件ppt

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前面我们已经学习了切线的判定和性质，已知⊙O 和⊙O 外一点P，你能够过点P 画出⊙O 的切线吗？ 1.猜想：图中的线段PA 与PB 有什么关系？ 2.图中还有哪些量？猜想它们之间有什么关系？
切线长：在经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间的线段的长.
思考：切线长和切线的区别和联系？
切线是直线，不可以度量；切线长是指切线上的一条线段的长，可以度量.
切线长定理 从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角.
请你们结合图形用数学语言表达定理
已知：如图，过点P 的两条直线分别与⊙O 相切于点A，B，Q 为劣弧AB 上异于点A，B 的任意一点，过点Q 的切线分别与切线PA，PB 相交于点C，D.求证：△PCD 的周长等于2PA.
∵PA，PB，CD 都是⊙O 的切线，∴PA=PB ， CQ=CA，DQ= DB.△PCD 的周长 = PC+PD+CD = PC+PD+CQ+DQ= PC+PD+CA+DB= PA+PB=2PA.
利用切线长定理，可以进行线段的替换，从而求线段的和或差的长度.
1 下列说法正确的是(　　) A．过任意一点总可以作圆的两条切线 B．圆的切线长就是圆的切线的长度 C．过圆外一点所画的圆的两条切线长相等 D．过圆外一点所画的圆的切线长一定大于圆的半径
如图，PA 切⊙O 于A，PB 切⊙O 于B，连接OP，AB.下列结论不一定正确的是(　　)A．PA＝PB B．OP 垂直平分AB C．∠OPA＝∠OPB D．PA＝AB
如图，PA 和PB 是⊙O 的切线，点A 和B 是切点，AC 是⊙O的直径，已知∠P＝40°，则∠ACB 的大小是(　　) A．60°　 B．65° C．70°　 D．75°
如图，PA，PB 是⊙O 的切线，切点分别为A，B，BC 为⊙O 的直径，连接AB，AC，OP.求证：(1)∠APB＝2∠ABC；(2)AC∥OP.
(1)由切线长定理知∠BPO＝∠APO＝ ∠APB， 而要证∠APB＝2∠ABC，即证明∠ABC＝ ∠APB＝∠BPO，利用同角的余角相等可证；(2)证明AC∥OP，可用AC⊥AB，OP⊥AB，也 可用同位角相等来证．
(1)∵PA，PB 分别切⊙O 于点A，B， ∴由切线长定理知∠BPO＝∠APO＝ ∠APB， PA＝PB， ∴PO⊥AB，∴∠ABP＋∠BPO＝90°. 又∵PB 是⊙O 的切线，∴OB⊥PB. ∴∠ABP＋∠ABC＝90°. ∴∠ABC＝∠BPO＝ ∠APB， 即∠APB＝2∠ABC.
(2)∵BC 是⊙O 的直径， ∴∠BAC＝90°，即AC⊥AB. 由(1)知OP⊥AB，∴AC∥OP.
切线长定理的内容揭示两个方面， 一是切线长相等，揭示线段之间的数量关系； 二是与圆心的连线平分两切线的夹角． 这两个方面的内容为证明线段之间的关系或者角之间的关系提供了大量的条件．
为了测量一个圆形铁环的半径，某同学采用如下方法：将铁环平放在水平桌面上，用一个含有30°角的三角尺和一把刻度尺，按如图所示的方法得到相关数据，进而可求得铁环的半径．若P为切点，测得PA＝5 cm，则铁环的半径是________．
如图，在矩形ABCD 中，AB＝4，AD＝5，AD，AB，BC 分别与⊙O 相切于E，F，G 三点，过点D 作⊙O 的切线交BC于点M，切点为N，则DM 的长为(　　) B.　　　C.　　　 D．
如图，过⊙O 外一点P 引⊙O 的两条切线PA，PB，切点分别是A，B，OP 交⊙O 于点C，点D 是优弧AC上不与点A、点C 重合的一个动点，连接AD，CD.若∠APB＝80°，则∠ADC 的度数是(　　)A．15° B．20° C．25° D．30°
既有外接圆，又有内切圆的平行四边形是(　　)A．矩形　 B．菱形　C．正方形　 D．矩形或菱形
易错点：变式应用切线长定理时因考虑不全而致错.
如图，PA，PB 是⊙O 的切线，且∠APB＝50°，下列结论不正确的是(　　)A．PA＝PB B．∠APO＝25°C．∠OBP＝65° D．∠AOP＝65°
如图，从⊙O 外一点P 引圆的两条切线PA，PB，切点分别为A，B，点C 是劣弧AB上一点，过点C 的切线分别交PA，PB 于点M，N，若⊙O 的半径为2，∠P＝60°，则△PMN 的周长为(　　)A．4 B．6 C．4 D．6
如图，AB 为半圆O 的直径，AD，BC 分别切⊙O 于A，B 两点，CD 切⊙O 于点E，AD 与CD 相交于点D，BC 与CD 相交于点C，连接OD，OC，对于下列结论：①OD 2＝DE·CD；②AD＋BC＝CD；③OD＝OC；④S梯形ABCD＝ CD·OA；⑤∠DOC＝90°. 其中正确的结论是(　　)A．①②⑤ B．②③④ C．③④⑤ D．①④⑤
如图，△ABC 是⊙O 的内接三角形，AB 为直径，过点B 的切线与 AC 的延长线交于点D，点E 是BD 的中点，连接CE. (1)求证：CE 是⊙O 的切线； (2)若AC＝4，BC＝2，求BD 和CE 的长．
(1)证明：如图，连接OC. ∵BD 是⊙O 的切线，∴∠ABD＝90°. ∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ACB＝90°. ∴∠ACO＋∠BCO＝90°，∠BCD＝90°. ∵点E 是BD 的中点，∴CE＝ BD＝BE. ∴∠BCE＝∠CBE.
∵∠CBE＋∠ABC＝90°，∠A＋∠ABC＝90°，∴∠CBE＝∠A. ∴∠BCE＝∠A.∵OA＝OC，∴∠ACO＝∠A. ∴∠ACO＝∠BCE.∴∠BCE＋∠BCO＝90°，即∠OCE＝90°.∴CE⊥OC. ∴CE 是⊙O 的切线．∵∠ACB＝90°，
证明：(1)连接OA. ∵PA，PB 分别切⊙O 于点A，B， ∴∠PAO＝∠PBO＝90°，PA＝PB. 又∵OP＝OP，∴Rt△AOP ≌ Rt△BOP. ∴∠APO＝∠BPO. 又∵PA＝PB，∴OP⊥AB.∴∠ABP＋∠BPO＝90°. 又∵∠ABP＋∠ABC＝90°.∴∠ABC＝∠BPO＝ ∠APB，即∠APB＝2∠ABC. (2)∵BC 是⊙O 的直径，∴∠BAC＝90°，即AC⊥AB. 由(1)知PO⊥AB，∴AC∥OP.
如图，PA，PB 是⊙O 的切线，切点分别为A，B，BC 为⊙O 的直径，连接AB，AC，OP. 求证： (1)∠APB＝2∠ABC； (2)AC∥OP.
已知：AB 为⊙O 的直径，AB＝2，弦DE＝1，直线AD 与BE 相交 于点C，弦DE 在⊙O上运动且保持长度不变，⊙O 的切线DF 交BC 于点F. (1)如图①，若DE∥AB，求证：CF＝EF； (2)如图②，当点E 运动至与点B 重合时，试判断CF 与BF 是否相等， 并说明理由．
如图，连接OD，OE.∵AB＝2，∴OA＝OD＝OE＝OB＝1.∵DE＝1，∴OD＝OE＝DE.∴△ODE 是等边三角形．∴∠ODE＝∠OED＝60°.∵DE∥AB，∴∠AOD＝∠ODE＝60°，∠EOB＝∠OED＝60°.∴△AOD 和△BOE 是等边三角形．∴∠OAD＝∠OBE＝60°.∴∠CDE＝∠OAD＝60°，∠CED＝∠OBE＝60°.∴△CDE 是等边三角形．∵DF 是⊙O 的切线， ∴OD⊥DF.∴∠EDF＝90°－60°＝30°.∴∠DFE＝90°.∴DF⊥CE. ∴CF＝EF.
相等．理由如下：当点E 运动至与点B 重合时，BC 是⊙O 的切线，∵⊙O 的切线DF 交BC 于点F，∴BF＝DF.∴∠BDF＝∠DBF.∵AB 是直径，∴∠ADB＝∠BDC＝90°.∴∠FDC＝∠C.∴DF＝CF.∴BF＝CF.
6 (1)如图①，四边形ABCD 是⊙O 的外切四边形，切 点分别为E，F，G，H，说明AB＋CD 与BC＋AD 的大小关系． (2)如图②，四边形ABCD 的三边切⊙O 于点F，G， H，说明AB＋CD 与BC＋AD 的大小关系．
(1)由切线长定理，得AE＝AH，BE＝BF，CF＝CG，DG＝DH，∴AB＋CD＝AE＋BE＋CG＋DG＝AH＋BF＋CF＋DH＝BC＋AD，即AB＋CD＝BC＋AD.(2)过点B 作⊙O 的切线，交AD 于点M.由(1)可知BM＋CD＝BC＋MD.∵AB＜AM＋BM，∴AB＋BM＋CD＜AM＋BM＋BC＋MD，即AB＋CD＜BC＋AD.
(2)解：∵∠F＝30°，∠ODF＝90°， ∴∠DOF＝60°，∴∠AOD＝120°. ∵OD＝OB，∴△OBD 是等边三角形， ∴∠BDO＝∠DBO＝60°，OB＝BD. 易证∠EDC＝∠ECD＝30°，∴ED＝EC. 又∵四边形EBOC 是平行四边形， ∴EC＝ED＝BO＝DB. ∵EB＝4，∴OB＝OD＝OA＝2. ∵∠AOC＝∠COD，∴∠AOC＝60°. 在Rt△AOC 中，∵∠OAC＝90°，∠AOC＝60°， ∴∠OCA＝30°，∴OC＝4. ∴AC＝ ＝2 . ∴S阴影＝2S△AOC－S扇形OAD＝2× ×2×2 － × π×22＝4 － .
已知AB 是⊙O 的直径，AT 是⊙O 的切线，∠ABT＝50°，BT 交⊙O 于点C，E 是AB上一点，延长CE 交⊙O 于点D. (1)如图①，求∠T 和∠CDB 的大小； (2)如图②，当BE＝BC 时，求∠CDO 的大小．
解：(1)如图①，连接AC， ∵AT 是⊙O 的切线，AB 是⊙O 的直径，∴∠TAB＝90°. ∵∠ABT＝50°，∴∠T＝90°－∠ABT＝40°. 由AB 是⊙O 的直径，得∠ACB＝90°. ∴∠CAB＝90°－∠ABC＝40°. ∴∠CDB＝∠CAB＝40°. (2)如图②，连接AD， 在△BCE 中，BE＝BC，∠EBC＝50°， ∴∠BCE＝∠BEC＝65°.∴∠BAD＝∠BCD＝65°. ∵OA＝OD， ∴∠ODA＝∠OAD＝65°. ∵∠ADC＝∠ABC＝50°， ∴∠CDO＝∠ODA－∠ADC＝65°－50°＝15°.
切线长定理 从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角.