北师大版 (2019)必修 第一册3.1 对数函数的概念综合训练题

【精选】3.1 对数函数的概念-1作业练习

一．填空题

1．已知，若函数有且仅有2个零点，则实数的取值范围为__________．

2．已知)，则的最小值为___________.

3．任意一个正实数都可以表示成，此时.若一个位整数的次方根仍是一个整数，则这个次方根是___________.(参考数据：，)

4．方程的解集为__________.

5．若函数在区间的最大值与最小值之和为，则___________.

6．的值是___________.

7．已知，设，则a，b，c从大到小的顺序为_________.

8．已知数列满足．给出定义：使数列的前项和为正整数的叫做“好数”，则在内的所有“好数”的和为______．

9．函数（a>1且a≠1）的图像恒过点A，若点A在直线mx+ny+1=0，其中m>0，n>0，则的最小值为_______．

10．已知函数在上单调递减，则实数的取值范围是______．

11．不等式的解集为_________.

12．函数的递增区间为________．

13．计算的值为________．

14．设，则按从小到大的顺序为__________．

15．计算：__________．

参考答案与试题解析

1．【答案】

【解析】分析：本题首先可依次令以及，求出，然后绘出．的图像，最后结合图像，即可得出结果.

详解：令，解得或，

令，解得，

如图，在同一直角坐标系中分别绘出．的图像，

结合图像易知，实数的取值范围为，

故答案为：.

2．【答案】

【解析】分析：由已知得,将所求式子化为，然后利用“1的代换”和基本不等式求最值.

详解：因为，所以,则,

所以= ，

当 ，即时取等号，

所以的最小值为 .

故答案为：.

【点睛】

易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：

（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；

（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；

（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方，这时改用勾型函数的单调性求最值.

3．【答案】

【解析】分析：根据题意设出整数以及次方根并将表示为，结合得到和的关系，根据的取值范围确定出的取值范围，结合参考数据求解出的值.

详解：设该位整数为，其次方根为，则，即，

因为，所以，即，

因为，所以，从而，

又因为，所以，于是.

故答案为：.

4．【答案】

【解析】分析：对变形，再利用换元法转化成一元二次方程问题来求解即可．

详解：，

即：，令，

则方程可化为，解得：或，

或

或

方程的解集是：

故答案为：.

【点睛】

关键点睛：本题的关键一是对数运算性质及转化思想，二利用换元方法求解．

5．【答案】

【解析】分析：分析函数的单调性，可得出关于实数的等式，由此可解得实数的值.

详解：因为，故为递减函数，

当时，，，

由题意可得，可得，解得.

故答案为：.

6．【答案】

【解析】分析：根据对数的运算及指数幂的性质计算可得；

详解：解：

故答案为：6

7．【答案】

【解析】分析：利用中间值比较即可，，根据由和，得到，即可确定，，的大小关系．

详解：解：由，

，而

，

即；

，，，；

，，，，

综上，．

故答案为：．

8．【答案】2026

【解析】分析：先计算出数列的前项和，然后找到使其为正整数的，相加即可得到答案．

详解：由题，

．

所以，．

因为为正整数，所以，即．

令，则．

因为，所以．

因为为增函数，且

所以．

所以所有“好数”的和为．

故答案为：2026.

【点睛】

本题考查了数列的新定义．对数运算法则，解题时应认真审题，找到规律，注意等比数列求前项和公式的灵活运用．

9．【答案】8；

【解析】分析：求出定点的坐标，代入直线方程得的关系，利用“1”的代换求得最小值．

详解：令，，此时，即，

点在已知直线上，所以，即，

又，

所以，当且仅当，即时等号成立．

故答案为：8.

【点睛】

易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：

（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；

（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；

（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方．

10．【答案】

【解析】分析：由复合函数的单调性：同增异减，由于递减，因此必须递增，即有，还要考虑函数定义域，即在时，恒成立．

详解：∵，∴是减函数，又在上单调递减，所以，

且，∴．

故答案为：．

【点睛】

关键点点睛：本题掌握复合函数单调性是解题关键，同时要考虑函数的定义域．

11．【答案】

【解析】分析：根据对数函数的性质得到，即可得解，再根据指数函数的性质计算可得；

详解：解：因为，所以，即，因为，所以恒成立，所以，即，所以，所以，所以原不等式的解集为

故答案为：

12．【答案】

【解析】分析：先求出定义域为，求出的单调递减区间即可.

详解：由可解得，即的定义域为，

的对称轴为，开口向下，

则在单调递增，在单调递减，

的递增区间为.

故答案为：.

13．【答案】

【解析】分析：根据指数的运算公式．对数的换底公式．对数的减法运用公式进行求解即可.

详解：，

故答案为：

14．【答案】

【解析】分析：利用指数函数．对数函数性质结合0和1比较可得．

详解：由指数函数性质知，由对数函数性质得，，所以．

故答案为：．

15．【答案】

【解析】分析：根据指数幂及对数的运算法则计算可得；

详解：解：

故答案为：