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数学必修 第一册3.1 对数函数的概念同步练习题
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这是一份数学必修 第一册3.1 对数函数的概念同步练习题
【精选】3.1 对数函数的概念-1课时练习一．填空题1．已知数列满足．给出定义：使数列的前项和为正整数的叫做“好数”，则在内的所有“好数”的和为______．2．已知函数有最小值，则的取值范围为__________．3．函数的定义域是___________.4．设函数， 则满足的的值是_______．5．已知)，则的最小值为___________.6．已知，若函数有且仅有2个零点，则实数的取值范围为__________．7．的值是___________.8．已知函数 （，且）．若的反函数的图像经过点，则_____________．9．函数的定义域是__________.10．为了衡量星星的明暗程度，古希腊天文学家喜帕恰斯在公元前二世纪首先提出了星等这个概念．星等的数值越小，星星就越亮；星等的数值越大，星星就越暗．到了1850年，由于光度计在天体光度测量的应用，英国天文学家普森又提出了亮度的概念，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述．两颗星的星等与亮度满足m1﹣m2＝2.5（lgE2﹣lgE1），其中星等为mk的星的亮度为Ek（k＝1，2）．已知“心宿二”的星等是1.00，“天津四”的星等是1.25，则“心宿二”的亮度大约是“天津四”的_____倍．（结果精确到0.01.当|x|较小时，10x≈1+2.3x+2.7x2）11．大西洋鲑鱼每年都要迫流面上，游回产地产卵，研究鲑鱼的科学家发现鲑鱼的游速(单位)可以表示为·其中表示鲑鱼的耗氧量的单位数.当一条鲑鱼的耗氧量是个单位时，它的游速是___________.12．函数是定义域为的奇函数，当时，，则__________．13．已知函数，若，则__________.14．若，则___________.15．已知具有相关关系的两个随机变量的一组数据的散点图如图所示，可以用来拟合，设，将其变换后得到线性回归方程，若，则__________． 参考答案与试题解析1．【答案】2026【解析】分析：先计算出数列的前项和，然后找到使其为正整数的，相加即可得到答案．详解：由题，．所以，．因为为正整数，所以，即．令，则．因为，所以．因为为增函数，且所以．所以所有“好数”的和为．故答案为：2026.【点睛】本题考查了数列的新定义．对数运算法则，解题时应认真审题，找到规律，注意等比数列求前项和公式的灵活运用．2．【答案】【解析】当时，的最小值为．当时，要使存在最小值，必有，解得．，．故答案为：.3．【答案】．【解析】分析：由函数式有意义即可得．详解：由题意，解得．故答案为：．4．【答案】2【解析】等价于或，故故答案为：.5．【答案】【解析】分析：由已知得,将所求式子化为，然后利用“1的代换”和基本不等式求最值.详解：因为，所以,则,所以= ，当 ，即时取等号，所以的最小值为 .故答案为：.【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方，这时改用勾型函数的单调性求最值.6．【答案】【解析】分析：本题首先可依次令以及，求出，然后绘出．的图像，最后结合图像，即可得出结果.详解：令，解得或，令，解得，如图，在同一直角坐标系中分别绘出．的图像，结合图像易知，实数的取值范围为，故答案为：.7．【答案】【解析】分析：根据对数的运算及指数幂的性质计算可得；详解：解：故答案为：68．【答案】【解析】分析：函数与其反函数图象关于直线对称，则在已知函数图象上，代入求解.详解：与其反函数图象关于直线对称，的反函数的图像经过点，则的图像经过点，所以， 即，解得.故答案为：.【点睛】函数与其反函数的图象关于直线对称.9．【答案】【解析】分析：由可解得结果.详解：由可得，得.所以函数的定义域是.故答案为：10．【答案】1.26【解析】分析：令“心宿二”的星等m1＝1.00，“天津四“的星等m2＝1.25，根据题中关系，代入方程，即可求得的值，代入公式，即可求得答案.详解：由题意，两颗星的星等与亮度满足：m1﹣m2＝2.5（lgE2﹣lgE1），令“心宿二”的星等m1＝1.00，“天津四“的星等m2＝1.25，则m2﹣m1＝2.5（lgE1﹣lgE2）＝1.25﹣1.00＝0.25，所以lgE1﹣lgE2＝，即，所以，则”心宿二“的亮度大约是”天津四“的1.26倍，故答案为：1.26.11．【答案】【解析】分析：令，代入函数解析式即可求解.详解：因为鲑鱼的游速v（单位：）可以表示为：，其中表示鱼的耗氧量的单位数，所以，当一条鱼的耗氧量是2700个单位时，它的游速是，故答案为：【点睛】本题主要考查了对数函数的实际模型与计算等,熟练掌握对数运算是解题关键12．【答案】【解析】因为是定义域为的奇函数，且当时，，所以．故答案为：-213．【答案】e【解析】依题意知，时，，即，，故.故答案为：e.14．【答案】【解析】， .故答案为：.15．【答案】【解析】分析：对进行取自然对数，结合对数的运算性质进行求解即可.详解：，因为变换后得到线性回归方程，所以有，又，所以，因此，故答案为：
【精选】3.1 对数函数的概念-1课时练习一．填空题1．已知数列满足．给出定义：使数列的前项和为正整数的叫做“好数”，则在内的所有“好数”的和为______．2．已知函数有最小值，则的取值范围为__________．3．函数的定义域是___________.4．设函数， 则满足的的值是_______．5．已知)，则的最小值为___________.6．已知，若函数有且仅有2个零点，则实数的取值范围为__________．7．的值是___________.8．已知函数 （，且）．若的反函数的图像经过点，则_____________．9．函数的定义域是__________.10．为了衡量星星的明暗程度，古希腊天文学家喜帕恰斯在公元前二世纪首先提出了星等这个概念．星等的数值越小，星星就越亮；星等的数值越大，星星就越暗．到了1850年，由于光度计在天体光度测量的应用，英国天文学家普森又提出了亮度的概念，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述．两颗星的星等与亮度满足m1﹣m2＝2.5（lgE2﹣lgE1），其中星等为mk的星的亮度为Ek（k＝1，2）．已知“心宿二”的星等是1.00，“天津四”的星等是1.25，则“心宿二”的亮度大约是“天津四”的_____倍．（结果精确到0.01.当|x|较小时，10x≈1+2.3x+2.7x2）11．大西洋鲑鱼每年都要迫流面上，游回产地产卵，研究鲑鱼的科学家发现鲑鱼的游速(单位)可以表示为·其中表示鲑鱼的耗氧量的单位数.当一条鲑鱼的耗氧量是个单位时，它的游速是___________.12．函数是定义域为的奇函数，当时，，则__________．13．已知函数，若，则__________.14．若，则___________.15．已知具有相关关系的两个随机变量的一组数据的散点图如图所示，可以用来拟合，设，将其变换后得到线性回归方程，若，则__________． 参考答案与试题解析1．【答案】2026【解析】分析：先计算出数列的前项和，然后找到使其为正整数的，相加即可得到答案．详解：由题，．所以，．因为为正整数，所以，即．令，则．因为，所以．因为为增函数，且所以．所以所有“好数”的和为．故答案为：2026.【点睛】本题考查了数列的新定义．对数运算法则，解题时应认真审题，找到规律，注意等比数列求前项和公式的灵活运用．2．【答案】【解析】当时，的最小值为．当时，要使存在最小值，必有，解得．，．故答案为：.3．【答案】．【解析】分析：由函数式有意义即可得．详解：由题意，解得．故答案为：．4．【答案】2【解析】等价于或，故故答案为：.5．【答案】【解析】分析：由已知得,将所求式子化为，然后利用“1的代换”和基本不等式求最值.详解：因为，所以,则,所以= ，当 ，即时取等号，所以的最小值为 .故答案为：.【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方，这时改用勾型函数的单调性求最值.6．【答案】【解析】分析：本题首先可依次令以及，求出，然后绘出．的图像，最后结合图像，即可得出结果.详解：令，解得或，令，解得，如图，在同一直角坐标系中分别绘出．的图像，结合图像易知，实数的取值范围为，故答案为：.7．【答案】【解析】分析：根据对数的运算及指数幂的性质计算可得；详解：解：故答案为：68．【答案】【解析】分析：函数与其反函数图象关于直线对称，则在已知函数图象上，代入求解.详解：与其反函数图象关于直线对称，的反函数的图像经过点，则的图像经过点，所以， 即，解得.故答案为：.【点睛】函数与其反函数的图象关于直线对称.9．【答案】【解析】分析：由可解得结果.详解：由可得，得.所以函数的定义域是.故答案为：10．【答案】1.26【解析】分析：令“心宿二”的星等m1＝1.00，“天津四“的星等m2＝1.25，根据题中关系，代入方程，即可求得的值，代入公式，即可求得答案.详解：由题意，两颗星的星等与亮度满足：m1﹣m2＝2.5（lgE2﹣lgE1），令“心宿二”的星等m1＝1.00，“天津四“的星等m2＝1.25，则m2﹣m1＝2.5（lgE1﹣lgE2）＝1.25﹣1.00＝0.25，所以lgE1﹣lgE2＝，即，所以，则”心宿二“的亮度大约是”天津四“的1.26倍，故答案为：1.26.11．【答案】【解析】分析：令，代入函数解析式即可求解.详解：因为鲑鱼的游速v（单位：）可以表示为：，其中表示鱼的耗氧量的单位数，所以，当一条鱼的耗氧量是2700个单位时，它的游速是，故答案为：【点睛】本题主要考查了对数函数的实际模型与计算等,熟练掌握对数运算是解题关键12．【答案】【解析】因为是定义域为的奇函数，且当时，，所以．故答案为：-213．【答案】e【解析】依题意知，时，，即，，故.故答案为：e.14．【答案】【解析】， .故答案为：.15．【答案】【解析】分析：对进行取自然对数，结合对数的运算性质进行求解即可.详解：，因为变换后得到线性回归方程，所以有，又，所以，因此，故答案为：
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