高中数学北师大版 (2019)必修 第一册2.2 分层随机抽样导学案及答案

第2课时　分层随机抽样

课前篇·自主梳理知识

【主题】　分层随机抽样

1．将总体按其属性特征分成________(有时称作层)，然后在每个类型中按照所占________随机抽取一定的个体，这种抽样方法通常叫作分层随机抽样．

2．当总体是由________的几类个体构成时，往往采用分层随机抽样．

答案：1.互不交叉的若干类型　比例　2.差异明显

[自我检测]

1．思维辨析(对的打“√”，错的打“”)

(1)分层随机抽样实际上是按比例抽样．(　　)

(2)分层随机抽样中每个个体被抽到的可能性不一样．(　　)

(3)分层随机抽样中不能用简单随机抽样．(　　)

答案：(1)√　(2)　(3)

2．某城市有学校700所，其中大学20所，中学200所，小学480所，现用分层随机抽样方法从中抽取一个容量为70的样本进行某项调查，则应抽取中学数为(　　)

A．70      B．20      C．48      D．2

答案：B　

解析：由于＝10，即每10所学校抽取一所，又因中学200所，所以抽取200÷10＝20(所)．

3．某工厂生产A，B，C三种不同型号的产品，产品的数量之比依次为3∶4∶7，现在用分层随机抽样的方法抽出容量为n的样本，样本中A型号产品有15件，那么样本容量n为(　　)

A．50      B．60      C．70      D．80

答案：C　

解析：由分层随机抽样方法得：×n＝15，解得n＝70.

4．某校有老师200人，男学生1 200人，女学生1 000人．现用分层随机抽样的方法从所有师生中抽取一个容量为n的样本，已知女学生中抽取的人数为80，则n＝________.

答案：192　

解析：抽样比为＝，

∴应抽取老师的人数为200×＝16，

应抽取男生的人数为1 200×＝96，

故n＝16＋96＋80＝192.

课堂篇·重难要点突破

研习1　分层随机抽样的概念

[典例1]　某单位有老年人28人，中年人54人，青年人81人，为了调查他们的身体状况，从他们中抽取容量为36的样本，最适合抽取样本的方法是(　　)

A．简单随机抽样

B．抽签法

C．分层随机抽样

D．先从老年人中剔除1人，再分层随机抽样

答案：D　

解析：总体总人数为28＋54＋81＝163(人)，样本容量为36，由于总体由差异明显的三部分组成，考虑用分层随机抽样．若按36∶163抽取样本，无法得到整数解，故考虑先剔除1人，抽取比例变为36∶162＝2∶9，则中年人取54×＝12(人)，青年人取81×＝18(人)，先从老年人中剔除1人，老年人取27×＝6(人)，组成容量为36的样本．故应选D.

[延伸探究]　适合分层随机抽样的总体具有什么特征？

答案：适合分层随机抽样的总体是具有明显差异的几部分构成的．

分层随机抽样的前提和遵循的两条原则

(1)前提：分层随机抽样使用的前提是总体可以分层，层与层之间有明显区别，而层内个体间差异较小，每层中所抽取的个体数可按各层个体数在总体的个体数中所占的比例抽取．

(2)遵循的两条原则：

①将相似的个体归入一类，即为一层，分层要求每层的各个个体互不交叉，即遵循不重复、不遗漏的原则；

②分层随机抽样为保证每个个体等可能入样，需遵循在各层中进行简单随机抽样，每层样本数量与每层个体数量的比等于抽样比．

[练习1]某电视台在因特网上就观众对某一节目的喜欢程度进行调查，参加调查的人数为12 000人，其中持各种态度的人数如下表所示：

电视台为了进一步了解观众的具体想法和意见，打算从中抽取60人进行更为详细的调查，应怎样进行抽样？

解：因为总体中人数较多，所以不宜采用简单随机抽样．又由于持不同态度的人数差异较大，故选择分层随机抽样的方法．

采用分层随机抽样方法，其总体容量为12 000.

“很喜欢”占＝，应取60×≈12(人)；

“喜欢”占，应取60×≈23(人)；

“一般”占，应取60×≈20(人)；

“不喜欢”占，应取60×≈5(人)．

从“很喜欢”“喜欢”“一般”和“不喜欢”中分别应取12人，23人，20人，5人．

研习2　分层随机抽样的应用

[典例2]　一个单位有职工160人，其中有业务人员112人，管理人员16人，后勤服务人员32人，为了了解职工的某种情况，要从中抽取一个容量为20的样本，用何种方法抽取样本，并写出过程．

[分析]　因为本题样本总体分成三类：业务人员、管理人员、后勤服务人员，符合分层随机抽样特点，故选用分层随机抽样方法．

解：因为160÷20＝8，所以可在各层人员中按8∶1的比例抽取，又因为16÷8＝2,32÷8＝4,112÷8＝14，所以管理人员2人，后勤服务人员4人，业务人员14人．将管理人员按00,01，…，16编号；将后勤服务人员按00,01，…，32编号；将业务人员按00,01，…，112编号，采用随机数法，分别从中抽取2个、4个14个号码，这样就得到一个容量为20的样本．

1．分层随机抽样的特点

(1)适用于总体由差异明显的几部分组成的情况；

(2)更充分地反映了总体的情况；

(3)是等可能性抽样，每个个体被抽到的可能性都是.

2．用分层随机抽样应注意的问题

(1)用分层随机抽样抽取样本时，需照顾到各层中的个体，所以每层抽取的比例都等于样本容量在总体中的比例．

(2)在分层随机抽样中，确定抽样比k是抽样的关键．一般地，抽样比k＝(N为总体容量，n为样本容量)，按抽样比k在各层中抽取个体，就能确保抽样的公平性．

(3)在每层抽样时，应采用简单随机抽样的方法进行．

[练习2]一批产品中，有一级品100个，二级品60个，三级品40个，选择一种合适的抽样方法，从这批产品中抽取一个容量为20的样本．

解：由题意可知，用分层随机抽样的方法比较好．

因为总体中个体数与样本容量的比为200∶20＝10∶1，所以需从一级品中抽取×100＝10(个)，从二级品中抽取×60＝6(个)，从三级品中抽取×40＝4(个)．

将一级品的100个按00,01，…，99编号；将二级品的60个产品按00,01，…，59编号；将三级品的40个产品按00,01，…，39编号；采用随机数法，分别从中抽取10个、6个、4个，这样就得到一个容量为20的样本．

课后篇·演练提升方案

1．分层随机抽样又称为类型抽样，即将相似的个体归入一类(层)，然后每层各抽若干个个体构成样本，所以分层随机抽样为保证每个个体等可能入样，必须进行(　　)

A．每层等可能抽样

B．每层不等可能抽样

C．所有层同一抽样比，等可能抽样

D．所有层抽同样多样本容量，等可能抽样

答案：C　

解析：保证每个个体等可能的入样，是简单随机抽样、分层随机抽样共同的特征，为了保证这一点，分层时用同一抽样比是不可少的．故应选C.

2．某校选修乒乓球课程的学生中，高一年级有30名，高二年级有40名，从这70人中用分层随机抽样的方法抽取容量为14的样本，则在高二年级学生中应该抽取的人数为(　　)

A．6      B．8      C．10      D．12

答案：B　

解析：由题意得，抽样比为＝，所以高二年级学生中应抽取的人数为40×＝8.

3．用分层随机抽样方法从某校学生中抽取一个容量为45的样本，其中高一年级抽20人，高三年级抽10人．已知该校高二年级共有学生300人，求该校学生总数．

解：要抽取一个容量为45的样本，高一年级抽取20人，高三年级抽取10人，

∴高二年级抽取45－20－10＝15(人)．

∴抽样比为＝，设该校学生总数为n，

则＝，

∴n＝900.

∴该校学生总数为900.

[易错误区]　分层随机抽样的应用

[典例]　交通管理部门为了解机动车驾驶员对某新法规的知晓情况，对甲、乙、丙、丁4个社区做分层随机抽样调查，假设四个社区驾驶员的总人数为N，其中甲社区有驾驶员96人，若在甲、乙、丙、丁4个社区抽取驾驶员的人数分别为12,21,25,43，则这四个社区驾驶员总人数N为(　　)

A．101   B．808

C．1 212   D．2 012

[错解]　这四个社区驾驶员的总人数为12＋21＋25＋43＝101，故选A.

[错因分析]　因不理解＝＝抽样比，而导致本题不会解答．

[正解]　由题意知，抽样比为，而四个社区一共抽取的驾驶员人数为12＋21＋25＋43＝101，故有＝，解得N＝808.

[答案]　B