泰州市兴化市乐吾实验学校2021-2022学年八年级3月月考数学试题（含解析）

泰州市兴化市乐吾实验学校2021-2022学年八年级3月月考数学试题

一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）

1. 下列图形中，不是中心对称图形是（    ）

A.  B.  C.  D.

2. 下列调查适合普查的是（    ）

A. 了解全球海洋中鱼类的数量 B. 调查中国20～25岁年轻人最崇拜的偶像

C. 了解一批灯泡的平均使用寿命 D. 对患新冠状肺炎患者同一车厢的乘客进行医学检查

3. 为了了解2020年某市八年级学生的视力水平，从中随机抽取了500名学生进行检测．下列说法正确的是（    ）

A. 八年级学生全体是总体

B. 其中的每一名八年级学生是个体

C. 被抽取的500名学生是总体的一个样本

D. 样本容量是500

4. 将下列分式中x，y(xy≠0)的值都扩大为原来的2倍后，分式的值一定不变的是（　　　）

A.  B.  C.  D.

5. 正方形具有的性质中，菱形不一定具有的性质是（   ）

A. 对角线相等； B. 对角线互相垂直；

C. 对角线互相平分； D. 对角线平分一组对角．

6. 已知，四边形中，对角线、相交于，给出下列四个条件：①，②，③，④，任取两个条件，可得出四边形是平行四边形这一结论的情况有（    ）

A 1种 B. 2种 C. 3种 D. 4种

二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）

7. 若分式有意义，a的取值范围是_______．

8. 分式与的最简公分母是______．

9. “实数，”这一事件是______事件（填“必然”、“不可能”或“随机”）．

10. 在中，，则的度数为______．

11. 小明用元钱去购买某种练习本．这种练习本原价每本元（），现在每本降价1元，购买到这种练习本的本数为______．

12. 如果a=3b(a≠0)，则的值为_______.

13. 如图，在菱形ABCD中，AC＝8，AD＝5，则菱形的面积等于______．

14. 如图，在△ABC中，∠CAB＝65°，在同一平面内，将△ABC绕点A逆时针旋转到的位置，使得，则等于_____．

15. 如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，若AE平分∠BAD交BC于点E，且BO＝BE，则∠CAE＝______．

16. 如图中，，，，点为上任意一点，连接，以，为邻边作平行四边形，连接，则最小值为______．

三、解答题（本大题共10小题，共102分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

17. 先化简，再求值：

，从，2，中选一个值，代入求值．

18. 已知：如图，在中，点、是、的中点，连接、．求证：BE=DF．

19. 如图，方格纸中的每个小正方形的边长都为1，在建立平面直角坐标系后，△ABC的顶点均在格点上．

（1）以点A为旋转中心，将△ABC绕点A顺时针旋转90°得到△AB1C1，画出△AB1C1；

（2）画出△ABC关于原点O成中心对称△A2B2C2，若点B的坐标为（-2，-2），则点B2的坐标为_________．

（3）若△A2B2C2可看作是由△AB1C1绕点P顺时针旋转90°得到的，则点P的坐标为______.

20. 自2009年以来，“中国·兴化千垛菜花旅游节”享誉全国．“河有万湾多碧水，田无一垛不黄花”所描绘的就是我市发达的油菜种植业．为了解某品种油菜籽的发芽情况，农业部门从该品种油菜籽中抽取了6批，在相同条件下进行发芽试验，有关数据如下：

（1）分别求和的值；

（2）请根据以上数据，直接写出该品种油菜籽发芽概率的估计值（精确到0.1）；

（3）农业部门抽取的第7批油菜籽共有8000粒．请你根据问题（2）的结果，通过计算来估计第7批油菜籽在相同条件下进行发芽试验时的发芽粒数．

21. 某学校开展课外球类特色的体育活动，决定开设A：羽毛球、B：篮球、C：乒乓球、 D：足球四种球类项目．为了解学生最喜欢哪一种活动项目（每人只选取一种），随机抽取了部分学生进行调查，并将调查结果绘成如甲、乙所示的统计图，请你结合图中信息解答下列问题．

（1）样本中最喜欢A项目的人数所占的百分比为       ，其所在扇形统计图中对应的圆心角度数是            度；

（2）请把条形统计图补充完整；

（3）若该校有学生3000人，请根据样本估计全校最喜欢足球的学生人数约是多少？

22. 如图，在四边形中，，分别是、的中点，、分别是、的中点．

（1）求证：四边形是平行四边形；

（2）若，探究四边形的形状，并说明理由．

23. 已知：如图，在中，，，垂足为点，是外角的平分线，，垂足为点，

（1）求证：四边形为矩形；

（2）当满足什么条件时，四边形是一个正方形？并给出证明．

24. 如图，矩形的顶点，分别在菱形的边，上，顶点、在菱形的对角线上. 

（1）求证：；   

（2）若为中点，，求菱形的周长．

25. 定义：若两个分式的差为2，则称这两个分式属于“友好分式组”．

（1）下列3组分式：

①与；②与；③与．其中属于“友好分式组”的有        （只填序号）；

（2）若正实数a，b互为倒数，求证与属于“友好分式组”；

（3）若a，b均为非零实数，且分式与属于“友好分式组”，求分式的值．

26. 如图1，正方形的边长为1，为边上一点（不与点、重合），垂直于的一条直线分别交、、于点、、．

（1）①求证：；

②连接、、，直接写出四边形的面积S的取值范围．

（2）如图2，若垂足为的中点，连接，交于点，连接，求的度数．

（3）如图3，当垂足在正方形的对角线上时，作，垂足为，点在边上运动过程中，的长度是否变化？若不变，求出的长；若变化，说明变化规律．

答案与解析

一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）

1. 下列图形中，不是中心对称图形是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．根据中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．

【详解】解：．是中心对称图形，故本选项不合题意；

．是中心对称图形，故本选项不合题意；

．是中心对称图形，故本选项不合题意；

．本是中心对称图形，故本选项符合题意．

故选：D．

【点睛】本题考查了中心对称图形的概念，解题的关键是中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．

2. 下列调查适合普查的是（    ）

A. 了解全球海洋中鱼类的数量 B. 调查中国20～25岁年轻人最崇拜的偶像

C. 了解一批灯泡的平均使用寿命 D. 对患新冠状肺炎患者同一车厢的乘客进行医学检查

【答案】D

【解析】

【分析】由普查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，而抽样调查得到的调查结果比较近似．

【详解】解：A、了解全球海洋中鱼类的数量，适合抽样调查，故本选项不合题意；

B、调查中国20～25岁年轻人最崇拜的偶像，适合抽样调查，故本选项不合题意；

C、了解一批灯泡的平均使用寿命，适合抽样调查，故本选项不合题意；

D、对患新型冠状肺炎患者同一车厢的乘客进行医学检查，适合普查，故本选项符合题意．

故选：D．

【点睛】本题考查了抽样调查和全面调查的区别，选择普查还是抽样调查要根据所要考查的对象的特征灵活选用，一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或价值不大，应选择抽样调查，对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用普查．

3. 为了了解2020年某市八年级学生的视力水平，从中随机抽取了500名学生进行检测．下列说法正确的是（    ）

A. 八年级学生的全体是总体

B. 其中的每一名八年级学生是个体

C. 被抽取的500名学生是总体的一个样本

D. 样本容量是500

【答案】D

【解析】

【分析】总体是指考查的对象的全体，个体是总体中的每一个考查的对象，样本是总体中所抽取的一部分个体，而样本容量则是指样本中个体的数目．

【详解】解：A、八年级学生的视力水平的全体是总体，故错误；
B、其中的每一名八年级学生的视力水平是个体，故错误；
C、被抽取的500名学生的视力水平是总体的一个样本，故错误；
D、样本容量是500，故正确；
故选：D．

【点睛】本题考查了总体、个体、样本、样本容量，解题要分清具体问题中的总体、个体与样本，关键是明确考查的对象．总体、个体与样本的考查对象是相同的，所不同的是范围的大小．样本容量是样本中包含的个体的数目，不能带单位．

4. 将下列分式中x，y(xy≠0)的值都扩大为原来的2倍后，分式的值一定不变的是（　　　）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】根据分式的基本性质解答即可．

【详解】解：∵分式中x，y（xy≠0）的值都扩大为原来的2倍，

∴A. ，分式的值发生改变，不符合题意；

B. ，分式的值发生改变，不符合题意；

C. ，分式的值一定不变，符合题意；

D. ，分式的值发生改变，不符合题意；

故选：C．

【点睛】本题考查了分式的基本性质：分式的分子和分母都乘以或除以同一个不为0的数（或式子），分式的值不变，熟练掌握分式的基本性质是解题的关键．

5. 正方形具有的性质中，菱形不一定具有的性质是（   ）

A. 对角线相等； B. 对角线互相垂直；

C. 对角线互相平分； D. 对角线平分一组对角．

【答案】A

【解析】

【分析】根据正方形与菱形的对角线的性质即可完成．

【详解】正方形的对角线的性质为：对角线相等、互相垂直平分，且平分一组对角；菱形的对角线互相垂直平分，且平分一组对角；所以选项A符合题意．

故选：A．

【点睛】本题考查了菱形与正方形的性质，熟练掌握正方形与菱形对角线的性质是解答本题的关键．

6. 已知，四边形中，对角线、相交于，给出下列四个条件：①，②，③，④，任取两个条件，可得出四边形是平行四边形这一结论的情况有（    ）

A. 1种 B. 2种 C. 3种 D. 4种

【答案】B

【解析】

【分析】结合平行四边形的判定条件、三角形全等的判定和性质、平行线的性质，分类讨论6种组合判断即可．

【详解】如图，

当①与②组合时，

∵，

∴，

又∵，

∴(AAS)，

∴，

∴四边形是平行四边形；

当①与③组合时，不能判定四边形是平行四边形；

当①与④组合时，

∵，

∴，．

∵，

∴，

∴四边形是平行四边形；

当②与③组合时，不能判定四边形是平行四边形；

当②与④组合时，不能判定四边形是平行四边形；

当③与④组合时，不能判定四边形是平行四边形．

综上可知，可得出四边形是平行四边形这一结论的情况有2种．

故选B．

【点睛】本题考查平行四边形的判定，全等三角形的判定和性质，平行线的性质等知识．掌握平行四边形的判定条件是解题关键．

二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）

7. 若分式有意义，a的取值范围是_______．

【答案】

【解析】

【分析】根据分式有意义的条件，进行判断即可．

【详解】解：∵分式有意义，

∴2a﹣1≠0，

解得：．

故答案为：．

【点睛】本题考查了分式有意义的条件，涉及的知识点为：分式有意义，分母不为零．

8. 分式与的最简公分母是______．

【答案】

【解析】

【分析】根据求最简公分母的方法求解即可．

【详解】与的最简公分母是．

故答案为：．

【点睛】本题考查了最简公分母，解题的关键是掌握确定最简公分母的方法．确定最简公分母的一般方法：①如果各分母都是单项式，那么最简公分母就是各项系数的最小公倍数和所有字母的最高次幂的积；②如果各分母都是多项式，先把它们分解因式，然后把每个因式看成一个字母，再求最简公分母．

9. “是实数，”这一事件是______事件（填“必然”、“不可能”或“随机”）．

【答案】必然

【解析】

【分析】根据必然事件、不确定事件、不可能事件、随机事件的定义判断即可．

【详解】解：数轴上某个数与原点的距离叫做这个数的绝对值，由a是实数，得|a|≥0恒成立，因此，这一事件是必然事件．

故答案为：必然

【点睛】本题主要考查了必然事件、不确定事件、不可能事件、随机事件的判定，熟练掌握定义是解题的关键．

10. 在中，，则的度数为______．

【答案】110°##110度

【解析】

【分析】根据平行四边形的性质即可求解．

【详解】如图，

∵四边形ABCD为平行四边形，

∴，．

∵，

∴，

∴．

故答案为：

【点睛】本题考查平行四边形的性质．掌握平行四边形的对角相等，邻角互补是解题关键．

11. 小明用元钱去购买某种练习本．这种练习本原价每本元（），现在每本降价1元，购买到这种练习本的本数为______．

【答案】

【解析】

【分析】先由已知条件求出现在每本练习本的单价，再根据“金额÷单价＝数量”列出代数式便可．

【详解】解：根据题意得，现在每本单价为（b﹣1）元，

则购买到这种练习本的本数为（本）．

故答案为：．

【点睛】本题主要考查的是列代数式，掌握列代数式的方法是解题的关键．

12. 如果a=3b(a≠0)，则的值为_______.

【答案】 ；

【解析】

详解】把a=3b(a≠0)代入分式，

==.

【点睛】分式的约分步骤:(1)如果分式的分子和分母都是单项式或者是几个因式乘积的形式,将它们的公因式约去.(2)分式的分子和分母都是多项式,将分子和分母分别分解因式,再将公因式约去.

13. 如图，在菱形ABCD中，AC＝8，AD＝5，则菱形的面积等于______．

【答案】24

【解析】

【分析】由菱形的性质可得，，，由勾股定理可求的长，由菱形的面积公式可求解．

【详解】解：设AC与BD的交点为O，

∵四边形ABCD是菱形，
∴，，，

∴，

∴，
∴菱形的面积，
故答案为24．

【点睛】本题考查了菱形的性质，勾股定理，掌握菱形的面积公式是本题的关键．

14. 如图，在△ABC中，∠CAB＝65°，在同一平面内，将△ABC绕点A逆时针旋转到的位置，使得，则等于_____．

【答案】50°

【解析】

【分析】由平行线的性质可求得的度数，然后由旋转的性质得到，然后依据三角形的性质可知的度数，依据三角形的内角和定理可求得的度数，从而得到的度数.

【详解】解：∵

∴

∵由旋转的性质可知：

∴

∴

∴

故答案为：.

15. 如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，若AE平分∠BAD交BC于点E，且BO＝BE，则∠CAE＝______．

【答案】

【解析】

【分析】先证是等腰直角三角形，得，再证是等边三角形，得，即可求解．

【详解】解：四边形是矩形，

，，，，

，

平分，

，

是等腰直角三角形，

，

，

，

是等边三角形，

，

，

故答案为：．

【点睛】本题考查了矩形的性质，等边三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质等知识点，熟练掌握矩形的性质，证出为等边三角形是解此题的关键．

16. 如图中，，，，点为上任意一点，连接，以，为邻边作平行四边形，连接，则的最小值为______．

【答案】
 

【解析】

【分析】设PQ、AC交于点D，四边形PAQC是平行四边形，则PD=12PQ，即求PD的最小值即可，当PD⊥BC时，PD取得最小值，即PQ最小，过点D作DE⊥BC于点E，当P、E重合时，PD最小，据此即可求得PQ的最小值．

【详解】解：如图，设PQ，AC交于点D，过点D作DE⊥BC于点E，

∴∠CED=90°

∵四边形PAQC是平行四边形，

∴，，

当PD⊥BC时，PD取得最小值，即PQ最小，

∴当P、E重合时，PD最小，

∵∠BAC＝90°，AB＝3，AC＝4，

∴∠CAB=∠CED，，

又∵∠DCE=∠BCA，

∴△CED∽△CAB，

∴，即，

∴，

∴．

故答案为：．

【点睛】本题考查了平行四边形的性质、垂线段最短、相似三角形的性质与判定等知识，求得DE的长是解题的关键．

三、解答题（本大题共10小题，共102分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

17. 先化简，再求值：

，从，2，中选一个值，代入求值．

【答案】，，值为．

【解析】

【分析】先根据分式的运算法则化简求值，在选择x=-3代入求值即可求解．

【详解】解：原式

•

=，

当或时，分式无意义

当x＝-3时，原式= ．

【点睛】本题考查了分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解答此题的关键，在选择合适的值代入求值时要确保分式有意义．

18. 已知：如图，在中，点、是、的中点，连接、．求证：BE=DF．

【答案】见解析

【解析】

【分析】根据平行四边形的性质，求出 ,可得BE=DF．

【详解】 四边形ABCD是平行四边形

点、是、的中点

BE=DF

【点睛】本题考查平行四边形的性质，牢记并灵活运用即可．

19. 如图，方格纸中的每个小正方形的边长都为1，在建立平面直角坐标系后，△ABC的顶点均在格点上．

（1）以点A为旋转中心，将△ABC绕点A顺时针旋转90°得到△AB1C1，画出△AB1C1；

（2）画出△ABC关于原点O成中心对称的△A2B2C2，若点B的坐标为（-2，-2），则点B2的坐标为_________．

（3）若△A2B2C2可看作是由△AB1C1绕点P顺时针旋转90°得到的，则点P的坐标为______.

【答案】（1）见解析；（2）图见解析；（2，2）；（3）（0，-1）

【解析】

【分析】（1）利用网格特点和旋转的性质画出B、C的对应点B1、C1，从而得到△AB1C1．

（2）利用关于原点对称的点的坐标特征写出A2、B2、C2的坐标，然后描点连线即可；

（3）连接A1A2，C1C2，作A1A2和C1C2的垂直平分线交于点P，观察图形即可得出结论．

【详解】（1）如图，△AB1C1为所作；

（2）如图，△A2B2C2为所作；若点B坐标为（-2，-2），则点B2的坐标为（2，2）；

（3）连接A1A2，C1C2，作A1A2和C1C2的垂直平分线交于点P，由图可知：P（0，-1）．

【点睛】本题考查了作图﹣旋转变换：根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形．

20. 自2009年以来，“中国·兴化千垛菜花旅游节”享誉全国．“河有万湾多碧水，田无一垛不黄花”所描绘的就是我市发达的油菜种植业．为了解某品种油菜籽的发芽情况，农业部门从该品种油菜籽中抽取了6批，在相同条件下进行发芽试验，有关数据如下：

（1）分别求和的值；

（2）请根据以上数据，直接写出该品种油菜籽发芽概率的估计值（精确到0.1）；

（3）农业部门抽取的第7批油菜籽共有8000粒．请你根据问题（2）的结果，通过计算来估计第7批油菜籽在相同条件下进行发芽试验时的发芽粒数．

【答案】（1），   

（2）该品种油菜籽发芽概率的估计值为0.8   

（3）估计第7批油菜籽在相同条件下进行发芽试验时的发芽粒数为6400粒

【解析】

【分析】（1）用油菜籽粒数乘以发芽频率求得a的值，用发芽油菜籽粒数除以油菜籽总数即可求得b的值；

（2）观察大量重复试验发芽的频率稳定到哪个常数附近即可用哪个数表示发芽概率；

（3）用油菜籽总数乘以发芽概率即可求得发芽粒数．

【小问1详解】

a=100×0.850=85，b==0.802；

小问2详解】

∵观察表格发现发芽频率逐渐稳定到0.8附近，

∴该品种油菜籽发芽概率的估计值0.8；

【小问3详解】

8000×0.8=6400，

答：估计第7批油菜籽在相同条件下进行发芽试验时的发芽粒数为6400．

【点睛】考查了利用频率估计概率的知识，解题的关键是了解：大量反复试验下频率稳定值即概率．用到的知识点为：频率=所求情况数与总情况数之比．

21. 某学校开展课外球类特色的体育活动，决定开设A：羽毛球、B：篮球、C：乒乓球、 D：足球四种球类项目．为了解学生最喜欢哪一种活动项目（每人只选取一种），随机抽取了部分学生进行调查，并将调查结果绘成如甲、乙所示的统计图，请你结合图中信息解答下列问题．

（1）样本中最喜欢A项目的人数所占的百分比为       ，其所在扇形统计图中对应的圆心角度数是            度；

（2）请把条形统计图补充完整；

（3）若该校有学生3000人，请根据样本估计全校最喜欢足球的学生人数约是多少？

【答案】（1）40%，144；（2）见详解；（3）600人

【解析】

【分析】（1）根据各项目百分比之和为1可得，再用A的百分比乘以360度可得答案；
（2）先求出总人数，再根据A项目所占百分比求得其人数，即可补全条形图；
（3）用总人数乘以D项目所占百分比可得答案．

【详解】解：（1）样本中最喜欢A项目的人数所占的百分比为1-30%-10%-20%=40%，
其所在扇形统计图中对应的圆心角度数是360°×40%=144度，
故答案为40%，144；
（2）本次抽查的学生人数是：15÷30%=50（人），
∴喜欢A：篮球的人数是：50-15-5-10=20（人），
作图如下：

（3）3000×20%=600人，
答：根据样本估计全校最喜欢足球的学生人数约是600人．

【点睛】本题考查了条形统计图和扇形统计图，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．

22. 如图，在四边形中，，分别是、的中点，、分别是、的中点．

（1）求证：四边形是平行四边形；

（2）若，探究四边形的形状，并说明理由．

【答案】（1）见解析    （2）四边形的形状是菱形，理由见解析

【解析】

【分析】（1）利用三角形的中位线定理等量代换得出EGHF，且EG＝HF，即可证得四边形EGFH是平行四边形；

（2）利用三角形的中位线定理求出GE＝GF，根据菱形的判定可得到结论．

【小问1详解】

证明：∵E，G分别是AD，BD的中点，

∴EGAB，且EG＝AB，

同理可证：HFAB，且HF＝AB，

∴EGHF，且EG＝HF，

∴四边形EGFH是平行四边形；

【小问2详解】

解：四边形EGFH是菱形，

理由：∵G，F分别是BD，BC的中点，

∴GF＝CD，

由（1）知GE＝AB，四边形EGFH是平行四边形，

又∵AB＝CD，

∴GE＝GF，

∴平行四边形EGFH是菱形．

【点睛】本题考查的是三角形中位线定理的应用，平行四边形和菱形的判定，掌握三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半和一组邻边相等的平行四边形是菱形是解题的关键．

23. 已知：如图，在中，，，垂足为点，是外角的平分线，，垂足为点，

（1）求证：四边形为矩形；

（2）当满足什么条件时，四边形一个正方形？并给出证明．

【答案】（1）见解析    （2）当满足时，四边形是一个正方形，理由见解析

【解析】

【分析】根据，，可知，根据是外角的平分线，，进而可知，根据，，可得，进而可证四边形为矩形；

根据，可得，根据，可知，进而可知，四边形为矩形，进而可知矩形是正方形．

【小问1详解】

证明：在中，，，

，

是外角的平分线，

，

，

又，，

，

四边形为矩形．

【小问2详解】

当满足时，四边形是一个正方形，

理由：，

，

，

，

，

四边形为矩形，

矩形是正方形，

当时，四边形是一个正方形．

【点睛】本题考查角平分线的性质，矩形的判定，正方形的判定，熟练掌握特殊平行四边形的判定是解决本题的关键．

24. 如图，矩形的顶点，分别在菱形的边，上，顶点、在菱形的对角线上. 

（1）求证：；   

（2）若为中点，，求菱形的周长．

【答案】（1）证明见解析；（2）8.

【解析】

【分析】（1）根据矩形的性质得到EH=FG，EH∥FG，得到∠GFH=∠EHF，求得∠BFG=∠DHE，根据菱形的性质得到AD∥BC，得到∠GBF=∠EDH，根据全等三角形的性质即可得到结论；

（2）连接EG，根据菱形的性质得到AD=BC，AD∥BC，求得AE=BG，AE∥BG，得到四边形ABGE是平行四边形，得到AB=EG，于是得到结论．

【详解】证明：（1）∵四边形EFGH是矩形，

∴EH=FG，EH∥FG，

∴∠GFH=∠EHF，

∵∠BFG=180°-∠GFH，∠DHE=180°-∠EHF，

∴∠BFG=∠DHE，

∵四边形ABCD是菱形，

∴AD∥BC，

∴∠GBF=∠EDH，

∴△BGF≌△DEH（AAS），

∴BG=DE；

（2）连接EG，

∵四边形ABCD是菱形，

∴AD=BC，AD∥BC，

∵E为AD中点，

∴AE=ED，

∵BG=DE，

∴AE=BG，AE∥BG，

∴四边形ABGE是平行四边形，

∴AB=EG，

∵EG=FH=2，

∴AB=2，

∴菱形ABCD的周长=8．

【点睛】本题考查了菱形性质，矩形的性质，全等三角形的判定和性质，正确的识别作图是解题的关键．

25. 定义：若两个分式的差为2，则称这两个分式属于“友好分式组”．

（1）下列3组分式：

①与；②与；③与．其中属于“友好分式组”的有        （只填序号）；

（2）若正实数a，b互为倒数，求证与属于“友好分式组”；

（3）若a，b均为非零实数，且分式与属于“友好分式组”，求分式的值．

【答案】（1）②③    （2）证明见解析   

（3）或

【解析】

【分析】（1）根据给出的“友好分式组”定义把每一组的分式相减看结果来判断；

（2）根据a，b互为倒数，得ab=1，把 代入计算出结果即可；

（3）根据分式与属于“友好分式组”，得求出①a=-4b，②ab=4b2-2a2，分别把①②代入分式求出结果即可．

【小问1详解】

解：①

②；

③

则

∴属于“友好分式组”的有②③．

故答案为：②③

【小问2详解】

∵a，b互为倒数，

∴ab=1，，

∴

∴与属于“友好分式组”

【小问3详解】

∵a，b均为非零实数，且分式与属于“友好分式组”，

或

把①代入

把②代入

∴的值为或

【点睛】本题考查了分式的加减运算，求解分式的值，熟练掌握分式加减法的法则，对新定义的理解是解题关键．

26. 如图1，正方形的边长为1，为边上一点（不与点、重合），垂直于的一条直线分别交、、于点、、．

（1）①求证：；

②连接、、，直接写出四边形的面积S的取值范围．

（2）如图2，若垂足为的中点，连接，交于点，连接，求的度数．

（3）如图3，当垂足在正方形的对角线上时，作，垂足为，点在边上运动过程中，的长度是否变化？若不变，求出的长；若变化，说明变化规律．

【答案】（1）①见解析；②四边形的面积S的取值范围为   

（2）   

（3）不变，

【解析】

【分析】（1）①过点B作于点F．由正方形的性质结合所作辅助线可得出四边形MBFN为平行四边形，即得出MN=BF，，从而得出，进而可证明．即可利用“ASA”证明，得出AE=BF，从而证明AE=MN；②由，可得出，再根据，即得出，从而得出；

（2）连接AF，过点F作，分别交AD，BC于点H，I．由所作辅助线即可得出，．由BD是正方形ABCD的对角线，可得出，即证明是等腰直角三角形，得出HD=HF，AH=FI．再根据线段垂直平分线的判定和性质得出AF=FE．即可利用“HL”证明，得出，从而可求出，即可求出；

（3）过点P作于点Q，于点G，延长MN，使PF=PN，连接AF、BF、AN，过点N作，交BD于点K．由所作辅助线结合题意易求出，即可利用“ASA”证明，得出，从而得出，进而可证明，即可利用“SAS”证明，得出，即说明F，B，C三点共线．由平行线的性质和等腰三角形的性质可证明出DH=HK．又可证明(ASA)，得出BP=PK，从而得出．

【小问1详解】

①证明：由正方形的性质可知，，．

如图，过点B作于点F．

∴四边形MBFN为平行四边形，

∴MN=BF，，

∴．

∵，

∴．

∴在和中，

∴(ASA)，

∴AE=BF，

∴AE=MN；

②∵，

∴，

∵E为边BC上一点（不与点、重合），

∴．

∵正方形的边长为1，

∴，，

∴，

∴；

【小问2详解】

如图，连接AF，过点F作，分别交AD，BC于点H，I，

∵四边形ABCD是正方形，

∴．

∵，

∴，

∴四边形ABIH为矩形，

∴，．

∵BD是正方形ABCD的对角线，

∴，

∴是等腰直角三角形，

∴HD=HF，AH=FI．

∵MN是AE的垂直平分线，

∴AF=FE．

∴在Rt和Rt中，

∴(HL)，

∴，

∴，

∴，

∴是等腰直角三角形，

∴；

【小问3详解】

PH的长度不变，理由如下：

过点P作于点Q，于点G，延长MN，使PF=PN，连接AF、BF、AN，过点N作，交BD于点K，

∵四边形ABCD是正方形，

∴．

∵，，

∴，．

∵，

∴．

又∵，

∴(ASA)，

∴．

又∵，

∴．

∵PF=PN，，

∴AF=AN，

∴，

∴，

∴．

又∵AB=AD，

∴(SAS)，

∴，

∴，

∴F，B，C三点共线．

∵，

∴，，

∴DN=KN．

又∵，

∴DH=HK．

∵，

∴．

又∵，PN=PF，

∴(ASA)，

∴BP=PK，

∴．

【点睛】本题考查正方形的性质，矩形的判定和性质，三角形全等的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质以及勾股定理等知识，综合性强，困难题型．正确的作出辅助线是解题关键．