高中数学北师大版 (2019)必修 第二册1.2 复数的几何意义综合训练题

【优编】1.2 复数的几何意义-1课时练习

一．填空题

1．设是虚数单位，若复数是纯虚数，则实数___________

2．若复数满足，则的最大值减最小值为___________.

3．复数满足，则的最大值是______．

4．若复数满足，则的最小值为__________．

5．设复数（是虚数单位），若复数满足，则的最小值是_____

6．已知复数满足（其中为虚数单位），则的最小值为________．

7．在复平面内，复数对应的点在第一象限，则实数的取值范围为______.

8．欧拉公式（为虚数单位）是由瑞士著名数学家欧拉发明的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，根据欧拉公式可知，表示的复数在复平面中位于__________象限.

9．已知，则___________.

10．已知，则的最大值是______．

11．设复数 ，( 是虚数单位），则 ________________．

12．已知复平面内平行四边形中，点对应的复数为，对应的复数为，对应的复数为，则点对应的复数为__________.

13．若，，则复数________．

14．设平面向量满足：，，，，则的最大值为_____．

15．已知复数z满足，则复数z在复平面内所对应的点Z的轨迹为___________．

参考答案与试题解析

1．【答案】

【解析】分析：利用纯虚数的定义直接求解．

详解：解：因为是虚数单位，复数是纯虚数，

，

解得实数．

故答案为：．

2．【答案】2

【解析】分析：根据得到复数在复平面内的轨迹，再根据圆的性质和复数的几何意义求解即可.

详解：设复数,由，得

所以点在圆及其圆内.

所以表示点与两点间的距离.

的圆心，半径为1.则

点与两点间的距离的最大值为，最小值为

所以的最大值减最小值为

故答案为：2

3．【答案】49

【解析】分析：利用复数的几何意义，得到复数对应的图形，由图形求出的最大值.

详解：解：设复数在复平面内对应的点坐标为，复数满足，则的几何意义为复平面内到点的距离为2的点的集合，即以为圆心，以2为半径的圆.

，其几何意义为复平面内点到原点距离的平方，所以的最大值为圆心到原点的距离加半径的平方，即.

故答案为：49

4．【答案】4

【解析】分析：根据复数模的几何意义得出复数对应的点的轨迹是以为圆心，半径为1的圆，然后再根据的几何意义求最小值即可.

详解：因为复数满足，

则复数对应的点的轨迹是以为圆心，半径为1的圆，

又表示复数对应的点与点之间的距离，

所以的最小值为．

故答案为：4.

5．【答案】2

【解析】分析：依题意可知，复数对应的点的轨迹是以为焦点，实半轴，半焦距的双曲线的右支（如图），然后根据双曲线的性质可得结果.

详解：因为，，所以复数在复平面内对应的点，之间的距离为.

因为，故对应的点的轨迹是以为焦点，实半轴，半焦距的双曲线的右支（如图）.

而，其对应点是的中点.

所以的最小值即为双曲线右支到双曲线中心的最小距离，故的最小值是.

故答案为：.

6．【答案】

【解析】分析：由复数的几何意义可得满足题意的复数对应的点P到复数1和对应点，距离相等，即轨迹为线段AB的垂直平分线,则的最小值即可转化为点到垂直平分线的距离求解．

详解：

如图所示,设复数，1，对应的点分别为，，,

由题意得即点P的轨迹为线段AB的垂直平分线,

由平面几何知识可求得垂直平分线的方程为:,

由,

所以的最小值即为点到直线的距离,则由,即的最小值为．

故答案为: ．

【点睛】

本题考查了复数的几何意义,复数模的几何意义及其运算,重点考查了运算能力,属于中档题．

7．【答案】

【解析】分析：由题意可得，解不等式组可求出实数的取值范围

详解：解：因为在复平面内，复数对应的点在第一象限，

所以，解得，

所以实数的取值范围为，

故答案为：

8．【答案】第一

【解析】分析：根据欧拉公式，化简得到，得到复数在复平面内对应的点，即可求解.

详解：由欧拉公式，可得，

可得复数再复平面内表示的点的坐标为位于第一象限.

故答案为：第一

9．【答案】

【解析】分析：利用复数模的运算性质，即可得到结果.

详解：

.

故答案为：

10．【答案】3

【解析】分析：由复数模的几何意义求解．

详解：，则对应的点在以原点为圆心，1为半径的圆上，的最大值就是求圆上的点到点的距离的最大值，

因为，所以最大值为．

故答案为：3.

11．【答案】

【解析】分析：由复数模的定义计算．

详解：由已知．

故答案为：．

12．【答案】

【解析】分析：利用复数的几何意义？向量的坐标运算性质？平行四边形的性质即可得出.

详解：因为点对应的复数为，对应的复数为，

所以点，，

设，则可得，所以点，

因为四边形是平行四边形，所以，

因为对应的复数为，所以，

设，则，

解得：，所以点的坐标为，

所以点对应的复数为，

故答案为：.

13．【答案】

【解析】分析：先将条件化简为，再根据复数相等求出的值，得出答案.

详解：由 可得，则

所以

故答案为：

14．【答案】3

【解析】分析：建立坐标系根据向量的坐标表示，结合复平面知识求解出结果.

详解：建立如图所示的直角坐标系，设

则点B在以点（2，0）为圆心，以1为半径的圆上，

即，而点B对应的复数为，点C对应的复数为=

所以，又

所以

=

==

设，即②

由①②得，即，

即，所以，的最大值为3.

故答案为：3.

15．【答案】以为端点的线段

【解析】分析：根据复数的几何意义分析即可

详解：设复数，因为，根据复数的几何意义知，表示点到的距离和为2，而，故点Z的轨迹为以为端点的线段．

故答案为：以为端点的线段