必修 第二册2.2 两角和与差的正弦、正切公式及其应用课后练习题

【精挑】2.2 两角和与差的正弦、正切公式及其应用-2练习

一．填空题

1．已知α为第二象限角，且，则________.

2．已知则________，________．

3．如图，三个全等的正方形排成一排，设，，则______.

4．已知，则________.

5．在△ABC中，当取最大值时，△ABC内切圆的半径为___.

6．________．

7．已知，且，则的值为_____

8．已知，则________.

9．△ABC中，，，则=_____．

10．函数的单调递增区间为______.

11．在中，是方程的两根，则_______．

12．____________

13．已知，则的值为________

14．已知，则的值为______.

15．已知，，则______．

参考答案与试题解析

1．【答案】

【解析】由同角三角函数的基本关系求出，根据两角和的正切公式计算即可.

详解：因为α为第二象限角，且，

所以，

所以，

所以.

故答案为：

【点睛】

本题主要考查同角三角函数的关系，和角的正切公式，特殊角的三角函数等基础知识，考查运算求解能力，应用意识，属于容易题.

2．【答案】     

【解析】将条件变形，然后两式平方相加即可得到，再通过条件推出所以在范围，即可得.

详解：解：由已知得，

将上述两式两边同时平方后相加可得

，

整理得，

即，

又由已知，

则，

又，，

则，

.

故答案为：；.

【点睛】

本题考查两角和与差的余弦公式，考查同角三角函数的平方关系，注意求角一定要确定角所在范围，是中档题.

3．【答案】

【解析】设正方形的边长为1，求出和后，根据两角差的正切公式计算可得.

【详解】

设正方形的边长为1，

则，，

∴.

故答案为：

【点睛】

本题考查了两角差的正切公式，属于基础题.

4．【答案】

【解析】由两角和的余弦公式及二倍角公式求得，由题意可求，代入求解即可.

详解：由，

得，

又.

故答案为：.

【点睛】

本题考查两角和与差的余弦公式，正切齐次式求值，熟记公式，准确化为二次齐次式是关键，属于中档题.

5．【答案】

【解析】设，与两式平方相加化简可得，再利用余弦函数的值域得到当且仅当，即，t取得最大值，从而得到角A，B，再根据，求得边a，b，然后利用等面积法求解.

详解：设，又

所以则，

所以，

当且仅当时，，

即当，

即时，取最大值，

又因为，

所以在△ABC中，，

设△ABC内切圆的半径为r，则，

解得.

故答案为：

【点睛】

本题主要考查两角和与差的三角函数，平方关系，余弦函数的值域以及三角形的内切圆问题，还考查了运算求解的能力，属于中档题.

6．【答案】2

【解析】先将原式展开，再由得到与之间关系，进而可得出结果.

详解：因为，

又，所以，

所以.

故答案为2

【点睛】

本题主要考查两角和的正切公式，熟记公式即可，属于基础题型.

7．【答案】.

【解析】先利用正切两角和公式求出，再利用二倍角公式求出，最后根据正切的两角差公式计算出，最后根据角的范围确定出的值.

详解：解：因为，所以.又因为，所以.

所以.

因为，所以，所以.

故答案为：.

【点睛】

本题考查三角函数求值，关键是和差角公式的灵活应用，属于中档题.

8．【答案】-3.

【解析】由两角差的正切公式展开，解关于的方程．

详解：因为，所以．

【点睛】

本题考查两角差正切公式的简单应用，注意公式的特点：分子是减号，分母是加号．

9．【答案】

【解析】三角形中，,由，得又,所以有正弦定理得即即A为锐角，由得，因此

考点：正余弦定理

10．【答案】

【解析】化简得到，取，，解得答案.

详解：，取，，

解得.

故答案为：.

【点睛】

本题考查了三角函数的单调区间，意在考查学生的计算能力.

11．【答案】

【解析】根据韦达定理以及两角和的正切公式计算即可.

详解：由题可知：是方程的两根

所以

所以

故答案为：

【点睛】

本题主要考查两角和的正切公式，牢记公式，细心计算，属基础题.

12．【答案】

【解析】因为，

所以，则tan20° +tan40°+tan20°tan40°．

1【题文】已知函数，则不等式的解集为__________．

【答案】

【解析】

，所以解得，所以，解得

13．【答案】

【解析】由两角差的正切公式计算．

详解：由题意．

故答案为：．

【点睛】

本题考查两角差的正切公式，属于基础题．

14．【答案】

【解析】由题易得，然后结合题中条件由余弦的二倍角公式直接计算即可.

详解：.

故答案为：.

【点睛】

本题考查余弦二倍角公式，侧重考查对基础知识的理解和掌握，考查计算能力，属于基础题.

15．【答案】

【解析】先求出，然后，展开计算即可.

详解：因为，，所以

所以

故答案为：

【点睛】

解决本类问题的基本思想是用已知角和特殊角来表示所求角.