北师大版 (2019)必修 第二册2.2 两角和与差的正弦、正切公式及其应用课时练习

【特供】2.2 两角和与差的正弦、正切公式及其应用-2作业练习

一．填空题

1．如图，在边长为1的正方形ABCD中，P，Q分别在边BC，CD上，且，则的大小为__________．

2．已知，则________.

3．已知，则_________．

4．________．

5．已知，若 ，则         ．

6．函数的单调递增区间为______.

7．函数的最小值是____________.

8．若函数的最大值为2，则常数的一个取值为________．

9．在锐角中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．若，且，则的最大值为__________．

10．若锐角满足，则______.

11．已知，，则__，__．

12．已知，且，则的值为_____

13．已知且，则______.

14．的值为_________.

15．已知，则_____．

参考答案与试题解析

1．【答案】

【解析】先分别设，，则在中，由勾股定理得，再分别表示出，，之后利用正切的和角公式求即可解决.

详解：解：设，，则，，

因为是直角三角形，，

所以由勾股定理得：，化简得,

在中，，

在中，，

所以，

又因为，所以，

故答案为：

【点睛】

本题主要考查正切的和角公式，数据处理能力与运算能力，是中档题.

2．【答案】

【解析】由两角和的余弦公式及二倍角公式求得，由题意可求，代入求解即可.

详解：由，

得，

又.

故答案为：.

【点睛】

本题考查两角和与差的余弦公式，正切齐次式求值，熟记公式，准确化为二次齐次式是关键，属于中档题.

3．【答案】

【解析】利用诱导公式和辅助角公式可得，再利用二倍角公式可求的值.

详解：

，

．

．

故答案为：．

【点睛】

三角函数的中的化简求值问题，我们往往从次数的差异．函数名的差异．结构的差异和角的差异去分析，处理次数差异的方法是升幂降幂法，解决函数名差异的方法是弦切互化，而结构上差异的处理则是已知公式的逆用等，最后角的差异的处理则往往是用已知的角去表示未知的角.

4．【答案】2

【解析】先将原式展开，再由得到与之间关系，进而可得出结果.

详解：因为，

又，所以，

所以.

故答案为2

【点睛】

本题主要考查两角和的正切公式，熟记公式即可，属于基础题型.

5．【答案】

【解析】因为，，所以，所以，所以答案应填：．

考点：1．同角三角函数的基本关系；2．两角和的正弦公式．

6．【答案】

【解析】化简得到，取，，解得答案.

详解：，取，，

解得.

故答案为：.

【点睛】

本题考查了三角函数的单调区间，意在考查学生的计算能力.

7．【答案】2

【解析】利用两角和的正弦．余弦公式化简函数解析式为正弦型函数，根据正弦函数的范围即可求得函数的最小值.

详解：

，

，.

故答案为：2

【点睛】

本题考查两角和与差的正弦．余弦公式，属于基础题.

8．【答案】（均可）

【解析】根据两角和的正弦公式以及辅助角公式即可求得，可得，即可解出.

详解：因为，

所以，解得，故可取.

故答案为：（均可）.

【点睛】

本题主要考查两角和的正弦公式，辅助角公式的应用，以及平方关系的应用，考查学生的数学运算能力，属于基础题.

9．【答案】

【解析】由已知应用两角和的正弦公式和诱导公式得，结合正弦定理可求得，从而可得，利用两角和的正切公式与基本不等式可得的最小值，从而得题设结论．

详解：由得，

所以，所以，

∴

即，又为锐角，∴，

所以，当且仅当时等号成立，

解得，所以．

故答案为：．

【点睛】

本题考查两角和的正弦公式．正切公式，考查诱导公式，正弦定理．三角函数问题中对角的认识尤其重要，观察已知角的未知角的关系，确定选用公式，才能寻找到正确的解题思路．

10．【答案】

【解析】利用两角和余弦公式化简，两边平方可得的值，利用齐次式化弦为切，求的值，进而求出的值，利用两角和的正弦公式，可得结果.

详解：锐角满足，，

两边平方可得：，

，

即，解得或，

因为为锐角，，，

故答案为：

【点睛】

本题主要考查三角恒等变型，两角和的正．余弦公式与二倍角公式，考查数学运算能力和逻辑推理能力，属于中档题目.

11．【答案】    ﹣ 

【解析】直接利用和角及差角公式的余弦和同角三角函数关系式的应用求出结果．

详解：解：由于，故：①，

同理：，故②，

①②得：，

故：

②①得：，

故：，

则：．

故答案为：；.

【点睛】

本题考查的知识要点：三角函数关系式的变换，同角三角函数关系式的变换，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题．

12．【答案】.

【解析】先利用正切两角和公式求出，再利用二倍角公式求出，最后根据正切的两角差公式计算出，最后根据角的范围确定出的值.

详解：解：因为，所以.又因为，所以.

所以.

因为，所以，所以.

故答案为：.

【点睛】

本题考查三角函数求值，关键是和差角公式的灵活应用，属于中档题.

13．【答案】

【解析】根据化简可得，由可得，利用诱导公式求即可.

详解：由

则，

因为，

所以，

由，可得，

所以.

【点睛】

本题考查正弦的二倍角公式，诱导公式，角的变换，考查运算求解的能力，属于中档题.

14．【答案】

【解析】由题可知，通过逆用和两角和的正切公式，化简即可得出结果.

详解：依题意得，

.

故答案为：.

【点睛】

本题主要考查正切函数的化简求值，还利用和两角和的正切公式的逆运算以及特殊角的三角函数值.

15．【答案】

【解析】由已知结合诱导公式及同角平方关系进行化简即可求解．

详解：因为，

所以,又，

所以，

则＝

,

故答案为：．

【点睛】

本题考查诱导公式的综合运用，考查函数与方程思想．转化与化归思想，考查运算求解能力.