2022-2023学年天津市津南区咸水沽第二中学高一上学期第一次月考数学试题（解析版）

2022-2023学年天津市津南区咸水沽第二中学高一上学期第一次月考数学试题

一、单选题

1．已知，则实数a的值为（    ）

A．3 B．5 C．3或5 D．无解

【答案】B

【分析】根据元素与集合关系分类讨论，并验证集合的互异性，即可求解.

【详解】因为，当时，，不符合集合的互异性，故舍去；

当时，，集合为，符合集合互异性，故.

故选：B

2．已知集合，，，则是

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】首先根据条件求出，然后再根据并集的定义求出即可.

【详解】解：因为，，所以，则.

故选:A.

【点睛】本题考查集合补集以及并集的运算，属于基础题.

3．命题“，”的否定是（      ）

A．， B．，

C．， D．，

【答案】C

【分析】将特称命题否定为全称命题即可

【详解】命题“，”的否定是“，”，

故选：C

4．设p：实数x，y满足x＞1且y＞1，q：实数x，y满足x＋y＞2，则p是q的(　　)

A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．充要条件

D．既不充分也不必要条件

【答案】A

【详解】“若且则”是真命题，其逆命题是假命题，故是的充分不必要条件,故选A.

5．下列关系中正确的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】根据集合与集合的关系逐项分析即得.

【详解】对于A, ，故A错误；

对于B，空集为任何一个非空集合的真子集，故B正确；

对于C， 的元素为0,1，而的元素为点，二者没有包含关系，故C错误；

对于D, 表示不同的点，故，故D错误.

故选：B.

6．若a，，下列命题正确的是（    ）

A．若，则 B．，若，则

C．若，，则 D．，，若，则

【答案】C

【分析】利用不等式的性质，检验各选项是否正确

【详解】时，，其中的符号不确定，故A选项错误；

，有，时，有，故B选项错误；

，，由，则，即，故C选项正确；

，，时，，其中的符号不确定，故D选项错误.

故选：C

7．关于的不等式的解集为（       ）

A．或 B．

C． D．或

【答案】D

【分析】原不等式转化为，求解集即可.

【详解】由，解得或.

故选：D

8．若，则有（    ）

A．最小值8 B．最小值14 C．最大值14 D．最大值8

【答案】B

【分析】利用基本不等式即得.

【详解】因为，由基本不等式可得，

当且仅当，即时，等号成立，

所以，当时，则有最小值.

故选：B.

9．若不等式和不等式的解集相同，则的值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】先解出，得到-2和是的两个根，利用根与系数的关系即可求出ab，可以求出a+b.

【详解】由解得：，

所以-2和是的两个根，

所以，解得：a=-4，b=-9.

所以.

故选：B.

10．若不等式对一切恒成立，则实数的取值范围是（    ）

A． B．

C． D．或

【答案】C

【分析】分两种情况讨论即可，当时为二次函数，若小于0恒成立，可用开口和控制

【详解】当，即时，不等式为，对一切恒成立．

当时，则

即，解得．

所以实数的取值范围是．

故选：C

二、填空题

11．已知，，则___________.

【答案】

【分析】根据补集的定义计算可得；

【详解】解：因为，，

所以或；

故答案为：

12．集合，则集合的子集个数为______．

【答案】8

【分析】由题意用列举法写出集合，然后推出子集个数.

【详解】因为集合，所以，则集合子集个数有个.

故答案为：8

13．若，，则与的大小关系是______．

【答案】

【分析】利用作差法，平方法即可比较大小.

【详解】解：因为，，

所以

又因为

所以，所以，则.

故答案为：.

14．“”是“”的______条件．（填“充分不必要”或“必要不充分”或“充分必要”或“既不充分又不必要”）

【答案】必要不充分

【分析】由可得，然后根据充分条件必要条件的定义即得.

【详解】由，可得，

由可推出，而由推不出，

所以“”是“”的必要不充分条件.

故答案为：必要不充分.

15．不等式的解集是____________.

【答案】##

【分析】根据题意将化为，利用分式不等式的解法解分式不等式即可.

【详解】可化为，

，等价于，

解得，

所以不等式的解集是，

故答案为：.

16．若正数满足，则的最小值为______.

【答案】16

【分析】利用基本不等式求得的最小值.

【详解】依题意，

当且仅当，即时等号成立.所以的最小值为.

故答案为：

【点睛】本小题主要考查基本不等式求最值，属于基础题.

17．已知关于的不等式在上恒成立，则实数的取值范围是__________.

【答案】

【解析】结合二次函数的性质易得结论．

【详解】由题意，解得．

故答案为：

18．已知实数x，y满足，，则的取值范围是___________．

【答案】

【分析】设，得，，得到，计算范围得到答案.

【详解】设，

故，解得，，，，

故，故.

故答案为：.

三、解答题

19．设全集，，.

求（1），；

（2）.

【答案】（1），；（2）.

【分析】（1）利用并集和交集的定义可分别求得集合、；

（2）利用补集和交集的定义可求得集合.

【详解】（1）因为，，

因此，，；

（2）因为全集，

所以，，，因此，.

20．已知集合P＝{x|a＋1≤x≤2a＋1}，Q＝{x|x2－3x≤10}．

(1)若a＝3，求(∁RP)∩Q；

(2)若P∪Q＝Q，求实数a的取值范围．

【答案】(1) {x|－2≤x＜4};(2) (－∞，2]

【分析】（1）解一元二次不等式得集合Q，再根据补集与交集定义求结果，（2）先根据条件得集合之间包含关系，再根据Q是否为空集分类讨论，最后求并集.

【详解】(1)因为a＝3，所以P＝{x|4≤x≤7}，

∁RP＝{x|x<4或x>7}．

又Q＝{x|x2－3x－10≤0}＝{x|－2≤x≤5}，所以(∁RP)∩Q＝{x|x<4或x>7}∩{x|－2≤x≤5}＝{x|－2≤x＜4}．

(2)当P≠∅时，由P∪Q＝Q得P⊆Q，

所以解得0≤a≤2；

当P＝∅，即2a＋1<a＋1时，有P⊆Q，得a<0.

综上，实数a的取值范围是(－∞，2]．

【点睛】防范空集.在解决有关等集合问题时，往往忽略空集的情况，一定先考虑是否成立，以防漏解.

21．

(1)设，，且．求ab的最大值及对应的a和b．

(2)已知，求的最小值及对应的t．

(3)若，求的最小值及对应的x．

【答案】(1)4，

(2)-2，

(3)15，

【分析】运用基本不等式计算即可.

【详解】（1） ，当且仅当=2 时，等号成立， 的最大值为4；

（2） ，当并且仅当 时等号成立，y的最小值时-2；

（3），

， 当且仅当 ，即 时等号成立，原式的最小值是15；

综上，（1） ，最小值是4,；（2） ，最小值是-2；（3） ，最小值是15.

22．设函数．

(1)若不等式的解集，求a，b的值；

(2)若，

①，，求的最小值；

②若的解集为，求实数a的取值范围．

【答案】(1)a=-3，b=2

(2)① 9；②

【分析】（1）根据一元二次不等式解集，可以得出对应一元二次方程的解，求出a，b的值；

（2）①由已知，得，根据“1”的代换，用基本不等式求最小值；②的解集为，等价于的解集为，又二次项系数不为0，根据条件列出不等式组解出即可.

【详解】（1）∵不等式的解集，

∴-1和1是方程的两个解，

则有，解得

（2）①由已知，得，所以，

又，，则，

当且仅当，且，，，即时等号成立，

所以，的最小值为9.

②原题可化为的解集为，

等价于，不等式的解集为R.

∵，则应满足

解得，