2022-2023学年四川省成都市嘉祥教育集团高一上学期期中监测数学试题（解析版）

2022-2023学年四川省成都市嘉祥教育集团高一上学期期中监测数学试题

一、单选题

1．已知集合，集合，则集合( )

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】根据并集的概念即可得出答案.

【详解】集合，集合，所以，

故选：D.

2．命题“，x + 1>0”的否定为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】根据给定条件，利用含有一个量词的命题的否定求解作答.

【详解】命题“，x + 1>0”是全称量词命题，其否定是存在量词命题，

所以命题“，x + 1>0” 的否定是.

故选：B

3．函数的定义域为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】列出函数有意义的条件，解不等式组即可.

【详解】函数有意义，则有，解得且，所以函数定义域为，

故选：C．

4．高一某班有学生46人，其中体育爱好者有40人，音乐爱好者有38人，还有3人既不爱好体育也不爱好音乐，则该班既爱好体育也爱好音乐的学生人数为（    ）

A．26 B．29 C．32 D．35

【答案】D

【分析】设未知数，利用容斥原理，得到方程，解出即可.

【详解】设既爱好体育又爱好音乐的人数为,则仅爱好体育的人数为,仅爱好音乐的人数为.因为既不爱好体育又不爱好音乐的人数为3,所以,

解得.

故选：D．

5．要制作一个容积为8 m3，高为2 m的无盖长方体容器．已知该容器的底面造价是每平方米40元，侧面造价是每平方米20元，则该容器的最低总造价为（    ）

A．360元 B．420元 C．480元 D．600元

【答案】C

【分析】设出容器底面长与宽，根据给定条件，列出容器造价的表达式，借助均值不等式求解作答.

【详解】设容器底面长与宽分别为xm和ym，依题意，2xy = 8，即xy = 4，

于是得该容器总造价为，

当且仅当x = y = 2时取等号，

所以该容器的最低总造价为480元.

故选：C

6．任给，对应关系使方程的解与对应，则是函数的一个充分条件是（    ）

A．  B．  C．  D．

【答案】A

【分析】根据函数的定义，，，则的范围要包含.

【详解】根据函数的定义，对任意，按，在的范围中必有唯一的值与之对应，，则，则的范围要包含，

故选：A．

7．已知正整数集合，，其中．若，且，则中所有元素之和为（    ）

A．52 B．56 C．63 D．64

【答案】A

【分析】由题意可得，从而可求的值，根据可求，由并集运算可得，从而可求元素之和.

【详解】解：因为，且，所以.

所以.

由，可得.

故由可得.

所以.

故,.

所以,所有元素之和为52.

故选:A．

8．若实数、满足，则的最大值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】令，，则，，可得出，利用基本不等式可求得的最大值.

【详解】令，，则，，且，

所以，，

当且仅当时，等号成立.

因此，的最大值为.

故选：C.

二、多选题

9．下列各组函数中，是相同函数的是（    ）

A．与 B．与y = x－1

C．与 D．与

【答案】AC

【分析】根据函数定义域和对应关系是否相同，对每个选项进行逐一分析和判断，即可选择.

【详解】对：函数定义域均为全体实数，且，

两函数对应关系相同，是同一个函数；

对B：的定义域为，的定义域为，

两函数定义域不同，故不是同一个函数；

对C：两函数定义域均为全体实数，且对应关系相同，故是同一个函数；

对D：的定义域为，的定义域为，

两函数定义域不同，故不是同一个函数.

故选：AC.

10．已知集合，，若，则实数a的值可以为（    ）

A．2 B．1 C． D．0

【答案】BCD

【分析】由题意，分类讨论求解集合并验证即可.

【详解】方程解得或，∴，

当时，方程解得，则，满足，选项D正确；

当时，方程解得，则，满足，选项B正确；

当且时，方程解得或，则，要满足，则，即，选项C正确；

故选：BCD．

11．下列命题中，真命题的是（    ）

A．若a＞b，c＞d，则ac＞bd B．若ac2＞bc2，则a＞b

C．若a＜b＜0，则b2＜ab＜a2 D．若a＞b＞0，则

【答案】BC

【分析】利用不等式性质对选项逐一判断即可.

【详解】对选项A，如反例a = 2，b =－1，c = 0，d =－1，故错误；

对选项B，显然c≠0，而c2＞0，两边同时除以c2得a＞b，故正确；

对选项C，首先得b2，ab，a2 均为正数，且∣a∣＞∣b∣，可得b2＜ab＜a2成立，故正确；

对选项D，作差，要使结论成立，须ab＞1，如反例a = 2，b =，故错误．

故选：BC

12．已知函数，其定义域为D，则下列结论中正确的有（    ）

A．，

B．若关于x的方程有两个实数解，则实数m的取值范围为

C．若，则关于x的方程有两个不同的实数解

D．关于x的方程有两个不同的实数解

【答案】ABC

【分析】A根据解析式化简即可；B、C根据图象画出图象，并结合图象性质判断参数范围和交点个数；D研究和的值域范围即可判断.

【详解】A：，，正确；

B：由画出的图象如下，其渐近线为，

由图知：有两个实数解，则m的取值范围为，正确；

C：由恒过原点且斜率恒正，即图象恒过一、三象限，结合图象知：有两个实数解，正确；

D：由上分析知：值域为∪，

而，其在R上的值域为，

所以方程没有实数解，错误.

故选：ABC

三、填空题

13．用列举法表示集合为________．

【答案】##

【分析】直接根据集合的表示法写出即可.

【详解】，

故用列举法表示集合.

故答案为:.

14．命题“，方程有解”为假命题，则实数a的取值范围为________．

【答案】

【分析】命题为假命题，等价于一元二次方程没有实数根，判别式，可解实数a的取值范围.

【详解】命题“，方程有解”为假命题，∴一元二次方程没有实数根，判别式，解得，实数a的取值范围为.

故答案为：

15．关于x的不等式，对满足的任意正实数m，n都成立，则实数x的最大值为_________．

【答案】9

【分析】由基本不等式求出的最小值为9，所以恒成立，解出范围即可.

【详解】已知，，，由基本不等式，

有,

当且仅当，时取等号，所以，解得，

所以x的最大值为9．

故答案为：9

16．已知函数 满足，当时，不等式恒成立，则实数a的取值范围为_________．

【答案】

【分析】根据给定条件，可得函数在R上递减，再结合分段函数分段求解作答.

【详解】因，当时，不等式恒成立，则f(x)在R上单调递减，

由知，，则，

当时，，当时，在上单调递减，此时，解得，则，

当时，因函数在上单调递减，在上单调递增，

而函数在上单调递减，必有，解得，则，

所以实数a的取值范围为.

故答案为：

四、解答题

17．已知集合，，记全集．

(1)当时，求；

(2)若，求实数的取值范围．

【答案】(1)；

(2).

【分析】（1）根据交集与补集的运算求解即可；

（2）分与求解即可.

【详解】（1）（1）∵，

∴或.

当时，，

∴.

（2）当时，，符合题意；                                       

当时，，则，此时．

综上，实数的取值范围为．

18．已知最高次项系数为a的二次函数f(x)的两个零点为－3和1．

(1)若f(x)与y轴的交点为（0，－3），求f(x)在[－2，2 ]上的最小值；

(2)若f(x)在[－2，2 ]上的最大值为20，求a的值．

【答案】(1)－4

(2)－5或4

【分析】(1)设二次函数方程为两根式，用已知条件与y轴的交点为（0，－3）求得方程，结合给定区间求最值.

(2)分两种情况讨论，由抛物线方程可得对称轴为x =－1，则根据区间与对称轴的关系找到最大值点即可求得.

【详解】（1）由已知设 ，则，得a = 1．     

∴ f(x)= x2 + 2x－3 =（x + 1）2－4，                                   

抛物线开口向上，对称轴x =－1∈[－2，2 ]，偏左边，

故f(x)在[－2，2 ]上的最小值为f(x)min = f（－1）=－4．

（2）f(x)= a（x2 + 2x－3）= a（x + 1）2－4a，

抛物线的对称轴x =－1∈[－2，2 ]，偏左边．

当a＞0时，f(x)在[－2，－1 ]上单调递减，在[－1，2 ]上单调递增，         

∴ f(x)max = f(2)= 5a = 20 ,，解得a = 4．                                 

同理，当a＜0时，f(x)max = f（－1）=－4a = 20解得a =－5．

综上，a的值为－5或4．

19．已知，．

(1)分别求x与y的取值范围；

(2)求8x + y的取值范围．

【答案】(1)；；

(2).

【分析】（1）由，，根据不等式的性质即可求解；

（2）方法一：设8x + y = m（x－y）+ n（2x + y），求出,根据不等式的性质即可求解；

方法二：在平面直角坐标系中，作出四条直线 y = x + 2，y = x，y =－2x + 1，y =－2x + 3，设z = 8x + y，作出一次函数y =－8x + z的大致图象，数形结合即可求解.

【详解】（1）因为，，

所以，即，解得.

因为，所以，即.

所以，即，解得.

（2）方法一：

设8x + y = m（x－y）+ n（2x + y），

则，解得.

∴8x + y = 2（x－y）+ 3（2x + y）．                                       

又－4＜2（x－y）＜0，3＜3（2x + y）＜9，

因此 8x + y∈（－1，9）．

方法二：

在平面直角坐标系中，作出四条直线 y = x + 2，y = x，y =－2x + 1，y =－2x + 3，它们产生了四个交点，，，，

四个交点围成的阴影部分，有＜x＜1，＜y＜．

设z = 8x + y，作出一次函数y =－8x + z的大致图象，

设它经过点A、C时z =－1，z = 9，所以z = 8x + y∈（－1，9）．

20．已知函数

(1)我们在教材79页例3曾学习研究过函数的有关性质，试对比着将函数通过换元化为上述函数的情形，并求的最小值；

(2)判断在上的单调性，并用定义加以证明．

【答案】(1)（其中）；最小值为；

(2)函数在上单调递减，证明见解析

【分析】（1）设，，利用换元法整理，再利用基本不等式对的最小值即可；

（2）利用函数单调性的定义，结合作差，可得答案

【详解】（1）设，则，且，

于是，

又，

当且仅当，即时取等号，此时，

所以的最小值为；

（2）由（1）可得，

所以设，

则

因为，所以，

有即，

进而可得，

所以函数在上单调递减．

21．已知关于x的不等式的解集为P，不等式的解集为Q．

(1)当时，求集合P；

(2)若“”是“”的必要不充分条件，求实数a的取值范围．

【答案】(1)

(2)

【分析】(1) 把代入不等式，解此分式不等式，得解集P；

（2）因为“”是“”的必要不充分条件，所以是Q的真子集，转化为数集的包含关系，分类讨论，求解集合P，求实数a的取值范围．

【详解】（1）当时，不等式等价于，解得 ，

所以．

（2）不等式解得或，∴．                            

因为“”是“”的必要不充分条件，所以是Q的真子集．        

不等式等价于，               

当时，不等式解得，，此时符合题意；                              

当时，不等式解得，，此时符合题意；

当时，不等式解得或，，

此时符合题意需要，所以；

当时，不等式解得，，此时不符合题意；                  

当时，不等式解得或，，此时不符合题意．               

综上，实数的取值范围为．

22．已知函数，．

(1)若函数在上单调，求实数的取值范围；

(2)用表示，中的最小值，设函数，试讨论的图象与轴的交点个数．

【答案】(1)；

(2)具体见解析.

【分析】（1）根据二次函数的对称轴和区间之间的关系，列出不等式关系，求解即可；

（2）对参数进行分类讨论，结合的函数值范围，以及二次函数的特点，求解即可.

【详解】（1），其对称轴为，                   

若在单调递增，则，得；                       

若在上单调递减，则，得．

综上，实数的取值范围是．

（2）当时，；当时，；

当时，，

由题意知此时的图象与轴无交点，

下面讨论在上与轴的交点个数.

①当在上恒成立，有，得，

此时的图象与轴的交点为，即的图象与轴有个交点；                    

②当时，，

此时的图象与轴的交点为和，即的图象与轴有个交点；                                        

③ 当时，的对称轴，判别式，

（ⅰ）当，得时，

此时的图象在上与轴有两个交点，故的图象与轴共有个交点；                                     

（ⅱ）当，得时，

此时的图象与轴的交点为和，即的图象与轴有个交点；                                       

（ⅲ）当，得时，

此时的图象在上与轴有个交点，故的图象与轴共有个交点．                                            

综上，当时，有1个交点；

当时，有2个交点；当时，有3个交点．

【点睛】关键点点睛：本题考查二次函数的单调性，以及二次函数的零点问题；其中处理第二问的关键是能够结合题意，将讨论的重心回归到二次函数在区间上，属综合困难题.