2022-2023学年四川省成都市中和中学高一上学期期中数学试题（解析版）

2022-2023学年四川省成都市中和中学高一上学期期中数学试题

一、单选题

1．已知集合，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】集合的交集运算就是两个集合的公共元素组成的集合.

【详解】既在又在中的元素是：，所以

故选：B.

2．下列各组函数中是相等函数的是（    ）

A．与

B．与

C．与

D．与

【答案】B

【解析】根据相等函数的定义，判断函数定义域和对应关系，即可判断.

【详解】解:选项中， 的定义域为：；的定义域为：，

所以两函数的定义域不同，则不是相等函数；

选项中，的定义域为：；定义域为：，

所以两函数的定义域不同，则不是相等函数；

选项中两函数的对应关系不同，所以不是相等函数；

故错误，

故选：B.

【点睛】本题考查相等函数的定义：两个函数相等，要求定义域和化到最简后的对应关系都要相等，两者缺一不可.

3．已知或，则取下面那些范围，可以使是的充分不必要条件（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】设集合或，集合，根据是的充分不必要条件得到，最后根据集合的包含关系判断即可.

【详解】设集合或，集合，因为是的充分不必要条件，所以，所以A选项符合要求，BCD选项不符合要求.

故选：A.

4．若集合中只有一个元素，则实数的值为（    ）

A．0或1 B．1 C．0 D．

【答案】A

【分析】对k分类讨论，满足题意，时，，综合即得解.

【详解】当时，，满足意义；

当时，由题得.

综合得0或1.

故选：A

【点睛】本题主要考查元素与集合，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.

5．若，则下列不等式一定成立的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】随便带入一组数据即可.

【详解】取，此时有：

故A C错；又，D错；

，B正确.

故选：B.

6．函数在单调递减，且为奇函数．若，则满足的的取值范围是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】方法一：不妨设，解即可得出答案.

方法二：取，则有，又因为，所以与矛盾，即可得出答案.

方法三：根据题意，由函数的奇偶性可得，利用函数的单调性可得，解不等式即可求出答案.

【详解】［方法一］：特殊函数法

由题意，不妨设，因为，

所以，化简得．

故选：D.

［方法二］：【最优解】特殊值法

假设可取，则有，

又因为，所以与矛盾，

故不是不等式的解，于是排除A、B、C．

故选：D.

［方法三］：直接法

根据题意，为奇函数，若，则，

因为在单调递减，且，

所以，即有：，

解可得：.

故选：D.

【整体点评】方法一：取满足题意的特殊函数，是做选择题的好方法；

方法二：取特殊值，利用单调性排除，是该题的最优解；

方法三：根据题意依照单调性解不等式，是该题的通性通法．

7．若定义在的奇函数f(x)在单调递减，且f(2)=0，则满足的x的取值范围是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】首先根据函数奇偶性与单调性，得到函数在相应区间上的符号，再根据两个数的乘积大于等于零，分类转化为对应自变量不等式，最后求并集得结果.

【详解】因为定义在上的奇函数在上单调递减，且，

所以在上也是单调递减，且，，

所以当时，，当时，，

所以由可得：

或或

解得或，

所以满足的的取值范围是，

故选：D.

【点睛】本题考查利用函数奇偶性与单调性解抽象函数不等式，考查分类讨论思想方法，属中档题.

8．设函数，若对于任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】由题意知时的开口向上且值域，则问题转化为在上恒成立，讨论、，结合二次函数的性质求的取值范围.

【详解】∵，即开口向上且，

由恒成立，即在上恒成立，

∴当时，即，由二次函数的性质，显然成立；

当时，有两个零点，则只需满足，解得，故；

综上，的取值范围是.

故选：B

二、多选题

9．下列不等式解集为空集的有（　　）

A．x2+2x+2≤0 B．x2+2x+1≤0 C．|x+1|+|x+2|＜1 D．|x+|＜2

【答案】ACD

【分析】求解不等式的解集即可得到结果．

【详解】对于A，因为，所以无解，解集为；

对于B，的解集为{﹣1}；

对于C，因为，所以的解集为；

对于D，因为，所以的解集为；

故选：ACD．

10．已知幂函数的图象不过原点，则实数的取值可以为（    ）

A．5 B．1 C．2 D．4

【答案】BC

【分析】由幂函数的系数为，列方程求出实数的值，并检验函数的图象是否过原点，得出答案．

【详解】令，解得或，

当时，图象不过原点，成立；

当时，图象不过原点，成立；

故选：BC

11．已知函数，实数，满足，则（    ）

A． B．，，使得

C． D．

【答案】CD

【分析】根据函数解析式，作函数的图象，根据图象的特征，可得选项A、C的正误，根据基本不等式，可得选项B、D的正误.

【详解】画出函数的图象，如图所示．由图知，则，故A错，C对．

由基本不等式可得，所以，则，故B错，D对．

故选：CD．

12．已知函数在区间上是减函数，则整数的取值可以为（    ）

A． B． C． D．

【答案】ABC

【分析】由分段函数的单调性，结合二次函数及反比例函数性质列不等式组求参数范围.

【详解】由题意，，解得，

∴整数的取值为或或．

故选：ABC

三、填空题

13．计算：__________.

【答案】

【分析】根据分数指数幂运算法则即可求出答案.

【详解】

故答案为：.

14．已知关于的不等式的解集为，则的最小值是______．

【答案】

【分析】由韦达定理求出与，带入计算即可．

【详解】由一元二次不等式与一元二次等式的关系，知道的解为，

由韦达定理知，，

所以当且仅当取等号．

【点睛】本题考查韦达定理与基本不等式，属于基础题．

15．若函数的值域为则实数的取值范围是________.

【答案】

【分析】先由分段函数值域的求法，求出各段上的值域，再由函数值域求参数的范围即可得解.

【详解】解：①当时，，即 ，

②当时，，即 ，

由函数的值域为，则，

故答案为.

【点睛】本题考查了分段函数值域的求法，重点考查了由函数值域求参数的范围，重点考查了集合思想，属中档题.

16．已知定义域为R的函数则关于t的不等式的解集为________.

【答案】.

【分析】先判断出是奇函数且在R上为减函数，利用单调性解不等式.

【详解】函数的定义域为R.

因为，所以，所以，

即是奇函数.

因为为增函数，所以为减函数，所以在R上为减函数.

所以可化为.

所以，解得：或.

故答案为：.

四、解答题

17．（1）求的定义域；

（2）求的值域.

【答案】（1）或或；（2）

【分析】（1）先根据题意列出关于x的不等式组，解之即可求得的定义域；

（2）利用换元法及指数函数的单调性即可求得的值域.

【详解】（1）要使函数有意义，必须

，解之得或或

则的定义域为或或；

（2）的定义域为R

令，则，

令，则在上单调递增，

则，故的值域为.

18．已知奇函数在定义域上是减函数，且，求实数的取值范围.

【答案】

【分析】根据是奇函数即可得出,而根据在定义域上是减函数列出关于的不等式组，解出的范围即可.

【详解】在定义域上是奇函数,又是减函数,

由得，

则，

,解得,

实数的范围为.

19．已知函数．

（1）判断的奇偶性；

（2）当时，用函数单调性定义证明在上单调递减．

【答案】（1）函数为奇函数；（2）证明见解析.

【分析】（1）利用函数的奇偶性定义判断；

（2）利用函数的单调性的定义证明.

【详解】（1）函数的定义域为，

∵，

∴函数为奇函数．

（2）证明：任取，

则，

，

∵，

∴，即，

∴，即，

故当时，在上单调递减．

20．已知幂函数的定义域为全体实数R.

(1)求的解析式；

(2)若在上恒成立，求实数k的取值范围.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据幂函数的定义可得，结合幂函数的定义域可确定m的值，即得函数解析式;

（2）将在上恒成立转化为函数在上的最小值大于0，结合二次函数的性质可得不等式，解得答案．

【详解】（1）∵是幂函数，∴，∴或2.

当时，，此时不满足的定义域为全体实数R，

∴m＝2,∴.

（2）即，要使此不等式在上恒成立，

令,只需使函数在上的最小值大于0.

∵图象的对称轴为，故在上单调递减，

∴，

由，得，

∴实数k的取值范围是.

21．年滕州某企业计划引进新能源汽车生产设备，通过市场分析，全年需投入固定成本万元.每生产(百辆)新能源汽车，需另投入成本万元，且由市场调研知，每辆车售价万元，且生产的车辆当年能全部销售完.

（1）求出年的利润(万元)关于年产量(百辆)的函数关系式；(利润销售额成本)

（2）年产量为多少百辆时，企业所获利润最大？并求出最大利润.

【答案】（1）；（2）产百辆时，该企业获得利润最大，且最大利润为万元.

【解析】（1）根据年利润=销售额投入的总成本固定成本，分和两种情况得到与的分段函数关系式；

（2）当时根据二次函数求最大值的方法来求的最大值，当时，利用基本不等式求的最大值，最后综合即可

【详解】解：（1）当时，

当时，

所以

（2）当时，，

当时，；

当时，，

(当且仅当，即时，“”成立)

因为，所以，当时，即年生产百辆时，该企业获得利润最大，且最大利润为万元.

【点睛】此题考查函数的实际应用，基本不等式的应用，考查转化思想及计算能力，属于中档题

22．已知函数.

(1)判断函数的奇偶性，并说明理由；

(2)若对于任意的恒成立，求满足条件的实数m的最小值M .

(3)对于(2)中的M，正数a，b满足，证明: .

【答案】(1) 当时， 为偶函数, 当时，既不是奇函数也不是偶函数，理由见解析；(2)2；(3) 证明见解析.

【分析】(1)对分类讨论,结合奇偶性的定义进行判断可得;

(2)将不等式转化为对任意的都成立,再构造函数,利用单调性求出最大值即可得到答案;

(3)由(2)知,所以,再根据变形可证.

【详解】(1)(i)当m=1时，，,

因为,

所以为偶函数；

(ii)当时,,,,,

 所以既不是奇函数也不是偶函数.

(2) 对于任意的,即恒成立，

所以对任意的都成立,

设,

则为上的递减函数,

所以时,取得最大值1,

所以,即.

所以.

 (3)证明: 由(2)知,

，所以,

,

，当且仅当时取等号，①

又

，当且仅当时取等号，②

由①②得，,

所以,

【点睛】本题考查了函数奇偶性的讨论,不等式恒成立问题,不等式的证明问题,属于中档题.