2022-2023学年上海市上海大学附属嘉定高级中学高一上学期期中数学试题（解析版）

 2022-2023学年上海市上海大学附属嘉定高级中学高一上学期期中数学试题

一、单选题

1．“”是“”的（    ）

A．充分不必要条件； B．必要不充分条件； C．充要条件； D．既不充分又不必要条件.

【答案】A

【分析】根据充分条件、必要条件的定义直接得出结果.

【详解】由“”可推出“”，但“”不能推出“”，

故“”是“”的充分不必要条件.

故选：A.

2．若a，b，且，则下列不等式中一定成立的是（    ）

A．； B．； C．； D．.

【答案】C

【分析】利用不等式的性质结合分析法，即可得到答案.

【详解】对A，，由于的大小关系不确定，故A错；

对B，只有时，才成立，故B错；

对C，因为，故C成立；

对D，当时，不等式不成立，故D错.

故选：C.

3．设a,b∈R，集合，则=(    )

A．1 B．-1 C．2 D．-2

【答案】C

【分析】利用集合中元素有意义，集合相等的意义列式计算作答.

【详解】因，则，从而得，有，于是得，

所以.

故选：C

4．在算式“”的两个中，分别填入两个正整数，使它们的倒数之和最小，则这两个数构成的数对（□，○）应为（    ）

A．； B．； C．； D．.

【答案】D

【分析】设里为，里为，则，利用基本不等式即可求出.

【详解】设里为，里为，则，

，

当且仅当，即时等号成立，

所有这两个数构成的数对为.

故选：D.

二、填空题

5．方程的解的集合用列举法表示为___________.

【答案】

【分析】根据方程的解，利用列举法表示即可.

【详解】由可得，

所以方程解集为.

故答案为：

6．已知全集为R，集合，则___________.

【答案】

【分析】根据补集概念求解即可.

【详解】全集为R，集合，则.

故答案为：

7．陈述句“或”的否定形式是________.

【答案】且.

【解析】含有“或”联结词的否定是“且”.

【详解】解：或的否定是：且.

故答案为：且.

8．对于正数a，可以用有理数指数幂的形式表示为___________

【答案】##

【分析】将根式转化为分数指数幂，再利用分数指数幂的运算性质进行化简.

【详解】.

故答案为：

9．若幂函数的图像经过点，则此幂函数的表达式是___________.

【答案】

【分析】将代入函数求得即可得出.

【详解】将代入函数得，解得，所以此幂函数的表达式是.

故答案为：.

10．集合，则满足条件的集合A共有___________个.

【答案】2

【分析】求出所有满足条件的集合即可得出.

【详解】若，则或，共有2个.

故答案为：2.

11．已知方程的两个实根为，，则__________.

【答案】

【分析】由方程易知，根据根与系数的关系写出、，由即可求值.

【详解】由题设知：，

∴，，

∴.

故答案为：.

12．已知，，则___________.

【答案】2

【分析】由题可得，，再利用换底公式可求出.

【详解】因为，，所以，，

所以.

故答案为：2.

13．若集合只有一个元素，则实数的取值范围是___________.

【答案】

【分析】集合只有一个元素，则方程只有一个根（一元一次方程）或有两个相等的实数根（一元二次方程），由此可求出实数的取值范围.

【详解】当时，方程为一元一次方程，

只有一个实根，此时集合 只有一个元素；

当时，方程为一元二次方程，

若要使集合只有一个元素，需使方程有两个相等的实数根，

∴，解得，

综上所述，实数的取值范围是.

故答案为：.

14．若不等式的解集为，则实数___________.

【答案】

【分析】根据绝对值不等式去掉绝对值符号化为，分，解不等式，由不等式的解集列方程可得的值.

【详解】解：不等式解集为，则，所以，

当时，不等式的解为，所以，解得不符合，舍去；

当时，不等式的解为，所以，解得符合.

故答案为：.

15．已知，对所有实数恒成立，则的取值范围是___________.

【答案】

【分析】利用绝对值三角不等式结合已知条件可得出关于实数的不等式，即可解得实数的取值范围.

【详解】由绝对值三角不等式可得，

当且仅当时，等号成立，

所以，，可得或，解得或.

因此，实数的取值范围是.

故答案为：.

16．已知x，y是正实数，且关于x，y的方程有解，则实数k的取值范围是___________.

【答案】

【分析】分离参数后平方，转化为求的取值范围，利用均值不等式求解即可.

【详解】由有解可化为有解，

而，当且仅当时，等号成立，

又，

所以，又，

可得，

故答案为：.

三、解答题

17．（1）已知集合，，求集合B；

（2）已知集合，，，求实数a的取值范围.

【答案】（1）或或或；（2）.

【分析】（1）解一元二次方程求集合A，根据有，即可求集合B.

（2）解一元二次方程可得，结合交集的结果可知，即可求范围.

【详解】（1）由题设知：，而，

∴，

∴或或或.

（2）由题设知：，

又，，

∴，即.

18．已知关于x的不等式的解集为M.

(1)当时，求集合M；

(2)若，求实数a的取值范围.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）直接代入得，解出即可.

（2）分当则分母为0和分母不为0时讨论，若分母不为0，则将代入不不等式左边，不等号与原符号相反，得到关于的分式不等式，解出范围，最后综合即可.

【详解】（1）当时，，则，解得，

故集合.

（2）当，

若分母，，

若分母不为0，则将代入不等式左边得，

即，解得，

综上，实数的取值范围是.

19．某新建居民小区预建一面积为的矩形绿地，并在绿地四周铺设人行道，设计要求绿地外南北两侧人行道宽，东西两侧人行道宽（如图所示）.问：如何设计绿地的长度和宽度，才能使人行道的占地面积最小？并求出此时人行道的占地面积.（结果精确到）

【答案】当设计绿地的长约为，宽约为时，人行道的占地面积最小值为

【分析】设矩形绿地的长约为，则宽约为，利用矩形的面积即可得出人行道的占地面积，再利用基本不等式即可得出结论.

【详解】设矩形绿地的长约为，则宽约为，人行道的占地面积（记为）为，

即. 利用平均值不等式，，

且当且仅当，即时，达到最小值，此时.

所以当设计绿地的南北侧边长约为，东西侧边长约为时，人行道的占地面积最小值为

20．已知实数a､b､c､d，显然，定义两实数的误差为两数差的绝对值.

(1)求证：；

(2)若任取a，，a与c的误差､b与d的误差最大值均为0.1，求ab与cd误差的最大值，并求出此时a､b､c､d的值.

【答案】(1)证明见解析

(2)2.01，此时，，，

【分析】（1）由，根据即可得证；

（2）根据（1）的结论及两个实数误差的定义运算即可得解.

【详解】（1）

.

（2）因为，

由（1）

，

此时只需等号成立.

21．已知关于x的不等式(kx－k2－4)(x－4)＞0，其中k∈R.

(1)当k变化时，试求不等式的解集A；

(2)对于不等式的解集A，若满足A∩Z＝B(其中Z为整数集)．试探究集合B能否为有限集？若能，求出使得集合B中元素个数最少的k的所有取值，并用列举法表示集合B；若不能，请说明理由．

【答案】(1)答案见解析

(2)能；，B＝{－3，－2，－1，0，1，2，3}

【分析】（1）对进行分类讨论，结合一元二次不等式的解法求得不等式的解集.

（2）结合（1）的结论进行分类讨论，结合基本不等式求得和正确答案.

【详解】（1）当k＝0时，A＝{x|x<4}；当k>0且k≠2时，A＝{x|x<4或}；

当k＝2时，A＝{x|x≠4}；当k<0时，A＝{x|<x<4}．

（2）由（1）知：当k≥0时，集合B中的元素的个数有无限个；当k<0时，集合B中的元素的个数有限，此时集合B为有限集．

因为＝－[(－k)＋]≤－4，当且仅当k＝－2时取等号，

所以当k＝－2时，集合B中的元素个数最少，

此时A＝{x|－4<x<4}，故集合B＝{－3，－2，－1，0，1，2，3}．