2022-2023学年河南省南阳地区部分学校上学期高一上学期期中热身摸底测试数学试题（解析版）

2022-2023学年河南省南阳地区部分学校上学期高一上学期期中热身摸底测试数学试题

一、单选题

1．命题“，有”的否定是（    ）．

A．，有 B．，有

C．，使 D．，使

【答案】C

【分析】全称量词命题的否定是存在量词命题，把任意改为存在，把结论否定.

【详解】“，有”的否定是“，使”.

故选：C

2．若集合，，则（    ）．

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】化简集合M，N，根据交集运算求解.

【详解】因为，，

所以．

故选：A

3．已知幂函数，则m＝（    ）．

A． B． C．1 D．2

【答案】C

【分析】形如的函数称为幂函数，根据此定义给出表示幂函数的条件.

【详解】形如的函数称为幂函数，

令，解得．

故选：C.

4．下列命题为真命题的是（    ）．

A．若，则 B．若，则

C．若，则 D．若，则

【答案】B

【分析】取特殊值可判断AC，作差法可判断B，由不等式的性质可判断D.

【详解】对于A，当时，，故A错误；

对于B，因为，所以，得，故B正确；

对于C，取，即可判断C错误；

对于D，因为，所以，故D错误．

故选：B

5．函数的图像大致为（    ）．

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据特值排除AD，根据奇偶性排除C，即可得出答案.

【详解】由，，可得为奇函数，

其图像关于原点对称，排除选项C；

，排除选项A；

因为，所以排除选项D．

故选：B

6．已知函数在上是增函数，，，，则（    ）．

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】根据指数运算法则得到，，，结合函数在上的单调性，作出判断.

【详解】由题意可知，，

，

，

又因为函数在上是增函数，，

所以，故．

故选：D

7．放射性核素锶89的质量M会按某个衰减率衰减，设其初始质量为，质量M与时间t（单位：天）的函数关系为，若锶89的质量从衰减至，，所经过的时间分别为，，，则（    ）．

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】根据题意列出方程组，指数式化为对数式，结合对数运算法则，求出，结合，得到.

【详解】由题可得，则，即．

因为，所以．

故选：A

8．已知为R上的奇函数，且在上单调递增，，函数满足，且在上单调递减，，则不等式的解集为（    ）．

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】先根据的奇偶性和单调性得到当或时，，当或时，，再根据的性质得到当或时，，

当或时，，从而求出的解集.

【详解】根据题意可得，

因为为R上的奇函数，且在上单调递增，

所以，在上单调递增，

则当或时，，

当或时，．

因为，所以，

因为在上单调递减，所以在上单调递增，

则当或时，，

当或时，．

因为，

当时，，

当时，，

综上：不等式的解集为.

故选：D

二、多选题

9．下列运算中正确的是（    ）．

A． B．

C． D．

【答案】BCD

【分析】A选项，先求出，进而得到，A错误；

B选项，根据和进行求解即可；

C选项，根据分数指数幂的运算法则计算即可；

D选项，根据无理数指数幂的运算法则计算即可.

【详解】对于A，因为，所以，则，A错误；

对于B，因为，所以，B正确；

对于C，，C正确；

对于D，，D正确．

故选：BCD

10．已知函数（且）的图像过定点，则（    ）．

A． B．

C．为R上的增函数 D．的解集为

【答案】BCD

【分析】根据指数函数的性质，逐个选项进行判断即可得答案.

【详解】由题意可得恒成立，故，A错误，

因为根据题意，得，，所以，故B正确，

，所以，为R上的增函数，C正确；

，解得，D正确．

故选：BCD

11．若不等式对一切的恒成立，则实数的取值可能是（    ）．

A． B． C． D．

【答案】ACD

【分析】令，依题意只需，即可得到关于的不等式，从而求出的取值范围，再根据指数函数的性质判断B、C的大小，即可得解.

【详解】解：令，

则单调递增，要使对一切的恒成立，

则，即，

可得，解得．

因为函数在R上单调递增，所以．

同理函数在R上单调递增，所以．

故选：ACD

12．若是定义在R上的函数，当时，，对任意，恒成立，则下列说法正确的是（    ）．

A． B．的图象关于对称

C．的图象关于y轴对称 D．若，则恒成立

【答案】BD

【分析】令可求出判断A，可得函数的奇偶性判断B，根据与时函数值符号不同判断C，利用单调性的定义判断D.

【详解】已知，

令，可得，解得，故A选项错误；

再令，得，

即，因为不恒成立，所以，

所以为奇函数，故B选项正确；

因为当时，，所以当时，，

则，不为偶函数，故C选项错误；

设任意的，，且，

则，

所以，

因为，，且，

所以，，，，，

所以，即，

所以在上单调递增，则在上单调递增，

又，且当时，，当时，，

所以是R上的增函数，故D正确．

故选：BD

三、填空题

13．函数的定义域为______．

【答案】

【分析】根据定义域的定义，列出不等式方程，求解即可.

【详解】依题意得，即，

所以函数的定义域为．

故答案为：

14．“，”是“”的______．（从“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充要条件”“既不充分也不必要条件”中选一个恰当的填入横线中）

【答案】充分不必要条件.

【分析】根据不等式的基本性质得到充分性，必要性举出反例.

【详解】由，，由不等式基本性质可得，充分性成立，

当时，满足，但不满足，必要性不成立，

故“，”是“”的充分不必要条件．

故答案为：充分不必要条件.

15．设，，则______．

【答案】0.4

【分析】指数式两边取对数，再由对数的运算法则与性质、换底公式求解.

【详解】因为，，

所以，，

则．

故答案为：.

16．表示不大于实数x的最大整数，例如．若均为非零实数，为正数，且，，则的取值集合为______．

【答案】

【分析】化简得到，，据此列出为实数根的一元二次方程，利用判别式求出的范围，进而可求解

【详解】根据题意可得，，

则为一元二次方程的两个实数根，

，解得

又，所以．

由，可得的取值集合为．

故答案为：

四、解答题

17．（1）已知，，试用a，b表示；

（2）求值：．

【答案】（1） ；（2）1 .

【分析】（1）根据对数运算法则进行计算；

（2）非零数的零次幂等于1，结合对数运算法则求出结果.

【详解】（1）因为，

而，，所以．

（2）

．

18．已知集合，．

(1)若，求；

(2)若，求a的取值范围．

【答案】(1)

(2)

【分析】(1) 由已知得，，直接进行集合的运算即可；

(2)由知集合是集合的子集，列出关系式求解，注意讨论的情况.

【详解】（1）若，则，，

因为，所以，

故．

（2）因为，所以．

当时，，即满足题意．

当时，由，得，

又，所以．

综上，a的取值范围为．

19．已知，有，，有．

(1)若p为真命题，求a的取值范围；

(2)若p和q至少有一个为真命题，求a的取值范围．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）考虑与两种情况，结合根的判别式求出a的取值范围；

（2）求出q为真命题时，，得到当p，q均为假命题时，a的取值范围，从而得到当p和q至少有一个为真命题时的取值范围.

【详解】（1）对于，当时，符合题意；

当时，，解得：．

综上，a的取值范围为．

（2）当q为真命题时，因为，有，所以，

函数在上单调递增，得．

因为当p，q均为假命题时，由或与取交集得：，

此时a的取值范围为．

故当p和q至少有一个为真命题时，a的取值范围是．

20．网店和实体店各有利弊，两者的结合已成为商业的一个主要发展方向．某品牌行车记录仪支架销售公司从2022年1月起开展网络销售与实体店体验安装结合的销售模式．根据几个月的运营发现，投入实体店体验安装的费用（单位：万元）与产品的月销量（单位：万件）（）之间满足：当时，与成正比且比例系数为1；当时，．已知网店每月固定的各种费用支出为3万元，每件产品的进价为64元，且每件产品的售价定为“进价的150%”与“平均每件产品的实体店体验安装费用的一半”之和．

(1)设该产品的月净利润为（单位：万元），试建立与的函数关系式；

(2)求该产品月净利润的最大值．

【答案】(1)

(2)77.5万元

【分析】（1）先求每件产品的售价，结合t与x的关系，即可建立与的函数关系式；

（2）由（1）中的关系式，利用基本不等式即可解出．

【详解】（1）因为每件产品的售价为%

所以该产品的月净利润

因为

所以，即

（2）当时，单调递增，所以当时，

当时，

因为，，当且仅当，即时，等号成立

所以，即

故该产品月净利润的最大值为77.5万元．

21．设函数，且，．

(1)求a，b的值；

(2)判断在上的单调性，并用定义证明；

(3)若存在，使得成立，求m的取值范围．

【答案】(1)，

(2)在上单调递增；证明见解析

(3)

【分析】（1）由待定系数法求出a、b的值；（2）利用定义法证明单调性；（3）利用分离参数法得到，令，，求出的最小值，即可求出m的取值范围.

【详解】（1）由题意得，，

解得，．

（2）在上单调递增．

证明：由（1）得．

令，

，

当时，，，

则，即，单调递增．

故在上单调递增．

（3）由（1）知，

所以可化为．

故存在，使得成立．

令，，当时，.

设，则，

当且仅当，即时，等号成立．

故m的取值范围是．

【点睛】“恒（能）成立”问题的解决方法：

（1）函数性质法

对于一次函数，只须两端满足条件即可；对于二次函数，就要考虑参数和的取值范围.

（2）分离变量法

思路：将参数移到不等式的一侧，将自变量x都移到不等式的另一侧.

（3）变换主元法

特点：题目中已经告诉了我们参数的取值范围，最后要我们求自变量的取值范围.

思路：把自变量看作“参数”，把参数看作“自变量”，然后再利用函数的性质法，求解.

（4）数形结合法

特点：看到有根号的函数，就要想到两边平方，这样就与圆联系起来；这样求函数恒成立问题就可以转化为求“谁的函数图像一直在上面”，这样会更加直观，方便求解.

22．定义：若存在正数a，b，当时，函数的值域为，则称为“保值函数”．已知是定义在R上的奇函数，当时，．

(1)当时，求的解析式．

(2)试问是否为“保值函数”？说明你的理由．

【答案】(1)

(2)为“保值函数”；理由见解析.

【分析】（1）当时，，计算，再由奇函数定义得出即可求解；

（2）当时，由函数解析式配方可分析最大值及对称轴，确定出，再由“保值函数”的定义，建立方程求解即可.

【详解】（1）当时，，

，

因为是定义在R上的奇函数，

所以，即．

（2）根据（1）得当时，，

则，，

因为在上是减函数，所以令，

由此得到是方程的两个根，

化简得，即，

即，解得或，

所以存在正数，，当时，的值域为．

故为“保值函数”．