2022-2023学年河南省南阳地区部分学校上学期高一上学期期中热身摸底测试数学试题

南阳地区2022年秋季高一年级期中热身摸底测试卷

数学

第Ⅰ卷

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．命题“，有”的否定是（    ）．

A．，有    B．，有

C．，使    D．，使

2．若集合，，则（    ）．

A．   B．   C．   D．

3．已知幂函数，则m＝（    ）．

A．    B．    C．1    D．2

4．下列命题为真命题的是（    ）．

A．若，则    B．若，则

C．若，则     D．若，则

5．函数的图象大致为（    ）．

A．B．C．D．

6．已知函数在上是增函数，，，，则（    ）．

A．   B．   C．   D．

7．放射性核素锶89的质量M会按某个衰减率衰减，设其初始质量为，质量M与时间t（单位：天）的函数关系为，若锶89的质量从衰减至，，所经过的时间分别为，，，则（    ）．

A．   B．   C．   D．

8．已知为R上的奇函数，且在上单调递增，，函数满足，且在上单调递减，，则不等式的解集为（    ）．

A．     B．

C．     D．

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．

9．下列运算中正确的是（    ）．

A．     B．

C．     D．

10．已知函数（且）的图象过定点，则（    ）．

A．       B．

C．为R上的增函数    D．的解集为

11．若不等式对一切的恒成立，则实数x的取值可能是（    ）．

A．    B．   C．    D．

12．若是定义在R上的函数，当时，，对任意，恒成立，则下列说法正确的是（    ）．

A．        B．的图象关于对称

C．的图象关于y轴对称    D．若，则恒成立

第Ⅱ卷

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡中的横线上．

13．函数的定义域为______．

14．“，”是“”的______．（从“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充要条件”“既不充分也不必要条件”中选一个恰当的填入横线中）

15．设，，则______．

16．表示不大于实数x的最大整数，例如．若a，b均为非零实数，c为正数，且，，则的取值集合为______．

四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17．（10分）

（1）已知，，试用a，b表示；

（2）求值：．

18．（12分）

已知集合，．

（1）若，求；

（2）若，求a的取值范围．

19．（12分）

已知，有，，有．

（1）若p为真命题，求a的取值范围；

（2）若p和q至少有一个为真命题，求a的取值范围．

20．（12分）

网店和实体店各有利弊，两者的结合已成为商业的一个主要发展方向．某品牌行车记录仪支架销售公司从2022年1月起开展网络销售与实体店体验安装结合的销售模式．根据几个月的运营发现，投入实体店体验安装的费用t（万元）与产品的月销量x（万件）之间满足：当时，t与x成正比且比例系数为1；当时，．已知网店每月固定的各种费用支出为3万元，每件产品的进价为64元，且每件产品的售价定为“进价的150％”与“平均每件产品的实体店体验安装费用的一半”之和．

（1）设该产品的月净利润为y（万元），试建立y与x的函数关系式；

（2）求该产品月净利润y的最大值．

21．（12分）

设函数，且，．

（1）求a，b的值；

（2）判断在上的单调性，并用定义证明；

（3）若存在，使得成立，求m的取值范围．

22．（12分）

定义：若存在正数a，b，当时，函数的值域为，则称为“保值函数”．已知是定义在R上的奇函数，当时，．

（1）当时，求的解析式．

（2）试问是否为“保值函数”？说明你的理由．

南阳地区2022年秋季高一年级期中热身摸底测试卷

数学参考答案

1．C 全称量词命题的否定是特称量词命题．

2．A 因为，，所以．

3．C 令，解得．

4．B

对于A，当时，，故A错误；

对于B，因为，所以，得，故B正确；

对于C，取，即可判断C错误；

对于D，因为，所以，D错误．

5．B

由，可得为奇函数，其图象关于原点对称，排除选项C；

，排除选项A；

因为，所以排除选项D．

6．D

由题意可知，，

，

，

又因为函数在上是增函数，，

所以，故．

7．A

由题可得，则，即．

因为，所以．

8．D

根据题意可得，在上单调递增，

则当或时，，

当或时，．

又，所以在上单调递增，

则当或时，，

当或时，．

若，则或．

9．BCD

对于A，因为，所以，则，A错误；

对于B，因为，所以，B正确；

对于C，，C正确；

对于D，，D正确．

10．BCD

由题意可得恒成立，故，A错误，

因为，所以，故B正确，

为R上的增函数，C正确；

，解得，D正确．

11．ACD

令，

则单调递增，要使恒成立，

则，即，

可得，即．

因为函数在R上单调递增，所以．

同理函数在R上单调递增，所以．

12．BD

已知，

令，可得，解得，故A选项错误．

再令，得，

即，不恒成立，所以，

所以为奇函数，故B选项正确．

因为当时，，所以当时，，

则，不为偶函数，故C选项错误．

设任意的，，且，

则，

所以，

因为，，且，

所以，，，，，

所以，即，

所以在上单调递增，则在上单调递增，

又，且当时，，当时，，

所以是R上的增函数，故D正确．

13．

依题意得，即，

所以函数的定义域为．

14．充分不必要条件

由，，显然可得，反之不成立，

故“，”是“”的充分不必要条件．

15．

，，

则．

16．

根据题意可得，，

则a，b为一元二次方程的两个实数根，

，

又，所以．

由，可得的取值集合为．

17．解：（1）因为，

而，，所以．

（2）

．

18．解：（1）若，则，，

因为，所以，

故．

（2）因为，所以．

当时，，即．

当时，由，得，

又，所以．

综上，a的取值范围为．

19．解：（1）对于，当时，符合题意；

当时，不符合题意；

当时，，解得．

综上，a的取值范围为．

（2）当q为真命题时，因为，有，所以，

函数在上单调递增，得．

因为当p，q均为假命题时，由，得，

所以a的取值范围为．

故当p和q至少有一个为真命题时，a的取值范围是．

20．解：（1）因为每件产品的售价为64×150％，

所以该产品的月净利润．

因为，所以．

（2）当时，单调递增，所以当时，；

当时，，

因为，

当且仅当，即时，等号成立，

所以，即．

所以该产品月净利润y的最大值为77.5万元．

21．（1）解：由题意得，，

解得，．

（2）在上单调递增．

证明：由（1）得．

令，

，

当时，，，

则，即，单调递增．

故在上单调递增．

（3）解：由（1）知，

所以可化为．

故存在，使得成立．

令，，当时，，

设，则，

当且仅当，即时，等号成立．

故m的取值范围是．

22．解：（1）当时，，

，

因为是定义在R上的奇函数，

所以，即．

（2）根据（1）得当时，，

则，，

因为在上是减函数，所以令，

由此得到是方程的两个根，

化简得，即，

即，解得或，

所以存在正数，，当时，的值域为．

故为“保值函数”．