2022-2023学年广东省深圳中学高一上学期期中数学试题

深圳中学2022-2023学年度第一学期期中考试试题

年级：高一    科目：数学

命题人：    审题：

考试时长：120分钟  卷面总分：150分

注意事项：

答案写在等题卡指定的位置上.写在试题卷上无效。选择题作答必须用2B铅笔.

一、单选题（每小题5分，共40分。每个小题仅有一个答案是正确的）

1.设全集，集合，，则集合（    ）

A.   B.   C.   D.

2.已知函数，则的值为（    ）

A.6   B.5   C.4   D.3

3.“”是“幂函数在上是减函数”的一个（    ）条件

A.充分不必要   B.必要不充分

C.充要    D.既不充分也不必要

4.已知，，且，则的最小值为（    ）

A.8   B.9   C.   D.

5.已知（且，且），则函数与的图象可能是（    ）

A.   B.

C.   D.

6.已知函数，满足对任意，都有成立，则的取值范围是（    ）

A.   B.   C.   D.

7.设是定义域为的奇函数，且，若，则（    ）

A.   B.   C.   D.

8.我国某科研机构新研制了一种治疗新冠肺炎的注射性新药，并已进入二期临床试验阶段.已知这种新药在注射停止后的血药含量（单位：mg/L）随着时间（单位：h）的变化用指数模型描述，假定某药物的消除速率常数（单位：），刚注射这种新药后的初始血药含量，且这种新药在病人体内的血药含量不低于1000mg/L时才会对新冠肺炎起疗效，现给某新冠病人注射了这种新药，则该新药对病人有疗效的时长大约为（    ）（参考数据：，）

A.5.32h   B.6.23h   C.6.93h   D.7.52h

二、多选题（每小题5分，共20分，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）

9.下列说法正确的是（    ）

A.若，，则   B.若，，则

C.若，则   D.函数的最小值是2

10.下列说法正确的是（    ）

A.命题“，”的否定是“，”

B.函数（且）的图象恒过定点

C.为奇函数

D.函数的单调递增区间为，

11.关于函数，下列结论中正确的是（    ）

A.当时，是增函数   B.当时，的值域为

C.当时，是奇函数   D.若的定义域为，则

12.已知函数，若非空集合，，，则下列说法中正确的是（    ）

A.为常数    B.的取值与有关

C.   D.

三、填空题（共4小题，每小题5分，共20分）

13.若，且，则实数的值为__________.

14.已知函数为上奇函数，当时，，则时，__________.

15.方程的一根大于1，一根小于l，则实数的取值范围是__________.

16.不等式的解集为__________.

四、解答题（共6小题，共70分，其中17题10分，其余题目都是12分）

17.（10分）已知集合，.

（1）若，求实数的取值范围；

（2）若，求实数的取值范围.

18.（12分）已知函数

（1）画出的图象；

（2）求的解集.

19.（12分）设且，函数的图象过点.

（1）求的值及的定义域；

（2）求在上的单调区间和最大值.

20（12分）已知函数为奇函数.

（1）求实数的值；

（2）判断在上的单调性（不必证明）；

（3）解关于的不等式.

21.（12分）（1）若，求关于的不等式的解集；

（2）若对任意，恒成立，求实数的取值范围.

22.（12分）已知函数满足如下条件：

①对任意，②；③对任意，，总有.

（1）写出一个符合上述条件的函数（写出即可，无需证明）；

（2）证明：满足题干条件的函数在上单调递增；

（3）（i）证明：对任意的，，其中；

（ⅱ）证明：对任意的，都有.

深圳中学2022-2023学年度第一学期期中考试

高一数学参考答案与评分标准

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

二、多项选择题（共4小题，每小题均有两个或以上选项符合题意，全对得5分，错选得0分，得漏选得2分，共20分）.

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.18  14.  15.  16.

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.

17.（本小题满分10分）

解：（1）因为，所以.

又且，

所以，解得

所以实数的取值范围是.

（2）由，得.

当时，，解得；

当时，，即，

要使，则，得.

综上，实数的取值范围是

18.解：（1）为了去绝对值符号，需分段讨论：

当时，；

当时，；

时，.

故，函数图象如图所示：

（2）由题得，当时，，解得，则；

当时，，解得，则；

当时，，解得，则.

综上，的解集为.

（由图解出正确结果亦可）

19.解：（1）∵函数的图象过点，

∴，∴，即，

又且，∴，

要使有意义，

则，

∴的定义域为；

（2），

令

∵，∴的最大值为4，此时，

∴在上的单调增区间为，单调减区间为，最大值为2.

20.解：（1）因为定义在上的奇函数，可得，都有，

令，可得，解得，

所以，此时满足，

所以函数是奇函数，所以；

（2）是上的增函数；

（3）因为为奇函数，可得，

又在上单调递增，所以，

解得，所以原不等式的解集为.

21.解：（1）令

当时，的解集为；

当时，的解集为；

当时，的解集为.

（2）法一：

当时，，成立；

当时，由题可得对任意恒成立，

令，则有，.

，令，，则，

所以，所以当时，.

故实数的取值范围为.

法二：令

①当时，，

对任意，恒成立.

②当时，函数图象开口向上，

若对任意，恒成立，只需，

解得.故当时，对任意，，恒成立.

③当时，对任意，，，

恒成立.

综上可知，实数的取值范围为.

22.解：（1），，等.均可.

（2）证明：任取，.

因为，故且.

故.

故在上单调递增.

（3）（i）由题意可知：对任意正数，都有，且，

在③中令，可得，即.

故对任意正整数与正数，都有.

（ⅱ）由（i）可知：对任意正整数与正数，都有.

故对任意正整数与正数，都有.

令，则.

对任意，可得.

又因为，所以由（2）中已经证明的单调性可知：

，，

所以.