2022-2023学年广东省广州市第一中学高一上学期期中数学试题（解析版）

这是一份2022-2023学年广东省广州市第一中学高一上学期期中数学试题（解析版），共15页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年广州市第一中学高一上学期期中数学试题 一、单选题1．设全集，，，则图中阴影部分表示的集合为A． B． C． D．【答案】B【详解】试题分析：由韦恩图可知，图中阴影部分可表示为且 所以 故选B．【解析】1、集合的交集、并集、补集运算；2、韦恩图表示集合．【方法点晴】本题主要考查的是韦恩图表示集合和集合的交集、并集、补集运算，属于容易题，首先要把韦恩图中的阴影部分翻译为集合语言 ，再进行集合的补集，交集运算．本题也可以直接在韦恩图中标出阴影部分的所以元素，从而直接得到答案．2．全称量词命题“，”的否定是（    ）A．， B．，C．， D．以上都不正确【答案】C【分析】根据全称量词命题的否定是存在量词命题，即可得出结论.【详解】全称量词命题“，”的否定为“，”.故选：C.3．设，则“”是“”的（    ）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】利用充分条件和必要条件的定义求解即可.【详解】因为当时一定有；当时，或，所以“”是“”充分不必要条件，故选：A.4．已知幂函数 在第一象限的图象如图所示，则（    ）A． B． C． D．【答案】B【解析】取，结合图象得出，最后由指数函数的性质得出大小关系.【详解】由图象可知，当时，，则故选：B5．设，则的大小关系是（    ）A． B．C． D．【答案】A【解析】易得，再由，利用幂函数的单调性判断.【详解】因为，且， 在上递增，所以，即，综上：故选：A6．下列函数中是偶函数，且满足“对任意，当时，都有”的是（    ）A． B． C． D．【答案】C【解析】分别判断函数的奇偶性与单调性可得．【详解】函数满足“对任意，当时，都有”根据函数单调性定义可得:当时为减函数.对于A，因为，当，函数是单调递增，故A不符题意;对于B，因为，是奇函数，故B不符题意;对于C，因为，当，函数是单调递减，且是偶函数，故C符合题意;对于D，因为，当，根据二次函数单调性可知，函数在上单调递减，在上单调递增，故D不符题意.故选:C.7．假设某地初始物价为1，其物价每年以5%的增长率递增，当该地物价不低于1.5时，至少需要经过的年数为（    ）（参考数据：取，，）A．8 B．9 C．10 D．11【答案】B【分析】应用指数函数表示x年后该地物价，可得指数不等式，结合指对数的关系及对数的运算性质求解即可.【详解】经过x年后该地物价为，∴由题意得：，得，而，∴，故至少需要经过的年数为9.故选：B.8．已知函数，若对任意的，存在，使得，则实数的取值范围是（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】对任意的，存在，使得，只需要即可.【详解】对任意的，存在，使得，则，因为当时，单调递增，所以，又因为当时，单调递减，所以，所以由解得，故选：A. 二、多选题9．已知集合，集合， 则下列关系正确的是（    ）A． B． C． D． 【答案】AC【分析】由集合A,B，求出各选项的结果，即可作出判断.【详解】因为集合，集合，,选项A正确;，选项B错误.,，选项C正确.且，选项D错误.故选：AC10．设，且，则下列结论一定正确的是（    ）A． B．C． D．【答案】AD【分析】根据不等式的性质判断AD，列举例子判断BC.【详解】A.，同除可得，A正确；B.当时，，B错误；C.若，此时有，C错误；D.，故，D正确.故选：AD.11．给出下列命题，其中正确的命题有（    ）A．函数的图象过定点B．已知函数是定义在上的偶函数，当时，则的解析式为C．若，则的取值范围是D．若，则【答案】BCD【分析】选项A由,可得函数的图象过定点,即可判断出正误；选项B令,则,可得,.即可得出的解析式为,即可判断出正误；选项C若,可得或,解出即可得出；选项D令,则函数在单调递减即可判断出.【详解】解：选项A．由得,此时,即函数过定点,故A错误；选项B．若,则,则,是偶函数,,即,即的解析式为,故B正确；选项C．若,则,若,则,此时不成立,若,则,此时,即的取值范围是,故C正确；选项D．若,则,令,则函数在单调递减,则不等式等价为,则,即,故D正确．故选BCD【点睛】本题考查了函数的单调性、简易逻辑的判定方法,考查了分类讨论、推理能力与计算能力,属于中档题.12．已知函数是定义在R上的奇函数，当时，，则下列结论正确的是（    ）A． B．的单调递增区间为（-1，0），（1，+）C．当时， D．的解集为（-，-1）（1，+）【答案】BC【分析】根据奇函数的性质可得，再根据函数的单调性及可得出函数值为正负时，的范围，从而可判断BD，根据奇函数的定义求出时函数的解析式即可判断C.【详解】解：因为函数是定义在R上的奇函数，所以，故A错误；因为函数在都是增函数，所以函数在是增函数，又，则当时，，当时，，当时，，当时，，则函数的单调递增区间为（-1，0），（1，+），故B正确；当时，则，，所以当时，，故C正确；若，则或，所以或，即不等式的解集为，故D错误.故选：BC. 三、填空题13．求值： ________【答案】【详解】由题意结合对数、指数的运算法则有：.14．二次不等式的解集为，则______.【答案】【分析】为的两根，利用韦达定理即可得到答案.【详解】由已知，为的两根，且，所以，解得，故.故答案为：.【点睛】本题考查一元二次不等式解法的应用，注意结合韦达定理，是一道基础题.15．若正数x、y满足，则的最小值等于________.【答案】9【分析】把要求的式子变形为，利用基本不等式即可得结果.【详解】因为，所以，当且仅当时取等号，故答案为.【点睛】本题主要考查利用基本不等式求最值，属于难题.利用基本不等式求最值时，一定要正确理解和掌握“一正，二定，三相等”的内涵：一正是，首先要判断参数是否为正；二定是，其次要看和或积是否为定值（和定积最大，积定和最小）；三相等是，最后一定要验证等号能否成立（主要注意两点，一是相等时参数否在定义域内，二是多次用或时等号能否同时成立）.16．若定义在R上的函数（其中，）有最大值，则函数的单调递增区间为___________．【答案】【分析】先根据题意判断，可得即求函数减区间，再利用二次函数的性质得出结论．【详解】有最小值为1，定义在上的函数（其中，有最大值，．则函数的单调递增区间，即函数的减区间，因为函数的减区间为，故答案为．【点睛】本题主要考查复合函数的单调性，指数函数、二次函数的性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平． 四、解答题17．设全集为R，集合A＝{x|3≤x<6}，B＝{x|2<x<9}．（1）分别求A∩B，(∁RB)∪A；（2）已知C＝{x|a<x<a＋1}，若C⊆B，求实数a的取值构成的集合．【答案】（1）A∩B＝{x|3≤x<6}，(∁RB)∪A＝{x|x≤2，或3≤x<6，或x≥9}；（2） {a|2≤a≤8}【解析】（1）根据集合A={x|3≤x<6}，B={x|2<x<9}，利用交集的运算求解.；根据全集为R，B={x|2<x<9}，利用补集运算得到，再利用并集的运算求解.（2）由C={x|a<x<a+1}，且C⊆B，利用子集的定义，分和两种情况求解.【详解】（1）因为集合A={x|3≤x<6}，B={x|2<x<9}，所以A∩B={x|3≤x<6}；因为全集为R，集合A={x|3≤x<6}，B={x|2<x<9}. 所以或 ，所以∪A或 或；（2）由C={x|a<x<a+1}，且C⊆B，当时，则，无解；当时，则，解得，综上：实数a取值构成的集合是【点睛】本题主要考查集合的基本运算及基本关系应用，关键点是熟悉集合的性质，掌握集合的交并补基本运算，还考查了运算求解的能力，属于中档题.18．已知函数．求证：(1)函数是偶函数；(2)函数在区间上单调递增．【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析 【分析】（1）根据偶函数的定义证明即可；（2）根据单调性的定义证明即可.【详解】（1）因为，所以是偶函数.（2）任取，则，因为，所以，所以，所以，所以，即，所以在区间上单调递增.19．已知函数（且），其中a，b均为实数.(1)若函数的图象经过点，，求函数的解析式；(2)如果函数的定义域和值域都是，求的值.【答案】(1)(2) 【分析】（1）将已知点代入函数即可求出；（2）讨论和根据函数单调性列出方程即可求解.【详解】（1）因为函数的图象经过点，，∴，∴∴函数.（2）如果函数的定义域和值域都是，若，则函数为增函数，∴，无解.若，则函数为减函数，∴，解得，∴.20．某旅游风景区发行的纪念章即将投放市场，根据市场调研情况，预计每枚该纪念章的市场价y（单位：元）与上市时间x（单位：天）的数据如下：上市时间x天2620市场价y元10278120 （1）根据上表数据，从下列函数中选取一个恰当的函数描述该纪念章的市场价y与上市时间x的变化关系并说明理由：①；②；③；（2）利用你选取的函数，求该纪念章市场价最低时的上市天数及最低的价格；（3）利用你选取的函数，若存在，使得不等式成立，求实数k的取值范围.【答案】（1）选择，理由见解析，（2）上市天数10天，最低价格70元，（3）【解析】(1)根据函数的单调性选取即可.(2) 把点代入中求解参数,再根据二次函数的最值求解即可.(3)参变分离后再求解最值即可.【详解】（1）随着时间x的增加，y的值先减后增，而所给的三个函数中和显然都是单调函数，不满足题意，∴选择. （2）把点代入中，得，解得， ∴当时，y有最小值.故当纪念章上市10天时，该纪念章的市场价最低，最低市场价为70元 ，（3）由题意，令，若存在使得不等式成立，则须，又，当且仅当时，等号成立，所以.【点睛】本题主要考查了二次函数模型解决实际问题的题型,需要根据题意求解对应的二次函数式再分析最值与求参数.属于中等题型.21．设．(1)若不等式对一切实数恒成立，求实数的取值范围；(2)在（1）的条件下，求的最小值；(3)解关于的不等式【答案】(1)(2)(3)答案见解析 【分析】（1）分别在和的情况下，根据恒成立可构造不等式组求得结果；（2）将所求式子化为，利用基本不等式可求得最小值；（3）分别在、、、和的情况下，解不等式即可得到结果.【详解】（1）由恒成立得：对一切实数恒成立；当时，不等式为，不合题意；当时，，解得：；综上所述：实数的取值范围为.（2），，（当且仅当，即时取等号），的最小值为.（3）由得：；①当时，，解得：，即不等式解集为；②当时，令，解得：，；（i）当，即时，不等式解集为；（ii）当，即时，不等式解集为；（iii）当，即时，不等式可化为，，不等式解集为；（iv）当，即时，不等式解集为；综上所述：当时，不等式解集为；当时，不等式解集为；当时，不等式解集为；当时，不等式解集为；当时，不等式解集为.22．已知函数.（1）请在如图所示的直角坐标系中作出时的图像，并根据图像写出函数的单调区间；（2）设函数在上的最小值为.①求的表达式；②若，求的最大值.【答案】（1）图象见解析，增区间，减区间；（2）①；②.【分析】（1）时，，画出函数图象，根据图象即可得出单调区间；（2）①时，，讨论对称轴的范围，根据二次函数的单调性求解；②时，，根据单调性即可求出.【详解】（1）时，，函数图象如图:增区间；减区间.（2）①因为，所以.若，即时，在上单调递增，所以；若，即时，在上递减，在上递增，所以；若，即时，在上单调递减，所以，综上；②时，，因为在单调递增，所以在单调递增，所以的最大值为.【点睛】关键点睛：本题考查含参二次函数最值的求解以及函数最值问题，解题的关键是讨论二次函数对称轴的位置，再结合二次函数的单调性求解，对于函数最值问题，解题的关键是求出函数的单调性，利用单调性求出最值.