安徽省芜湖市繁昌皖江中学2023-2024学年高一数学上学期第一次阶段性检测试题（Word版附解析）

皖江中学2023～2024学年高二第一学期第一次阶段性检测

数学

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1. 已知椭圆方程为，则该椭圆的长轴长为（    ）

A. 6 B. 12 C. 8 D. 16

【答案】D

【解析】

【分析】利用标准方程可求得，再根据长轴定义即可求出结果.

【详解】根据椭圆标准方程可知，解得；

所以该椭圆的长轴长为.

故选：D

2. 已知直线的一个方向向量，且直线经过和两点，则（    ）

A. -2 B. -1 C. 1 D. 2

【答案】A

【解析】

【分析】利用空间向量共线的坐标表示即可.

【详解】因为，

直线的一个方向向量为，

所以有向量与向量为共线，

所以，

解得，，

所以，

故选：A.

3. 已知曲线表示双曲线，则实数m的取值范围是（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】根据双曲线的标准方程列不等式求解.

【详解】由题意知，，解得，所以实数m的取值范围是.

故选：D.

4. 两平行直线：，：之间的距离为（    ）

A.  B. 3 C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】利用两平行直线之间的距离公式求解即可．

【详解】由题意得：

直线，，

，，两直线为平行直线，

直线，

两平行直线之间的距离为．

故选：A

5. 在平行六面体中，点是线段上的一点，且，设，，，则（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】根据空间向量加法与减法的运算法则求解即可.

【详解】

．

故选：C．

6. 如图，椭圆的左、右焦点分别为，，过点的直线与椭圆相交于P，Q 两点．若，，，则椭圆C的方程为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】

根据椭圆的定义及已知求得，再解直角三角形求得求得即可求得椭圆的方程

【详解】设，有，

由可知，

又由椭圆的定义有，

可得，解得，

可得，

，，

故选：D.

【点睛】本题主要考查了椭圆的定义与标准方程的求解，其中解答中熟记椭圆的定义，以及椭圆的几何性质，准确运算是解答的关键，着重考查推理与运算能力，属于基础题.

7. 已知双曲线的左焦点为，点是双曲线右支上的一点，点是圆上的一点，则的最小值为（    ）

A. 5 B.  C. 7 D. 8

【答案】C

【解析】

【分析】由双曲线定义等于到右焦点的距离，而的最小值是（是圆半径），由此可得结论．

【详解】记双曲线的右焦点为，所以，

当且仅当点为线段与双曲线的交点时，取到最小值．

故选：C．

8. 已知直线与圆相交于P，Q两点，O为坐标原点，且，则实数b的所有取值之积为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】首先设出点的坐标，然后联立直线方程与圆的方程，结合韦达定理求得的值即可．

【详解】解：设，，，，

联立直线方程与圆的方程可得：，

则，

由于，故，

所以，

即，即，

所以.

故选：C．

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．

9. 已知椭圆的对称中心为坐标原点，焦点在坐标轴上，若椭圆的长轴长为6，焦距为4，则椭圆的标准方程可能为（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】BD

【解析】

【分析】由题设写出椭圆参数值，再讨论焦点的位置确定椭圆方程即可.

【详解】由题意，有，，，

∴椭圆的标准方程可能为或.

故选：BD.

10. 已知直线，直线，若，则实数a可能的取值为（    ）

A.  B. 0 C. 1 D. 2

【答案】BC

【解析】

【分析】由，可得，即可得出答案.

【详解】解：因为，所以，解得或1．

故选：BC.

11. 已知双曲线的右焦点为，左、右顶点分别为、，点是双曲线上异于左、右顶点的一点，则下列说法正确的是（    ）

A. 过点有且仅有条直线与双曲线有且仅有一个交点

B. 点关于双曲线的渐近线的对称点在双曲线上

C. 若直线、的斜率分别为、，则

D. 过点的直线与双曲线交于、两点，则的最小值为

【答案】BC

【解析】

【分析】根据直线与双曲线的位置关系可判断出A选项；求出点关于双曲线的渐近线的对称点的坐标，再将点的坐标带入双曲线的方程，可判断B选项；利用点差法可判断C选项；求出当直线的斜率为时的值，可判断D选项.

【详解】对于A选项，过点垂直于轴的直线、平行于渐近线的直线与双曲线有且仅有一个交点，所以至少有条，故A错误；

对于B选项，易得，双曲线的一条渐近线方程为，

设点关于的对称点为，

则，解得，所以，

又，即点在双曲线上，故B正确；

设，所以，即，

所以，故C正确；

当直线的斜率为时，，故D错误．

故选：BC.

12. 如图，点是边长为2的正方体的表面上一个动点，则（    ）

A. 当点在侧面上时，四棱锥的体积为定值

B. 存在这样的点，使得

C. 当直线与平面所成的角为45°时，点的轨迹长度为

D. 当时，点的轨迹长度为

【答案】ACD

【解析】

【分析】对于选项A，由点P到侧面的距离为定值即可判断；

对于选项B，结合空间向量的线性运算即可判断；

对于选项C，分当点P在侧面，侧面上时以及当点P在上底面上时，和点P在侧面，上时三种情况分类讨论即可判断；

对于选项D，分当P在底面ABCD上时和点在侧面上时分类讨论即可判断.

【详解】对于选项A，由点P到侧面的距离相等，故四棱锥的体积为定值，故A选项正确；

对于选项B，因为，而，，因此点P是的中点，所以这样的点P不在正方体的表面上，故B选项错误；

对于选项C，①当点P在侧面，侧面上时（不包括正方形的边界），过点P作平面的垂线，垂足为H，连AH，在中，由，可得；

②当点P在上底面上时，过点P作平面的垂线，垂足为M，若，必有，又由，有，，此时点P的轨迹是以为圆心，2为半径的四分之一圆，点P的轨迹长度为；

③当点P在侧面，上时，点P在线段，上符合题意，此时点P的轨迹长为；由上知点P的轨迹长度为，故C选项正确；

对于选项D，①当P在底面ABCD上时，点P的轨迹为以A为圆心，为半径的圆与底面ABCD的交线，记圆与相交于点，与交于点，有，可得，，

则点的轨迹与底面的交线长为；

②当点在侧面上时，，可得点轨迹与侧面的交线为以点为圆心，为半径的四分之一圆，交线长为．由对称性可知，点的轨迹长度为，

故D选项正确．

故选：ACD.

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

13. 已知在空间直角坐标系中，点A的坐标为，点B的坐标为，点A与点C关于x轴对称，则___________.

【答案】

【解析】

【分析】首先根据对称求出点的坐标，然后根据两点间的距离公式求的值即可.

【详解】因为点A与点C关于x轴对称，所以点的坐标为，

又因为点B的坐标为，所以．

故答案为：.

14. 已知双曲线（）的焦点到渐近线的距离为4，则该双曲线的渐近线方程为______．

【答案】

【解析】

【分析】由双曲线方程确定一个焦点、一条渐近线，利用点线距离公式列方程求参数b，即可写出渐近线方程.

【详解】由题设，双曲线其中一个焦点为，一条渐近线为，

所以，故该双曲线的渐近线方程为.

故答案为：

15. 直线的倾斜角的取值范围是___________.

【答案】

【解析】

【分析】首先求直线的斜率，分和两种情况，结合基本不等式，求斜率的取值范围，可得倾斜角的取值范围.

【详解】直线的斜率为，

①当时，；

②当时，，

可得且．

由①②，有，

可得直线的倾斜角的取值范围是．

16. 在平面直角坐标系中，轴被圆心为的圆截得的弦长为，直线：与圆相交于，两点，点在直线上，且，那么圆的方程为________，的取值范围为_________．

【答案】    ①.     ②.

【解析】

【分析】根据圆的垂径定理、直线与圆相交的性质，结合等腰三角形的性质进行求解即可.

【详解】设圆标准方程为，

因为轴被圆心为圆截得的弦长为，

所以，可得，所以圆方程为；

由直线与圆相交，有，解得或．

由，，

可得直线与直线垂直，有，

有，解得，

可得，又由或，

，或，

由反比例函数的性质可得或，

所以的取值范围为，

故答案为：；

    【点睛】关键点睛：本题的关键是利用等腰三角形的性质、反比例函数的性质.

四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤．

17. 已知直线经过直线与的交点.

（1）若直线与直线垂直，求直线的方程；

（2）若直线在坐标轴上的截距相等，求直线的方程.

【答案】（1）   

（2）或.

【解析】

【分析】（1）由题意求出交点P的坐标，利用两直线垂直求出的斜率，结合直线的点斜式方程即可求解；

（2）根据题意设直线方程，分别求出直线与坐标轴的截距，列方程，解之即可求解.

【小问1详解】

由解得即.

因为直线与直线垂直，所以直线的斜率为，

所以直线的方程为，即；

【小问2详解】

显然，直线的斜率存在，

设直线的方程为，令，解得，

令，解得，

所以，

解得或，所以直线的方程为或.

18. 已知圆：，圆：.

（1）证明：圆与圆相交；

（2）若圆与圆相交于A，B两点，求.

【答案】（1）证明见解析；   

（2）.

【解析】

【分析】（1）写出两圆的标准方程，进而确定圆心坐标、半径，判断圆心距离与两圆半径之间的关系即可证结论.

（2）根据（1）的结论，将两圆方程做差求相交弦方程，再应用弦心距、半径与弦长关系求即可.

【小问1详解】

圆的标准方程为，圆心为，半径为2，

圆的标准方程为，圆心为，半径为，

∴圆和圆的圆心之间的距离为，

由，可知：圆和圆相交，得证.

【小问2详解】

由（1）结论，将圆与圆作差，得：直线AB的方程为，

圆的圆心到直线AB的距离为，

∴.

19. 已知椭圆：（）的左、右焦点分别为，，点是椭圆上的一点．

（1）若，求的取值范围；

（2）若，求的面积．

【答案】（1）；   

（2）.

【解析】

【分析】（1）由题设，设，应用数量积的坐标表示及椭圆的有界性求范围；

（2）由椭圆定义及余弦定理求得，利用三角形面积公式求面积即可.

【小问1详解】

由题设，则，

设，故，

所以，又，且，

则.

【小问2详解】

由题设，，

由，且，

所以，

综上，.

20. 如图，在四棱锥中，底面四边形为直角梯形，，，，为的中点，，．

（1）证明：平面；

（2）求平面与平面所成锐二面角的余弦值．

【答案】（1）证明见解析   

（2）

【解析】

【分析】（1）连接，根据题意，证得，，结合线面垂直的判定定理，即可证得平面；

（2）由（1）和等腰可知，，，两两垂直，

以为坐标原点，建立空间直角坐标系，分别求得平面和平面的一个法向量和，结合向量的夹角公式，即可求解.

【小问1详解】

证明：如图所示，连接，

在直角中，由，且为的中点，可得，

因为，，

所以，且，

又因为，，，可得，所以，

因为，，且平面，，

所以平面.

【小问2详解】

解：由（1）和等腰可知，，，两两垂直，
 

以为坐标原点，向量，，方向分别为，，轴的正方向建立空间直角坐标系，如图所示

可得，，，，，

则，又由，可得点的坐标为，

设平面的法向量为，

由，，则，

取，可得，，所以平面的一个法向量为．

设平面的法向量为，

由，，则，

取，可得，，所以平面的一个法向量为，

则，

所以平面与平面所成锐二面角的余弦值为．

21. 已知双曲线的渐近线方程为，且过点.

（1）求双曲线的标准方程；

（2）若双曲线的右焦点为，点，过点的直线交双曲线于两点，且，求直线的方程.

【答案】（1）   

（2），或或.

【解析】

【分析】（1）根据题意得，进而解方程即可得答案；

（2）由题知，进而先讨论直线的斜率不存在不满足条件，再讨论的斜率存在，设方程为，设，进而与双曲线方程联立得线段中点为，再结合题意得，进而再分和两种情况讨论求解即可.

【小问1详解】

解：因为双曲线的渐近线方程为，且过点，

所以，，解得

所以，双曲线的标准方程为

【小问2详解】

解：由（1）知双曲线的右焦点为，

当直线的斜率不存在时，方程为，此时，

，

所以，直线的斜率存在，设方程为，

所以，联立方程得

所以，且，

所以，

设，

则

所以，

所以，线段中点为，

因为，

所以，点在线段的中垂线上，

所以，

所以，当时，线段中点为，此时直线的方程为，满足题意；

当时，，

所以，，整理得，解得或，满足.

综上，直线方程为，或或.

22. 在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：的离心率为，短轴长为2.

（1）求椭圆C的标准方程；

（2）已知点A，B分别为椭圆C的左、右顶点，点D为椭圆C的下顶点，点P为椭圆C上异于椭圆顶点的动点，直线AP与直线BD相交于点M，直线BP与直线AD相交于点N.证明：直线MN与x轴垂直.

【答案】（1）   

（2）证明见解析

【解析】

【分析】（1）根据短轴长和离心率得到，，，得到椭圆方程.

（2）确定各点坐标，设点P的坐标为，，计算各直线的方程，得到的横坐标，作差为0得到证明.

【小问1详解】

设椭圆C的焦距为2c，由题意有：，解得，，，

故椭圆C的标准方程为.

【小问2详解】

点A的坐标为，点B的坐标为，点D的坐标为，

设点P的坐标为，，有，可得，

直线BD的方程为，整理为；

直线AD的方程为，整理为；

直线AP的方程为；

联立方程，解得，M的横坐标为，

直线BP的方程为，

联立方程，解得：，N的横坐标为，

，

故点M和点N的横坐标相等，可得直线MN与x轴垂直.