2022-2023学年安徽省合肥市第一六八中学高一上学期期中数学试题（解析版）

这是一份2022-2023学年安徽省合肥市第一六八中学高一上学期期中数学试题（解析版），共18页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．已知集合，，则子集的个数为（ ）．
A．2B．4C．6D．8
【答案】D
【分析】先求出B，再利用集合的子集个数为个，n为集合中元素的个数，可得结论．
【详解】解：集合，，
则集合中含有3个元素，
故集合的子集个数为．
故选：D．
2．已知命题“，使”是假命题，则实数m的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】由特称命题的否定转化为恒成立问题后列式求解，
【详解】由题意可知恒成立．
①当时，恒成立；
②当时，，解得．
综上：．
故选：C
3．设，，，则，，的大小关系是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】由指数的性质比较，，的大小.
【详解】由，
所以.
故选：A
4．设、是两个非空集合，定义与的差集为且，则等于（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】根据题意，分和两种情况，结合集合的基本运算，借助venn图，即可得出结果.
【详解】当，由于对任意都有，所以，
因此；
当时，作出Venn图如图所示，
则表示由在中但不在中的元素构成的集合，因而表示由在中但不在中的元素构成的集合，由于中的元素都不在中，所以中的元素都在中，所以中的元素都在中，反过来中的元素也符合的定义，因此.
故选：C.
【点睛】本题主要考查集合的应用，熟记集合的基本运算即可，属于常考题型.
5．函数的图象与函数的图象关于直线对称，则的单调减区间为（ ）．
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】由题意知函数是函数的反函数，根据反函数的定义求出，再由复合函数的单调性即可求出的单调减区间．
【详解】由题意函数的图象与函数的图象关于直线对称知，函数是函数的反函数，
所以，即，
令，解得，
又是减函数，在上增，在上减，
由复合函数的单调性知，单调减区间为．
故选：C．
6．为了抗击新型冠状病毒肺炎，保障师生安全，学校决定每天对教室进行消毒工作，已知药物释放过程中，室内空气中的含药量y()与时间t(h)成正比()；药物释放完毕后，y与t的函数关系式为(a为常数，)，据测定，当空气中每立方米的含药量降低到0.5()以下时，学生方可进教室，则学校应安排工作人员至少提前（ ）分钟进行消毒工作
A．25B．30C．45D．60
【答案】C
【分析】计算函数解析式，取计算得到答案.
【详解】∵函数图像过点，
∴，
当时，取，
解得小时分钟，
所以学校应安排工作人员至少提前45分钟进行消毒工作.
故选：C.
7．下列命题中，正确命题的个数为（ ）
①当时，的最小值是5；
②与表示同一函数；
③函数的定义域是，则函数的定义域是；
④已知，，且，则最小值为．
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】利用基本不等式判断①④，根据相等函数的定义判断②，根据复合函数的定义计算法则判断③；
【详解】解：对于①当时，，所以，所以，当且仅当，即时取等号，所以，所以，故①错误；
对于②与表示同一函数，故②正确；
对于③函数的定义域是，，所以，解得，故函数的定义域是，故③错误；
对于④已知，，且，所以，则
，当且仅当，即，时取等号，故④正确；
故选：B
8．已知函数，若方程有4个解时，实数a的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】设，做出函数图像，分析的实根情况，方程有两个不等实数根，且满足，或，或；再结合二次函数图象分类讨论即可得出结论．
【详解】根据函数，做出其大致图像如下：
设，根据函数图像有：
当时，方程有2个实数根；
当时，方程有3个实数根；
当时，方程有2个实数根；
当时，方程有1个实数根；
当时，方程没有实数根；
当若的零点个数为4个时，
方程有两个不等实数根，
且满足，或，或；
令，，
①当时，
则，即，解得；
②当时，
则，即，无解；
③当，时，
则，即，解得，
综上：，
故选：A.
二、多选题
9．设全集，集合，，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】BD
【分析】先解分式不等式求出集合A，B，再根据集合的基本运算即可求解．
【详解】∵，
∵，
∴，
A，∵，∴A错误，
B，∵，∴B正确，
C，∵，∴C错误，
D，∵，∴D正确，
故选：BD．
10．（多选题）下列表达式的最小值为2的有（ ）
A．当时，
B．当时，
C．
D．
【答案】BC
【分析】根据基本不等式及二次函数性质判断．
【详解】解：①对选项A，当均为负值时，，故最小值不为2;
②对选项B，因为，所以同号，所以，
所以，当且仅，即时取等号，故最小值为2;
③对选项C，，当时，取最小值2;
④对选项D，，
当且仅当，即时，取等号，但等号显然不成立，
故最小值不为2.
故选：BC．
【点睛】本题考查用基本不等式求最值，基本不等式求最值的三个条件：一正二定三相等需同时满足才能确定最值．
11．已知函数，，的零点分别为a，b，c，以下说法正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】AD
【分析】将问题转化为与、、的交点横坐标范围及数量关系，应用数形结合思想，及指对幂函数的性质判断a、b、c的范围.
【详解】由题设，，，，
所以，问题可转化为与、、的交点问题，函数图象如下：
由图及、对称性知：，且，
所以A、D正确，B、C错误.
故选：AD
12．已知定义在R上的函数f（x），g（x）满足：
①；
②对任意实数，，都有；
③存在大于零的常数a，使得，且当时，．
下列说法正确的是（ ）
A．B．当时，
C．函数f（x）g（x）在R上的最大值为2D．对任意的，都有
【答案】ACD
【分析】A.利用赋值法，令和求解判断；B.令，得到，再由时，，得到求解判断； C.由求解判断；D.令求解判断.
【详解】令，可得，令，由，得，A正确；
令，得，当时，，
所以，所以
故，所以，B错误；
由，得，故C正确；
令，得，则，故D正确．
故选：ACD
三、填空题
13．命题“，”的否定是_________．
【答案】，
【分析】根据全称量词命题的否定为特称量词命题判断即可.
【详解】解：因为命题“，”为全称量词命题，
所以该命题的否定为“，”．
故答案为：，
14．已知函数，且，则的值为____________．
【答案】
【分析】由奇函数的性质求解，
【详解】，令，
∵，∴为奇函数，∴，
则，得.
故答案为：
15．设函数，若互不相等的实数，，满足，则的取值范围是__________．
【答案】
【分析】先作出函数的图象，利用二次函数的对称性得到，由对数的运算以及函数图象可得，求解即可．
【详解】函数
作出函数图象如图所示，
因为互不相等的实数，，满足，
不妨设，
当时，，图象的对称轴为，所以，
当时，，令，解得，
由图象可知，
所以的取值范围是．
故答案为：．
16．设是定义在R上的奇函数，对任意的，，，满足：，若，则不等式的解集为___________.
【答案】
【分析】令，可得函数利是定义在上的偶函数且在上单调递增，原不等式等价于，分析可得答案.
【详解】令，
由是定义在上的奇函数，
可得是定义在上的偶函数，
由对任意的，，，满足：，
可得在上单调递增，
由，可得，
所以在上单调递减，且，
不等式，即为，即，
可得或，即或
解得或.
故答案为：.
四、解答题
17．计算下列各式的值：
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)
【分析】(1)利用有理数指数幂的运算性质求解．
(2)利用对数的运算性质求解．
【详解】（1）原式.
（2）原式.
18．设全集为，集合.
(1)若，求；
(2)在①；②；③，这三个条件中任选一个作为已知条件，求实数的取值范围.
【答案】(1)或
(2)
【分析】（1）解出或，集合，利用交集和补集的含义即可.
（2）首先得到，然后分和两种讨论即可.
【详解】（1）解：因为全集为，且或，
当时，，所以或
∴或.
（2）解：选择①②③，均可得.
当时，，解得；
当时，或，解得或，即.
综上所述，实数的取值范围是.
19．（1）已知关于x的不等式的解集为，求不等式的解集；
（2）已知条件，条件，且p是q的一个必要不充分条件，求实数a的取值范围．
【答案】（1）；（2）．
【分析】（1）根据二次不等式的解集，等价转化为二次方程的解，利用韦达定理，解得参数，利用二次不等式的解法，可得答案；
（2）根据分式不等式以及二次不等式求解，根据必要不充分条件的集合表示，可得答案.
【详解】（1）因为不等式的解集为，
所以和2是方程的解，且，
由根与系数的关系知，解得，，
所以不等式可化为，
解得或，
所以该不等式的解集为．
解：由，，，，则，解得，
由，得，
当时，可得q：；
当时，可得q：；
当时，可得q：．
由题意得，p是q的一个必要不充分条件，
当时，满足条件；
当时，则，所以，解得，
所以；
当时，所以，解得，
所以，
综上，实数a的取值范围为．
20．某厂生产某产品的年固定成本为250万元，每生产千件，需另投入成本（万元），若年产量不足千件，的图象是如图的抛物线，此时的解集为，且的最小值是，若年产量不小于千件，，每千件商品售价为50万元，通过市场分析，该厂生产的商品能全部售完.
（1）写出年利润（万元）关于年产量（千件）的函数解析式；
（2）年产量为多少千件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大？
【答案】(1) ；(2) 当年产量千件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大为万元.
【分析】（1）由题可知，利润=售价-成本，分别对年产量不足件，以及年产量不小于件计算，代入不同区间的解析式，化简求得；
（2）分别计算年产量不足件，以及年产量不小于件的利润，当年产量不足80件时，由配方法解得利润的最大值为950万元，当年产量不小于件时，由均值不等式解得利润最大值为1000万元，故年产量为件时，利润最大为万元.
【详解】（1）当时，；
当时，，
所以（）.
（2）当时，
此时，当时，取得最大值万元．
当时，
此时，当时，即时，取得最大值万元，,
所以年产量为件时，利润最大为万元．
【解析】配方法求最值‚均值不等式
21．已知函数（且）经过定点A，函数（且）的图象经过点A．
(1)求函数的定义域与值域；
(2)若函数在上有两个零点，求的取值范围．
【答案】(1)定义域是，值域是；
(2)；
【分析】（1）由指数函数性质求得定点的坐标，然后由求出，再由对数函数、指数函数性质得定义域、值域；
（2）求出的表达式，换元法转化为二次函数，由二次方程根的分布知识可得参数范围．
【详解】（1）在函数中，令，得，，所以定点为，
由得，
，，
由得，即定义域是，
，又，所以函数值域是；
（2），
，，
，它是增函数，，则，
，
在上有两个零点，
，解得．
22．已知函数，，其中．
(1)若在上的最大值为，求实数a的值；
(2)设函数，若对任意，总存在唯一的，使得成立，求实数a的取值范围．
【答案】(1)或
(2)．
【分析】(1) ，在上单调递增，在上单调递减，结合在上的最大值为，分类讨论，可得满足条件的实数的值；
(2)分和两种情况，分别求出满足对对任意，总存在唯一的，使得成立的实数的取值，综合讨论结果，可得答案.
【详解】（1），
在上单调递增，在上单调递减；
①当时，当时，，解得：；
②当时，当时，，无解；
③当时，当时，，解得：；
综上所述，或．
（2）①若，由，，
，，
故不可能成立．
②若，当时，，
故在上单调递减，
故；
若2，由时，，
∴在上单调递增，从而，
要使成立，只需成立即可，
由于函数在上单调递增，且，
∴．
若，由时，，
∴在上单调递增，在上单调递减；
从而，
要使成立，只需，且成立即可，
即成立即可，
由得：，，
故当时，恒成立．
综上所述：．
【点睛】存在与任意的问题总结：
1.，使得函数在上的值域与函数在上的值域的交集不空，即.
2. ，使得函数在上的值域是函数在上的值域的子集，即.