2021-2022学年宁夏银川一中高一上学期期中考试数学

银川一中2021/2022学年度(上)高一期中考试

数 学 试 卷

一、选择题：每小题5分，满分60分．

1．已知,，则（   ）   

A．     B.      C.      D.

2．的定义域为（   ）

A.       B.      C.  D.

3. 函数的图像必经过点（    ）

A．(0,-2)       B. (1,-1)       C. (1,-2)        D. (0,-1)

4. 函数是幂函数，且在上是减函数，则实数m=（   ）．

A．2       B． -1      C．4       D． 2或-1

5. 已知，则的解集为(   )

A．  B．  C．         D．

6. 已知，（   ）

A. -3            B. -1          C. 1              D. 5

7．函数 的零点所在的区间为（　 ）

A．      B.      C．      D．

8. 的单减区间为（    ）

A．    B．    C．     D．

9．已知为偶函数，且在单增，，则m的取值范围是（   ）

A.      B.            C.        D.   

10．半球内有一个内接正方体，则这个半球的体积与正方体的体积之比为（   ）

A． B． C． D．

11. 已知，则的大小为(   )

12．若函数图象上存在不同的两点关于轴对称，则称点对是函数的一对“和谐点对”（注：点对与看作同一对“和谐点对”）.已知函数则此函数的“和谐点对”有（   ）

A． 0对      B．1对       C．2对       D．3对

二．填空题：每题5分，共20分.

13. 已知，若，则实数=__________．

14. 已知是定义域为R的偶函数，当时，

，则函数在时，f(x)=__________.                     

15. 某几何体的三视图如图所示，则其表面积为_______. 

16. 已知，若有三个不同

的实数解，则的取值范围是_________.

三．解答题：(共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)

17.(10分)

计算：（1）；   

（2）．    

18. (12分)

已知函数是定义在的奇函数，且

（1）求解析式;

（2）用定义证明在上是增函数;

（3）解不等式.

19. (12分)

如图所示，在正三棱柱ABC－A1B1C1中（底面为

等边三角形，），D是AC的中点，

AB＝1，A1A＝

（1）证明直线;

（2）求异面直线AB1与BD所成的角．

20．(12分)

近日，受疫情影响，为确保师生健康安全，营造良好的学习环境，银川一中对教室用药熏消毒法进行消毒.已知药物释放过程中，室内每立方米

空气的含药量（毫克）与时间（小时）成正比.药物释

放完毕后，与的函数关系式为（为常数），

如图所示，根据图中提供的信息，回答下列问题：

（1）求从药物释放开始，每立方米空气中的含药量（毫克）与时间（小时）之间的函数关系式；

（2）据测定，当空气中每立方米空气的含药量降到0.25毫克以下时，学生方可进教室，那从药物释放开始，至少需要经过多少小时后，学生才能回到教室？

21. (12分)

已知函数定义域为，若对于任意的，都有，且时，有.

(1)判断并证明函数的奇偶性；

(2)判断并证明函数在上的单调性；

(3)若f（1）=1，，对所有，恒成立，求m的取值范围;

22. (12分)

已知：集合M是满足下列性质的函数f（x）的全体：在定义域内存在x，使得f（x＋1）＝f（x）＋f（1）成立.

    （1）函数f（x）＝是否属于集合M？说明理由；

    （2）设函数f（x）＝lg，求实数a的取值范围；

    （3）证明：函数f（x）＝2＋xM.

高一期中数学(文科)参考答案(2021/2022上)

二．填空题

13. 2    14.    15. 9π    16.

三．解答题

17.（1）   （2）

18. 【答案】（1）；（2）略；（3）

【解析】

（1）则

（2）设

则

即

在上是增函数

（3）依题得：

则

19.解析：（1）连接交于点O,连接OD，因为D为AC中点，所以

因,所以

（2）60°　取A1C1的中点E，连接B1E，ED，AE，

在Rt△AB1E中，∠AB1E为异面直线AB1与BD所成的角．

AB＝1，则A1A＝，AB1＝，B1E＝，故∠AB1E＝60°.

20．【答案】（1）

（2）至少需要经过0.6小时后，学生才能回到进教室

故

（2）显然，设，

得

，

故从药物释放开始，至少需要经过0.6小时后，学生才能回到进教室。

21. 【解析】(1)∵，令，得，∴

令可得：，∴，∴为奇函数

(2)∵是定义在上的奇函数，由题意设，

则，

由题意时，有，∴，

∴是在上为单调递增函数

(3)∵在上为单调递增函数，∴在上的最大值为，

∴要使，对所有，恒成立，

只要，即恒成立；

令，得，

∴或。

22. 解：（Ⅰ）f（x）＝的定义域为，

令，整理得x＋x＋1＝0，△＝－3<0，

因此，不存在x使得f（x＋1）＝f（x）＋f（1）成立，所以f（x）＝；    3分

（Ⅱ）f（x）＝lg的定义域为Ｒ，f（1）＝lg，a>0，

若f（x）＝ lgM，则存在xＲ使得lg＝lg＋lg，

整理得存在xＲ使得（a－2a）x＋2ax＋（2a－2a）＝0.

（1）若a－2a＝0即a＝2时，方程化为8x＋4＝0，解得x＝－，满足条件：

（2）若a－2a0即a时，令△≥0，解得a，综上，a[3－，3＋]；    7分

（Ⅲ）f（x）＝2＋x的定义域为Ｒ，

令２＋（x＋1）＝（2＋x）＋（2＋1），整理得2＋2x－2＝0，

令g（x）＝2＋2x－2，所以g（0）·g（1）＝－2<0，

即存在x（0，1）使得g（x）＝2＋2x－2＝0，

亦即存在xＲ使得2＋（x＋1）＝（2＋x）＋（2＋1），故f（x）＝2＋xM。