2021-2022学年江苏省连云港市灌南高级中学高二上学期第二次月考数学试题（解析版 ）

2021-2022学年江苏省连云港市灌南高级中学高二上学期第二次月考数学试题

一、单选题

1．直线的倾斜角和斜率分别是（    ）

A．， B．， C．，不存在 D．不存在，不存在

【答案】B

【分析】由倾斜角和斜率的定义求直线的倾斜角和斜率.

【详解】由倾斜角定义可得直线的倾斜角为0，

∴直线的斜率为0，

故选：B.

2．设函数，当自变量由1变到1.1时，函数的平均变化率是（      ）

A．2.1 B．0.21 C．1.21 D．12.1

【答案】A

【分析】根据平均变化率的计算公式，准确计算，即可求解.

【详解】根据平均变化率的公式，可得函数由到的平均变化率为：

.

故选：A.

3．《莱茵德纸草书》是世界上最古老的数学著作之一．书中有这样一道题目：把个面包分给个人，使每个人所得成等差数列，且使较大的三份之和的是较小的两份之和，则最小的一份为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】设5人分到的面包数量从小到大记为，设公差为，可得，，求出，根据等差数列的通项公式，得到关于关系式，即可求出结论.

【详解】设5人分到的面包数量从小到大记为，设公差为，

依题意可得，，

，

，解得，

.

故选:A.

【点睛】本题以数学文化为背景，考查等差数列的前项和、通项公式基本量的计算，等差数列的性质应用是解题的关键，属于中档题.

4．直线过点，且与圆交于两点，如果，则直线的方程为

A． B．或

C． D．或

【答案】D

【详解】因为，所以圆心到直线的距离．因为直线经过点，当直线斜率不存在时，直线的方程为，此时圆心到直线的距离为3，符合；当直线斜率存在时，设直线方程为，则有，解得．所以直线方程为，即．综上可得，直线的方程为或，故选D

5．已知函数的导函数为，函数的图象如图所示，则下列结论正确的是（    ）

A．在，上为减函数

B．在，上为增函数

C．的极小值为，极大值为

D．的极大值为，极小值为

【答案】D

【解析】根据图象，可知该函数的正负性，再结合导数的性质对的性质进行判断即可.

【详解】根据函数的图象可知：

当时，，即，因此当时，函数单调递增；

当时，，即，因此当时，函数单调递减，显然当，函数有极小值，极小值为；

当时，，即，因此当时，函数单调递减；

当时，，即，因此当时，函数单调递增，显然当，函数有极大值，极大值为，

由上可以判断D是正确的.

故选：D

6．已知是定义在R上的函数，是的导函数，满足：，且，则不等式的解集为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】构造函数，利用导数求得的单调性，由此求得不等式的解集.

【详解】令，则，

所以在R上单调递增，不等式可化为，

而，则，即，

所以，即不等式解集为.

故选：D

7．已知椭圆的两个焦点分别为，若椭圆上存在点使得是钝角，则椭圆离心率的取值范围是

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】当动点在椭圆长轴端点处沿椭圆弧向短轴端点运动时，对两个焦点的张角渐渐增大，当且仅当点位于短轴端点处时，张角达到最大值，由此可得到关于的不等式，从而可得结果.

【详解】

当动点从椭圆长轴端点处沿椭圆弧向短轴端点运动时，对两个焦点的张角渐渐增大，当且仅当点位于短轴端点处时，张角达到最大值．

∵椭圆上存在点使得是钝角，∴中，，

∴ 中，，∴，

∴，∴，∴，

∵，∴．椭圆离心率的取值范围是，故选B．

【点睛】本题主要考查利用椭圆的简单性质求椭圆的离心率范围，属于中档题.求解与椭圆性质有关的问题时要结合图形进行分析，既使不画出图形，思考时也要联想到图形，当涉及顶点、焦点、长轴、短轴等椭圆的基本量时，要理清它们之间的关系，挖掘出它们之间的内在联系.求离心率范围问题应先将 用有关的一些量表示出来，再利用其中的一些关系构造出关于的不等式，从而求出的范围.

8．已知函数，，若恰有个零点，则实数的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】令，利用导数分析函数的单调性与极值，将问题转化为直线与曲线有三个交点，数形结合可得实数的取值范围.

【详解】令，由，可得，

则问题转化为直线与曲线有三个交点.

当时，，则，则函数在上单调递减，

当时，，则.

当时，，此时函数单调递增，

当时，，此时函数单调递减，所以，.

作出直线与函数的图象如下图所示：

由图可知，当时，直线与曲线有三个交点.

故选：B.

【点睛】方法点睛：利用导数解决函数零点问题的方法：

（1）直接法：先对函数求导，根据导数的方法求出函数的单调区间与极值，根据函数的基本性质作出图象，然后将问题转化为函数图象与轴的交点问题，突出导数的工具作用，体现了转化与化归思想、数形结合思想和分类讨论思想的应用；

（2）构造新函数法：将问题转化为研究两函数图象的交点问题；

（3）参变量分离法：由分离变量得出，将问题等价转化为直线与函数的图象的交点问题.

二、多选题

9．已知曲线（    ）

A．若曲线表示椭圆，则且

B．若时，以为中点的弦所在的直线方程为

C．当时，为曲线的焦点，为曲线上一点，且，则△的面积等于

D．若时，直线过曲线的焦点且与曲线相交于两点，则

【答案】AC

【分析】根据椭圆的方程，直线与曲线之间的位置关系，以及焦点三角形面积的求解，对每个选项进行逐一分析，即可判断和选择.

【详解】对A：若曲线：表示椭圆，则且，故正确；

对：当时，曲线方程为：，联立直线可得：

，可得，可得直线与曲线无交点，故错误；

对：当时曲线表示焦点在轴上的椭圆，，，

又，故可得，又，

故可得，故△的面积，故正确；

对：当时，曲线表示焦点在轴上的双曲线，则，，

当直线斜率不为零时，若，设的坐标为，

故，故错误；

故选：.

【点睛】关键点点睛：本题考查曲线与方程的关系，以及点差法，焦点三角形面积的求解；处理问题的关键是要充分掌握圆锥曲线中常用方法，属综合中档题.

10．意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数：1，1，2，3，5，8，…，该数列的特点是前两个数都是1，从第三项起每一个数是前面两个数的和，人们把这样的数组成的数列叫斐波那契数列，并将数列中各项除以4所得的余数按照原来的顺序组成的数列记为，则下列结论正确的是（    ）

A．b2021＝1

B．

C．

D．

【答案】ABD

【分析】对于A：归纳得数列是以6为最小正周期的数列，即可求解；对于B：由,代入求解；对于C：利用周期性即可求解；对于D：利用累加法求和.

【详解】对于A：

由此归纳得：数列是以6为最小正周期的数列,又2021=6×336+5,所以.故A正确；

对于B：斐波那契数列总有，所以,所以.故B正确；

对于选项C：.故C错误；

对于D：因为,所以

所以

.

故D正确.

故选：ABD

11．已知函数，则下列结论正确的是（    ）

A．函数在处取得最大值为；

B．函数有两个不同零点；

C．；

D．若在上恒成立，则

【答案】ACD

【解析】先对求导，利用导数的方法判断其单调性，即可得出最值，判断A正确；研究函数值域，判断其零点个数，得到B错；根据单调性判断C正确；构造函数，，对其求导，利用导函数的方法研究其单调性，得出最大值，即可判断D正确.

【详解】由可得，

由可得，

所以当时，，则单调递增；

当时，，则单调递减；

因此，即A正确；

又时，；时，；

因此在区间内有一个零点，在区间内无零点，故B错；

因为在上单调递减，，所以，即C正确；

由在上恒成立，可得在上恒成立，

令，，

则，

由得，

所以当时，，则单调递增；

当时，，则单调递减；

所以，

为使在上恒成立，只需，即D正确；

故选：ACD.

【点睛】思路点睛：

由不等式恒成立（或能成立）求参数时，一般可对不等式变形，分离参数，根据分离参数后的结果，构造函数，由导数的方法求出函数的最值，进而可求出结果；有时也可根据不等式，直接构成函数，根据导数的方法，利用分类讨论求函数的最值，即可得出结果.

12．过直线上一点P作圆O：的两条切线，切点分别为A，B，直线AB与轴分别交于点M，N，则（    ）

A．直线OP为线段AB的中垂线 B．四边形PAOB面积的最小值为4

C．的最小值为 D．的最小值为4

【答案】ABD

【分析】对于A，根据三角形全等易得，进而可以判断A；

对于B，连接，利用切线的性质将四边形的面积用表示，进而利用点到直线的距离公式求解；

对于C，由点A，在以为直径的圆上可求得直线的方程，进而得到该直线过定点，最后数形结合即可得解；

对于D，先由直线的方裎得到点，的坐标，进而得到，最后利用基本不等式即可求解．

【详解】解：如图，对于A，连接交于点，由题易知，所以，所以，故，所以直线OP为线段AB的中垂线，故A正确;

对于B，由于，所以四边形的面积，又的最小值为点到直线的距离，即，所以四边形面积的最小值为，B正确；

设，则以线段为直径的圆的方程是，与圆的方程相减，得，即直线的方程为，又点在直线上，所以，则，代入直线的方程，得，令，则，得，，所以直线过定点，所以，数形结合可知的最小值为，C错误；

在中，分别令，得到点，，所以，因为点在直线上，所以且，，则，当且仅当时等号成立，所以的最小值为4，D正确．

故选：ABD.

三、填空题

13．过原点有一条直线，它夹在两条直线与之间的线段恰好被点平分，则直线的方程为______________.

【答案】

【解析】设两交点分别为，，利用中点为原点求解a,b，得到A点坐标，即得解.

【详解】设两交点分别为，，

则故点，

所以直线的方程为.

故答案为：

【点睛】本题考查了直线与直线的位置关系，考查了学生综合分析，转化划归的能力，属于中档题.

14．已知数列的首项，且满足，则的前项和_____．

【答案】

【分析】由题意可得是以3为首项，以3为公比的等比数列，可得，再利用分组求和即可求出．

【详解】解：，，

，故，，

是以3为首项，以3为公比的等比数列，

，，

．

故答案为：．

15．设P是双曲线Γ：上任意一点，Q与P关于x轴对称，F1、F2分别为双曲线的左、右焦点，若有，则与夹角的余弦值的取值范围是_______．

【答案】[，）

【分析】先根据条件确定点P的范围，再运用向量数量积求出 的表达式，再根据函数的单调性即可求出 的值域.

【详解】

对于双曲线 ，有 ， ，

设 ，则 ，由题意 ，

，由于P点在双曲线上，∴ ，

联立方程 ，解得 ，即点P在圆 上或圆外的双曲线上，即 ，

，

设向量 与向量 的夹角为 ，

则有 ， ，

， ，由于 ，

，当 时，显然是关于 的单调递增函数，

当 时，取得最小值 ， 时，得 ， ；

故答案为： .

16．已知函数，若对，不等式恒成立，则实数的取值范围___________.

【答案】

【分析】先求得函数为定义域上的偶函数，且在为递减函数，把不等式的恒成立，转化为，进而得到且在上恒成立，分别设函数和，利用导数求得函数的单调性与最值，即可求解.

【详解】由函数的定义域为关于原点对称，

又由，

所以函数为定义域上的偶函数，

所以，

即不等式可化为，

当时，函数

根据初等函数的单调性，可得函数为单调递减函数，

所以函数在上单调递增，在区间上单调递减，

由，可得，整理得且，

即且在上恒成立，

设，可得，其中，

当时，，单调递增；

当时，，单调递减，

所以.

设，可得，

当时，，所以，

综上可得，实数的取值范围为.

故答案为：.

四、解答题

17．已知函数f（x）＝ex﹣ln（x+2）．

(1)求f（x）在（0，f（0））处的切线方程；

(2)求证：f（x）＞0．

【答案】(1)y=x+1-ln2

(2)证明见解析

【分析】（1）求导，求出 时切线的斜率，再运用点斜式直线方程即可；

（2）运用导函数的符号求出 的最小值的范围即可.

【详解】（1）∵ ，令 ，得 ，

又，由点斜式直线方程得： ，即在 处的切线方程为 ；

（2）函数的定义域是（-2，+∞）， ，令，

则 ，故在（-2，+∞）单调递增，而 ，

故存在唯一，使得，并且 时 ， 时 ，又，

故在 递减，在 递增，同时 ，

∴；

综上，在 处的切线方程为 .

18．在①成等差数列，②成等比数列，③，三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并作答．

已知为数列的前n项和，，，，且___________．

(1)求数列的通项公式；

(2)记，求数列的前项和．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）利用结论，把转化为递推公式，得到数列为首项未知的等比数列，通过分别选择三个条件，构造关于的方程求出，进而写出其通项公式；

（2）由（1）代入已知条件，可以得到的通项公式，判断其为等差数列，根据公式即可写出其前项的和.

【详解】（1）∵，

∵当时，，

∴，

整理可得，

∴数列是以为首项，为公比的等比数列，

∴

若选①，成等差数列，∴，

∴ 解得

∴数列是以为首项，为公比的等比数列，

∴；

若选②，有，

∵，

∴，

整理可得，∴，

∴数列是以为首项，为公比的等比数列，

∴；

若选③，有，则解得，

∴数列是以为首项，为公比的等比数列，

∴；

（2）∵,

∴数列是以为首项，为公差的等差数列，

∴数列的前项和.

19．在平面直角坐标系xOy中，已知以点C（a﹣1，a2）（a＞0）为圆心的圆过原点O，不过圆心C的直线2x+y+m＝0（m∈R）与圆C交于M，N两点，且点为线段MN的中点．

(1)求m的值和圆C的方程；

(2)若Q是直线y＝﹣2上的动点，直线QA，QB分别切圆C于A，B两点，求证：直线AB恒过定点.

【答案】(1)m=-2，x2+（y-1）2=1

(2)证明见解析

【分析】（1）先由垂径定理求得a，再用距离公式求得m；

（2）将切线问题转化为两圆相交公共弦问题，求出直线AB的方程即可.

【详解】（1）根据垂径定理得直线CF与直线 垂直， ，

即 ，解得，∴圆心坐标为（0，1），半径为1，

由圆心到直线的距离d=，可得或，

∵点F（，）在直线上，∴，圆C的方程为；

（2）

设Q（t，-2），则QC的中点坐标为（），

以QC为直径的圆的方程为，即，

联立 ，可得AB所在直线方程为：，∴直线AB恒过定点（0，）；

综上，圆C的方程为，.

20．已知等差数列的前n项和为，．

(1)求的通项公式；

(2)设数列满足，记数列的前项和为，求．

【答案】(1)；

(2).

【分析】（1）根据等差数列及其前项和的基本量，求得首项和公差，即可求得结果；

（2）利用下标的缩减，求得，再讨论的奇偶性，用裂项求和法求即可.

【详解】（1）设等差数列的公差为，由，可得，即；

又因为，取，所以，即；

故可得．故的通项公式为.

（2）由，

当时，，

上述两式作差可得，又满足上式，

综上；

所以．

当n为偶数时….

∴．

当n为奇数时，

∴．

故．

21．如图,在平面直角坐标系中,设点是椭圆C:上一点,从原点O向圆作两条切线,分别与椭圆C交于点,直线的斜率分别记为．

(1)若圆M与x轴相切于椭圆C的右焦点,求圆M的方程;

(2)若,求证:

(3)在(2)的情况下,求的最大值．

【答案】(1)

(2)证明见解析

(3)10

【分析】(1)根据题意求出椭圆的右焦点,将焦点横坐标代入椭圆中可得圆心坐标,因为相切于x轴,所以半径为圆心的纵坐标,写出圆的方程即可;

(2)设出的直线方程,分别与椭圆联立,因为相切判别式等于0,可得出之间的关系,由于在椭圆上,将消元即可得到;

(3)先考虑不落在坐标轴上的情况,由(2)得设出两点坐标,找到之间的关系,进而求出的最大值,再考虑落在坐标轴上的情况,得出结果即可.

【详解】（1）解:椭圆C的右焦点是,

将,代入,

可得,

所以,

所以圆M的方程为

（2）证明:因为直线与圆相切,

所以直线与圆联立,

可得,

同理,

由,

可得是方程的两个不相等的实数根,

所以,

因为点在椭圆C上,

所以,

所以得证;

（3）①当直线不落在坐标轴上时,

设,

因为,所以,

因为在椭圆C上,

所以,

整理得,

所以,

所以．

②当直线落在坐标轴上时,

显然有,

综上:

所以,所以的最大值为10．

【点睛】(1)注意圆与x轴相切时,圆心的纵坐标即半径；

(2)与圆相切,设出一条直线方程,另一条只需将斜率换一下即可得到另一个等式,减少计算量,联立后判别式等于0后得到之间的两个等式关系,需要注意两个式子形式一样,不同的是一个是,另一个是,根据化归思想,可以变为同一个式子,是其方程的根,进而得到的方程进行化简即可.

(3)是在第(2)问的基础上做的,所以第(2)问的结论依旧可以用,要注意直线是否在坐标轴上,分类考虑.

22．已知函数．

(1)若曲线在点处的切线方程为，求实数a，b的值；

(2)若函数在区间上存在单调增区间，求实数a的取值范围；

(3)若在区间上存在极大值，求实数a的取值范围（直接写出结果）．

【答案】(1)

(2)

(3)

【分析】（1）求导，再根据曲线在点处的切线方程为求解；

（2）根据函数在区间上存在单调增区间，又在上有解求解；

（3）

【详解】（1）解：因为，

所以，

因为曲线在点处的切线方程为，

所以切线斜率为1，即，，

所以．

（2）因为函数在区间上存在单调增区间，

所以在上有解，

即只需在上的最大值大于0即可．

令，

当时，为增函数，

当时，为减函数，

所以，当时，取最大值，

故只需，即．

所以实数a的取值范围是．

（3）