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2022-2023学年广东省东莞市八年级下册数学期中专项提升模拟（AB卷）含解析
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这是一份2022-2023学年广东省东莞市八年级下册数学期中专项提升模拟（AB卷）含解析，共47页。试卷主要包含了选择，填空，解 答 题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年广东省东莞市八年级下册数学期中专项提升模拟
（A卷）
一、选择(本大题共8小题，每小题2分，共16分)
1. 下列图形中，既是轴对称图形又是对称图形的是
A. B. C. D.
2. 2017年我市有1.6万名初中毕业生参加升学考试，为了了解这1.6万名考生的数学成绩，从中抽取2000名考生的数学成绩进行统计，在这个问题中样本是（ ）
A. 1.6万名考生 B. 2000名考生 C. 1.6万名考生的数学成绩 D. 2000名考生的数学成绩
3. 下列中，属于必然的是（ ）
A. 抛掷1个均匀的骰子，出现4点向上 B. 任意数的值都是正数
C. 两直线被第三条直线所截，内错角相等 D. 13人中至少有2人的生日在同一个月
4. 如图，在△ABC中，∠CAB=65°，将△ABC在平面内绕点A旋转到△AB′C′的位置，使CC′∥AB，则旋转角的度数为（ ）
A. 30° B. 40° C. 50° D. 65°
5. 矩形ABCD对角线AC、BD相交于点O，∠AOD=120°，AC=8，则△ABO的周长为（ ）
A 16 B. 12 C. 24 D. 20
6. 矩形具有而平行四边形没有一定具有的性质是（ ）
A. 对角线互相平分 B. 两组对角相等
C. 对角线相等 D. 两组对边相等
7. 如图，平行四边形ABCD中，∠C＝108°，BE平分∠ABC，则∠AEB等于（ ）
A. 18° B. 36° C. 72° D. 108°
8. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝5，BC＝12，D是AB上一动点，过点D作DE⊥AC于点E，DF⊥BC于点F，连接EF，则线段EF的最小值是___．
二、填空（本大题共有10小题，每小题2分，共20分）
9. 从－1，0，，π，3中随机任取一数，取到无理数的概率是_____．
10. 神舟九号宇宙飞船各部件功能是否符合要求，这种适合用______（填“普查”或“抽样”）．
11. 在▱ABCD中，∠A＝70°，则∠C＝_____度．
12. 对某班组织的考试成绩进行统计，已知80.5～90.5分这一组的频数是6，频率是0.15，那么该班级的人数是______人．
13. 扇形统计图中，其中一个扇形的圆心角为144°，则这个扇形所表示的占总体的百分比为______．
14. 如图，在平行四边形中，对角线与相交于点．若，，，则的取值范围为__________．
15. 学校为了考察我校七年级同学的视力情况，从七年级的4个班共200名学生中，每班抽取了5名进行分析，在这个问题中，样本的容量是 ．
16. 在矩形中，对角线，相交于点，若对角线，边，则的周长为________．
17. 矩形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，∠AOB=60°，AB=2cm，则AC=__cm．
18. 如图，矩形ABCD的两条线段交于点O，过点O作AC的垂线EF，分别交AD、BC于点E、F，连接CE，已知△CDE的周长为24cm，则矩形ABCD的周长是______cm．
三、解 答 题（本题共9小题，共64分.）
19. 如图所示的正方形网格中，△ABC的顶点均在格点上，请按要求画图：
（1）以点A为旋转，将△ABC绕点A顺时针旋转90°得△AB1C1，画出△AB1C1．
（2）作出△ABC关于点O成对称的△A2B2C2．
20. 育人中学开展课外体育，决定开设A：篮球、B：乒乓球、C：踢毽子、D：跑步四种项目．为了解学生最喜欢哪一种项目（每人只选取一种），随机抽取了部分学生进行，并将结果绘成如甲、乙所示的统计图，请你图中信息解答下列问题．
（1）样本中最喜欢A项目的人数所占的百分比为________ ，其所在扇形统计图中对应的圆心角度数是 ______度；
（2）请把条形统计图补充完整；
（3）若该校有学生1000人，请根据样本估计全校最喜欢踢毽子学生人数约是多少？
21. 某课题组为了解全市九年级学生对数学知识的掌握情况，在数学检测中，从全市24000名九年级考生中随机抽取部分学生的数学成绩进行，并将结果绘制成如下图表：
分数段
频数
频率
x＜60
20
0.10
60≤x＜70
28
0.14
70≤x＜80
54
0.27
80≤x＜90
a
0.20
90≤x＜100
24
0.12
100≤x＜110
18
b
110≤x＜120
16
0.08
请根据以上图表提供的信息，解答下列问题：
（1）表中a和b所表示的数分别为：a= ，b= ；
（2）请在图中，补全频数分布直方图；
（3）如果把成绩在90分以上（含90分）定为，那么该市24000名九年级考生数学成绩为的学生约有多少名？
22. 如图，点E是正方形ABCD的边DC上一点，把△ADE顺时针旋转△ABF的位置．
（1）旋转是点 ，旋转角度是 度；
（2）若连接EF，则△AEF 三角形；并证明；
（3）若四边形AECF的面积为25，DE=2，求AE的长．
23. 已知：如图，E，F为□ABCD对角线AC上的两点，且AE=CF，连接BE，DF，求证：BE=DF．
24. 如图，在ABCD中，E为BC边上一点，且AB=AE．
（1）求证：△ABC≌△EAD；
（2）若AE平分∠DAB，∠EAC=25°，求∠AED的度数．
25.
如图，在△ABC中，AB＝AC，D为BC中点．四边形ABDE是平行四边形．
求证：四边形ADCE是矩形
26. 如图，矩形中，与交于点，垂足分别为求证.
27. 如图，在△ABC中，O是AC上一动点（没有与点A、C重合），过O作直线MN∥BC，设MN交∠BCA平分线于点E，交∠BCA的外角平分线于点F．
（1）OE与OF相等吗？证明你的结论；
（2）试确定点O的位置，使四边形AECF是矩形，并加以证明．
2022-2023学年广东省东莞市八年级下册数学期中专项提升模拟
（A卷）
一、选择(本大题共8小题，每小题2分，共16分)
1. 下列图形中，既是轴对称图形又是对称图形的是
A. B. C. D.
【正确答案】D
【分析】根据轴对称图形和对称图形的定义逐项识别即可，在平面内，把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．
【详解】解：A. 是轴对称图形，但没有是对称图形，故没有符合题意；
B. 没有是轴对称图形，是对称图形，故没有符合题意；
C. 轴对称图形，但没有是对称图形，故没有符合题意；
D. 既是轴对称图形又是对称图形，故符合题意．
故选D．
本题考查了轴对称图形和对称图形的识别，熟练掌握轴对称图形和对称图形的定义是解答本题的关键．
2. 2017年我市有1.6万名初中毕业生参加升学考试，为了了解这1.6万名考生的数学成绩，从中抽取2000名考生的数学成绩进行统计，在这个问题中样本是（ ）
A. 1.6万名考生 B. 2000名考生 C. 1.6万名考生的数学成绩 D. 2000名考生的数学成绩
【正确答案】D
【详解】试题解析：2015年我市有近1.6万名考生参加升学考试，为了了解这1.6万名考生的数学成绩，从中抽取2000名考生的数学成绩进行统计分析，在这个问题中抽取的2000名考生的数学成绩为样本．
故选D．
考点：总体、个体、样本、样本容量．
3. 下列中，属于必然的是（ ）
A. 抛掷1个均匀的骰子，出现4点向上 B. 任意数的值都是正数
C. 两直线被第三条直线所截，内错角相等 D. 13人中至少有2人的生日在同一个月
【正确答案】D
【详解】A、B、C选项可能发生也可能没有发生的，属于随机；
故选D．
4. 如图，在△ABC中，∠CAB=65°，将△ABC在平面内绕点A旋转到△AB′C′的位置，使CC′∥AB，则旋转角的度数为（ ）
A. 30° B. 40° C. 50° D. 65°
【正确答案】C
【详解】解：∵CC′∥AB，
∴∠ACC′=∠CAB=65°，
∵△ABC绕点A旋转得到△AB′C′，
∴AC=AC′，
∴∠CAC′=180°-2∠ACC′=180°-2×65°=50°，
∴∠CAC′=∠BAB′=50°
故选：C．
5. 矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，∠AOD=120°，AC=8，则△ABO的周长为（ ）
A. 16 B. 12 C. 24 D. 20
【正确答案】B
【详解】试题分析：根据矩形性质求出AO=BO=4，得出等边三角形AOB，求出AB，即可求出答案．
解：
∵四边形ABCD是矩形，AC=8，
∴AC=BD，AC=2AO，BD=2BO，
∴AO=BO=4，
∵∠AOD=120°，
∴∠AOB=60°，
∴△AOB是等边三角形，
∴AB=AO=4，
∴△ABO的周长是4+4+4=12，
故选B．
考点：矩形的性质．
6. 矩形具有而平行四边形没有一定具有的性质是（ ）
A. 对角线互相平分 B. 两组对角相等
C. 对角线相等 D. 两组对边相等
【正确答案】C
【分析】
【详解】矩形的性质有：四个角都是直角，对角线相等且平分，对边平行且相等；
平行四边形的性质有：对角相等，对边相等且平行，对角线互相平分；
∴矩形具有但平行四边形没有一定具有的性质是对角线相等，
故选C．
7. 如图，平行四边形ABCD中，∠C＝108°，BE平分∠ABC，则∠AEB等于（ ）
A. 18° B. 36° C. 72° D. 108°
【正确答案】B
【分析】首先根据平行四边形的性质，得出∠ABC的度数，又由BE平分∠ABC，得出∠ABE=∠CBE，∠AEB和∠CBE是内错角，相等，即可得出∠AEB.
【详解】解：∵平行四边形ABCD中，∠C＝108°，
∴∠ABC=180°-108°=72°
又∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE=∠CBE=36°
又∵∠AEB=∠CBE
∴∠AEB=36°
故B.
此题主要考查利用平行四边形的性质求角的度数，熟练掌握即可解题.
8. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝5，BC＝12，D是AB上一动点，过点D作DE⊥AC于点E，DF⊥BC于点F，连接EF，则线段EF的最小值是___．
【正确答案】
【分析】连接CD，利用勾股定理列式求出AB，判断出四边形CFDE是矩形，根据矩形的对角线相等可得EF=CD，再根据垂线段最短可得CD⊥AB时，线段EF的值最小，然后根据三角形的面积公式列出求解即可．
【详解】解：如图，连接CD．
∵∠ACB＝90°，AC＝5，BC＝12，
∴AB＝＝＝13，
∵DE⊥AC，DF⊥BC，∠C＝90°，
∴四边形CFDE是矩形，
∴EF＝CD，
由垂线段最短可得CD⊥AB时，线段EF的值最小，
此时，S△ABC＝BC•AC＝AB•CD，
即×12×5＝×13•CD，
解得：CD＝，
∴EF＝．
故．
本题考查了矩形的判定与性质，垂线段最短的性质，勾股定理，判断出CD⊥AB时，线段EF的值最小是解题的关键，难点在于利用三角形的面积列出方程．
二、填空（本大题共有10小题，每小题2分，共20分）
9. 从－1，0，，π，3中随机任取一数，取到无理数的概率是_____．
【正确答案】．
【详解】根据概率的求法，找准两点：①全部等可能情况的总数；②符合条件的情况数目；二者的比值就是其发生的概率．因此，
∵数据﹣1，0，，π，3中无理数只有π，∴取到无理数的概率为：．
故．
10. 神舟九号宇宙飞船各部件功能是否符合要求，这种适合用______（填“普查”或“抽样”）．
【正确答案】普查
【分析】根据普查得到的结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，而抽样得到的结果比较近似判断即可．
【详解】解：神舟九号宇宙飞船各部件功能是否符合要求，这种适合用普查．
故普查
本题考查的是抽样和全面的区别，熟练掌握选择普查还是抽样要根据所要考查的对象的特征灵活选用是解题的关键．一般来说，对于具有破坏性的、无法进行普查、普查的意义或没有大，应选择抽样，对于度要求高的，事关重大的往往选用普查．
11. 在▱ABCD中，∠A＝70°，则∠C＝_____度．
【正确答案】70
【详解】解：∵四边形ABCD平行四边形，
∴∠C=∠A=70°．
故答案为70．
【点评】此题考查的是平行四边形的性质；熟记平行四边形的对角相等是解决问题的关键．
12. 对某班组织的考试成绩进行统计，已知80.5～90.5分这一组的频数是6，频率是0.15，那么该班级的人数是______人．
【正确答案】40
【详解】因为频率=频数÷班级人数，所以班级人数=6÷0.15=40，所以该班级的人数是40人，故答案为40.
13. 扇形统计图中，其中一个扇形的圆心角为144°，则这个扇形所表示的占总体的百分比为______．
【正确答案】40％
【详解】因为×=40%，所以个扇形所表示的占总体的百分比为40%，故答案为40%.
14. 如图，在平行四边形中，对角线与相交于点．若，，，则的取值范围为__________．
【正确答案】
【分析】直接利用平行四边形对角线互相平分得出,的长，再利用三角形三边关系得出答案．
【详解】解：四边形是平行四边形，
,,
，,
,,
在中，的取值范围是：
即，
．
故．
此题主要考查了平行四边形的性质以及三角形的三边关系，解题的关键是得出,的长是解题关键．
15. 学校为了考察我校七年级同学的视力情况，从七年级的4个班共200名学生中，每班抽取了5名进行分析，在这个问题中，样本的容量是 ．
【正确答案】20
【详解】试题分析：总体是指考查的对象的全体，个体是总体中的每一个考查的对象，样本是总体中所抽取的一部分个体，而样本容量则是指样本中个体的数目．
解：从七年级的4个班共200名学生中，每班抽取了5名进行分析，在这个问题中，样本的容量是20，
故答案为20．
考点：总体、个体、样本、样本容量．
16. 在矩形中，对角线，相交于点，若对角线，边，则的周长为________．
【正确答案】16cm
【分析】由在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，若对角线AC=10cm，边BC=8cm，即可求得OA与OB的长，然后利用勾股定理，求得AB的长，即可求得答案．
【详解】在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，对角线AC=10cm，
∴∠ABC=90°，OA=OB=AC=×10=5（cm），
∵BC=8cm，
∴AB==6（cm），
∴△ABO的周长为：OA+OB+AB=16（cm）．
故答案为16cm．
17 矩形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，∠AOB=60°，AB=2cm，则AC=__cm．
【正确答案】4
【详解】因为矩形的对角线互相平分且相等，所以OA=OB，因为∠AOB=60°，所以△AOB是等边三角形，所以OA=2，则AC=2OA=4，故答案为4.
18. 如图，矩形ABCD的两条线段交于点O，过点O作AC的垂线EF，分别交AD、BC于点E、F，连接CE，已知△CDE的周长为24cm，则矩形ABCD的周长是______cm．
【正确答案】
【详解】试题分析：利用FE垂直平分AC可得到AE=CE，那么△CDE的周长就可以表示为AD+CD，也就求出了矩形的周长．
解：∵OA=OC，EF⊥AC，
∴AE=CE，
∵矩形ABCD的周长=2（AE+DE+CD），
∵DE+CD+CE=24，∴矩形ABCD的周长=2（AE+DE+CD）=48cm．
考点：矩形的性质．
三、解 答 题（本题共9小题，共64分.）
19. 如图所示的正方形网格中，△ABC的顶点均在格点上，请按要求画图：
（1）以点A为旋转，将△ABC绕点A顺时针旋转90°得△AB1C1，画出△AB1C1．
（2）作出△ABC关于点O成对称的△A2B2C2．
【正确答案】（1）作图见解析；（2）作图见解析
【分析】（1）根据网格结构找出点B、C绕点A顺时针旋转90°的对应点B1、C1的位置，然后顺次连接即可；
（2）根据网格结构找出点A、B、C关于原点O的对称点A2、B2、C2的位置，然后顺次连接即可．
【详解】解：（1）找出点B、C绕点A顺时针旋转90°的对应点B1、C1的位置，然后顺次连接即可
△AB1C1如图所示：
（2）找出点A、B、C关于原点O的对称点A2、B2、C2的位置，然后顺次连接
△A2B2C2如（1）中图所示．
本题考查旋转图形的画法，已知图形关于原点成对称的图形的画法．熟练掌握该知识点是解题关键．
20. 育人中学开展课外体育，决定开设A：篮球、B：乒乓球、C：踢毽子、D：跑步四种项目．为了解学生最喜欢哪一种项目（每人只选取一种），随机抽取了部分学生进行，并将结果绘成如甲、乙所示的统计图，请你图中信息解答下列问题．
（1）样本中最喜欢A项目的人数所占的百分比为________ ，其所在扇形统计图中对应的圆心角度数是 ______度；
（2）请把条形统计图补充完整；
（3）若该校有学生1000人，请根据样本估计全校最喜欢踢毽子的学生人数约是多少？
【正确答案】（1）40% ， 144；（2）补图见解析；（3）估计全校最喜欢踢毽子的学生人数约100人．
【分析】（1）利用减去D、C、B三部分所占百分比即可得到最喜欢A项目的人数所占的百分比；所在扇形统计图中对应的圆心角度数用360°×40%即可；
（2）根据频数=总数×百分比可算出总人数，再利用总人数减去D、C、B三部分的人数即可得到A部分的人数，再补全图形即可；
（3）利用样本估计总每个体的方法用1000×样本中喜欢踢毽子的人数所占百分比即可．
【详解】解：（1）﹣20%﹣10%﹣30%=40%，
360°×40%=144°；
（2）抽查的学生总人数：15÷30%=50，
50﹣15﹣5﹣10=20（人）．如图所示：
（3）1000×10%=100（人）．
答：全校最喜欢踢毽子的学生人数约是100人．
21. 某课题组为了解全市九年级学生对数学知识的掌握情况，在数学检测中，从全市24000名九年级考生中随机抽取部分学生的数学成绩进行，并将结果绘制成如下图表：
分数段
频数
频率
x＜60
20
0.10
60≤x＜70
28
0.14
70≤x＜80
54
0.27
80≤x＜90
a
0.20
90≤x＜100
24
0.12
100≤x＜110
18
b
110≤x＜120
16
0.08
请根据以上图表提供的信息，解答下列问题：
（1）表中a和b所表示的数分别为：a= ，b= ；
（2）请在图中，补全频数分布直方图；
（3）如果把成绩在90分以上（含90分）定为，那么该市24000名九年级考生数学成绩为的学生约有多少名？
【正确答案】（1）200，a=40，b=0.09；（2）图形见解析（3）24000名九年级考生数学成绩为的学生约有6960名
【详解】试题分析：（1）先求出总人数，再求a、b；
（2）根据计算的数据补全频率分布直方图；
（3）先计算出样本中的率再乘以24000，即可估计出该市24000名八年级考生数学成绩为的学生人数．
试题解析：（1）样本容量为：20÷0.1=200，a=200×0.20=40，b=18÷200=0.09；
（2）如图
（3）（0.12+0.09+0.08）×24000=0.29×24000=6960（人），
答：该市24000名八年级考生数学成绩为的学生约有6960名．
考点：1频数（率）分布直方图；2.用样本估计总体；3.频数（率）分布表．
22. 如图，点E是正方形ABCD的边DC上一点，把△ADE顺时针旋转△ABF的位置．
（1）旋转是点 ，旋转角度是 度；
（2）若连接EF，则△AEF是 三角形；并证明；
（3）若四边形AECF的面积为25，DE=2，求AE的长．
【正确答案】（1）A、90；（2）等腰直角；（3）AE=．
【分析】（1）根据旋转变换的定义，即可解决问题；
（2）根据旋转变换的定义，即可解决问题；
（3）根据旋转变换的定义得到△ADE≌△ABF，进而得到S四边形AECF=S正方形ABCD=25，求出AD的长度，即可解决问题．
【详解】解：（1）如图，由题意得：旋转是点A，旋转角度是90度，
故答案为A、90；
（2）由题意得：AF=AE，∠EAF=90°，
∴△AEF为等腰直角三角形．
故答案为等腰直角；
（3）由题意得：△ADE≌△ABF，
∴S四边形AECF=S正方形ABCD=25，
∴AD=5，而∠D=90°，DE=2，
∴AE=．
本题主要考查了旋转变换的性质、正方形的性质、勾股定理等几何知识点及其应用问题；解题的关键是牢固掌握旋转变换的性质、正方形的性质、勾股定理等几何知识，这是灵活运用、解题的基础和关键．
23. 已知：如图，E，F为□ABCD对角线AC上的两点，且AE=CF，连接BE，DF，求证：BE=DF．
【正确答案】证明见解析．
【分析】利用SAS证明△AEB≌△CFD，再根据全等三角形的对应边相等即可得．
【详解】∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB//DC，AB=DC，
∴∠BAE=∠DCF，
△AEB和△CFD中，
，
∴△AEB≌△CFD（SAS），
∴BE=DF．
本题考查了平行四边形的性质以及全等三角形的判定与性质，熟练掌握相关的性质是解题的关键．
24. 如图，在ABCD中，E为BC边上一点，且AB=AE．
（1）求证：△ABC≌△EAD；
（2）若AE平分∠DAB，∠EAC=25°，求∠AED的度数．
【正确答案】（1）证明见解析；（2）∠AED=85°．
【分析】（1）根据平行四边形的性质可知BC=AD，由已知AB=AE可得∠B=∠AEB，进而得∠B=∠DAE，根据边角边可证明全等；
（2）由（1）知∠AEB=∠DAE，由角平分线知∠BAE=∠DAE，进而可得∠AEB=∠BAE，从而求得∠BAE=60°再进行角度的计算即可求解．
【详解】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BC=AD，BC∥AD，
∴∠AEB=∠DAE，
∵AB=AE，
∴∠B=∠AEB，
∴∠B=∠DAE，
∴△ABC≌△EAD（SAS）．
（2）解：由（1）知，∠AEB=∠DAE，
∵AE平分∠DAB，
∴∠BAE=∠DAE，
∴∠AEB=∠BAE，
又∠B=∠AEB，∠BAE=∠B=∠AEB=60°，
∵∠AED=∠BAC，∠EAC=25°，
∴∠AED=∠BAE+∠EAC=60°+25°=85°．
本题考查了平行四边形的性质，三角形全等的证明，等边对等角，角平分线的定义，熟练掌握以上知识是解题的关键．
25.
如图，在△ABC中，AB＝AC，D为BC中点．四边形ABDE是平行四边形．
求证：四边形ADCE是矩形
【正确答案】证明略
【详解】证明：∵四边形ABDE是平行四边形，
∴AE∥BC，AB＝DE，AE＝BD．
∵D为BC的中点，
∴CD＝DB．
∴CD∥AE CD＝AE，
∴四边形ADCE是平行四边形．
∵AB＝AC，
∴AC＝DE．
∴平行四边形ADCE是矩形．
26. 如图，矩形中，与交于点，垂足分别为求证.
【正确答案】证明见解析
【详解】试题分析:要证BE=CF，可运用矩形的性质已知条件证BE、CF所在的三角形全等．
证明：∵四边形ABCD为矩形，
∴AC=BD，则BO=CO．
∵BE⊥AC于E，CF⊥BD于F，
∴∠BEO=∠CFO=90°．
又∵∠BOE=∠COF，
∴△BOE≌△COF．
∴BE=CF．
考点：矩形的性质；全等三角形的判定与性质．
27. 如图，在△ABC中，O是AC上一动点（没有与点A、C重合），过O作直线MN∥BC，设MN交∠BCA的平分线于点E，交∠BCA的外角平分线于点F．
（1）OE与OF相等吗？证明你的结论；
（2）试确定点O的位置，使四边形AECF是矩形，并加以证明．
【正确答案】（1）OE=OF（2）当O运动到AC中点时，四边形AECF是矩形
【详解】整体分析：
（1）利用等角对等边分别判断OE=OC，OF=OC；（2）先判断四边形AECF是平行四边形，再证明∠ECF=90°.
解：（1）OE=OF，
∵MN∥BC，
∴∠OEC=∠BCE，∠OFC=∠FCD，
∵CE平分∠ACB，CF平分∠ACD，
∴∠BCE=∠ACE，∠OCF=∠FCD，
∴∠ACE=∠OEC，∠OCF=∠OFC，
∴OE=OC，OC=OF，
∴OE=OF．
（2）当O运动到AC中点时，四边形AECF是矩形，
∵AO=CO，OE=OF，
∴四边形AECF是平行四边形，
∵∠ECA+∠ACF=∠BCD，
∴∠ECF=90°，
∴四边形AECF是矩形．
2022-2023学年广东省东莞市八年级下册数学期中专项提升模拟
（B卷）
一、选一选（每小题3分，共30分）
1. 若二次根式有意义，则的取值范围是（ ）．
A. B. C. D.
2. 下列各组数据为边的三角形中，是直角三角形的是（ ）
A. 、、7 B. 5、4、8 C. 、2、1 D. 、3、
3. 下列各式中，没有是二次根式的是（ ）
A. B. C. D.
4. 下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ）
A B. C. D.
5. 如果一个四边形的两条对角线互相平分，互相垂直且相等，那么这个四边形是（ ）
A. 矩形 B. 菱形 C. 正方形 D. 菱形，矩形或正方形
6. 以下运算错误的是（ ）
A B. 2 C. = D. （a＞0）
7. 下列说法中，错误的是（ ）
A. 平行四边形的对角线互相平分
B. 对角线互相平分的四边形是平行四边形
C. 菱形的对角线互相垂直
D. 对角线互相垂直的四边形是菱形
8. 如图所示，直线a∥b，A是直线a上的一个定点，线段BC在直线b上移动，那么在移动过程中△ABC的面积( )
A. 变大 B. 变小 C. 没有变 D. 无法确定
9. 如图,延长矩形ABCD的边BC至点E，使CE=BD，连接AE，如果∠ADB=30º，则∠E的度数是（ ）
A. 15º B. 30º C. 22.5º D. 10º
10. 如图,在中，，是上点,∥交于点，∥交于点，那么四边形的周长是（ ）
A. 5 B. 10 C. 15 D. 20
填 空 题（每小题4分，共24分）
11. 计算：___．
12. 如果最简二次根式与是同类二次根式，则a=______．
13. 有一个直角三角形的两边为4、5，要使三角形为直角三角形，则第三边等于_____．
14. 矩形的两条对角线的夹角为，较短的边长为，则对角线长为________．
15. 如图，在△ABC中，D、E分别是边AB、AC的中点，BC=8，则DE=_________
16. 如图，在矩形ABCD中，AD=4，点P是直线AD上一动点，若满足△PBC是等腰三角形的点P有且只有3个，则AB的长为_____．
三、解 答 题（一）（每小题6分，共18分）
17 计算：
18. 已知：如图，平行四边形ABCD中，E、F分别是边BC和AD上的点，且BE=DF，求证：AE=CF
19. 观察下列一组勾股数：
第1组
3=2×1+1
4=2×1×（1+1）
5=2×1×（1+1）+1
第2组
5=2×2+1
12=2×2×（2+1）
13=2×2×（2+1）+1
第3组
7=2×3+1
24=2×3×（3+1）
25=2×3×（3+1）+1
第4组
9=2×4+1
40=2×4×（4+1）
41=2×4×（4+1）+1
…
…
…
…
观察以上各组勾股数的特点：
（1）请写出第7组勾股数，，；
（2）写出第组勾股数，，.
四、解 答 题（二）（每小题7分，共21分）
20. 如图，四边形ABCD中，∠B＝90°，AB＝4，BC＝3，CD＝12，AD＝13．求四边形ABCD的面积．
21. 已知x=+3，y=﹣3，求下列各式的值：
（1）x2﹣2xy+y2
（2）x2﹣y2．
22. 如图，在中，于点E点，延长BC至F点使，连接AF，DE，DF.
（1）求证：四边形AEFD是矩形；
（2）若，，，求AE的长.
五、解 答 题（三）（每小题9分，共27分）
23. 如图，矩形ABCD中，AB=6，BC=4，过对角线BD中点O直线分别交AB，CD边于点E，F．
（1）求证：四边形BEDF是平行四边形；
（2）当四边形BEDF是菱形时，求EF的长．
24. 如图（1）在平面直角坐标系中，四边形OBCD是正方形，且D（0,2），点E是线段OB延长线上一点，M是线段OB上一动点（没有包括O、B），做MN⊥DM，垂足为M，交∠CBE的平分线于点N.
（1）求点C的坐标；
（2）求证：MD=MN；
（3）如图（2），连接DN交BC于F，连接FM，探究线段MF、CF、OM之间有什么数量关系？并证明你的结论.
图（1） 图（2）
25. 如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，BC=5，∠C=30°.点D从点C出发沿CA方向以每秒2个单位长的速度向点A匀速运动，同时点E从点A出发沿AB方向以每秒1个单位长的速度向点B匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动.设点D、E运动的时间是t秒（t＞0）.过点D作DF⊥BC于点F，连接DE、EF.
（1）求证：AE=DF；
（2）四边形AEFD能够成为菱形吗？如果能，求出相应的t值；如果没有能，说明理由.
（3）当t为何值时，△DEF为直角三角形？请说明理由.
2022-2023学年广东省东莞市八年级下册数学期中专项提升模拟
（B卷）
一、选一选（每小题3分，共30分）
1. 若二次根式有意义，则的取值范围是（ ）．
A. B. C. D.
【正确答案】B
【分析】根据被开方数大于等于0列没有等式求解即可．
【详解】解：由题意得，x-2≥0，
解得x≥2．
故选：B．
本题考查了二次根式有意义的条件，二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义．
2. 下列各组数据为边的三角形中，是直角三角形的是（ ）
A. 、、7 B. 5、4、8 C. 、2、1 D. 、3、
【正确答案】C
【分析】由勾股定理的逆定理，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可．
【详解】解：A、（）²＋（）²≠7²，没有能构成直角三角形，故错误；
B、5²＋4²≠8²，没有能构成直角三角形，故错误；
C、（）²＝2²＋1²，能构成直角三角形，故正确；
D、（）²＋（）²≠3²，没有能构成直角三角形，故错误．
故选：C
本题考查了直角三角形的判定．判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可．
3. 下列各式中，没有是二次根式的是（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】B
【详解】分析：根据二次根式的性质，被开方数应大于或等于0．
详解：A、是二次根式；
B、3−π＜0，所以没有是二次根式；
C、是二次根式；
D、是二次根式．
故选B．
点睛：主要考查了二次根式的概念．
二次根式的概念：式子（a≥0）叫二次根式．
（a≥0）是一个非负数．
二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义．
当二次根式在分母上时还要考虑分母没有等于零，此时被开方数大于0．
4. 下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】B
【详解】分析：判定一个二次根式是没有是最简二次根式的方法，就是逐个检查定义中的两个条件（①被开方数没有含分母；②被开方数没有含能开得尽方的因数或因式）是否同时满足，同时满足的就是最简二次根式，否则就没有是．
详解：A、被开方数里含有能开得尽方的因数8，故本选项错误；
B、符合最简二次根式的条件；故本选项正确；
C、被开方数里含有分母；故本选项错误．
D、被开方数里含有能开得尽方的因式a²；故本选项错误；
故选B．
点睛：本题主要考查了最简二次根式的定义，最简二次根式必须满足两个条件：
（1）被开方数没有含分母；
（2）被开方数没有含能开得尽方的因数或因式．
5. 如果一个四边形的两条对角线互相平分，互相垂直且相等，那么这个四边形是（ ）
A 矩形 B. 菱形 C. 正方形 D. 菱形，矩形或正方形
【正确答案】C
【分析】根据正方形的判定方法知：对角线互相平分，互相垂直且相等的四边形是正方形．
【详解】解：根据对角线互相平分，互相垂直且相等的四边形是正方形，
故选C．
本题是考查正方形的判定方法，判定一个四边形为正方形主要根据正方形的概念，方法有两种：①先说明它是矩形，再说明有一组邻边相等；②先说明它是菱形，再说明它有一个角为直角．
6. 以下运算错误的是（ ）
A. B. 2 C. = D. （a＞0）
【正确答案】C
【分析】利用二次根式的乘法法则对A、B进行判断；利用二次根式的化简对C、D进行判断．
【详解】A．原式，所以A选项的运算正确；
B．原式＝2，所以，B选项的运算正确；
C．原式5，所以C选项的运算错误；
D．原式＝2ab，所以D选项的运算正确．
故选C．
本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运算，再合并即可．在二次根式的混合运算中，如能题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．
7. 下列说法中，错误的是（ ）
A. 平行四边形对角线互相平分
B. 对角线互相平分的四边形是平行四边形
C. 菱形的对角线互相垂直
D. 对角线互相垂直的四边形是菱形
【正确答案】D
【详解】试题分析：A. 平行四边形的对角线互相平分，说确；
B．对角线互相平分的四边形是平行四边形，说确；
C．菱形的对角线互相垂直，说确；
D．对角线互相垂直的四边形是菱形，说法错误.
故选D.
考点:1.平行四边形的判定；2.菱形的判定.
8. 如图所示，直线a∥b，A是直线a上的一个定点，线段BC在直线b上移动，那么在移动过程中△ABC的面积( )
A. 变大 B. 变小 C. 没有变 D. 无法确定
【正确答案】C
【分析】由于平行线间的距离处处相等，而的面积高．其中高没有变，所以面积也没有变．
【详解】解：如图，，
，之间的距离是固定的，
而的高和这个距离相等，
所以的高、底边都是固定的，
所以它的面积没有变．
故选：C．
此题主要考查了平行线的性质和三角形面积公式，解题的关键是掌握平行线间的距离处处相等．
9. 如图,延长矩形ABCD的边BC至点E，使CE=BD，连接AE，如果∠ADB=30º，则∠E的度数是（ ）
A. 15º B. 30º C. 22.5º D. 10º
【正确答案】A
详解】分析：连接AC，由矩形性质可得∠E＝∠DAE、BD＝AC＝CE，知∠E＝∠CAE，而∠ADB＝∠CAD＝30°，可得∠E度数．
详解：连接AC，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BE，AC＝BD，且∠ADB＝∠CAD＝30°，
∴∠E＝∠DAE，
又∵BD＝CE，
∴CE＝CA，
∴∠E＝∠CAE，
∵∠CAD＝∠CAE＋∠DAE，
∴∠E＋∠E＝30°，
∴∠E＝15°．
故选：A
点睛：本题主要考查矩形性质，熟练掌握矩形对角线相等且互相平分、对边平行是解题关键．
10. 如图,在中，，是上的点,∥交于点，∥交于点，那么四边形的周长是（ ）
A. 5 B. 10 C. 15 D. 20
【正确答案】B
【分析】由于DE∥AB，DF∥AC，则可以推出四边形AFDE是平行四边形，然后利用平行四边形的性质可以证明□AFDE的周长等于AB＋AC．
【详解】∵DE∥AB，DF∥AC，
则四边形AFDE是平行四边形，
∠B＝∠EDC，∠FDB＝∠C
∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
∴∠B＝∠FDB，∠C＝∠EDF，
∴BF＝FD，DE＝EC，
所以□AFDE的周长等于AB＋AC＝10．
故答案为B
本题考查了平行四边形的性质、等腰三角形的性质、平行四边形的判定，熟练掌握这些知识点是本题解题的关键．
填 空 题（每小题4分，共24分）
11. 计算：___．
【正确答案】
【详解】解：根据二次根式的乘法法则计算：．
故．
12. 如果最简二次根式与是同类二次根式，则a=______．
【正确答案】1
【详解】由题意得
a+2=6-3a,
a=1
13. 有一个直角三角形的两边为4、5，要使三角形为直角三角形，则第三边等于_____．
【正确答案】3或
【分析】分两种情况讨论：①若4是直角边，5是斜边；②若4和5都是直角边，再利用勾股定理求出第三边.
【详解】解：分两种情况讨论：
若4是直角边，5是斜边，那么第三边=
②若4和5都是直角边，那么第三边=
故3或.
本题考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理中三边关系是解答的关键.
14. 矩形的两条对角线的夹角为，较短的边长为，则对角线长为________．
【正确答案】24
【分析】根据矩形对角线相等且互相平分性质和题中条件得△AOB为等边三角形，即可得到矩形对角线一半长，进而求解即可．
【详解】解：如图所示，
∵四边形ABCD是矩形，AC，BD是对角线，
∴AC=BD，
OA＝OB＝OD＝OC＝BD＝AC，
在△AOB中，OA＝OB，∠AOB＝60°，
∴△AOB是等边三角形，
OA＝OB＝AB＝12cm，
则BD＝2OB＝2×12＝24（cm），
故答案为24．
本题考查了矩形的性质，比较简单，解题的关键是掌握矩形的性质和等边三角形的判定．
15. 如图，在△ABC中，D、E分别是边AB、AC的中点，BC=8，则DE=_________
【正确答案】4
【详解】∵D、E分别是边AB、AC的中点，BC=8，
∴DE=BC=4．
故答案为4．
16. 如图，在矩形ABCD中，AD=4，点P是直线AD上一动点，若满足△PBC是等腰三角形的点P有且只有3个，则AB的长为_____．
【正确答案】4．
【分析】
【详解】试题分析：如图，当AB=AD时，满足△PBC是等腰三角形的点P有且只有3个，△P1BC，△P2BC是等腰直角三角形，△P3BC是等腰直角三角形（P3B=P3C），则AB=AD=4，
故答案为4．
考点：矩形的性质；等腰三角形的性质；勾股定理；分类讨论．
三、解 答 题（一）（每小题6分，共18分）
17. 计算：
【正确答案】0
【详解】分析：先把各根式化为最简二次根式，再去括号，合并同类项即可．
详解：
=
=0
点睛：本题考查的是二次根式的加减法，熟知二次根式的加减实质上是合并同类项是解答此题的关键．
18. 已知：如图，平行四边形ABCD中，E、F分别是边BC和AD上的点，且BE=DF，求证：AE=CF
【正确答案】详见解析
【分析】根据平行四边形的性质和已知条件证明△ABE≌△CDF，再利用全等三角形的性质：即可得到AE=CF．
【详解】证：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB=CD，∠B=∠D，又∵BE=DF，∴△ABE≌△CDF，∴AE=CF. （其他证法也可）
19. 观察下列一组勾股数：
第1组
3=2×1+1
4=2×1×（1+1）
5=2×1×（1+1）+1
第2组
5=2×2+1
12=2×2×（2+1）
13=2×2×（2+1）+1
第3组
7=2×3+1
24=2×3×（3+1）
25=2×3×（3+1）+1
第4组
9=2×4+1
40=2×4×（4+1）
41=2×4×（4+1）+1
…
…
…
…
观察以上各组勾股数的特点：
（1）请写出第7组勾股数，，；
（2）写出第组勾股数，，.
【正确答案】（1）=15，=112，=113；（2）=，=，=
【详解】分析：通过观察，得出规律：这类勾股数分别为2n+1，2n（n+1），2n（n+1）+1，由此可写出第7组勾股数及第n组勾股数
详解：：（1）∵第1组：3=2×1+1，4=2×1×（1+1），5=2×1×（1+1）+1，
第2组：5=2×2+1，12=2×2×（2+1），13=2×2×（2+1）+1，
第3组：7=2×3+1，24=2×3×（3+1），25=2×3×（3+1）+1，
第4组：9=2×4+1，40=2×4×（4+1）41=2×4×（4+1）+1，
∴第7组勾股数是2×7+1=15，2×7×（7+1）=112，2×7×（7+1）+1=113，
即=15，=112，=113；
（2）第n组勾股数是=，=，=.
点睛：此题考查知识点是勾股数，属于规律性题目，关键是通过观察找出规律求解．
四、解 答 题（二）（每小题7分，共21分）
20. 如图，四边形ABCD中，∠B＝90°，AB＝4，BC＝3，CD＝12，AD＝13．求四边形ABCD的面积．
【正确答案】四边形ABCD的面积为36．
【分析】连接AC，在直角三角形ABC中，由AB及BC的长，利用勾股定理求出AC的长，再由AD及CD的长，利用勾股定理的逆定理得到三角形ACD为直角三角形，根据四边形ABCD的面积=直角三角形ABC的面积+直角三角形ACD的面积，即可求出四边形的面积．
【详解】解：连接AC，如图所示：
∵∠B=90°，
∴△ABC为直角三角形，
又AB=4，BC=3，
∴根据勾股定理得：AC==5，
又AD=13，CD=12，
∴AD2=132=169，CD2+AC2=122+52=144+25=169，
∴CD2+AC2=AD2，
∴△ACD为直角三角形，∠ACD=90°，
则S四边形ABCD=S△ABC+S△ACD
=AB•BC+AC•CD
=×3×4+×12×5
=36．
答：四边形ABCD的面积为36．
本题考查了勾股定理，以及勾股定理的逆定理，熟练掌握定理及逆定理是解本题的关键．
21. 已知x=+3，y=﹣3，求下列各式的值：
（1）x2﹣2xy+y2
（2）x2﹣y2．
【正确答案】（1）36（2）12
【分析】（1）先计算出x-y=6，再利用完全平方公式得到x2-2xy+y2=（x-y）2，然后利用整体代入的方法计算；
（2）先计算出x+y=，x-y=6，再利用平方差公式得到x2-y2=（x+y）（x-y），然后利用整体代入的方法计算．
【详解】（1）∵x=+3，y=﹣3，
∴x﹣y=6，
∴x2﹣2xy+y2=（x﹣y）2=62=36；
（2）∵x=+3，y=﹣3，
∴x+y=2，x﹣y=6，
∴x2﹣y2=（x+y）（x﹣y）=2×6=12．
本题考查了二次根式的化简求值：一定要先将式子变形再整体代入求值．二次根式运算的，注意结果要化成最简二次根式，二次根式的乘除运算要与加减运算区分，避免互相干扰．
22. 如图，在中，于点E点，延长BC至F点使，连接AF，DE，DF.
（1）求证：四边形AEFD是矩形；
（2）若，，，求AE的长.
【正确答案】（1）见解析；（2）
【分析】（1）先证明四边形AEFD是平行四边形，再证明∠AEF=90°即可．
（2）证明△ABF是直角三角形，由三角形的面积即可得出AE的长．
【详解】（1）证明：∵CF=BE，
∴CF+EC=BE+EC．
即 EF=BC．
∵在▱ABCD中，AD∥BC且AD=BC，
∴AD∥EF且AD=EF．
∴四边形AEFD是平行四边形．
∵AE⊥BC，
∴∠AEF=90°．
∴四边形AEFD是矩形；
（2）∵四边形AEFD是矩形，DE=8，
∴AF=DE=8．
∵AB=6，BF=10，
∴AB2+AF2=62+82=100=BF2．
∴∠BAF=90°．
∵AE⊥BF，
∴△ABF面积=AB•AF=BF•AE．
∴AE=．
五、解 答 题（三）（每小题9分，共27分）
23. 如图，矩形ABCD中，AB=6，BC=4，过对角线BD中点O的直线分别交AB，CD边于点E，F．
（1）求证：四边形BEDF是平行四边形；
（2）当四边形BEDF是菱形时，求EF的长．
【正确答案】（1）证明见解析；（2）．
【分析】（1）根据矩形ABCD的性质，判定△BOE≌△DOF（ASA），进而得出结论；
（2）在Rt△ADE中，由勾股定理得出方程，解方程求出BE，由勾股定理求出BD，得出OB，再由勾股定理求出EO，即可得出EF的长.
【详解】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，O是BD的中点，
∴∠A=90°，AD=BC=4，AB∥DC，OB=OD，
∴∠OBE=∠ODF，
在△BOE和△DOF中，
∴△BOE≌△DOF（ASA），
∴EO=FO，
∴四边形BEDF是平行四边形；
（2）当四边形BEDF是菱形时，BD⊥EF，
设BE=x，则 DE=x，AE=6-x，
在Rt△ADE中，DE2=AD2+AE2，
∴x2=42+（6-x）2，
解得：x= ，
∵BD= =2，
∴OB=BD=，
∵BD⊥EF，
∴EO==，
∴EF=2EO=．
本题主要考查了矩形的性质，菱形的性质、勾股定理、全等三角形的判定与性质，熟练掌握矩形的性质和勾股定理，证明三角形全等是解决问的关键
24. 如图（1）在平面直角坐标系中，四边形OBCD是正方形，且D（0,2），点E是线段OB延长线上一点，M是线段OB上一动点（没有包括O、B），做MN⊥DM，垂足为M，交∠CBE的平分线于点N.
（1）求点C的坐标；
（2）求证：MD=MN；
（3）如图（2），连接DN交BC于F，连接FM，探究线段MF、CF、OM之间有什么数量关系？并证明你的结论.
图（1） 图（2）
【正确答案】（1）C（2,2）；（2）见解析（3）见解析
【详解】分析：（1）由正方形的性质可以得出OB=BC=OD就可以求出点C的坐标；
（2）在OD上取一点G，使OG=OM，就可以得出DG=BM，从而得出△GDM≌△BMN，就可以得出结论；
（3）由旋转可以得出△FCD≌△AOD，就可以得出OA=FC，∠ADM=∠CDM，进而得出△DMA≌△DMF，就可以得出AM=FM而得出结论.
详解：
（1）∵四边形OBCD是正方形，
∴OB=BC=OD，∠DOB=∠OBC=∠C=90°．
∵D（0，2），
∴OD=2，
∴OB=BC=OD=2，
∴C（2，2）；
（2）在OD上取一点G，使OG=OM，
∴∠OGM=∠OMG=45°，
∴∠DGM=135°．
∵OD=OB，
∴OD-OG=OB-OM，
∴GD=BM．
∵MN⊥DM，
∴∠DMN=90°，
∴∠DMO+∠NMB=90°．
∵∠DMO+∠ODM=90°，
∴∠ODM=∠BMN．
∵BN平分∠CBE，
∴∠E=×90°=45°，
∴∠MBN=135°，
∴∠DGM=∠MBN．
在△GDM和△BMN中
，
∴△GDM≌△BMN（ASA），
∴MD=MN；
（3）OM+CF=MF
理由：∵MD=MN，∠DMN=90°，
∴∠MDN=45°，
∴∠ODM+∠FDC=45°．
∵△DCF绕点D顺时针旋转90°得△DOA，
∴△DCF≌△DOA，
∴AO=FC，∠ADO=∠FDC，AD=FD．
∴∠ADO+∠MDO=45°，
即∠ADM=45°．
∴∠ADM=∠CDM．
在△DMA和△DMF中
，
∴△DMA≌△DMF（SAS），
∴AM=FM．
∵AM=AO+MO，
∴AM=CF+MO，
∴OM+CF=MF．
点睛：本题考查了正方形的性质的运用，旋转的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，角平分线的性质的运用，解答时证明三角形全等是关键.
25. 如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，BC=5，∠C=30°.点D从点C出发沿CA方向以每秒2个单位长的速度向点A匀速运动，同时点E从点A出发沿AB方向以每秒1个单位长的速度向点B匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动.设点D、E运动的时间是t秒（t＞0）.过点D作DF⊥BC于点F，连接DE、EF.
（1）求证：AE=DF；
（2）四边形AEFD能够成为菱形吗？如果能，求出相应的t值；如果没有能，说明理由.
（3）当t为何值时，△DEF为直角三角形？请说明理由.
【正确答案】（1）证明见解析；（2）能，；（3）或4时，△DEF为直角三角形.
【分析】在中，，，根据30°角直角三角形的性质及已知条件即可证得结论；
先证得四边形AEFD为平行四边形，使▱AEFD为菱形则需要满足的条件为AE=AD，由此即可解答；
时，四边形EBFD为矩形，在Rt△AED中求可得，由此即可解答；时，由知，则得，求得，由此列方程求解即可；时，此种情况没有存在．
【详解】在中，，，，
．
又，
．
能，
，，
．
又，
四边形AEFD为平行四边形．
，
．
．
若使▱AEFD为菱形，则需，
即，．
即当时，四边形AEFD为菱形．
时，四边形EBFD为矩形．
在中，，
．
即，．
时，由四边形AEFD为平行四边形知，
．
，
．
即，．
时，此种情况没有存在．
综上所述，当秒或4秒时，为直角三角形．
本题考查了菱形的性质和的判定定理，矩形的判定和性质，第三小问中涉及到需要进行分类讨论，注意没有要漏解．
2022-2023学年广东省东莞市八年级下册数学期中专项提升模拟
（A卷）
一、选择(本大题共8小题，每小题2分，共16分)
1. 下列图形中，既是轴对称图形又是对称图形的是
A. B. C. D.
2. 2017年我市有1.6万名初中毕业生参加升学考试，为了了解这1.6万名考生的数学成绩，从中抽取2000名考生的数学成绩进行统计，在这个问题中样本是（ ）
A. 1.6万名考生 B. 2000名考生 C. 1.6万名考生的数学成绩 D. 2000名考生的数学成绩
3. 下列中，属于必然的是（ ）
A. 抛掷1个均匀的骰子，出现4点向上 B. 任意数的值都是正数
C. 两直线被第三条直线所截，内错角相等 D. 13人中至少有2人的生日在同一个月
4. 如图，在△ABC中，∠CAB=65°，将△ABC在平面内绕点A旋转到△AB′C′的位置，使CC′∥AB，则旋转角的度数为（ ）
A. 30° B. 40° C. 50° D. 65°
5. 矩形ABCD对角线AC、BD相交于点O，∠AOD=120°，AC=8，则△ABO的周长为（ ）
A 16 B. 12 C. 24 D. 20
6. 矩形具有而平行四边形没有一定具有的性质是（ ）
A. 对角线互相平分 B. 两组对角相等
C. 对角线相等 D. 两组对边相等
7. 如图，平行四边形ABCD中，∠C＝108°，BE平分∠ABC，则∠AEB等于（ ）
A. 18° B. 36° C. 72° D. 108°
8. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝5，BC＝12，D是AB上一动点，过点D作DE⊥AC于点E，DF⊥BC于点F，连接EF，则线段EF的最小值是___．
二、填空（本大题共有10小题，每小题2分，共20分）
9. 从－1，0，，π，3中随机任取一数，取到无理数的概率是_____．
10. 神舟九号宇宙飞船各部件功能是否符合要求，这种适合用______（填“普查”或“抽样”）．
11. 在▱ABCD中，∠A＝70°，则∠C＝_____度．
12. 对某班组织的考试成绩进行统计，已知80.5～90.5分这一组的频数是6，频率是0.15，那么该班级的人数是______人．
13. 扇形统计图中，其中一个扇形的圆心角为144°，则这个扇形所表示的占总体的百分比为______．
14. 如图，在平行四边形中，对角线与相交于点．若，，，则的取值范围为__________．
15. 学校为了考察我校七年级同学的视力情况，从七年级的4个班共200名学生中，每班抽取了5名进行分析，在这个问题中，样本的容量是 ．
16. 在矩形中，对角线，相交于点，若对角线，边，则的周长为________．
17. 矩形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，∠AOB=60°，AB=2cm，则AC=__cm．
18. 如图，矩形ABCD的两条线段交于点O，过点O作AC的垂线EF，分别交AD、BC于点E、F，连接CE，已知△CDE的周长为24cm，则矩形ABCD的周长是______cm．
三、解 答 题（本题共9小题，共64分.）
19. 如图所示的正方形网格中，△ABC的顶点均在格点上，请按要求画图：
（1）以点A为旋转，将△ABC绕点A顺时针旋转90°得△AB1C1，画出△AB1C1．
（2）作出△ABC关于点O成对称的△A2B2C2．
20. 育人中学开展课外体育，决定开设A：篮球、B：乒乓球、C：踢毽子、D：跑步四种项目．为了解学生最喜欢哪一种项目（每人只选取一种），随机抽取了部分学生进行，并将结果绘成如甲、乙所示的统计图，请你图中信息解答下列问题．
（1）样本中最喜欢A项目的人数所占的百分比为________ ，其所在扇形统计图中对应的圆心角度数是 ______度；
（2）请把条形统计图补充完整；
（3）若该校有学生1000人，请根据样本估计全校最喜欢踢毽子学生人数约是多少？
21. 某课题组为了解全市九年级学生对数学知识的掌握情况，在数学检测中，从全市24000名九年级考生中随机抽取部分学生的数学成绩进行，并将结果绘制成如下图表：
分数段
频数
频率
x＜60
20
0.10
60≤x＜70
28
0.14
70≤x＜80
54
0.27
80≤x＜90
a
0.20
90≤x＜100
24
0.12
100≤x＜110
18
b
110≤x＜120
16
0.08
请根据以上图表提供的信息，解答下列问题：
（1）表中a和b所表示的数分别为：a= ，b= ；
（2）请在图中，补全频数分布直方图；
（3）如果把成绩在90分以上（含90分）定为，那么该市24000名九年级考生数学成绩为的学生约有多少名？
22. 如图，点E是正方形ABCD的边DC上一点，把△ADE顺时针旋转△ABF的位置．
（1）旋转是点 ，旋转角度是 度；
（2）若连接EF，则△AEF 三角形；并证明；
（3）若四边形AECF的面积为25，DE=2，求AE的长．
23. 已知：如图，E，F为□ABCD对角线AC上的两点，且AE=CF，连接BE，DF，求证：BE=DF．
24. 如图，在ABCD中，E为BC边上一点，且AB=AE．
（1）求证：△ABC≌△EAD；
（2）若AE平分∠DAB，∠EAC=25°，求∠AED的度数．
25.
如图，在△ABC中，AB＝AC，D为BC中点．四边形ABDE是平行四边形．
求证：四边形ADCE是矩形
26. 如图，矩形中，与交于点，垂足分别为求证.
27. 如图，在△ABC中，O是AC上一动点（没有与点A、C重合），过O作直线MN∥BC，设MN交∠BCA平分线于点E，交∠BCA的外角平分线于点F．
（1）OE与OF相等吗？证明你的结论；
（2）试确定点O的位置，使四边形AECF是矩形，并加以证明．
2022-2023学年广东省东莞市八年级下册数学期中专项提升模拟
（A卷）
一、选择(本大题共8小题，每小题2分，共16分)
1. 下列图形中，既是轴对称图形又是对称图形的是
A. B. C. D.
【正确答案】D
【分析】根据轴对称图形和对称图形的定义逐项识别即可，在平面内，把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．
【详解】解：A. 是轴对称图形，但没有是对称图形，故没有符合题意；
B. 没有是轴对称图形，是对称图形，故没有符合题意；
C. 轴对称图形，但没有是对称图形，故没有符合题意；
D. 既是轴对称图形又是对称图形，故符合题意．
故选D．
本题考查了轴对称图形和对称图形的识别，熟练掌握轴对称图形和对称图形的定义是解答本题的关键．
2. 2017年我市有1.6万名初中毕业生参加升学考试，为了了解这1.6万名考生的数学成绩，从中抽取2000名考生的数学成绩进行统计，在这个问题中样本是（ ）
A. 1.6万名考生 B. 2000名考生 C. 1.6万名考生的数学成绩 D. 2000名考生的数学成绩
【正确答案】D
【详解】试题解析：2015年我市有近1.6万名考生参加升学考试，为了了解这1.6万名考生的数学成绩，从中抽取2000名考生的数学成绩进行统计分析，在这个问题中抽取的2000名考生的数学成绩为样本．
故选D．
考点：总体、个体、样本、样本容量．
3. 下列中，属于必然的是（ ）
A. 抛掷1个均匀的骰子，出现4点向上 B. 任意数的值都是正数
C. 两直线被第三条直线所截，内错角相等 D. 13人中至少有2人的生日在同一个月
【正确答案】D
【详解】A、B、C选项可能发生也可能没有发生的，属于随机；
故选D．
4. 如图，在△ABC中，∠CAB=65°，将△ABC在平面内绕点A旋转到△AB′C′的位置，使CC′∥AB，则旋转角的度数为（ ）
A. 30° B. 40° C. 50° D. 65°
【正确答案】C
【详解】解：∵CC′∥AB，
∴∠ACC′=∠CAB=65°，
∵△ABC绕点A旋转得到△AB′C′，
∴AC=AC′，
∴∠CAC′=180°-2∠ACC′=180°-2×65°=50°，
∴∠CAC′=∠BAB′=50°
故选：C．
5. 矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，∠AOD=120°，AC=8，则△ABO的周长为（ ）
A. 16 B. 12 C. 24 D. 20
【正确答案】B
【详解】试题分析：根据矩形性质求出AO=BO=4，得出等边三角形AOB，求出AB，即可求出答案．
解：
∵四边形ABCD是矩形，AC=8，
∴AC=BD，AC=2AO，BD=2BO，
∴AO=BO=4，
∵∠AOD=120°，
∴∠AOB=60°，
∴△AOB是等边三角形，
∴AB=AO=4，
∴△ABO的周长是4+4+4=12，
故选B．
考点：矩形的性质．
6. 矩形具有而平行四边形没有一定具有的性质是（ ）
A. 对角线互相平分 B. 两组对角相等
C. 对角线相等 D. 两组对边相等
【正确答案】C
【分析】
【详解】矩形的性质有：四个角都是直角，对角线相等且平分，对边平行且相等；
平行四边形的性质有：对角相等，对边相等且平行，对角线互相平分；
∴矩形具有但平行四边形没有一定具有的性质是对角线相等，
故选C．
7. 如图，平行四边形ABCD中，∠C＝108°，BE平分∠ABC，则∠AEB等于（ ）
A. 18° B. 36° C. 72° D. 108°
【正确答案】B
【分析】首先根据平行四边形的性质，得出∠ABC的度数，又由BE平分∠ABC，得出∠ABE=∠CBE，∠AEB和∠CBE是内错角，相等，即可得出∠AEB.
【详解】解：∵平行四边形ABCD中，∠C＝108°，
∴∠ABC=180°-108°=72°
又∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE=∠CBE=36°
又∵∠AEB=∠CBE
∴∠AEB=36°
故B.
此题主要考查利用平行四边形的性质求角的度数，熟练掌握即可解题.
8. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝5，BC＝12，D是AB上一动点，过点D作DE⊥AC于点E，DF⊥BC于点F，连接EF，则线段EF的最小值是___．
【正确答案】
【分析】连接CD，利用勾股定理列式求出AB，判断出四边形CFDE是矩形，根据矩形的对角线相等可得EF=CD，再根据垂线段最短可得CD⊥AB时，线段EF的值最小，然后根据三角形的面积公式列出求解即可．
【详解】解：如图，连接CD．
∵∠ACB＝90°，AC＝5，BC＝12，
∴AB＝＝＝13，
∵DE⊥AC，DF⊥BC，∠C＝90°，
∴四边形CFDE是矩形，
∴EF＝CD，
由垂线段最短可得CD⊥AB时，线段EF的值最小，
此时，S△ABC＝BC•AC＝AB•CD，
即×12×5＝×13•CD，
解得：CD＝，
∴EF＝．
故．
本题考查了矩形的判定与性质，垂线段最短的性质，勾股定理，判断出CD⊥AB时，线段EF的值最小是解题的关键，难点在于利用三角形的面积列出方程．
二、填空（本大题共有10小题，每小题2分，共20分）
9. 从－1，0，，π，3中随机任取一数，取到无理数的概率是_____．
【正确答案】．
【详解】根据概率的求法，找准两点：①全部等可能情况的总数；②符合条件的情况数目；二者的比值就是其发生的概率．因此，
∵数据﹣1，0，，π，3中无理数只有π，∴取到无理数的概率为：．
故．
10. 神舟九号宇宙飞船各部件功能是否符合要求，这种适合用______（填“普查”或“抽样”）．
【正确答案】普查
【分析】根据普查得到的结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，而抽样得到的结果比较近似判断即可．
【详解】解：神舟九号宇宙飞船各部件功能是否符合要求，这种适合用普查．
故普查
本题考查的是抽样和全面的区别，熟练掌握选择普查还是抽样要根据所要考查的对象的特征灵活选用是解题的关键．一般来说，对于具有破坏性的、无法进行普查、普查的意义或没有大，应选择抽样，对于度要求高的，事关重大的往往选用普查．
11. 在▱ABCD中，∠A＝70°，则∠C＝_____度．
【正确答案】70
【详解】解：∵四边形ABCD平行四边形，
∴∠C=∠A=70°．
故答案为70．
【点评】此题考查的是平行四边形的性质；熟记平行四边形的对角相等是解决问题的关键．
12. 对某班组织的考试成绩进行统计，已知80.5～90.5分这一组的频数是6，频率是0.15，那么该班级的人数是______人．
【正确答案】40
【详解】因为频率=频数÷班级人数，所以班级人数=6÷0.15=40，所以该班级的人数是40人，故答案为40.
13. 扇形统计图中，其中一个扇形的圆心角为144°，则这个扇形所表示的占总体的百分比为______．
【正确答案】40％
【详解】因为×=40%，所以个扇形所表示的占总体的百分比为40%，故答案为40%.
14. 如图，在平行四边形中，对角线与相交于点．若，，，则的取值范围为__________．
【正确答案】
【分析】直接利用平行四边形对角线互相平分得出,的长，再利用三角形三边关系得出答案．
【详解】解：四边形是平行四边形，
,,
，,
,,
在中，的取值范围是：
即，
．
故．
此题主要考查了平行四边形的性质以及三角形的三边关系，解题的关键是得出,的长是解题关键．
15. 学校为了考察我校七年级同学的视力情况，从七年级的4个班共200名学生中，每班抽取了5名进行分析，在这个问题中，样本的容量是 ．
【正确答案】20
【详解】试题分析：总体是指考查的对象的全体，个体是总体中的每一个考查的对象，样本是总体中所抽取的一部分个体，而样本容量则是指样本中个体的数目．
解：从七年级的4个班共200名学生中，每班抽取了5名进行分析，在这个问题中，样本的容量是20，
故答案为20．
考点：总体、个体、样本、样本容量．
16. 在矩形中，对角线，相交于点，若对角线，边，则的周长为________．
【正确答案】16cm
【分析】由在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，若对角线AC=10cm，边BC=8cm，即可求得OA与OB的长，然后利用勾股定理，求得AB的长，即可求得答案．
【详解】在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，对角线AC=10cm，
∴∠ABC=90°，OA=OB=AC=×10=5（cm），
∵BC=8cm，
∴AB==6（cm），
∴△ABO的周长为：OA+OB+AB=16（cm）．
故答案为16cm．
17 矩形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，∠AOB=60°，AB=2cm，则AC=__cm．
【正确答案】4
【详解】因为矩形的对角线互相平分且相等，所以OA=OB，因为∠AOB=60°，所以△AOB是等边三角形，所以OA=2，则AC=2OA=4，故答案为4.
18. 如图，矩形ABCD的两条线段交于点O，过点O作AC的垂线EF，分别交AD、BC于点E、F，连接CE，已知△CDE的周长为24cm，则矩形ABCD的周长是______cm．
【正确答案】
【详解】试题分析：利用FE垂直平分AC可得到AE=CE，那么△CDE的周长就可以表示为AD+CD，也就求出了矩形的周长．
解：∵OA=OC，EF⊥AC，
∴AE=CE，
∵矩形ABCD的周长=2（AE+DE+CD），
∵DE+CD+CE=24，∴矩形ABCD的周长=2（AE+DE+CD）=48cm．
考点：矩形的性质．
三、解 答 题（本题共9小题，共64分.）
19. 如图所示的正方形网格中，△ABC的顶点均在格点上，请按要求画图：
（1）以点A为旋转，将△ABC绕点A顺时针旋转90°得△AB1C1，画出△AB1C1．
（2）作出△ABC关于点O成对称的△A2B2C2．
【正确答案】（1）作图见解析；（2）作图见解析
【分析】（1）根据网格结构找出点B、C绕点A顺时针旋转90°的对应点B1、C1的位置，然后顺次连接即可；
（2）根据网格结构找出点A、B、C关于原点O的对称点A2、B2、C2的位置，然后顺次连接即可．
【详解】解：（1）找出点B、C绕点A顺时针旋转90°的对应点B1、C1的位置，然后顺次连接即可
△AB1C1如图所示：
（2）找出点A、B、C关于原点O的对称点A2、B2、C2的位置，然后顺次连接
△A2B2C2如（1）中图所示．
本题考查旋转图形的画法，已知图形关于原点成对称的图形的画法．熟练掌握该知识点是解题关键．
20. 育人中学开展课外体育，决定开设A：篮球、B：乒乓球、C：踢毽子、D：跑步四种项目．为了解学生最喜欢哪一种项目（每人只选取一种），随机抽取了部分学生进行，并将结果绘成如甲、乙所示的统计图，请你图中信息解答下列问题．
（1）样本中最喜欢A项目的人数所占的百分比为________ ，其所在扇形统计图中对应的圆心角度数是 ______度；
（2）请把条形统计图补充完整；
（3）若该校有学生1000人，请根据样本估计全校最喜欢踢毽子的学生人数约是多少？
【正确答案】（1）40% ， 144；（2）补图见解析；（3）估计全校最喜欢踢毽子的学生人数约100人．
【分析】（1）利用减去D、C、B三部分所占百分比即可得到最喜欢A项目的人数所占的百分比；所在扇形统计图中对应的圆心角度数用360°×40%即可；
（2）根据频数=总数×百分比可算出总人数，再利用总人数减去D、C、B三部分的人数即可得到A部分的人数，再补全图形即可；
（3）利用样本估计总每个体的方法用1000×样本中喜欢踢毽子的人数所占百分比即可．
【详解】解：（1）﹣20%﹣10%﹣30%=40%，
360°×40%=144°；
（2）抽查的学生总人数：15÷30%=50，
50﹣15﹣5﹣10=20（人）．如图所示：
（3）1000×10%=100（人）．
答：全校最喜欢踢毽子的学生人数约是100人．
21. 某课题组为了解全市九年级学生对数学知识的掌握情况，在数学检测中，从全市24000名九年级考生中随机抽取部分学生的数学成绩进行，并将结果绘制成如下图表：
分数段
频数
频率
x＜60
20
0.10
60≤x＜70
28
0.14
70≤x＜80
54
0.27
80≤x＜90
a
0.20
90≤x＜100
24
0.12
100≤x＜110
18
b
110≤x＜120
16
0.08
请根据以上图表提供的信息，解答下列问题：
（1）表中a和b所表示的数分别为：a= ，b= ；
（2）请在图中，补全频数分布直方图；
（3）如果把成绩在90分以上（含90分）定为，那么该市24000名九年级考生数学成绩为的学生约有多少名？
【正确答案】（1）200，a=40，b=0.09；（2）图形见解析（3）24000名九年级考生数学成绩为的学生约有6960名
【详解】试题分析：（1）先求出总人数，再求a、b；
（2）根据计算的数据补全频率分布直方图；
（3）先计算出样本中的率再乘以24000，即可估计出该市24000名八年级考生数学成绩为的学生人数．
试题解析：（1）样本容量为：20÷0.1=200，a=200×0.20=40，b=18÷200=0.09；
（2）如图
（3）（0.12+0.09+0.08）×24000=0.29×24000=6960（人），
答：该市24000名八年级考生数学成绩为的学生约有6960名．
考点：1频数（率）分布直方图；2.用样本估计总体；3.频数（率）分布表．
22. 如图，点E是正方形ABCD的边DC上一点，把△ADE顺时针旋转△ABF的位置．
（1）旋转是点 ，旋转角度是 度；
（2）若连接EF，则△AEF是 三角形；并证明；
（3）若四边形AECF的面积为25，DE=2，求AE的长．
【正确答案】（1）A、90；（2）等腰直角；（3）AE=．
【分析】（1）根据旋转变换的定义，即可解决问题；
（2）根据旋转变换的定义，即可解决问题；
（3）根据旋转变换的定义得到△ADE≌△ABF，进而得到S四边形AECF=S正方形ABCD=25，求出AD的长度，即可解决问题．
【详解】解：（1）如图，由题意得：旋转是点A，旋转角度是90度，
故答案为A、90；
（2）由题意得：AF=AE，∠EAF=90°，
∴△AEF为等腰直角三角形．
故答案为等腰直角；
（3）由题意得：△ADE≌△ABF，
∴S四边形AECF=S正方形ABCD=25，
∴AD=5，而∠D=90°，DE=2，
∴AE=．
本题主要考查了旋转变换的性质、正方形的性质、勾股定理等几何知识点及其应用问题；解题的关键是牢固掌握旋转变换的性质、正方形的性质、勾股定理等几何知识，这是灵活运用、解题的基础和关键．
23. 已知：如图，E，F为□ABCD对角线AC上的两点，且AE=CF，连接BE，DF，求证：BE=DF．
【正确答案】证明见解析．
【分析】利用SAS证明△AEB≌△CFD，再根据全等三角形的对应边相等即可得．
【详解】∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB//DC，AB=DC，
∴∠BAE=∠DCF，
△AEB和△CFD中，
，
∴△AEB≌△CFD（SAS），
∴BE=DF．
本题考查了平行四边形的性质以及全等三角形的判定与性质，熟练掌握相关的性质是解题的关键．
24. 如图，在ABCD中，E为BC边上一点，且AB=AE．
（1）求证：△ABC≌△EAD；
（2）若AE平分∠DAB，∠EAC=25°，求∠AED的度数．
【正确答案】（1）证明见解析；（2）∠AED=85°．
【分析】（1）根据平行四边形的性质可知BC=AD，由已知AB=AE可得∠B=∠AEB，进而得∠B=∠DAE，根据边角边可证明全等；
（2）由（1）知∠AEB=∠DAE，由角平分线知∠BAE=∠DAE，进而可得∠AEB=∠BAE，从而求得∠BAE=60°再进行角度的计算即可求解．
【详解】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BC=AD，BC∥AD，
∴∠AEB=∠DAE，
∵AB=AE，
∴∠B=∠AEB，
∴∠B=∠DAE，
∴△ABC≌△EAD（SAS）．
（2）解：由（1）知，∠AEB=∠DAE，
∵AE平分∠DAB，
∴∠BAE=∠DAE，
∴∠AEB=∠BAE，
又∠B=∠AEB，∠BAE=∠B=∠AEB=60°，
∵∠AED=∠BAC，∠EAC=25°，
∴∠AED=∠BAE+∠EAC=60°+25°=85°．
本题考查了平行四边形的性质，三角形全等的证明，等边对等角，角平分线的定义，熟练掌握以上知识是解题的关键．
25.
如图，在△ABC中，AB＝AC，D为BC中点．四边形ABDE是平行四边形．
求证：四边形ADCE是矩形
【正确答案】证明略
【详解】证明：∵四边形ABDE是平行四边形，
∴AE∥BC，AB＝DE，AE＝BD．
∵D为BC的中点，
∴CD＝DB．
∴CD∥AE CD＝AE，
∴四边形ADCE是平行四边形．
∵AB＝AC，
∴AC＝DE．
∴平行四边形ADCE是矩形．
26. 如图，矩形中，与交于点，垂足分别为求证.
【正确答案】证明见解析
【详解】试题分析:要证BE=CF，可运用矩形的性质已知条件证BE、CF所在的三角形全等．
证明：∵四边形ABCD为矩形，
∴AC=BD，则BO=CO．
∵BE⊥AC于E，CF⊥BD于F，
∴∠BEO=∠CFO=90°．
又∵∠BOE=∠COF，
∴△BOE≌△COF．
∴BE=CF．
考点：矩形的性质；全等三角形的判定与性质．
27. 如图，在△ABC中，O是AC上一动点（没有与点A、C重合），过O作直线MN∥BC，设MN交∠BCA的平分线于点E，交∠BCA的外角平分线于点F．
（1）OE与OF相等吗？证明你的结论；
（2）试确定点O的位置，使四边形AECF是矩形，并加以证明．
【正确答案】（1）OE=OF（2）当O运动到AC中点时，四边形AECF是矩形
【详解】整体分析：
（1）利用等角对等边分别判断OE=OC，OF=OC；（2）先判断四边形AECF是平行四边形，再证明∠ECF=90°.
解：（1）OE=OF，
∵MN∥BC，
∴∠OEC=∠BCE，∠OFC=∠FCD，
∵CE平分∠ACB，CF平分∠ACD，
∴∠BCE=∠ACE，∠OCF=∠FCD，
∴∠ACE=∠OEC，∠OCF=∠OFC，
∴OE=OC，OC=OF，
∴OE=OF．
（2）当O运动到AC中点时，四边形AECF是矩形，
∵AO=CO，OE=OF，
∴四边形AECF是平行四边形，
∵∠ECA+∠ACF=∠BCD，
∴∠ECF=90°，
∴四边形AECF是矩形．
2022-2023学年广东省东莞市八年级下册数学期中专项提升模拟
（B卷）
一、选一选（每小题3分，共30分）
1. 若二次根式有意义，则的取值范围是（ ）．
A. B. C. D.
2. 下列各组数据为边的三角形中，是直角三角形的是（ ）
A. 、、7 B. 5、4、8 C. 、2、1 D. 、3、
3. 下列各式中，没有是二次根式的是（ ）
A. B. C. D.
4. 下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ）
A B. C. D.
5. 如果一个四边形的两条对角线互相平分，互相垂直且相等，那么这个四边形是（ ）
A. 矩形 B. 菱形 C. 正方形 D. 菱形，矩形或正方形
6. 以下运算错误的是（ ）
A B. 2 C. = D. （a＞0）
7. 下列说法中，错误的是（ ）
A. 平行四边形的对角线互相平分
B. 对角线互相平分的四边形是平行四边形
C. 菱形的对角线互相垂直
D. 对角线互相垂直的四边形是菱形
8. 如图所示，直线a∥b，A是直线a上的一个定点，线段BC在直线b上移动，那么在移动过程中△ABC的面积( )
A. 变大 B. 变小 C. 没有变 D. 无法确定
9. 如图,延长矩形ABCD的边BC至点E，使CE=BD，连接AE，如果∠ADB=30º，则∠E的度数是（ ）
A. 15º B. 30º C. 22.5º D. 10º
10. 如图,在中，，是上点,∥交于点，∥交于点，那么四边形的周长是（ ）
A. 5 B. 10 C. 15 D. 20
填 空 题（每小题4分，共24分）
11. 计算：___．
12. 如果最简二次根式与是同类二次根式，则a=______．
13. 有一个直角三角形的两边为4、5，要使三角形为直角三角形，则第三边等于_____．
14. 矩形的两条对角线的夹角为，较短的边长为，则对角线长为________．
15. 如图，在△ABC中，D、E分别是边AB、AC的中点，BC=8，则DE=_________
16. 如图，在矩形ABCD中，AD=4，点P是直线AD上一动点，若满足△PBC是等腰三角形的点P有且只有3个，则AB的长为_____．
三、解 答 题（一）（每小题6分，共18分）
17 计算：
18. 已知：如图，平行四边形ABCD中，E、F分别是边BC和AD上的点，且BE=DF，求证：AE=CF
19. 观察下列一组勾股数：
第1组
3=2×1+1
4=2×1×（1+1）
5=2×1×（1+1）+1
第2组
5=2×2+1
12=2×2×（2+1）
13=2×2×（2+1）+1
第3组
7=2×3+1
24=2×3×（3+1）
25=2×3×（3+1）+1
第4组
9=2×4+1
40=2×4×（4+1）
41=2×4×（4+1）+1
…
…
…
…
观察以上各组勾股数的特点：
（1）请写出第7组勾股数，，；
（2）写出第组勾股数，，.
四、解 答 题（二）（每小题7分，共21分）
20. 如图，四边形ABCD中，∠B＝90°，AB＝4，BC＝3，CD＝12，AD＝13．求四边形ABCD的面积．
21. 已知x=+3，y=﹣3，求下列各式的值：
（1）x2﹣2xy+y2
（2）x2﹣y2．
22. 如图，在中，于点E点，延长BC至F点使，连接AF，DE，DF.
（1）求证：四边形AEFD是矩形；
（2）若，，，求AE的长.
五、解 答 题（三）（每小题9分，共27分）
23. 如图，矩形ABCD中，AB=6，BC=4，过对角线BD中点O直线分别交AB，CD边于点E，F．
（1）求证：四边形BEDF是平行四边形；
（2）当四边形BEDF是菱形时，求EF的长．
24. 如图（1）在平面直角坐标系中，四边形OBCD是正方形，且D（0,2），点E是线段OB延长线上一点，M是线段OB上一动点（没有包括O、B），做MN⊥DM，垂足为M，交∠CBE的平分线于点N.
（1）求点C的坐标；
（2）求证：MD=MN；
（3）如图（2），连接DN交BC于F，连接FM，探究线段MF、CF、OM之间有什么数量关系？并证明你的结论.
图（1） 图（2）
25. 如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，BC=5，∠C=30°.点D从点C出发沿CA方向以每秒2个单位长的速度向点A匀速运动，同时点E从点A出发沿AB方向以每秒1个单位长的速度向点B匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动.设点D、E运动的时间是t秒（t＞0）.过点D作DF⊥BC于点F，连接DE、EF.
（1）求证：AE=DF；
（2）四边形AEFD能够成为菱形吗？如果能，求出相应的t值；如果没有能，说明理由.
（3）当t为何值时，△DEF为直角三角形？请说明理由.
2022-2023学年广东省东莞市八年级下册数学期中专项提升模拟
（B卷）
一、选一选（每小题3分，共30分）
1. 若二次根式有意义，则的取值范围是（ ）．
A. B. C. D.
【正确答案】B
【分析】根据被开方数大于等于0列没有等式求解即可．
【详解】解：由题意得，x-2≥0，
解得x≥2．
故选：B．
本题考查了二次根式有意义的条件，二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义．
2. 下列各组数据为边的三角形中，是直角三角形的是（ ）
A. 、、7 B. 5、4、8 C. 、2、1 D. 、3、
【正确答案】C
【分析】由勾股定理的逆定理，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可．
【详解】解：A、（）²＋（）²≠7²，没有能构成直角三角形，故错误；
B、5²＋4²≠8²，没有能构成直角三角形，故错误；
C、（）²＝2²＋1²，能构成直角三角形，故正确；
D、（）²＋（）²≠3²，没有能构成直角三角形，故错误．
故选：C
本题考查了直角三角形的判定．判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可．
3. 下列各式中，没有是二次根式的是（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】B
【详解】分析：根据二次根式的性质，被开方数应大于或等于0．
详解：A、是二次根式；
B、3−π＜0，所以没有是二次根式；
C、是二次根式；
D、是二次根式．
故选B．
点睛：主要考查了二次根式的概念．
二次根式的概念：式子（a≥0）叫二次根式．
（a≥0）是一个非负数．
二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义．
当二次根式在分母上时还要考虑分母没有等于零，此时被开方数大于0．
4. 下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】B
【详解】分析：判定一个二次根式是没有是最简二次根式的方法，就是逐个检查定义中的两个条件（①被开方数没有含分母；②被开方数没有含能开得尽方的因数或因式）是否同时满足，同时满足的就是最简二次根式，否则就没有是．
详解：A、被开方数里含有能开得尽方的因数8，故本选项错误；
B、符合最简二次根式的条件；故本选项正确；
C、被开方数里含有分母；故本选项错误．
D、被开方数里含有能开得尽方的因式a²；故本选项错误；
故选B．
点睛：本题主要考查了最简二次根式的定义，最简二次根式必须满足两个条件：
（1）被开方数没有含分母；
（2）被开方数没有含能开得尽方的因数或因式．
5. 如果一个四边形的两条对角线互相平分，互相垂直且相等，那么这个四边形是（ ）
A 矩形 B. 菱形 C. 正方形 D. 菱形，矩形或正方形
【正确答案】C
【分析】根据正方形的判定方法知：对角线互相平分，互相垂直且相等的四边形是正方形．
【详解】解：根据对角线互相平分，互相垂直且相等的四边形是正方形，
故选C．
本题是考查正方形的判定方法，判定一个四边形为正方形主要根据正方形的概念，方法有两种：①先说明它是矩形，再说明有一组邻边相等；②先说明它是菱形，再说明它有一个角为直角．
6. 以下运算错误的是（ ）
A. B. 2 C. = D. （a＞0）
【正确答案】C
【分析】利用二次根式的乘法法则对A、B进行判断；利用二次根式的化简对C、D进行判断．
【详解】A．原式，所以A选项的运算正确；
B．原式＝2，所以，B选项的运算正确；
C．原式5，所以C选项的运算错误；
D．原式＝2ab，所以D选项的运算正确．
故选C．
本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运算，再合并即可．在二次根式的混合运算中，如能题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．
7. 下列说法中，错误的是（ ）
A. 平行四边形对角线互相平分
B. 对角线互相平分的四边形是平行四边形
C. 菱形的对角线互相垂直
D. 对角线互相垂直的四边形是菱形
【正确答案】D
【详解】试题分析：A. 平行四边形的对角线互相平分，说确；
B．对角线互相平分的四边形是平行四边形，说确；
C．菱形的对角线互相垂直，说确；
D．对角线互相垂直的四边形是菱形，说法错误.
故选D.
考点:1.平行四边形的判定；2.菱形的判定.
8. 如图所示，直线a∥b，A是直线a上的一个定点，线段BC在直线b上移动，那么在移动过程中△ABC的面积( )
A. 变大 B. 变小 C. 没有变 D. 无法确定
【正确答案】C
【分析】由于平行线间的距离处处相等，而的面积高．其中高没有变，所以面积也没有变．
【详解】解：如图，，
，之间的距离是固定的，
而的高和这个距离相等，
所以的高、底边都是固定的，
所以它的面积没有变．
故选：C．
此题主要考查了平行线的性质和三角形面积公式，解题的关键是掌握平行线间的距离处处相等．
9. 如图,延长矩形ABCD的边BC至点E，使CE=BD，连接AE，如果∠ADB=30º，则∠E的度数是（ ）
A. 15º B. 30º C. 22.5º D. 10º
【正确答案】A
详解】分析：连接AC，由矩形性质可得∠E＝∠DAE、BD＝AC＝CE，知∠E＝∠CAE，而∠ADB＝∠CAD＝30°，可得∠E度数．
详解：连接AC，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BE，AC＝BD，且∠ADB＝∠CAD＝30°，
∴∠E＝∠DAE，
又∵BD＝CE，
∴CE＝CA，
∴∠E＝∠CAE，
∵∠CAD＝∠CAE＋∠DAE，
∴∠E＋∠E＝30°，
∴∠E＝15°．
故选：A
点睛：本题主要考查矩形性质，熟练掌握矩形对角线相等且互相平分、对边平行是解题关键．
10. 如图,在中，，是上的点,∥交于点，∥交于点，那么四边形的周长是（ ）
A. 5 B. 10 C. 15 D. 20
【正确答案】B
【分析】由于DE∥AB，DF∥AC，则可以推出四边形AFDE是平行四边形，然后利用平行四边形的性质可以证明□AFDE的周长等于AB＋AC．
【详解】∵DE∥AB，DF∥AC，
则四边形AFDE是平行四边形，
∠B＝∠EDC，∠FDB＝∠C
∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
∴∠B＝∠FDB，∠C＝∠EDF，
∴BF＝FD，DE＝EC，
所以□AFDE的周长等于AB＋AC＝10．
故答案为B
本题考查了平行四边形的性质、等腰三角形的性质、平行四边形的判定，熟练掌握这些知识点是本题解题的关键．
填 空 题（每小题4分，共24分）
11. 计算：___．
【正确答案】
【详解】解：根据二次根式的乘法法则计算：．
故．
12. 如果最简二次根式与是同类二次根式，则a=______．
【正确答案】1
【详解】由题意得
a+2=6-3a,
a=1
13. 有一个直角三角形的两边为4、5，要使三角形为直角三角形，则第三边等于_____．
【正确答案】3或
【分析】分两种情况讨论：①若4是直角边，5是斜边；②若4和5都是直角边，再利用勾股定理求出第三边.
【详解】解：分两种情况讨论：
若4是直角边，5是斜边，那么第三边=
②若4和5都是直角边，那么第三边=
故3或.
本题考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理中三边关系是解答的关键.
14. 矩形的两条对角线的夹角为，较短的边长为，则对角线长为________．
【正确答案】24
【分析】根据矩形对角线相等且互相平分性质和题中条件得△AOB为等边三角形，即可得到矩形对角线一半长，进而求解即可．
【详解】解：如图所示，
∵四边形ABCD是矩形，AC，BD是对角线，
∴AC=BD，
OA＝OB＝OD＝OC＝BD＝AC，
在△AOB中，OA＝OB，∠AOB＝60°，
∴△AOB是等边三角形，
OA＝OB＝AB＝12cm，
则BD＝2OB＝2×12＝24（cm），
故答案为24．
本题考查了矩形的性质，比较简单，解题的关键是掌握矩形的性质和等边三角形的判定．
15. 如图，在△ABC中，D、E分别是边AB、AC的中点，BC=8，则DE=_________
【正确答案】4
【详解】∵D、E分别是边AB、AC的中点，BC=8，
∴DE=BC=4．
故答案为4．
16. 如图，在矩形ABCD中，AD=4，点P是直线AD上一动点，若满足△PBC是等腰三角形的点P有且只有3个，则AB的长为_____．
【正确答案】4．
【分析】
【详解】试题分析：如图，当AB=AD时，满足△PBC是等腰三角形的点P有且只有3个，△P1BC，△P2BC是等腰直角三角形，△P3BC是等腰直角三角形（P3B=P3C），则AB=AD=4，
故答案为4．
考点：矩形的性质；等腰三角形的性质；勾股定理；分类讨论．
三、解 答 题（一）（每小题6分，共18分）
17. 计算：
【正确答案】0
【详解】分析：先把各根式化为最简二次根式，再去括号，合并同类项即可．
详解：
=
=0
点睛：本题考查的是二次根式的加减法，熟知二次根式的加减实质上是合并同类项是解答此题的关键．
18. 已知：如图，平行四边形ABCD中，E、F分别是边BC和AD上的点，且BE=DF，求证：AE=CF
【正确答案】详见解析
【分析】根据平行四边形的性质和已知条件证明△ABE≌△CDF，再利用全等三角形的性质：即可得到AE=CF．
【详解】证：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB=CD，∠B=∠D，又∵BE=DF，∴△ABE≌△CDF，∴AE=CF. （其他证法也可）
19. 观察下列一组勾股数：
第1组
3=2×1+1
4=2×1×（1+1）
5=2×1×（1+1）+1
第2组
5=2×2+1
12=2×2×（2+1）
13=2×2×（2+1）+1
第3组
7=2×3+1
24=2×3×（3+1）
25=2×3×（3+1）+1
第4组
9=2×4+1
40=2×4×（4+1）
41=2×4×（4+1）+1
…
…
…
…
观察以上各组勾股数的特点：
（1）请写出第7组勾股数，，；
（2）写出第组勾股数，，.
【正确答案】（1）=15，=112，=113；（2）=，=，=
【详解】分析：通过观察，得出规律：这类勾股数分别为2n+1，2n（n+1），2n（n+1）+1，由此可写出第7组勾股数及第n组勾股数
详解：：（1）∵第1组：3=2×1+1，4=2×1×（1+1），5=2×1×（1+1）+1，
第2组：5=2×2+1，12=2×2×（2+1），13=2×2×（2+1）+1，
第3组：7=2×3+1，24=2×3×（3+1），25=2×3×（3+1）+1，
第4组：9=2×4+1，40=2×4×（4+1）41=2×4×（4+1）+1，
∴第7组勾股数是2×7+1=15，2×7×（7+1）=112，2×7×（7+1）+1=113，
即=15，=112，=113；
（2）第n组勾股数是=，=，=.
点睛：此题考查知识点是勾股数，属于规律性题目，关键是通过观察找出规律求解．
四、解 答 题（二）（每小题7分，共21分）
20. 如图，四边形ABCD中，∠B＝90°，AB＝4，BC＝3，CD＝12，AD＝13．求四边形ABCD的面积．
【正确答案】四边形ABCD的面积为36．
【分析】连接AC，在直角三角形ABC中，由AB及BC的长，利用勾股定理求出AC的长，再由AD及CD的长，利用勾股定理的逆定理得到三角形ACD为直角三角形，根据四边形ABCD的面积=直角三角形ABC的面积+直角三角形ACD的面积，即可求出四边形的面积．
【详解】解：连接AC，如图所示：
∵∠B=90°，
∴△ABC为直角三角形，
又AB=4，BC=3，
∴根据勾股定理得：AC==5，
又AD=13，CD=12，
∴AD2=132=169，CD2+AC2=122+52=144+25=169，
∴CD2+AC2=AD2，
∴△ACD为直角三角形，∠ACD=90°，
则S四边形ABCD=S△ABC+S△ACD
=AB•BC+AC•CD
=×3×4+×12×5
=36．
答：四边形ABCD的面积为36．
本题考查了勾股定理，以及勾股定理的逆定理，熟练掌握定理及逆定理是解本题的关键．
21. 已知x=+3，y=﹣3，求下列各式的值：
（1）x2﹣2xy+y2
（2）x2﹣y2．
【正确答案】（1）36（2）12
【分析】（1）先计算出x-y=6，再利用完全平方公式得到x2-2xy+y2=（x-y）2，然后利用整体代入的方法计算；
（2）先计算出x+y=，x-y=6，再利用平方差公式得到x2-y2=（x+y）（x-y），然后利用整体代入的方法计算．
【详解】（1）∵x=+3，y=﹣3，
∴x﹣y=6，
∴x2﹣2xy+y2=（x﹣y）2=62=36；
（2）∵x=+3，y=﹣3，
∴x+y=2，x﹣y=6，
∴x2﹣y2=（x+y）（x﹣y）=2×6=12．
本题考查了二次根式的化简求值：一定要先将式子变形再整体代入求值．二次根式运算的，注意结果要化成最简二次根式，二次根式的乘除运算要与加减运算区分，避免互相干扰．
22. 如图，在中，于点E点，延长BC至F点使，连接AF，DE，DF.
（1）求证：四边形AEFD是矩形；
（2）若，，，求AE的长.
【正确答案】（1）见解析；（2）
【分析】（1）先证明四边形AEFD是平行四边形，再证明∠AEF=90°即可．
（2）证明△ABF是直角三角形，由三角形的面积即可得出AE的长．
【详解】（1）证明：∵CF=BE，
∴CF+EC=BE+EC．
即 EF=BC．
∵在▱ABCD中，AD∥BC且AD=BC，
∴AD∥EF且AD=EF．
∴四边形AEFD是平行四边形．
∵AE⊥BC，
∴∠AEF=90°．
∴四边形AEFD是矩形；
（2）∵四边形AEFD是矩形，DE=8，
∴AF=DE=8．
∵AB=6，BF=10，
∴AB2+AF2=62+82=100=BF2．
∴∠BAF=90°．
∵AE⊥BF，
∴△ABF面积=AB•AF=BF•AE．
∴AE=．
五、解 答 题（三）（每小题9分，共27分）
23. 如图，矩形ABCD中，AB=6，BC=4，过对角线BD中点O的直线分别交AB，CD边于点E，F．
（1）求证：四边形BEDF是平行四边形；
（2）当四边形BEDF是菱形时，求EF的长．
【正确答案】（1）证明见解析；（2）．
【分析】（1）根据矩形ABCD的性质，判定△BOE≌△DOF（ASA），进而得出结论；
（2）在Rt△ADE中，由勾股定理得出方程，解方程求出BE，由勾股定理求出BD，得出OB，再由勾股定理求出EO，即可得出EF的长.
【详解】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，O是BD的中点，
∴∠A=90°，AD=BC=4，AB∥DC，OB=OD，
∴∠OBE=∠ODF，
在△BOE和△DOF中，
∴△BOE≌△DOF（ASA），
∴EO=FO，
∴四边形BEDF是平行四边形；
（2）当四边形BEDF是菱形时，BD⊥EF，
设BE=x，则 DE=x，AE=6-x，
在Rt△ADE中，DE2=AD2+AE2，
∴x2=42+（6-x）2，
解得：x= ，
∵BD= =2，
∴OB=BD=，
∵BD⊥EF，
∴EO==，
∴EF=2EO=．
本题主要考查了矩形的性质，菱形的性质、勾股定理、全等三角形的判定与性质，熟练掌握矩形的性质和勾股定理，证明三角形全等是解决问的关键
24. 如图（1）在平面直角坐标系中，四边形OBCD是正方形，且D（0,2），点E是线段OB延长线上一点，M是线段OB上一动点（没有包括O、B），做MN⊥DM，垂足为M，交∠CBE的平分线于点N.
（1）求点C的坐标；
（2）求证：MD=MN；
（3）如图（2），连接DN交BC于F，连接FM，探究线段MF、CF、OM之间有什么数量关系？并证明你的结论.
图（1） 图（2）
【正确答案】（1）C（2,2）；（2）见解析（3）见解析
【详解】分析：（1）由正方形的性质可以得出OB=BC=OD就可以求出点C的坐标；
（2）在OD上取一点G，使OG=OM，就可以得出DG=BM，从而得出△GDM≌△BMN，就可以得出结论；
（3）由旋转可以得出△FCD≌△AOD，就可以得出OA=FC，∠ADM=∠CDM，进而得出△DMA≌△DMF，就可以得出AM=FM而得出结论.
详解：
（1）∵四边形OBCD是正方形，
∴OB=BC=OD，∠DOB=∠OBC=∠C=90°．
∵D（0，2），
∴OD=2，
∴OB=BC=OD=2，
∴C（2，2）；
（2）在OD上取一点G，使OG=OM，
∴∠OGM=∠OMG=45°，
∴∠DGM=135°．
∵OD=OB，
∴OD-OG=OB-OM，
∴GD=BM．
∵MN⊥DM，
∴∠DMN=90°，
∴∠DMO+∠NMB=90°．
∵∠DMO+∠ODM=90°，
∴∠ODM=∠BMN．
∵BN平分∠CBE，
∴∠E=×90°=45°，
∴∠MBN=135°，
∴∠DGM=∠MBN．
在△GDM和△BMN中
，
∴△GDM≌△BMN（ASA），
∴MD=MN；
（3）OM+CF=MF
理由：∵MD=MN，∠DMN=90°，
∴∠MDN=45°，
∴∠ODM+∠FDC=45°．
∵△DCF绕点D顺时针旋转90°得△DOA，
∴△DCF≌△DOA，
∴AO=FC，∠ADO=∠FDC，AD=FD．
∴∠ADO+∠MDO=45°，
即∠ADM=45°．
∴∠ADM=∠CDM．
在△DMA和△DMF中
，
∴△DMA≌△DMF（SAS），
∴AM=FM．
∵AM=AO+MO，
∴AM=CF+MO，
∴OM+CF=MF．
点睛：本题考查了正方形的性质的运用，旋转的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，角平分线的性质的运用，解答时证明三角形全等是关键.
25. 如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，BC=5，∠C=30°.点D从点C出发沿CA方向以每秒2个单位长的速度向点A匀速运动，同时点E从点A出发沿AB方向以每秒1个单位长的速度向点B匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动.设点D、E运动的时间是t秒（t＞0）.过点D作DF⊥BC于点F，连接DE、EF.
（1）求证：AE=DF；
（2）四边形AEFD能够成为菱形吗？如果能，求出相应的t值；如果没有能，说明理由.
（3）当t为何值时，△DEF为直角三角形？请说明理由.
【正确答案】（1）证明见解析；（2）能，；（3）或4时，△DEF为直角三角形.
【分析】在中，，，根据30°角直角三角形的性质及已知条件即可证得结论；
先证得四边形AEFD为平行四边形，使▱AEFD为菱形则需要满足的条件为AE=AD，由此即可解答；
时，四边形EBFD为矩形，在Rt△AED中求可得，由此即可解答；时，由知，则得，求得，由此列方程求解即可；时，此种情况没有存在．
【详解】在中，，，，
．
又，
．
能，
，，
．
又，
四边形AEFD为平行四边形．
，
．
．
若使▱AEFD为菱形，则需，
即，．
即当时，四边形AEFD为菱形．
时，四边形EBFD为矩形．
在中，，
．
即，．
时，由四边形AEFD为平行四边形知，
．
，
．
即，．
时，此种情况没有存在．
综上所述，当秒或4秒时，为直角三角形．
本题考查了菱形的性质和的判定定理，矩形的判定和性质，第三小问中涉及到需要进行分类讨论，注意没有要漏解．
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