高中数学北师大版 (2019)选择性必修 第二册第二章 导数及其应用2 导数的概念及其几何意义2.1 导数的概念练习

【优选】2.1 导数的概念-1同步练习

一．填空题

1．设为可导函数，且满足，则曲线在点处的切线的斜率是______.

2．曲线在点处的切线方程为____________．

3．函数的图象在处的切线方程为__________.

4．已知为直线上的动点，为函数图象上的动点，则的最小值为______．

5．从点作轴的垂线交曲线于点，曲线在点处的切线与轴交于点，现从作轴的垂线交曲线于点，依次重复上：述过程得到一系列点：  .则__________.

6．函数在处的切线方程为____________.

7．设函数，若无最大值，则实数的取值范围为______.

8．曲线在点处的切线的直线方程是______.

9．已知实数a，b，c，d，满足（其中e是自然对数的底数），那么的最小值为______；

10．已知函数，则在处的切线方程___________.

11．已知函数，其图象记为曲线，曲线上存在异于原点的点，使得曲线与其在的切线交于另一点，曲线与其在的切线交于另一点，若直线与直线的斜率之积小于-9，则的取值范围为________.

12．若函数的图象在点处的切线平行于x轴，则______．

13．设曲线在处的切线方程为，则实数的值为________.

14．若函数，则在点处的切线方程为________.

15．设函数，，则曲线在点处的切线斜率为________

16．已知函数，若函数的图象在点处的切线方程为，则________．

17．已知质点运动方程为（的单位：m，的单位：s），则该质点在s时刻的瞬时为______m/s.

18．直线是曲线的切线，则的最小值为__________．

参考答案与试题解析

1．【答案】

【解析】分析：首先根据极限的运算法则，对所给的极限进行整理，写成符合导数的定义的形式，写出导数的值，即可得到函数在这一个点处的切线的斜率

详解：解：因为，

所以，所以，

所以，

所以曲线在点处的切线的斜率为，

故答案为：

【点睛】

此题考查导数的定义，切线的斜率，以及极限的运算，属于基础题

2．【答案】.

【解析】分析：求出，利用点斜式即可写出直线．

详解：，，，

∴切线的方程，，即，

故答案为．

【点睛】

本题考查函数的切线方程，属于基础题．

3．【答案】

【解析】分析：由函数的解析式，求得，根据导数求得，结合直线的点斜式，即可求解.

详解：由题意，函数，可得，

又由，可得，即切线的斜率为，

根据直线的点斜式方程，可得，

即所求切线方程为.

故答案为：.

【点睛】

本题主要考查了曲线在某点处的切线方程的求解，其中解答中熟记导数的几何意义是解答的关键，着重考查推理与运算能力，属于基础题.

4．【答案】

【解析】分析：先求与直线平行且与相切的切线切点，再根据点到直线距离公式求结果.

详解：由题意，的最小值为与直线平行且与相切的切线切点到直线的距离，设切点为

因为单调递增，

因此的最小值为

故答案为：

【点睛】

本题考查导数几何意义．点到直线距离公式，考查数形结合思想方法，属中档题.

5．【答案】

【解析】分析：设出的坐标，求出，得出在处的切线点斜式方程，令得到与的关系，求出的表达式，利用等比数列的前项和公式求出和.

详解：设，依题意得，

由曲线，则，

所以在处的切线的方程为，

令，得，

由于，得，

所以，

故.

故答案为：.

【点睛】

本题考查导数的几何意义．等比数列的通项和前项和，考查计算求解能力，属于中档题.

6．【答案】

【解析】分析：首先求函数的导数，以及，然后利用导数的几何意义求切线方程.

详解：求导得，得，切点为，

所以切线方程为:，化简为：.

故答案为：.

【点睛】

本题考查利用导数的几何意义求切线方程，重点考查计算能力，属于基础题型.

7．【答案】

【解析】分析：画出函数和的图象，利用导数分析函数的图象的特征和关系，得到的图象，利用数形结合思想考察图象，得到无最大值的条件，解得的取值范围.

详解：解：画出函数和的图象，,, 函数和的图象在处相切，由三次函数和一次函数的性质可知，在时,当时，,

令=0，得,

当时，取得极大值为,

结合图象观察可知，当且仅当时函数f(x)没有最大值，

解得，

故答案为：.

【点睛】

本题考查利用导函数研究函数的图象和图象间的关系，涉及分段函数，三次函数的性质，关键是数形结合思想的运用，属中高档题.

8．【答案】

【解析】分析：求函数在点处的导数，利用点斜式方程即可.

详解：∵

∴

∴曲线在点处的切线方程为：

，即

故答案为：

【点睛】

本题主要考查曲线在某点处的切线方程，属于基础题.

9．【答案】

【解析】分析：根据，得到，，可知点的轨迹方程为：，点的轨迹方程为：，故的几何意义为，结合导数的几何意义及应用计算可得结果.

详解：∵

∴，，

即点的轨迹方程为：，点的轨迹方程为：

则的几何意义为，

设斜率为的直线与曲线相切且切点为，

由，则，解得，，

由点到直线的距离公式得，

即，

故答案为：

【点睛】

本题考查了的几何意义及利用导数求函数切线的切点坐标，属难度较大的题型.

10．【答案】

【解析】分析：先对函数求导，求出在处的切线斜率，进而可求出切线方程.

详解：由得，

所以在处的切线斜率为，

又，

所以在处的切线方程为，即.

故答案为：.

【点睛】

本题主要考查求曲线在某点处的切线方程，属于基础题型.

11．【答案】

【解析】分析：，设，，，写出直线方程，联立它与曲线方程得，，同理得，再计算，，由题意得，再求取值范围即可.

详解：解：，

设，，，

，

即，

联立，得，

同理，

则，

，

，

所以，得

，

令，则在上有解，

由解得.

故答案为：.

【点睛】

本题考查导数的几何意义，参数的取值范围，属于中档题．

12．【答案】-2

【解析】分析：本题可以先求出函数的导函数，再通过函数在点处的切线平行于轴得出的值，最后得出结果．

详解：因为函数，所以

因为函数在点处的切线平行于轴，

所以所以

【点睛】

曲线在曲线上的某一点的切线方程的斜率就是曲线在这一点处的导数．

13．【答案】2

【解析】分析：求出原函数的导函数，得到函数在处的导数，则答案可求．

详解：解：由，得，

．

又曲线在处的切线方程为，

．

故答案为：2.

【点睛】

本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，考查基本初等函数的导函数，属于基础题．

14．【答案】

【解析】分析：求导可得，结合，利用点斜式即可求得切线方程.

详解：因为，故可得，

故可得，又因为，

故可得在点处的切线方程为.

故答案为：.

【点睛】

本题考查导数的几何意义，属基础题.

15．【答案】

【解析】分析：根据可得，然后根据曲线在某点处的导数的几何意义，可得结果.

详解：由题可知：

由，所以

所以

则

故答案为：

【点睛】

本题考查曲线在某点处导数的几何意义，识记概念，属基础题.

16．【答案】

【解析】分析：由已知条件得出，结合题意得出，由此可解得的值.

详解：，，

因为函数的图象在点处的切线方程为，

则，解得.

故答案为：.

【点睛】

本题考查利用切线方程求导数值，考查导数几何意义的应用，属于基础题.

17．【答案】2

【解析】分析：根据题意可知，位移对时间t的导数为质点的即时速度，从而可得出t=2s时的瞬时速度.

详解：根据题意，，

时刻的瞬时速度为，

故答案为：2

【点睛】

本题考查了导数的物理意义，基本初等函数的求导公式，考查了计算能力，属于基础题．

18．【答案】2

【解析】分析：设直线与曲线相切于点，根据导数的几何意义求出切线方程，可得，再根据基本不等式可得的最小值.

详解：设直线与曲线相切于点，

当时，直线不是曲线的切线，故,

由得，

所以切线方程为，

即，

所以，

所以，

当且仅当时，等号成立，所以．

故答案为：2.

【点睛】

本题考查了导数的几何意义，考查了基本不等式求最值，属于基础题.