课时跟踪检测（三十二） 直线与平面垂直的性质

课时跟踪检测（三十二）  直线与平面垂直的性质

A级——新课合格性考试达标练

1．在正方体ABCD­A1B1C1D1中，直线l(与直线BB1不重合)⊥平面A1C1，则(　　)

A．B1B⊥l

B．B1B∥l

C．B1B与l异面但不垂直

D．B1B与l相交但不垂直

解析：选B　因为B1B⊥平面A1C1，又因为l⊥平面A1C1，所以l∥B1B.故选B.

2．设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题正确的是(　　)

A．若m∥α，n∥α，则m∥n

B．若m∥α，m∥β，则α∥β

C．若m∥n，m⊥α，则n⊥α

D．若m∥α，α⊥β，则m⊥β

解析：选C　∵m∥n，m⊥α，则n⊥α，故选C.

3．[多选]下列命题正确的是(　　)

A.⇒b⊥α　　　　　B.⇒a∥b

C.⇒b∥α  D.⇒b⊥α

解析：选AB　由性质定理可得A、B正确．故选A、B.

4.如图，▱ADEF的边AF⊥平面ABCD，且AF＝2，CD＝3，则CE＝(　　)

A．2  B．3

C.   D.

解析：选D　因为四边形ADEF为平行四边形，所以AF∥DE且AF＝DE. 因为AF⊥平面ABCD，所以DE⊥平面ABCD.所以DE⊥DC.因为AF＝2，所以DE＝2.又CD＝3，所以CE＝ ＝＝.故选D.

5．如图，α∩β＝l，点A，C∈α，点B∈β，且BA⊥α，BC⊥β，那么直线l与直线AC的关系是(　　)

A．异面  B．平行

C．垂直  D．不确定

解析：选C　∵BA⊥α，α∩β＝l，l⊂α，∴BA⊥l.同理BC⊥l.又BA∩BC＝B，∴l⊥平面ABC.∵AC⊂平面ABC，∴l⊥AC.故选C.

6．线段AB在平面α的同侧，A，B到α的距离分别为3和5，则AB的中点到α的距离为________．

解析：如图，设AB的中点为M，分别过A，M，B向α作垂线，垂足分别为A1，M1，B1，则由线面垂直的性质可知，AA1∥MM1∥BB1，四边形AA1B1B为直角梯形，AA1＝3，BB1＝5，MM1为其中位线，

∴MM1＝4.

答案：4

7.如图，在三棱锥P­ABC中，PA⊥平面ABC，D是侧面PBC上的一点，过点D作平面ABC的垂线DE，其中D∉PC，则DE与平面PAC的位置关系是________.

解析：因为DE⊥平面ABC，PA⊥平面ABC，

所以DE∥PA. 又DE⊄平面PAC，PA⊂平面PAC，所以DE∥平面PAC.

答案：平行

8．已知m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面．

①若m∥α，m⊥n，则n⊥α；②若m⊥α，n∥α，则m⊥n；③若m⊂α，n⊂β，且α∥β，则m∥n；④若m，n不平行，则m与n不可能垂直于同一平面．其中为真命题的是________．(填序号)

解析：①若m∥α，m⊥n，则n与α位置关系不确定，故为假命题．

②若n∥α，则α内存在直线l与n平行．因为m⊥α，所以m⊥l，所以m⊥n.故为真命题．

③若m⊂α，n⊂β，且α∥β，则m，n可能异面．故为假命题．

④原命题的逆否命题为“若m与n垂直于同一平面，则m，n平行”，为真命题，所以原命题为真命题，所以②④为真命题．

答案：②④

9．已知直线l，m，a，b，l⊥a，l⊥b，m⊥a，m⊥b，且a，b是异面直线，求证：l∥m.

证明：如图，在直线b上任取一点O，过点O作a′∥a，则直线b，a′确定一个平面α.

∵a′∥a，l⊥a，∴l⊥a′.

∵l⊥b，a′∩b＝O，∴l⊥α.

同理可证m⊥α，∴l∥m.

10.如图，四棱柱ABCD­A1B1C1D1的底面ABCD是正方形，O为底面中心，A1O⊥平面ABCD，AB＝AA1＝.

求证：A1C⊥平面BB1D1D.

证明：∵A1O⊥平面ABCD，∴A1O⊥BD.

又底面ABCD是正方形

∴BD⊥AC，∴BD⊥平面A1OC，∴BD⊥A1C.

又OA1是AC的中垂线

∴A1A＝A1C＝，且AC＝2，

∴AC2＝AA＋A1C2

∴△AA1C是直角三角形，∴AA1⊥A1C.

又BB1∥AA1，∴A1C⊥BB1，

又BD∩BB1＝B，

∴A1C⊥平面BB1D1D.

B级——面向全国卷高考高分练

1.PA垂直于以AB为直径的圆所在平面，C为圆上异于A，B的任一点，则下列关系不正确的是(　　)

A．PA⊥BC　　  B．BC⊥平面PAC

C．AC⊥PB  D．PC⊥BC

解析：选C　PA⊥平面ABC，得PA⊥BC，A正确；又BC⊥AC，所以BC⊥面PAC，所以BC⊥PC，B、D均正确．故选C.

2．已知m，n是两条不同的直线，α，β是两个不重合的平面，给定下列四个命题，其中的真命题是(　　)

①若m⊥n，n⊂α，则m⊥α；②若m⊥α，n⊂α，则m⊥n；③若m⊥α，n⊥α，则m∥n；④若m⊂α，n⊂β，α∥β，则m∥n.

A．①和②　　　　　　　 B．②和③

C．③和④  D．①和④

解析：选B　①中，直线m垂直于平面α内的一条直线n，则直线m与平面α不一定垂直，所以①不是真命题；②是直线与平面垂直的定义的应用，所以②是真命题；③是直线与平面垂直的性质定理，所以③是真命题；④中，分别在两个平行平面α，β内的直线m，n平行或异面，所以④不是真命题．故选B.

3．已知直线l∩平面α＝点O，A∈l，B∈l，A∉α，B∉α，且OA＝AB.若AC⊥平面α，垂足为C，BD⊥平面α，垂足为D，AC＝1，则BD＝(　　)

A．2  B．1

C.   D.

解析：选A　因为AC⊥平面α，BD⊥平面α，所以AC∥BD.连接OD，所以＝. 因为OA＝AB，所以＝. 因为AC＝1，所以BD＝2.故选A.

4．如图，设平面α∩平面β＝PQ，EG⊥平面α，FH⊥平面α，垂足分别为G，H.为使PQ⊥GH，则需增加的一个条件是(　　)

A．EF⊥平面α  B．EF⊥平面β

C．PQ⊥GE  D．PQ⊥FH

解析：选B　因为EG⊥平面α，PQ⊂平面α，所以EG⊥PQ.若EF⊥平面β，则由PQ⊂平面β，得EF⊥PQ.又EG与EF为相交直线，所以PQ⊥平面EFHG，所以PQ⊥GH.故选B.

5．已知PA垂直于平行四边形ABCD所在平面，若PC⊥BD，平行四边形ABCD一定是________．

解析：易知，BD⊥平面PAC，∴BD⊥AC.又四边形ABCD是平行四边形，∴ABCD一定是菱形．

答案：菱形

6．在直四棱柱ABCD­A1B1C1D1中，当底面四边形ABCD满足条件___________时，有A1C⊥B1D1(注：填上你认为正确的一种条件即可，不必考虑所有可能的情况)．

解析：当BD⊥AC时，BD⊥AA1，所以BD⊥平面AA1C，从而BD⊥A1C，又B1D1∥BD，所以A1C⊥B1D1.

答案：BD⊥AC

7.在四棱锥P­ABCD中，PA⊥平面ABCD，四边形ABCD是矩形，AE⊥PD于点E，l⊥平面PCD.

求证：l∥AE.

证明：因为PA⊥平面ABCD，

CD⊂平面ABCD，

所以PA⊥CD.

又四边形ABCD是矩形，所以CD⊥AD.

因为PA∩AD＝A，PA⊂平面PAD，AD⊂平面PAD，

所以CD⊥平面PAD.

又AE⊂平面PAD，所以AE⊥DC.

因为AE⊥PD，PD∩CD＝D，PD⊂平面PCD，CD⊂平面PCD，

所以AE⊥平面PCD.

因为l⊥平面PCD，

所以l∥AE.

C级——拓展探索性题目应用练

如图，直升机上一点P在地面α上的正射影是点A(即PA⊥α)，从点P看地平面上一物体B(不同于A)，直线PB垂直于飞机玻璃窗所在的平面β.

求证：平面β必与平面α相交．

证明：假设平面α与平面β平行．

因为PA⊥平面α，所以PA⊥平面β.

因为PB⊥平面β，

由线面垂直的性质定理，可得PA∥PB，

与已知PA∩PB＝P矛盾，

所以平面β必与平面α相交．