2022-2023学年辽宁省葫芦岛市九年级下册专项突破提升试卷（AB卷）含解析

这是一份2022-2023学年辽宁省葫芦岛市九年级下册专项突破提升试卷（AB卷）含解析，共51页。试卷主要包含了单项选一选，填 空 题，计算题，解 答 题等内容，欢迎下载使用。

2022-2023学年辽宁省葫芦岛市九年级下册专项突破提升试卷
（A卷）
一、单项选一选（本大题共10个小题，每小题4分，共40分）
1. 的相反数是（ ）
A. B. 2 C. D.
2. 下列各式的变形中，正确的是( )
A (－x－y)(－x＋y)＝x2－y2 B. －x＝
C. x2－4x＋3＝(x－2)2＋1 D. x÷(x2＋x)＝＋1
3. 已知点M、N、P、Q在数轴上的位置如图，则其中对应的数的值的点是（　　）

A. M B. N C. P D. Q
4. 下列美丽的图案，既是轴对称图形又是对称图形的个数是( )

A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
5. 如图是九（1）班45名同学每周课外阅读时间的频数直方图(每组含前一个边界值,没有含后一个边界值).由图可知,人数至多的一组是（ ）

A. 2～4小时 B. 4～6小时 C. 6～8小时 D. 8～10小时
6. 如图所示，△ABC中，点D、E分别是AC、BC边上的点，且DE∥AB，CD：CA﹦2：3，△ABC的面积是18，则△DEC的面积是 （ ）

A. 8 B. 9 C. 12 D. 15
7. 如图，已知点A（0，1），B（0，﹣1），以点A为圆心，AB为半径作圆，交x轴的正半轴于点C，则∠BAC等于（ ）

A. 90° B. 120° C. 60° D. 30°
8. 如图A，B，C是上的三个点，若，则等于（ ）

A. 50° B. 80° C. 100° D. 130°
9. 如图，在△ABC中，AB=10，AC=8，BC=6，以边AB的中点O为圆心，作半圆与AC相切，点P，Q分别是边BC和半圆上的动点，连接PQ，则PQ长的值与最小值的和是（ ）

A. 6 B. C. 9 D.
10. 如图，已知E、F分别为正方形ABCD边AB，BC的中点，AF与DE交于点M，O为BD的中点，则下列结论：①∠AME=90°；②∠BAF=∠EDB；③∠BMO=90°；④MD=2AM=4EM；⑤AM=MF．其中正确结论的个数是（　　）

A. 5个 B. 4个 C. 3个 D. 2个
二、填 空 题（本大题共有6个小题，每小题4分，共24分，请把答案填在答题卡上对应的横线上）
11. 数学模考后,刘老师统计了20名学生的成绩．记录如下:有6人得了85分,有5人得了80分,有4人得了65分,有5人得了90分．则这组数据的中位数和平均数分别是 ______
12. 在函数中，自变量x的取值范围是___________．
13. 如图，若点A坐标为 ，则 =________．

14. 如图,正方形ABCD的边长为2，点H在CD的延长线上，四边形CEFH也为正方形，则△DBF的面积为 ______

15. 如图，四边形ABCD是菱形，∠A=60°，AB=6，扇形BEF的半径为6，圆心角为60°，则图中阴影部分的面积是______

16. 如图，把同样大小的黑色棋子摆放在正多边形的边上，个图形需要3个黑色棋子，第二个图形需要8个黑色棋子……，按照这样的规律摆下去，第（n是正整数）个图形需要黑色棋子的个数是________________________（用含n的代数式表示）．

三、计算题：（本大题共有8个小题，共86分，请将必要的文字说明、计算过程或推理过程写在答题卡的对应位置）
17. (1)计算题：
(2)计算题:
(3)解没有等式组：
18. 如图，小岛在港口P北偏西60°方向，距港口56海里的A处，货船从港口P出发，沿北偏东45°方向匀速驶离港口P,4小时后货船在小岛的正东方向．求货船的航行速度．(到0.1海里/时，参考数据：≈1.41，≈1.73)

19. 某商场服装部分为了解服装的情况，统计了每位营业员在某月的额（单位：万元），并根据统计的这组额的数据，绘制出如下的统计图①和图②，请根据相关信息，解答下列问题：
（1）该商场服装营业员的人数为 ，图①中m的值为 ；
（2）求统计的这组额数据的平均数、众数和中位数．

20. 在一个没有透明的盒子中放有四张分别写有数字1、2、3、4的红色卡片和三张分别写有数字1、2、3的蓝色卡片，卡片除颜色和数字外其它完全相同．
（1）从中任意抽取一张卡片，则该卡片上写有数字1的概率是__________；
（2）将3张蓝色卡片取出后放入另外一个没有透明的盒子内，然后在两个盒子内各任意抽取一张卡片，以红色卡片上的数字作为十位数，蓝色卡片上的数字作为个位数组成一个两位数，请利用画树状图或列表法求这个两位数大于22的概率．
21. 如图，△ABC中，AB＝AC＝1，∠BAC＝45°，△AEF是由△ABC绕点A按顺时针方向旋转得到的，连接BE，CF相交于点D,
（1）求证：BE＝CF ；
（2）当四边形ACDE为菱形时，求BD的长．

22. 某超市用3000元购进某种干果，由于状况良好，超市又调拨9000元资金购进该种干果，但这次的进价比次的进价提高了20%，购进干果数量是次的2倍还多300千克，如果超市按每千克9元的价格出售，当大部分干果售出后，余下的600千克按售价的8折售完．
（1）该种干果的次进价是每千克多少元？
（2）超市这种干果共盈利多少元？
23. 如图，已知AB是⊙O的直径，点P在BA的延长线上，PD切⊙O于点D，过点B作BE垂直于PD，交PD的延长线于点C，连接AD并延长，交BE于点E．

（1）求证：AB=BE；
（2）若PA=2，co=，求⊙O半径的长．
24. 如图，已知抛物线A（﹣2，0），B（﹣3，3）及原点O，顶点为C．
（1）求抛物线解析式；
（2）若点D在抛物线上，点E在抛物线的对称轴上，且A、O、D、E为顶点的四边形是平行四边形，求点D的坐标；
（3）P是抛物线上的象限内的动点，过点P作PMx轴，垂足为M，是否存在点P，使得以P、M、A为顶点的三角形△BOC相似？若存在，求出点P的坐标；若没有存在，请说明理由．










2022-2023学年辽宁省葫芦岛市九年级下册专项突破提升试卷
（A卷）
一、单项选一选（本大题共10个小题，每小题4分，共40分）
1. 的相反数是（ ）
A. B. 2 C. D.
【正确答案】B

【分析】根据相反数的定义可得结果．
【详解】因为-2+2=0，所以-2的相反数是2，
故选：B．
本题考查求相反数，熟记相反数的概念是解题的关键．
2. 下列各式的变形中，正确的是( )
A. (－x－y)(－x＋y)＝x2－y2 B. －x＝
C. x2－4x＋3＝(x－2)2＋1 D. x÷(x2＋x)＝＋1
【正确答案】A

【详解】试题分析：根据平方差公式可得A正确；根据分式的减法法则可得：B=；根据完全平方公式可得：C=－1；根据单项式除以多项式的法则可得：D=．
故选：A．
考点：多项式的乘法、除法计算，完全平方公式．

3. 已知点M、N、P、Q在数轴上的位置如图，则其中对应的数的值的点是（　　）

A. M B. N C. P D. Q
【正确答案】D

【分析】根据值的几何意义进行判别可得出答案.
【详解】观察数轴可知，点Q到原点的距离最远，所以点Q的值．
故选D．
考点：数轴；值.
4. 下列美丽的图案，既是轴对称图形又是对称图形的个数是( )

A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
【正确答案】C

【分析】根据轴对称图形与对称图形的概念对各选项分析判断即可.
【详解】第1个，即没有是轴对称图形，也没有是对称图形，故本选项错误；
第2个，既是轴对称图形，也是对称图形，故本选项正确；
第3个，既是轴对称图形，也是对称图形，故本选项正确；
第4个，既是轴对称图形，也是对称图形，故本选项正确．
故选：C．
本题考查了轴对称图形与对称图形，掌握对称图形与轴对称图形的概念是解题关键.
5. 如图是九（1）班45名同学每周课外阅读时间频数直方图(每组含前一个边界值,没有含后一个边界值).由图可知,人数至多的一组是（ ）

A. 2～4小时 B. 4～6小时 C. 6～8小时 D. 8～10小时
【正确答案】B

【详解】试题分析：根据条形统计图可以得到哪一组的人数至多，从而可以解答本题．
由条形统计图可得，人数至多的一组是4～6小时，频数为22，
考点：频数（率）分布直方图
6. 如图所示，△ABC中，点D、E分别是AC、BC边上的点，且DE∥AB，CD：CA﹦2：3，△ABC的面积是18，则△DEC的面积是 （ ）

A. 8 B. 9 C. 12 D. 15
【正确答案】A

【详解】∵DE∥AB，
∴△CDE∽△CAB，
∴
∵△ABC的面积是18，
∴S△CDE=8，
故选:A.
本题考查了相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．
7. 如图，已知点A（0，1），B（0，﹣1），以点A为圆心，AB为半径作圆，交x轴的正半轴于点C，则∠BAC等于（ ）

A. 90° B. 120° C. 60° D. 30°
【正确答案】C

【详解】解：∵A（0，1），B（0，﹣1），∴AB=2，OA=1，∴AC=2．在Rt△AOC中，cos∠BAC==，∴∠BAC=60°．故选C．
点睛：本题考查了垂径定理的应用，关键是求出AC、OA的长．解题时注意：垂直弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．
8. 如图A，B，C是上的三个点，若，则等于（ ）

A. 50° B. 80° C. 100° D. 130°
【正确答案】D

【详解】试题分析：根据圆周的度数为360°，可知优弧AC的度数为360°-100°=260°，然后根据同弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半，可求得∠B=130°．
故选D
考点：圆周角定理

9. 如图，在△ABC中，AB=10，AC=8，BC=6，以边AB的中点O为圆心，作半圆与AC相切，点P，Q分别是边BC和半圆上的动点，连接PQ，则PQ长的值与最小值的和是（ ）

A. 6 B. C. 9 D.
【正确答案】C

【详解】如图，设⊙O与AC相切于点E，连接OE，作OP1⊥BC垂足为P1交⊙O于Q1，此时垂线段OP1最短，P1Q1最小值为OP1﹣OQ1，
∵AB=10，AC=8，BC=6，
∴AB2=AC2+BC2，
∴∠C=90°，
∵∠OP1B=90°，
∴OP1∥AC
∵AO=OB，
∴P1C=P1B，
∴OP1=AC=4，
∴P1Q1最小值为OP1﹣OQ1=1，
如图，当Q2在AB边上时，P2与B重合时，P2Q2值=5+3=8，
∴PQ长的值与最小值的和是9．
故选：C．

考点：切线性质；最值问题．
10. 如图，已知E、F分别为正方形ABCD的边AB，BC的中点，AF与DE交于点M，O为BD的中点，则下列结论：①∠AME=90°；②∠BAF=∠EDB；③∠BMO=90°；④MD=2AM=4EM；⑤AM=MF．其中正确结论的个数是（　　）

A. 5个 B. 4个 C. 3个 D. 2个
【正确答案】B

【详解】试题分析：根据正方形的性质可得AB=BC=AD，∠ABC=∠BAD=90°，再根据中点定义求出AE=BF，然后利用“边角边”证明△ABF和△DAE全等，根据全等三角形对应角相等可得∠BAF=∠ADE，然后求出∠ADE+∠DAF=∠BAD=90°，从而求出∠AMD=90°，再根据邻补角的定义可得∠AME=90°，从而判断①正确；根据中线的定义判断出∠ADE≠∠EDB，然后求出∠BAF≠∠EDB，判断出②错误；根据直角三角形的性质判断出△AED、△MAD、△MEA三个三角形相似，利用相似三角形对应边成比例可得AM:EM=MD:AM=AD:AE=2，然后求出MD=2AM=4EM，判断出④正确，设正方形ABCD的边长为2a，利用勾股定理列式求出AF，再根据相似三角形对应边成比例求出AM，然后求出MF，消掉a即可得到AM=MF，判断出⑤正确；过点M作MN⊥AB于N，求出MN、，然后利用勾股定理列式求出BM，过点M作GH∥AB，过点O作OK⊥GH于K，然后求出OK、MK，再利用勾股定理列式求出MO，根据正方形的性质求出BO，然后利用勾股定理逆定理判断出∠BMO=90°，从而判断出③正确．
考点：三角形全等和三角形相似．
二、填 空 题（本大题共有6个小题，每小题4分，共24分，请把答案填在答题卡上对应的横线上）
11. 数学模考后,刘老师统计了20名学生的成绩．记录如下:有6人得了85分,有5人得了80分,有4人得了65分,有5人得了90分．则这组数据的中位数和平均数分别是 ______
【正确答案】85，81

【详解】解：∵共有20个数，有4人得了65分，有5人得了80分，有6人得了85分，有5人得了90分，∴中位数是第10、11个数的平均数，∴中位数是（85+85）÷2=85（分）；
平均数是（85×6+80×5+65×4+90×5）=81（分）；
故答案为85分，81分．
点睛：本题考查了中位数、平均数，中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（最中间两个数的平均数），叫做这组数据的中位数．平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数．
12. 在函数中，自变量x的取值范围是___________．
【正确答案】x＞﹣2且x≠2

【详解】由题意得， ，解之得 且 .
13. 如图，若点A的坐标为 ，则 =________．

【正确答案】

【分析】根据勾股定理，可得OA的长，根据正弦是对边比斜边，可得答案．
【详解】解：如图，

点A的坐标为 ，

由勾股定理，得：OA==2
sin∠1=，
故答案为．
本题考查了勾股定理，正弦的概念，比较简单．
14. 如图,正方形ABCD的边长为2，点H在CD的延长线上，四边形CEFH也为正方形，则△DBF的面积为 ______

【正确答案】2

【详解】解：设正方形CEFH的边长为a，根据题意得：
S△BDF=S正方形ABCD+S正方形CEFH﹣S△ABD﹣S△DHF﹣S△BEF
=4+a2﹣×4﹣a（a﹣2）﹣a（a+2）
=2+a2﹣a2+a﹣a2﹣a
=2．
方法二：连接CF．易证BD∥CF，∴S△BDF=S△BDC=S正方形ABCD=2．

故答案为2．
15. 如图，四边形ABCD是菱形，∠A=60°，AB=6，扇形BEF的半径为6，圆心角为60°，则图中阴影部分的面积是______

【正确答案】6π-9

【详解】解：连接BD．∵四边形ABCD是菱形，∠A=60°，∴∠ADC=120°，∴∠1=∠2=60°，∴△DAB是等边三角形．∵AB=6，∴△ABD的高为3．∵扇形BEF的半径为6，圆心角为60°，∴∠4+∠5=60°，∠3+∠5=60°，∴∠3=∠4，设AD、BE相交于点G，设BF、DC相交于点H．在△ABG和△DBH中，，∴△ABG≌△DBH（ASA），∴四边形GBHD的面积等于△ABD的面积，∴图中阴影部分的面积是：S扇形EBF﹣S△ABD=﹣×6×3=6π﹣9．故答案为6π﹣9．

点睛：本题主要考查了扇形的面积计算以及全等三角形的判定与性质等知识，根据已知得出四边形EBFD的面积等于△ABD的面积是解题的关键．
16. 如图，把同样大小的黑色棋子摆放在正多边形的边上，个图形需要3个黑色棋子，第二个图形需要8个黑色棋子……，按照这样的规律摆下去，第（n是正整数）个图形需要黑色棋子的个数是________________________（用含n的代数式表示）．

【正确答案】n（n+2）

【详解】图形，发现：第1个图形中的棋子数是2×3﹣3=1×3=3（个）；第2个图形中的棋子数是3×4﹣4=2×4=8（个）；第3个图形中的棋子数是4×5﹣5=3×5=15（个），以此类推，则第n（n是正整数）个图形需要黑色棋子的个数是n（n+2）个．故答案为n（n+2）．
点睛：首先图形计算几个具体的图形中的棋子数，然后进行推而广之．
三、计算题：（本大题共有8个小题，共86分，请将必要的文字说明、计算过程或推理过程写在答题卡的对应位置）
17. (1)计算题：
(2)计算题:
(3)解没有等式组：
【正确答案】（1）4（2）答案见解析（3）答案见解析

【详解】试题分析：（1）根据值、角的三角函数值、零指数幂、负整数指数幂可以解答本题；
（2）根据分式的减法和除法可以解答本题；
（3）根据解一元没有等式组的方法可以解答本题．
试题解析：解：（1）原式=3+﹣2﹣1+3
=3+1﹣2﹣1+3
=4；
（2）原式=
=
=﹣（x+4）
=﹣x﹣4；
（3），解没有等式①，得：x≥1，解没有等式②，得：x＜5，∴原没有等式组的解集是1≤x＜5．
18. 如图，小岛在港口P的北偏西60°方向，距港口56海里的A处，货船从港口P出发，沿北偏东45°方向匀速驶离港口P,4小时后货船在小岛的正东方向．求货船的航行速度．(到0.1海里/时，参考数据：≈1.41，≈1.73)

【正确答案】货船的航行速度约为9.9海里/时．

【分析】设货船速度为x海里/时，4小时后货船在点B处，作PQ⊥AB于点Q．在直角三角形PQB中，∠BPQ＝45°，所以，PQ＝PB×cos45°＝2x．
【详解】设货船速度为x海里/时，4小时后货船在点B处，作PQ⊥AB于点Q．
由题意AP＝56海里，PB＝4 x海里．
在直角三角形APQ中，∠ABP＝60°，
所以PQ＝28．
在直角三角形PQB中，∠BPQ＝45°，
所以，PQ＝PB×cos45°＝2x．
所以，2x＝28．
x＝7≈9.9．

答：货船的航行速度约为9.9海里/时．
解直角三角形应用.
19. 某商场服装部分为了解服装的情况，统计了每位营业员在某月的额（单位：万元），并根据统计的这组额的数据，绘制出如下的统计图①和图②，请根据相关信息，解答下列问题：
（1）该商场服装营业员的人数为 ，图①中m的值为 ；
（2）求统计的这组额数据的平均数、众数和中位数．

【正确答案】（1）25；28；（2）平均数：18.6；众数：21；中位数：18．

【分析】（1）观察统计图可得，该商场服装部营业员人数为2+5+7+8+3=25人，m%=1-32%-12%-8%-20%=28%，即m=28；
（2）计算出所有营业员的总额除以营业员的总人数即可的平均数；观察统计图，根据众数、中位数的定义即可得答案．
【详解】解：（1）根据条形图2+5+7+8+3=25（人），
m=100-20-32-12-8=28；
故25；28；
（2）观察条形统计图，
∵
∴这组数据的平均数是18.6．
∵在这组数据中，21 出现了8次，出现的次数至多，
∴这组数据的众数是21．
∵将这组数据按照由小到大的顺序排列，其中处于中间位置的数是18，
∴这组数据的中位数是18．
此题主要考查了平均数、众数、中位数的统计意义以及利用样本估计总体等知识．找中位数要把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数或两个数的平均数为中位数；众数是一组数据中出现次数至多的数据，注意众数可以没有止一个；平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数．
20. 在一个没有透明的盒子中放有四张分别写有数字1、2、3、4的红色卡片和三张分别写有数字1、2、3的蓝色卡片，卡片除颜色和数字外其它完全相同．
（1）从中任意抽取一张卡片，则该卡片上写有数字1的概率是__________；
（2）将3张蓝色卡片取出后放入另外一个没有透明盒子内，然后在两个盒子内各任意抽取一张卡片，以红色卡片上的数字作为十位数，蓝色卡片上的数字作为个位数组成一个两位数，请利用画树状图或列表法求这个两位数大于22的概率．
【正确答案】（1）
（2）

【分析】（1）由在7张卡片中共有两张卡片写有数字1，利用概率公式求解即可求得答案；
（2）首先根据题意列出表格，然后由表格求得所有等可能的结果与这个两位数没有小于22的情况，再利用概率公式求解即可求得答案．
【小问1详解】
∵在7张卡片中共有两张卡片写有数字1，
∴从中任意抽取一张卡片，卡片上写有数字1的概率是；
故．
【小问2详解】
根据题意列表得：

1
2
3
4
1
11
21
31
41
2
12
22
32
42
3
13
23
33
43
∵共有12种等可能的情况，这个两位数大于22的有7种情况，
∴这个两位数大于22的概率为．
本题主要考查的是用列表法或树状图法求概率，注意树状图法与列表法可以没有重复没有遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的；树状图法适合两步或两步以上完成的；注意概率＝所求情况数与总情况数之比．
21. 如图，△ABC中，AB＝AC＝1，∠BAC＝45°，△AEF是由△ABC绕点A按顺时针方向旋转得到的，连接BE，CF相交于点D,
（1）求证：BE＝CF ；
（2）当四边形ACDE为菱形时，求BD的长．

【正确答案】（1）证明见解析（2）-1

【分析】（1）先由旋转的性质得AE=AB，AF=AC，∠EAF=∠BAC，则∠EAF+∠BAF=∠BAC+∠BAF，即∠EAB=∠FAC，利用AB=AC可得AE=AF，得出△ACF≌△ABE，从而得出BE=CF；
（2）由菱形的性质得到DE=AE=AC=AB=1，AC∥DE，根据等腰三角形的性质得∠AEB=∠ABE，根据平行线得性质得∠ABE=∠BAC=45°，所以∠AEB=∠ABE=45°，于是可判断△ABE为等腰直角三角形，所以BE=AC=，于是利用BD=BE﹣DE求解．
【详解】（1）∵△AEF是由△ABC绕点A按顺时针方向旋转得到的，
∴AE=AB，AF=AC，∠EAF=∠BAC，
∴∠EAF+∠BAF=∠BAC+∠BAF，
即∠EAB=∠FAC，
在△ACF和△ABE中，
△ACF≌△ABE
BE=CF.
（2）∵四边形ACDE为菱形，AB=AC=1，
∴DE=AE=AC=AB=1，AC∥DE，
∴∠AEB=∠ABE，∠ABE=∠BAC=45°，
∴∠AEB=∠ABE=45°，
∴△ABE为等腰直角三角形，
∴BE=AC=，
∴BD=BE﹣DE=．
考点：1．旋转的性质；2．勾股定理；3．菱形的性质．

22. 某超市用3000元购进某种干果，由于状况良好，超市又调拨9000元资金购进该种干果，但这次的进价比次的进价提高了20%，购进干果数量是次的2倍还多300千克，如果超市按每千克9元的价格出售，当大部分干果售出后，余下的600千克按售价的8折售完．
（1）该种干果的次进价是每千克多少元？
（2）超市这种干果共盈利多少元？
【正确答案】（1）该种干果的次进价是每千克5元.（2）超市这种干果共盈利5820元．

【详解】试题分析：（1）、设次进价x元，第二次进价为1.2x，根据题意列出分式方程进行求解；（2）、根据利润=额－进价.
试题解析：（1）、设该种干果的次进价是每千克x元，则第二次进价是每千克（1+20%）x元，
由题意，得=2×+300，
解得x=5，
经检验x=5是方程的解．
答：该种干果次进价是每千克5元；
（2）、[﹣600]×9+600×9×80%﹣（3000+9000）
=（600+1500﹣600）×9+4320﹣12000
=1500×9+4320﹣12000=13500+4320﹣12000
=5820（元）．
答：超市这种干果共盈利5820元．
考点：分式方程的应用.
23. 如图，已知AB是⊙O的直径，点P在BA的延长线上，PD切⊙O于点D，过点B作BE垂直于PD，交PD的延长线于点C，连接AD并延长，交BE于点E．

（1）求证：AB=BE；
（2）若PA=2，co=，求⊙O半径的长．
【正确答案】（1）见解析；（2）3

【详解】试题分析：（1）连接OD，由PD切⊙O于点D，得到OD⊥PD，由于BE⊥PC，得到OD∥BE，得出∠ADO=∠E，根据等腰三角形的性质和等量代换可得结果；
（2）由（1）知，OD∥BE，得到∠POD=∠B，根据三角函数的定义即可得到结果．
试题解析：（1）证明：连接OD，

∵PD切⊙O于点D，
∴OD⊥PD，
∵BE⊥PC，
∴OD∥BE，
∴∠ADO=∠E，
∵OA=OD，
∴∠OAD=∠ADO，
∴∠OAD=∠E，
∴AB=BE；
（2）解：由（1）知，OD∥BE，
∴∠POD=∠B，
∴cos∠POD=co=，
在Rt△POD中，cos∠POD=，
∵OD=OA，PO=PA+OA=2+OA，
∴，
∴OA=3，
∴⊙O半径=3．

24. 如图，已知抛物线A（﹣2，0），B（﹣3，3）及原点O，顶点为C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点D在抛物线上，点E在抛物线的对称轴上，且A、O、D、E为顶点的四边形是平行四边形，求点D的坐标；
（3）P是抛物线上的象限内的动点，过点P作PMx轴，垂足为M，是否存在点P，使得以P、M、A为顶点的三角形△BOC相似？若存在，求出点P的坐标；若没有存在，请说明理由．
【正确答案】（1）抛物线的解析式为y=x2+2x；（2）D1（-1，-1），D2（-3，3），D3（1，3）；（3）存在，P或（3，15）．

【分析】（1）根据抛物线过A（2，0）及原点可设y=a（x-2）x，然后根据抛物线y=a（x-2）x过B（3，3），求出a的值即可；
（2）首先由A的坐标可求出OA的长，再根据四边形AODE是平行四边形，D在对称轴直线x=-1右侧，进而可求出D横坐标为：-1+2=1，代入抛物线解析式即可求出其横坐标；
（3）分△PMA∽△COB和△PMA∽△BOC表示出PM和AM，从而表示出点P的坐标，代入求得的抛物线的解析式即可求得t的值，从而确定点P的坐标．
【详解】解：（1）根据抛物线过A（-2，0）及原点，可设y=a（x+2）（x-0），
又∵抛物线y=a（x+2）x过B（-3，3），
∴-3（-3+2）a=3，
∴a=1，
∴抛物线的解析式为y=（x+2）x=x2+2x；
（2）①若OA为对角线，则D点与C点重合，点D的坐标应为D（-1，-1）；
②若OA为平行四边形的一边，则DE=OA，∵点E在抛物线的对称轴上，
∴点E横坐标为-1，
∴点D的横坐标为1或-3，代入y=x2+2x得D（1，3）和D（-3，3），
综上点D坐标（-1，-1），（-3，3），（1，3）．
（3）∵点B（-3，3）C（-1，-1），
∴△BOC为直角三角形，∠COB=90°，且OC：OB=1：3，
①如图1，

若△PMA∽△COB，设PM=t，则AM=3t，
∴点P（3t-2，t），
代入y=x2+2x得（-2+3t）2+2（-2+3t）=t，
解得t1=0（舍），t2=，
∴P(，)；
②如图2，
若△PMA∽△BOC，
设PM=3t，则AM=t，点P（t-2，3t），代入y=x2+2x得（-2+t）2+2（-2+t）=3t，
解得t1=0（舍），t2=5，
∴P（3，15）
综上所述，点P的坐标为(，)或（3，15）．
考点：二次函数综合题





2022-2023学年辽宁省葫芦岛市九年级下册专项突破提升试卷
（B卷）
一、选一选（每小题3分，共30分）
1. 关于x的一元二次方程x2+a2﹣1=0的一个根是0，则a的值为（　　）
A. ﹣1 B. 1 C. 1或﹣1 D. 3
2. 已知⊙O半径为3，圆心O到直线L的距离为2，则直线L与⊙O的位置关系是（　　）
A. 相交 B. 相切 C. 相离 D. 没有能确定
3. 一元二次方程3x2-6x+4=0根的情况是
A. 有两个没有相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 有两个实数根 D. 没有实数根
4. 向如图所示的地砖上随机地掷一个小球，当小球停下时，最终停在地砖上阴影部分的概率是（　　）

A. B. C. D.
5. 如图，在4×4的方格中（共有16个小方格），每个小方格都是边长为1的正方形，O，A，B分别是小正方形的顶点，则扇形OAB的弧长等于（　　）

A. 2π B. π C. 2π D. π
6. 如图，⊙O直径AB垂直于弦CD，垂足是E，∠A=30°，CD=6，则圆的半径长为（）

A. B. 2 C. D.
7. 在平面直角坐标系中，将抛物线向左平移个单位，再向上平移个单位，得到抛物线的表达式为（ ）
A. B.
C. D.
8. 如图是二次函数的部分图象，由图象可知没有等式的解集是【 】

A. B. C. 且 D. x＜－1或x＞5
9. 如图，直径AB为6的半圆，绕A点逆时针旋转60°，此时点B到了点B′，则图中阴影部分的面积是（　　）

A. 3π B. 6π C. 5π D. 4π
10. 抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x＝﹣1，与x轴的一个交点A在点（﹣3，0）和点（﹣2，0）之间，其部分图象如图所示，则下列结论：①b2﹣4ac＜0；②当x＞﹣1时，y随x的增大而减小；③a+b+c＜0；④若方程ax2+bx+c﹣m＝0没有实数根，则m＞2；⑤3a+c＜0，其中正确结论的个数是（　　）

A. 2 个 B. 3 个 C. 4 个 D. 5 个
二、填 空 题（每小题3分，共24分）
11. 方程x2＝2x的解是_______．
12. 在一个圆中，如果60°的圆心角所对弧长为6πcm，那么这个圆所对的半径为_____cm．
13. 在一个没有透明的布袋中装有5个红球，2个白球，3个黄球，它们除了颜色外其余都相同，从袋中任意摸出一个球，是黄球的概率为__．
14. 点P的坐标是（a，b），从﹣2，﹣1，1，2这四个数中任取一个数作为a的值，再从余下的三个数中任取一个数作b的值，则点P（a，b）在平面直角坐标系中象限内的概率是_____．
15. 如图，△ABC内接于⊙O，AB=BC，∠ABC=120°，AD为⊙O直径，AD=8，那么AB的长为_____．

16. 如图，四边形ABCD是⊙O的外切四边形，且AB=10，CD=12，则四边形ABCD的周长为____________．

17. 如图，在正方形ABCD中，E为DC边上的点，连接BE，将△BCE绕点C顺时针方向旋转90°得到△DCF，连接EF，若∠BEC=60°，则∠EFD的度数为_______度．

18. 如图，在半径为3的半圆的初始状态是直径平行于桌面上的直线b，然后把半圆沿直线b进行无滑动滚动，使半圆的直径与直线b重合为止，则圆心运动路径的长度等于_____．

三、解 答 题（第19题10分，第20题12分，共计22分）
19. 如图所示，在平面直角坐标系中，△ABC三个顶点坐标分别为A（1，4），B（4，2），C（3，5）（每个方格的边长均为1个单位长度）
（1）请画出△A1B1C1，使△A1B1C1与△ABC关于原点对称；
（2）将△ABC绕点O逆时针旋转90°，画出旋转后得到的△A2B2C2，并直接写出线段OB旋转到OB2扫过图形的面积．

20. 抚顺某中学为了解八年级学生体能状况，从八年级学生中随机抽取部分学生进行体能测试，测试结果分为A，B，C，D四个等级．请根据两幅统计图中的信息回答下列问题：
（1）本次抽样共抽取了多少名学生？
（2）求测试结果为C等级的学生数，并补全条形图；
（3）若该中学八年级共有700名学生，请你估计该中学八年级学生中体能测试结果为D等级的学生有多少名？
（4）若从体能为A等级的2名男生2名女生中随机的抽取2名学生，做为该校培养运动员的对象，请用列表法或画树状图的方法求所抽取的两人恰好都是男生的概率．

四、解 答 题（第21题12分，第22题12分，共计24分）
21. 在一个没有透明的盒子里，装有三个分别写有数字1，2，3的小球，它们的形状、大小、质地等完全相同，先从盒子里随机取出一个小球，记下数字后放回盒子，摇匀后再随机取出一个小球，记下数字．请你用画树形图或列表的方法，求：
（1）两次取出小球上的数字相同的概率；
（2）两次取出小球上的数字之和大于3的概率．
22. 水果店张阿姨以每斤2元价格购进某种水果若干斤，然后以每斤4元的价格出售，每天可售出100斤，通过发现，这种水果每斤的售价每降低0.1元，每天可多售出20斤，为保证每天至少售出260斤，张阿姨决定降价．
（1）若将这种水果每斤的售价降低x元，则每天的量是 斤（用含x的代数式表示）；
（2）这种水果要想每天盈利300元，张阿姨需将每斤的售价降低多少元？
五、解 答 题（12分）
23. 如图， 已知等腰三角形的底角为， 以为直径的与底边交于点， 过作， 垂足为．
(1)证明：为的切线；
(2) 连接， 若， 求的面积．

六、解 答 题（12分）
24. 某种小商品的成本价为10元/kg，市场发现，该产品每天的量w（kg）与价x（元/kg）有如下关系w=﹣2x+100，设这种产品每天的利润为y（元）．
（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）当售价定为多少元时，每天的利润？利润是多少？
七、解 答 题（12分）
25. 已知△ABC为等边三角形，点D为直线BC上的一动点（点D没有与B、C重合），以AD为边作菱形ADEF（A、D、E、F按逆时针排列），使∠DAF=60°，连接CF．
（1）如图1，当点D在边BC上时，求证：①BD=CF；②AC=CF+CD；
（2）如图2，当点D在边BC的延长线上且其他条件没有变时，结论AC=CF+CD是否成立？若没有成立，请写出AC、CF、CD之间存在的数量关系，并说明理由；
（3）如图3，当点D在边BC的延长线上且其他条件没有变时，补全图形，并直接写出AC、CF、CD之间存在的数量关系
八、解 答 题（14分）
26. 如图，函数分别交y轴、x轴于A、B两点，抛物线y=﹣x2+bx+c过A、B两点．


（1）求这个抛物线的解析式；
（2）作垂直x轴的直线x=t，在象限交直线AB于M，交这个抛物线于N．求当t取何值时，MN有值？值是多少？
（3）在（2）的情况下，以A、M、N、D为顶点作平行四边形，求第四个顶点D的坐标．

















2022-2023学年辽宁省葫芦岛市九年级下册专项突破提升试卷
（B卷）
一、选一选（每小题3分，共30分）
1. 关于x的一元二次方程x2+a2﹣1=0的一个根是0，则a的值为（　　）
A. ﹣1 B. 1 C. 1或﹣1 D. 3
【正确答案】C

【详解】由题意可得：，解得.
故选C.
2. 已知⊙O的半径为3，圆心O到直线L的距离为2，则直线L与⊙O的位置关系是（　　）
A. 相交 B. 相切 C. 相离 D. 没有能确定
【正确答案】A

【详解】试题分析：根据圆O的半径和，圆心O到直线L的距离的大小，相交：d＜r；相切：d=r；相离：d＞r；即可选出答案．
解：∵⊙O的半径为3，圆心O到直线L的距离为2，
∵3＞2，即：d＜r，
∴直线L与⊙O的位置关系是相交．
故选A．
考点：直线与圆的位置关系．
3. 一元二次方程3x2-6x+4=0根的情况是
A. 有两个没有相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 有两个实数根 D. 没有实数根
【正确答案】D

【分析】根据∆=b2-4ac，求出∆的值，然后根据∆的值与一元二次方程根的关系判断即可.
【详解】∵a=3,b=-6,c=4,
∴∆=b2-4ac=(-6)2-4×3×4=-12<0，
∴方程3x2-6x+4=0没有实数根.
故选D.
本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式∆=b2﹣4ac：当∆>0时，一元二次方程有两个没有相等的实数根；当∆=0时，一元二次方程有两个相等的实数根；当∆<0时，一元二次方程没有实数根.
4. 向如图所示的地砖上随机地掷一个小球，当小球停下时，最终停在地砖上阴影部分的概率是（　　）

A. B. C. D.
【正确答案】B

【详解】∵由图可知，S阴影=S正方形ABCD，
∴P（小球停在阴影部分）=.
故选B.

5. 如图，在4×4的方格中（共有16个小方格），每个小方格都是边长为1的正方形，O，A，B分别是小正方形的顶点，则扇形OAB的弧长等于（　　）

A. 2π B. π C. 2π D. π
【正确答案】B

【分析】略
【详解】∵由图可得：∠AOB=90°，OA=，
∴.
故选B.
略
6. 如图，⊙O的直径AB垂直于弦CD，垂足是E，∠A=30°，CD=6，则圆的半径长为（）

A. B. 2 C. D.
【正确答案】A

【详解】如图，连接OC，
∵⊙O的直径AB垂直于弦CD，垂足是点E，CD=6，
∴∠AEC=90°，CE=CD=3，
又∵∠A=30°，
∴AC=2CE=6，
∴AE=.
设⊙O的半径为，则OA=OC=，OE=，
∵在Rt△OCE中，OC2=CE2+OE2，
∴，解得.
故选A.

点睛：在有关圆的半径、弦长、弦心距的计算问题中，我们通常可以连接圆心和弦的端点，或过圆心作弦的垂线段，构造直角三角形，已知条件，即可利用“垂径定理”和“勾股定理”来解决问题.
7. 在平面直角坐标系中，将抛物线向左平移个单位，再向上平移个单位，得到抛物线的表达式为（ ）
A. B.
C. D.
【正确答案】D

【分析】先配方为顶点式，根据左加右减，上加下减的方法平移即可；
【详解】解：将抛物线先向左平移3个单位得，再向上平移5个单位得；
故选D．
本题主要考查了二次函数图象的平移，准确计算是解题的关键．
8. 如图是二次函数的部分图象，由图象可知没有等式的解集是【 】

A. B. C. 且 D. x＜－1或x＞5
【正确答案】D

【详解】利用二次函数的对称性，可得出图象与x轴的另一个交点坐标，图象可得出的解集：
由图象得：对称轴是x=2，其中一个点的坐标为（5，0），
∴图象与x轴的另一个交点坐标为（－1，0）．
由图象可知：的解集即是y＜0的解集，
∴x＜－1或x＞5．故选D．
9. 如图，直径AB为6的半圆，绕A点逆时针旋转60°，此时点B到了点B′，则图中阴影部分的面积是（　　）

A. 3π B. 6π C. 5π D. 4π
【正确答案】B

【详解】阴影部分的面积=以AB′为直径的半圆的面积+扇形ABB′的面积-以AB为直径的半圆的面积．
则阴影部分的面积是：=6π
故选B．
10. 抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x＝﹣1，与x轴的一个交点A在点（﹣3，0）和点（﹣2，0）之间，其部分图象如图所示，则下列结论：①b2﹣4ac＜0；②当x＞﹣1时，y随x的增大而减小；③a+b+c＜0；④若方程ax2+bx+c﹣m＝0没有实数根，则m＞2；⑤3a+c＜0，其中正确结论的个数是（　　）

A. 2 个 B. 3 个 C. 4 个 D. 5 个
【正确答案】B

【分析】根据函数与x中轴的交点的个数，以及对称轴，函数的增减性进行判断．
【详解】①函数与x轴有两个交点，则b2﹣4ac＞0，故①错误；
②函数对称轴是x＝﹣1，开口向下，所以当x＞﹣1时，y随x的增大而减小，故②正确；
③当x＝1时，函数对应的点在x轴下方，则a+b+c＜0，则③正确；
④根据图象可知：抛物线的值没有确定，
∴方程ax2+bx+c﹣m＝0没有实数根时，m的值没有确定，故④错误，
⑤∵对称轴x＝﹣1＝﹣，
∴b＝2a，
∵a+b+c＜0，
∴3a+c＜0，故⑤正确，
所以正确的选项有②③⑤，
故选：B．
本题考查二次函数图象与系数的关系，根的判别式、抛物线与X轴的交点等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
二、填 空 题（每小题3分，共24分）
11. 方程x2＝2x的解是_______．
【正确答案】x1＝0，x2＝2

【分析】先移项得到x2﹣2x＝0，再把方程左边进行因式分解得到x（x﹣2）＝0，方程转化为两个一元方程：x＝0或x﹣2＝0，即可得到原方程的解为x1＝0，x2＝2．
【详解】解：∵x2﹣2x＝0，
∴x（x﹣2）＝0，
∴x＝0或x﹣2＝0，
∴x1＝0，x2＝2．
故x1＝0，x2＝2．
本题主要考查了解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程解法，并能够根据方程的特征灵活选用合适的方法解答是解题的关键．
12. 在一个圆中，如果60°的圆心角所对弧长为6πcm，那么这个圆所对的半径为_____cm．
【正确答案】18；

【详解】设这个圆的半径为cm，则由题意可得：，解得：(cm).
故答案.
13. 在一个没有透明的布袋中装有5个红球，2个白球，3个黄球，它们除了颜色外其余都相同，从袋中任意摸出一个球，是黄球的概率为__．
【正确答案】；

【详解】由题意可得：P（任摸一个球是黄球）=.
故答案为.
14. 点P的坐标是（a，b），从﹣2，﹣1，1，2这四个数中任取一个数作为a的值，再从余下的三个数中任取一个数作b的值，则点P（a，b）在平面直角坐标系中象限内的概率是_____．
【正确答案】；

【详解】由题意画出树形图如下：

由图可知，共有12种等可能结果，其中点P（a，b）恰好象限有（1，2）和（2，1）共2种，
∴P（点P恰好在象限）=.
故答案为.
15. 如图，△ABC内接于⊙O，AB=BC，∠ABC=120°，AD为⊙O直径，AD=8，那么AB的长为_____．

【正确答案】4

【详解】∵AB=BC，∠ABC=120°，
∴∠C=，
又∵∠D=∠C，
∴∠D=30°，
∵AD是⊙O直径，
∴∠ABD=90°，
∴AB=AD=4.
故答案为.
16. 如图，四边形ABCD是⊙O的外切四边形，且AB=10，CD=12，则四边形ABCD的周长为____________．

【正确答案】44；

【详解】∵四边形ABCD是⊙O的外切四边形，
∴AD+BC=AB+CD=10+12=22，
∴四边形ABCD的周长=22×2=44.
故答案为.
点睛：本题的解题要点是熟悉由切线长定理推得的“圆外切四边形的两组对边之和相等”这个结论.
17. 如图，在正方形ABCD中，E为DC边上的点，连接BE，将△BCE绕点C顺时针方向旋转90°得到△DCF，连接EF，若∠BEC=60°，则∠EFD的度数为_______度．

【正确答案】15

【分析】根据旋转的性质知∠DFC=60°，再根据EF=CF，EC⊥CF知∠EFC=45°，故∠EFD=∠DFC-∠EFC=15°.
【详解】∵△DCF是△BCE旋转以后得到的图形，
∴∠BEC=∠DFC=60°，∠ECF=∠BCE=90°，CF=CE．
又∵∠ECF=90°，
∴∠EFC=∠FEC=（180°﹣∠ECF）=（180°﹣90°）=45°，
故∠EFD=∠DFC﹣∠EFC=60°﹣45°=15°．
此题主要考查正方形的性质，解题的关键是熟知等腰直角三角形与正方形的性质.
18. 如图，在半径为3的半圆的初始状态是直径平行于桌面上的直线b，然后把半圆沿直线b进行无滑动滚动，使半圆的直径与直线b重合为止，则圆心运动路径的长度等于_____．

【正确答案】3π；

【详解】试题分析：由图形可知，圆心先向前走OO1的长度即圆的周长，然后沿着弧O1O2旋转圆的周长，则圆心O运动路径的长度为：×2π×5+×2π×5=5π，故答案为5π．

考点：1．弧长的计算；2．旋转的性质．

三、解 答 题（第19题10分，第20题12分，共计22分）
19. 如图所示，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为A（1，4），B（4，2），C（3，5）（每个方格的边长均为1个单位长度）
（1）请画出△A1B1C1，使△A1B1C1与△ABC关于原点对称；
（2）将△ABC绕点O逆时针旋转90°，画出旋转后得到的△A2B2C2，并直接写出线段OB旋转到OB2扫过图形的面积．

【正确答案】(1)答案见解析；（2）答案见解析，．

【分析】（1）连接AO并延长至A1，使A1O=AO得到点A1，同法作出点B1、C1，顺次连接所得三点，即可得到所求三角形；
（2）过点O在AO的左侧作A2O⊥AO，使A2O=AO得到点A2，同法作出点B2、C2，顺次连接三点，即可得到所求三角形；由题意可知旋转过程中线段OB扫过的图形的面积就是扇形B2OB的面积，由题意可知∠B2OB=90°，再由勾股定理求出OB的长即可求得所求面积了．
【详解】解：（1）如下图，△即为所求三角形；
（2）①如下图，△即为所求三角形；

②由题意可知：旋转过程中线段OB扫过的图形的面积就是扇形B2OB的面积，
∵∠B2OB=90°，OB=，
∴S扇形B2OB=
∴旋转过程中线段OB扫过的图形的面积为：．
20. 抚顺某中学为了解八年级学生的体能状况，从八年级学生中随机抽取部分学生进行体能测试，测试结果分为A，B，C，D四个等级．请根据两幅统计图中的信息回答下列问题：
（1）本次抽样共抽取了多少名学生？
（2）求测试结果为C等级的学生数，并补全条形图；
（3）若该中学八年级共有700名学生，请你估计该中学八年级学生中体能测试结果为D等级的学生有多少名？
（4）若从体能为A等级的2名男生2名女生中随机的抽取2名学生，做为该校培养运动员的对象，请用列表法或画树状图的方法求所抽取的两人恰好都是男生的概率．

【正确答案】（1）50；（2）16；（3）56（4）见解析

【分析】（1）用A等级的频数除以它所占的百分比即可得到样本容量；
（2）用总人数分别减去A、B、D等级的人数得到C等级的人数，然后补全条形图；（3）用700乘以D等级的百分比可估计该中学八年级学生中体能测试结果为D等级的学生数；
（4）画树状图展示12种等可能的结果数，再找出抽取的两人恰好都是男生的结果数，然后根据概率公式求解．
【详解】（1）10÷20%=50（名）
答：本次抽样共抽取了50名学生.
（2）50-10-20-4=16（名）
答：测试结果为C等级的学生有16名.
图形统计图补充完整如下图所示：

（3）700×=56（名）
答：估计该中学八年级学生中体能测试结果为D等级的学生有56名.
（4）画树状图为：

共有12种等可能的结果数，其中抽取的两人恰好都是男生的结果数为2，
所以抽取的两人恰好都是男生的概率=．
本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合A或B的结果数目m，然后利用概率公式计算A或B的概率．也考查了统计图．
四、解 答 题（第21题12分，第22题12分，共计24分）
21. 在一个没有透明的盒子里，装有三个分别写有数字1，2，3的小球，它们的形状、大小、质地等完全相同，先从盒子里随机取出一个小球，记下数字后放回盒子，摇匀后再随机取出一个小球，记下数字．请你用画树形图或列表的方法，求：
（1）两次取出小球上的数字相同的概率；
（2）两次取出小球上的数字之和大于3的概率．
【正确答案】(1) ;(2)

【详解】试题分析：
（1）用列表法列出所有的等可能结果，观察表中数据即可求得两次取出小球上的数字相同的概率；
（2）根据（1）中所列表格，找出两次数字之和大于3的所有结果，即可求得所求概率.
试题解析：
（1）由题意，列表如下：

共有9种等可能的结果，并且它们出现的可能性相等，
（1）两次取出小球上的数字相同的情况数有3种，分别是（1,1），（2,2），（3,3）
∴P(两次取出小球上的数字相同)=；
(2)两次取出小球上的数字之和大于3的情况有6种，分别是（1，3），(2，2)，(2，3)，(3，1)，(3，2)，(3，3)，
∴P(两次取出小球上的数字之和大于3)=.
22. 水果店张阿姨以每斤2元的价格购进某种水果若干斤，然后以每斤4元的价格出售，每天可售出100斤，通过发现，这种水果每斤的售价每降低0.1元，每天可多售出20斤，为保证每天至少售出260斤，张阿姨决定降价．
（1）若将这种水果每斤的售价降低x元，则每天的量是 斤（用含x的代数式表示）；
（2）这种水果要想每天盈利300元，张阿姨需将每斤的售价降低多少元？
【正确答案】（1）100+200x；（2）1

【分析】（1）量=原来量﹣下降量，列式即可得到结论；
（2）根据量×每斤利润=总利润列出方程求解即可得到结论．
【详解】解：（1）将这种水果每斤的售价降低x元，
则每天的量是100+×20=100+200x斤；
故100+200x；
（2）根据题意得：，
解得：x=或x=1，∵每天至少售出260斤，∴100+200x≥260，
∴x≥0.8，∴x=1．
答：张阿姨需将每斤的售价降低1元．
五、解 答 题（12分）
23. 如图， 已知等腰三角形的底角为， 以为直径的与底边交于点， 过作， 垂足为．
(1)证明：为的切线；
(2) 连接， 若， 求的面积．

【正确答案】（1）见解析（2）

【分析】（1）连接，先证明，，可得∥，由可得，即可得证；
（2）连接，先证明是等边三角形，由BC=4可得DC=OC=2，进而得到，再利用面积公式求解即可．
【详解】（1）连接．
∵
∴
∵等腰三角形的底角为30°,即
∴
∴∥
∵
∴，即为⊙的切线．
（2）连接．
∵，
∴，即是等边三角形，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴．

本题考查圆的切线判定、含30度角的直角三角形的性质以及等腰三角形和等边三角形的性质，此题难度适中，主要掌握辅助线的作法．
六、解 答 题（12分）
24. 某种小商品的成本价为10元/kg，市场发现，该产品每天的量w（kg）与价x（元/kg）有如下关系w=﹣2x+100，设这种产品每天的利润为y（元）．
（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）当售价定为多少元时，每天的利润？利润是多少？
【正确答案】(1) y=-2+120x-1000;(2) 30元， 800元

【详解】试题分析：
（1）由每天利润=每千克的盈利×每天的量，题意即可列出y与x间的函数关系式：y=(x-10)·w，再代入w=-2x+100化简即可得到所求函数关系式；
（2）将（1）中所求函数关系式配方，即可得到所求答案.
试题解析：
（1）由题意可得：y=w(x-10)=(-2x+100)(x-10)，
化简可得：y=-2+120x-1000；
（2）∵y=-2+120x-1000=-2(x-30)²+800，
∴当x=30即价为30元时，每天的利润，利润是800元.
七、解 答 题（12分）
25. 已知△ABC为等边三角形，点D为直线BC上的一动点（点D没有与B、C重合），以AD为边作菱形ADEF（A、D、E、F按逆时针排列），使∠DAF=60°，连接CF．
（1）如图1，当点D在边BC上时，求证：①BD=CF；②AC=CF+CD；
（2）如图2，当点D在边BC的延长线上且其他条件没有变时，结论AC=CF+CD是否成立？若没有成立，请写出AC、CF、CD之间存在的数量关系，并说明理由；
（3）如图3，当点D在边BC的延长线上且其他条件没有变时，补全图形，并直接写出AC、CF、CD之间存在的数量关系
【正确答案】（1）见解析；
（2）见解析；
（3）见解析．

【分析】（1）根据已知得出AF=AD，AB=BC=AC，∠BAC=∠DAF=60°，求出∠BAD=CAF，由SAS证△BAD≌△CAF，推出CF=BD即可．
（2）求出∠BAD=∠CAF，根据SAS证△BAD≌△CAF，推出BD=CF即可．
（3）画出图形后，根据SAS证△BAD≌△CAF，推出CF=BD即可：
【详解】解：（1）证明：∵四边形AFED是菱形，
∴AF=AD
∵△ABC是等边三角形，
∴AB=AC=BC，∠BAC=60°=∠DAF
∴∠BAC－∠DAC=∠DAF－∠DAC，即∠BAD=∠CAF
∵在△BAD和△CAF中， AB=AC，∠BAD=∠CAF，AD=AF，
∴△BAD≌△CAF（SAS）
∴CF=BD
∴CF+CD=BD+CD=BC=AC．
即①BD=CF，②AC=CF+CD．
（2）AC=CF+CD没有成立，AC、CF、CD之间存在的数量关系是AC=CF－CD．理由如下：
由（1）知：AB=AC=BC，AD=AF，∠BAC=∠DAF=60°，
∴∠BAC+∠DAC=∠DAF+∠DAC，即∠BAD=∠CAF
∵在△BAD和△CAF中，AC=AB，∠BAD=∠CAF ，AD=AF，
∴△BAD≌△CAF（SAS）
∴BD=CF
∴CF－CD=BD－CD=BC=AC，即AC=CF－CD．
（3）补全图形如下，AC、CF、CD之间的数量关系为AC=CD－CF．

∵∠BAC=∠DAF=60°，
∴∠DAB=∠CAF，
∵在△BAD和△CAF中， AB=AC，∠DAB=∠CAF， AD=AF，
∴△BAD≌△CAF（SAS）．
∴CF=BD．
∴CD－CF=CD－BD=BC=AC．
八、解 答 题（14分）
26. 如图，函数分别交y轴、x轴于A、B两点，抛物线y=﹣x2+bx+c过A、B两点．


（1）求这个抛物线的解析式；
（2）作垂直x轴的直线x=t，在象限交直线AB于M，交这个抛物线于N．求当t取何值时，MN有值？值是多少？
（3）在（2）的情况下，以A、M、N、D为顶点作平行四边形，求第四个顶点D的坐标．
【正确答案】（1）y=﹣x2+x+2（2）当t=2时，MN有值4（3）D点坐标为（0，6），（0，﹣2）或（4，4）

【分析】（1）首先求得A、B点的坐标，然后利用待定系数法求抛物线的解析式．
（2）求得线段MN的表达式，这个表达式是关于t的二次函数，利用二次函数的极值求线段MN的值．
（3）明确D点的可能位置有三种情形，如图2所示，没有要遗漏．其中D1、D2在y轴上，利用线段数量关系容易求得坐标；D3点在象限，是直线D1N和D2M的交点，利用直线解析式求得交点坐标．
【详解】解：（1）∵分别交y轴、x轴于A、B两点，
∴A、B点的坐标为：A（0，2），B（4，0）．
将x=0，y=2代入y=﹣x2+bx+c得c=2；
将x=4，y=0代入y=﹣x2+bx+c得0=﹣16+4b+2，解得b=．
∴抛物线解析式为：y=﹣x2+x+2．
（2）如图1，


设MN交x轴于点E，则E（t，0），BE=4﹣t．
∵，
∴ME=BE•tan∠ABO=（4﹣t）×=2﹣t．
又∵N点在抛物线上，且xN=t，
∴yN=﹣t2+t+2．
∴．
∴当t=2时，MN有值4．
（3）由（2）可知，A（0，2），M（2，1），N（2，5）．
如图2，

以A、M、N、D为顶点作平行四边形，D点的可能位置有三种情形．
（i）当D在y轴上时，设D的坐标为（0，a），
由AD=MN，得|a﹣2|=4，解得a1=6，a2=﹣2，
从而D为（0，6）或D（0，﹣2）．
（ii）当D没有在y轴上时，由图可知D为D1N与D2M的交点，
由D1（0，6），N（2，5）易得D1N的方程为y=x+6；
由D2（0，﹣2），M（2，1）D2M的方程为y=x﹣2．
由两方程联立解得D（4，4）．
综上所述，所求的D点坐标为（0，6），（0，﹣2）或（4，4）．
本题考查了二次函数、锐角三角函数、平行四边形，解题的关键是求出函数的解析式，利用数形的思想求解．