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2022-2023学年湖北省潜江市九年级下册数学月考专项提升模拟卷（AB卷）含解析
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这是一份2022-2023学年湖北省潜江市九年级下册数学月考专项提升模拟卷（AB卷）含解析，共60页。试卷主要包含了选一选．，解 答 题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年湖北省潜江市九年级下册数学月考专项提升模拟卷（A卷）
一、选一选（每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项正确，）．
1. 下列各式是一元二次方程的是（ ）
A. x2＝1 B. +x﹣1＝0
C. ax2+bx+c＝0 D. （2x+1）（2x﹣1）＝4x2+5x
2. 方程的左边配成完全平方后所得方程为 （ ）
A. B. C. D. 以上答案都没有对
3. 将函数y＝2x2向左平移2个单位，再向下平移3个单位得到的新函数是（ ）
A. y＝2（x+2）2+3 B. y＝2（x﹣2）2+3
C. y＝2（x+2）2﹣3 D. y＝2（x﹣2）2﹣3
4. 若x＝-2是关于x的一元二次方程x2＋ax-a2＝0的一个根，则a的值为（ ）
A. 1或-4 B. -1或-4
C. -1或4 D. 1或4
5. 共享单车为市民出行带来了方便，某单车公司个月投放1000辆单车，计划第三个月投放单车数量比个月多440辆．设该公司第二、三两个月投放单车数量的月平均增长率为x，则所列方程正确的为（ ）
A. 1000（1+x）2＝1000+440 B. 1000（1+x）2＝440
C. 440（1+x）2＝1000 D. 1000（1+2x）＝1000+440
6. 已知关于x的一元二次方程（m﹣2）2x2+（2m+1）x+1＝0有两个没有相等的实数根，则m的取值范围是（ ）
A m＞ B. m≥ C. m＞且m≠2 D. m≥且m≠2
7. 若a．b．c是△ABC的三边，且关于x的方程a（x2﹣1）﹣2cx+b（x2+1）=0有两个相等的实数根，则△ABC是（ ）
A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 等边三角形 D. 等腰直角三角形．
8. 如图，已知抛物线与x轴的一个交点A（1，0），对称轴是x=﹣1，则该抛物线与x轴的另一交点坐标是【 】
A. （﹣3，0） B. （﹣2，0） C. x=﹣3 D. x=﹣2
9. 对于二次函数y=(x-1)2+2的图象，下列说确的是（ ）
A. 开口向下 B. 对称轴是x=-1 C. 顶点坐标是(1，2) D. 与x轴有两个交点
10. 如图是二次函数图象一部分，图象过点A（﹣3，0），对称轴为直线x=﹣1，给出四个结论：
①c＞0；
②若点B、C为函数图象上的两点，则；
③2a﹣b=0；
④＜0，其中，正确结论的个数是（ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
二、填 空 题（每小题3分，共18分）
11. 已知关于x的方程x2+px+q=0的两根为﹣3和﹣1，则p=_____，q=_____．
12. 已知关于x的方程x2+（m﹣1）x+=0的一个实数根的倒数恰是它本身，则m为_____．
13. 要组织篮球联赛，赛制为单循环比赛（每两队之间都赛一场），计划安排15场比赛，应邀请多少个队参加比赛？设应邀参加比赛的球队有个，则可以列方程为___________（化为一般形式）．
14. 若二次函数y=ax2+1的图象点（﹣2，0），则关于x的方程a（x﹣2）2+1=0的实数根为_____．
15. 一人患了流感，两轮传染后共有64人患了流感．如果没有及时，第三轮将又有___人被传染.
16. 如图，一段抛物线：y=﹣x（x﹣2）（0≤x≤2）记为C1，它与x轴交于两点O，A1；将C1绕A1旋转180°得到C2，交x轴于A2；将C2绕A2旋转180°得到C3，交x轴于A3；…如此进行下去，直至得到C6，若点P（11，m）在第6段抛物线C6上，则m=_____．
三、解 答 题（共72分）
17. 解方程：
（1）2x2﹣4x﹣3=0； （2）（2x﹣5）2=4（2x﹣5）
18. 已知抛物线的顶点为（1，－4），且过点（3，0）
（1）求抛物线解析式；
（2）写出它的开口方向，对称轴、顶点坐标和最值；
（3）若点（﹣2，y1），（﹣1，y2），（0.5，y3）在抛物线上，指出y1，y2，y3的大小关系.
19. 已知关于方程有两个实数根.
（1）求的取值范围；
（2）若，求的值；
20. 某种新商品每件进价是120元，在试销期间发现，当每件商品售价为130元时，每天可70件，当每件商品售价高于130元时，每涨价1元，日量就减少1件．据此规律，请回答：
（1）当每件商品售价定为170元时，每天可多少件商品商场获得的日盈利是多少？
（2）在商品正常情况下，每件商品的涨价为多少元时，商场日盈利？利润是多少？
21. 如图所示，某农户想建造一花圃，用来种植两种没有同的花卉，以城镇市场需要，现用长为36m的篱笆，一面砌墙（墙的可使用长度l=13m），围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃，设花圃宽AB为x，面积为S．
（1）求S与x的函数关系式．并指出它是函数，还是二次函数？
（2）若要围成面积为96m2的花圃，求宽AB的长度．
（3）花圃的面积能达到108m2吗？若能，请求出AB的长度，若没有能请说明理由．
22. 如图，二次函数的图象A(2，0)，B(0，－6)两点．
（1）求这个二次函数的解析式；
（2）设该二次函数的对称轴与x轴交于点C，连接BA，BC，求△ABC的面积．
（3）在x轴上是否存在一点P，使△ABP为等腰三角形，若存在，求出P的坐标，若没有存在，说明理由.
23. 如图所示,有一座抛物线形拱桥,在正常水位时,水面AB的宽为20 m.如果水位上升3 m,则水面CD的宽为10 m.
(1)建立如图所示的平面直角坐标系,求此抛物线的表达式;
(2)现在一辆载有救援物资的货车从甲地出发需此桥开往乙地,已知甲地距此桥280 km(桥长忽略没有计).货车正以40 km/h的速度开往乙地,当行驶了1 h后,突然接到紧急通知:前方连降暴雨,造成水位以0.25 m/h的速度持续上涨(货车接到通知时,水位在CD处,当水位涨到拱桥点O时,禁止车辆通行).
问:如果货车按原来速度行驶,能否通过此桥?若能,请说明理由;若没有能,那么要使货车通过此桥,速度应超过每小时多少千米?
24. 如图，抛物线y＝x2+bx﹣2与x轴交于A，B两点，与y轴交于C点，且A（﹣1，0）．
（1）求抛物线解析式及顶点D的坐标；
（2）判断△ABC的形状，证明你的结论；
（3）点M是抛物线对称轴上的一个动点，当MC+MA的值最小时，求点M的坐标．
25. 已知关于x的方程mx2-(3m－1)x+2m－2=0
（1）求证：无论m取任何实数时，方程恒有实数根.
（2）若关于x的二次函数y= mx2-(3m－1)x+2m－2的图象与x轴两交点间的距离为2时，求抛物线的解析式.
（3）在直角坐标系xoy中，画出（2）中的函数图象，图象回答问题：当直线y=x+b与（2）中的函数图象只有两个交点时，求b的取值范围.
2022-2023学年湖北省潜江市九年级下册数学月考专项提升模拟卷（A卷）
一、选一选（每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项正确，）．
1. 下列各式是一元二次方程的是（ ）
A. x2＝1 B. +x﹣1＝0
C. ax2+bx+c＝0 D. （2x+1）（2x﹣1）＝4x2+5x
【正确答案】A
【详解】A、x的次数是2，故是一元二次方程，故此选项正确；
B、x的次数是－2，没有是一元二次方程，故此选项错误；
C、含多个未知数，没有是一元二次方程，故此选项错误；
D、化简后，x的次数为1，没有是一元二次方程，故此选项错误；
故选A．
2. 方程的左边配成完全平方后所得方程为 （ ）
A. B. C. D. 以上答案都没有对
【正确答案】A
【分析】先变形得到x2+6x=5，再把方程两边加上9得x2+6x+9=5+9，然后根据完全平方公式得到（x+3）2=14．
【详解】先移项得x2+6x=5，
方程两边加上9得：x2+6x+9=5+9，
所以（x+3）2=14．
故选A．
本题考查了配方法解一元二次方程：将一元二次方程配成（x+m）2=n的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法．
3. 将函数y＝2x2向左平移2个单位，再向下平移3个单位得到的新函数是（ ）
A. y＝2（x+2）2+3 B. y＝2（x﹣2）2+3
C. y＝2（x+2）2﹣3 D. y＝2（x﹣2）2﹣3
【正确答案】C
【详解】将函数y=2x2向左平移2个单位，得：y=2（x+2）2；
再向下平移3个单位，得：y=2（x+2）2﹣3；
故选C．
4. 若x＝-2是关于x的一元二次方程x2＋ax-a2＝0的一个根，则a的值为（ ）
A. 1或-4 B. -1或-4
C. -1或4 D. 1或4
【正确答案】A
【详解】解：∵x=-2是关于x的一元二次方程的一个根，
∴（-2）2+a×（-2）-a2=0，即a2+3a-4=0，
整理，得（a+4）（a-1）=0，
解得 a1=-4，a2=1．
即a的值是1或-4．
故选：A．
一元二次方程的解的定义：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以，一元二次方程的解也称为一元二次方程的根．
5. 共享单车为市民出行带来了方便，某单车公司个月投放1000辆单车，计划第三个月投放单车数量比个月多440辆．设该公司第二、三两个月投放单车数量的月平均增长率为x，则所列方程正确的为（ ）
A. 1000（1+x）2＝1000+440 B. 1000（1+x）2＝440
C. 440（1+x）2＝1000 D. 1000（1+2x）＝1000+440
【正确答案】A
【分析】根据个月的单车数量×(1+x)2=第三个月的单车数量可以列出相应的一元二次方程，进而可得答案．
【详解】解：由题意可得，1000（1+x）2＝1000+440．
故选：A．
本题考查了一元二次方程的应用之增长率问题，属于常考题型，正确理解题意、找准相等关系是解题的关键．
6. 已知关于x的一元二次方程（m﹣2）2x2+（2m+1）x+1＝0有两个没有相等的实数根，则m的取值范围是（ ）
A. m＞ B. m≥ C. m＞且m≠2 D. m≥且m≠2
【正确答案】C
【详解】分析：本题是根的判别式的应用，因为关于x的一元二次方程（m-2）2x2+（2m+1）x+1=0有两个没有相等的实数根，所以△=b2-4ac＞0，从而可以列出关于m的没有等式，求解即可，还要考虑二次项的系数没有能为0．
详解：∵关于x的一元二次方程（m-2）2x2+（2m+1）x+1=0有两个没有相等的实数根，
∴△=b2-4ac＞0，即（2m+1）2-4×（m-2）2×1＞0，
解这个没有等式得，m＞，
又∵二次项系数是（m-2）2，
∴m≠2，
故M得取值范围m＞且m≠2．
故选C．
点睛：1、一元二次方程根的情况与判别式△的关系：
（1）△＞0⇔方程有两个没有相等实数根；
（2）△=0⇔方程有两个相等的实数根；
（3）△＜0⇔方程没有实数根．
2、二次项的系数没有为0是学生常常忘记考虑的，是易错点．
7. 若a．b．c是△ABC的三边，且关于x的方程a（x2﹣1）﹣2cx+b（x2+1）=0有两个相等的实数根，则△ABC是（ ）
A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 等边三角形 D. 等腰直角三角形．
【正确答案】B
【详解】原方程可变形为（a+b）x2﹣2cx﹣（a﹣b）=0，
∵原方程有两个相等的实数根，
∴△=（﹣2c）2﹣4（a+b）（a﹣b）=4c2+4b2﹣4a2=0，即a2=b2+c2．
∵a．b．c是△ABC的三边，
∴△ABC为直角三角形．
故选B．
8. 如图，已知抛物线与x轴的一个交点A（1，0），对称轴是x=﹣1，则该抛物线与x轴的另一交点坐标是【 】
A. （﹣3，0） B. （﹣2，0） C. x=﹣3 D. x=﹣2
【正确答案】A
【详解】设抛物线与x轴的另一个交点为B（b，0），
∵抛物线与x轴的一个交点A（1，0），对称轴是x=﹣1，
∴=﹣1，解得b=﹣3．∴B（﹣3，0）．故选A．
9. 对于二次函数y=(x-1)2+2的图象，下列说确的是（ ）
A. 开口向下 B. 对称轴是x=-1 C. 顶点坐标是(1，2) D. 与x轴有两个交点
【正确答案】C
【分析】根据抛物线的性质由a=1得到图象开口向上，根据顶点式得到顶点坐标为（1，2），对称轴为直线x=1，从而可判断抛物线与x轴没有公共点．
【详解】解：二次函数y=（x-1）2+2的图象开口向上，顶点坐标为（1，2），对称轴为直线x=1，抛物线与x轴没有公共点．
故选：C．
本题考查了二次函数的性质，掌握二次函数的顶点式是解题的关键，即在y=a（x-h）2+k中，其顶点坐标为（h，k），对称轴为x=h．当a＞0时，抛物线开口向上，当a＜0时，抛物线开口向下．
10. 如图是二次函数图象的一部分，图象过点A（﹣3，0），对称轴为直线x=﹣1，给出四个结论：
①c＞0；
②若点B、C为函数图象上的两点，则；
③2a﹣b=0；
④＜0，其中，正确结论的个数是（ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
【正确答案】B
【分析】根据抛物线与y轴的交点可判断①，根据抛物线对称轴的左边的增减性可判断②，根据抛物线的对称轴可判断③，根据抛物线顶点的纵坐标可判断④．
【详解】∵抛物线与y轴交于正半轴，
∴c＞0，①正确，符合题意；
∵对称轴为直线x=﹣1，
∴x＜﹣1时，y随x的增大而增大，
∴y1＞y2②错误，没有符合题意；
∵对称轴为直线x=﹣1，
∴﹣=﹣1，
则2a﹣b=0，③正确，符合题意；
∵抛物线的顶点在x轴的上方，
∴＞0，④错误，没有符合题意；
故选B．
本题考查抛物线与两轴的交点问题，抛物线的增减性质，对称轴，顶点坐标，掌握抛物线与两轴的交点问题，抛物线的增减性质，对称轴，顶点坐标是解解题关键．
二、填 空 题（每小题3分，共18分）
11. 已知关于x的方程x2+px+q=0的两根为﹣3和﹣1，则p=_____，q=_____．
【正确答案】 ①. 4； ②. 3．
【详解】试题解析：∵关于x的方程x2+px+q=0的两根为-3和-1，
∴-3+（-1）=-p，（-3）×（-1）=q，
∴p=4，q=3．
12. 已知关于x的方程x2+（m﹣1）x+=0的一个实数根的倒数恰是它本身，则m为_____．
【正确答案】﹣或
【详解】∵方程x2+（m﹣1）x+=0的一个实数根的倒数恰是它本身，
∴方程有一实数根为1或﹣1，
当x=1时，代入可得1+（m﹣1）+=0，解得m=﹣；
当x=﹣1时，代入可得1﹣（m﹣1）+=0，解得m=；
∴m的值为﹣或，
故答案为﹣或．
13. 要组织篮球联赛，赛制为单循环比赛（每两队之间都赛一场），计划安排15场比赛，应邀请多少个队参加比赛？设应邀参加比赛的球队有个，则可以列方程为___________（化为一般形式）．
【正确答案】
【分析】设邀请个队参加比赛，则每个队比赛场，可得方程： 从而可得答案．
【详解】解：设邀请个队参加比赛，则每个队比赛场，
所以：
整理得：
故
本题考查的是一元二次方程的应用，掌握利用一元二次方程解决比赛场次问题是解题的关键．
14. 若二次函数y=ax2+1的图象点（﹣2，0），则关于x的方程a（x﹣2）2+1=0的实数根为_____．
【正确答案】﹣4或0
【详解】把（﹣2，0）代入二次函数y=ax2+1得：4a+1=0，
解得：a=﹣，
所以二次函数的解析式为y=﹣x2+1，
当y=0时，﹣x2+1=0，
解得：x=±2，
即二次函数y=﹣x2+1与x轴的交点坐标是（﹣2，0）和（2，0），
所以把二次函数y=﹣x2+1向左平移2个单位得出二次函数y=a（x﹣2）2+1，
即关于x的方程a（x﹣2）2+1=0的实数根为﹣4或0，
故答案为﹣4或0．
15. 一人患了流感，两轮传染后共有64人患了流感．如果没有及时，第三轮将又有___人被传染.
【正确答案】448
【详解】设一个患者传染给x人，由题意，得
x（x+1）+x+1=64，
解得：x1=7，x2=-9（舍去），
第三轮被传染的人数是：64×7=448人．
故448
16. 如图，一段抛物线：y=﹣x（x﹣2）（0≤x≤2）记为C1，它与x轴交于两点O，A1；将C1绕A1旋转180°得到C2，交x轴于A2；将C2绕A2旋转180°得到C3，交x轴于A3；…如此进行下去，直至得到C6，若点P（11，m）在第6段抛物线C6上，则m=_____．
【正确答案】-1
【分析】将这段抛物线C1通过配方法求出顶点坐标及抛物线与x轴的交点，由旋转的性质可以知道C1与C2的顶点到x轴的距离相等，且OA1=A1A2，照此类推可以推导知道点P（11，m）为抛物线C6的顶点，从而得到结果．
【详解】解：∵y=﹣x（x﹣2）（0≤x≤2），
∴配方可得y=﹣（x﹣1）2+1（0≤x≤2），
∴顶点坐标为（1，1），
∴A1坐标为（2，0）；
∵C2由C1旋转得到，
∴OA1=A1A2，即C2顶点坐标为（3，﹣1），A2（4，0）；
照此类推可得，C3顶点坐标为（5，1），A3（6，0）；
C4顶点坐标为（7，﹣1），A4（8，0）；
C5顶点坐标为（9，1），A5（10，0）；
C6顶点坐标为（11，﹣1），A6（12，0）；
∴m=﹣1．
故答案为﹣1．
本题考查了二次函数的性质及旋转的性质，解题的关键是求出抛物线的顶点坐标．
三、解 答 题（共72分）
17. 解方程：
（1）2x2﹣4x﹣3=0； （2）（2x﹣5）2=4（2x﹣5）
【正确答案】(1) x1、2=；(2) x1=；x2=．
【详解】试题分析：
试题解析：
∵2x2﹣4x﹣3=0
∴a=2，b=﹣4，c=﹣3，
∵△=b2﹣4ac=16+24=40＞0，
∴x==．
即x1=,x2=
（2）∵（2x﹣5）2=4（2x﹣5），
（2x﹣5）2﹣4（2x﹣5）=0，
∴（2x﹣5）（2x﹣5﹣4）=0，
∴2x﹣5=0，2x﹣9=0，
∴x1=；x2=．
18. 已知抛物线的顶点为（1，－4），且过点（3，0）
（1）求抛物线解析式；
（2）写出它的开口方向，对称轴、顶点坐标和最值；
（3）若点（﹣2，y1），（﹣1，y2），（0.5，y3）在抛物线上，指出y1，y2，y3的大小关系.
【正确答案】（1）y=x2﹣2x﹣3；
（2）开口向上，对称轴为直线x=1，当x=1时函数的最小值为-4；
（3）y1＞y2＞y3.
【详解】试题分析：（1）设抛物线顶点式解析式y=a（x-1）2-4，然后把点（0，-3）代入求出a的值，即可得解；
（2）由抛物线顶点式解析式即可写出它的开口方向，对称轴、顶点坐标和最值；
（3）根据函数图象可指出y1，y2，y3的大小关系.
试题解析：（1）依题意，设抛物线解析式为y=a（x﹣1）2﹣4
∵抛物线点B（3，0），
∴a（3﹣1）2﹣4=0
解得 a=1
∴y=（x﹣1）2﹣4，即y=x2﹣2x﹣3
（2）开口向上，对称轴为直线x=1，顶点为（1，－4），当x=1时函数的最小值为-4；
（3）y1＞y2＞y3
19. 已知关于的方程有两个实数根.
（1）求的取值范围；
（2）若，求的值；
【正确答案】（1）；（2）k＝－3
【分析】（1）依题意得△≥0，即[－2(k－1)]2－4k2≥0，求解即可得；
（2）依题意x1＋x2＝2(k－1)，x1·x2＝k2 ，以下分两种情况讨论：①当x1＋x2≥0时，则有x1＋x2＝x1·x2－1，即2(k－1)＝k2－1；②当x1＋x2＜0时，则有x1＋x2＝－(x1·x2－1)，即2(k－1)＝－(k2－1)，进行求解即可得．
【详解】解：（1）依题意得△≥0，即[－2(k－1)]2－4k2≥0 .
解得；
（2）依题意x1＋x2＝2(k－1)，x1·x2＝k2
以下分两种情况讨论：
①当x1＋x2≥0时，
则有x1＋x2＝x1·x2－1，即2(k－1)＝k2－1
解得k1＝k2＝1
∵
∴k1＝k2＝1没有合题意，舍去；
②当x1＋x2＜0时，则有x1＋x2＝－(x1·x2－1)，即2(k－1)＝－(k2－1)
解得k1＝1，k2＝－3，
∵
∴k＝－3
综合①、②可知k＝－3．
题目主要考查一元二次方程根与系数关系，根判别式，熟练掌握二次根与系数的关系及根的判别式是解题关键.
20. 某种新商品每件进价是120元，在试销期间发现，当每件商品售价为130元时，每天可70件，当每件商品售价高于130元时，每涨价1元，日量就减少1件．据此规律，请回答：
（1）当每件商品售价定为170元时，每天可多少件商品商场获得的日盈利是多少？
（2）在商品正常的情况下，每件商品的涨价为多少元时，商场日盈利？利润是多少？
【正确答案】(1)每天可30件商品，商场获得的日盈利是1500元；(2)每件商品售价为160元时，商场日盈利达到1600元.
【分析】（1）先求出提高的价格170-130=40元，就可以求出此时减少的数量，就可以求出的数量，在由每件利润×件数就可以得出日利润；
（2）设每件商品的售价为x元，则每天商品的件数为70-（x-130）=200-x件，根据“总利润=单件利润×量”得出函数关系式，再配方即可得其最值情况．
【详解】解：（1）由题意得：每天的数量为70-（170-130）=30件，
日盈利为：30（170-120）=1500元，
故每天的数量为30件，日盈利为1500元．
（2）设每件商品的售价为x元，则每天商品的件数为70-（x-130）=200-x件，
则商场的日盈利w=（x-120）（200-x）
=-x2+320x-24000
=-（x-160）2+1600，
∴当x=160时，w取得值，值为1600，
答：当每件商品的价定为160元时，能使商场的日盈利至多,1600元.．
本题考查了列一元二次方程解实际问题的运用，解答时灵活运用问题的数量关系是解答的关键．
21. 如图所示，某农户想建造一花圃，用来种植两种没有同的花卉，以城镇市场需要，现用长为36m的篱笆，一面砌墙（墙的可使用长度l=13m），围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃，设花圃宽AB为x，面积为S．
（1）求S与x的函数关系式．并指出它是函数，还是二次函数？
（2）若要围成面积为96m2的花圃，求宽AB的长度．
（3）花圃的面积能达到108m2吗？若能，请求出AB的长度，若没有能请说明理由．
【正确答案】（1）S=（36-3x）x=-3x2+36x；
（2）AB的长为8m；
（3）花圃的面积没有能达到108m2．
【详解】试题分析：（1）等量关系为：（篱笆长-3AB）×AB=S，即可得出答案；
（2）等量关系为：（篱笆长-3AB）×AB=96，把相关数值代入求得合适的解即可；
（3）把（1）中用代数式表示的面积整理为a（x-h）2+b的形式可得的面积．
试题解析：：（1）设花圃宽AB为x，面积为S．
则S=（36-3x）x=-3x2+36x；
（2）设AB的长是x米．
（36-3x）x=96，
解得x1=4，x2=8，
当x=4时，长方形花圃的长为36-3x=24，又墙的可用长度a是13m，故舍去；
当x=8时，长方形花圃的长为24-3x=12，符合题意；
∴AB的长为8m．
（3）花圃的面积为S=（36-3x）x=-3（x-6）2+108，
∴当AB长为6m，宽为16m时，有面积，为108平方米．
又∵当AB=6m时，长方形花圃的长为36-3×6=18m，又墙的可用长度a是13m，故舍去；
故花圃的面积没有能达到108m2．
22. 如图，二次函数的图象A(2，0)，B(0，－6)两点．
（1）求这个二次函数的解析式；
（2）设该二次函数的对称轴与x轴交于点C，连接BA，BC，求△ABC的面积．
（3）在x轴上是否存在一点P，使△ABP为等腰三角形，若存在，求出P的坐标，若没有存在，说明理由.
【正确答案】（1）y＝－x2＋4x－6；
（2）S△ABC＝6；
（3）点P坐标为（-2，0）或或或
【详解】试题分析：（1）把A、B两点的坐标代入y=-x2+bx+c中得到关于b、c的方程组，然后解方程求出b、c即可得到抛物线解析式；
（2）先确定抛物线的对称轴方程，则可得到C点坐标，然后根据三角形面积公式求解．
（3）分类讨论，进行求解即可.
试题解析：（1）∵的图象A（2，0）、B（0，-6）两点，
∴，
解得b=4，c=-6，
∴这个二次函数解析式为y＝−x2+4x−6
（2）令-x2+4x-6=0
∴x2-8x+12=0
解得：x1=2 x2=6
∴C（4，0）
∴AC=2
∴S△ABC=×2×6=6
（3）点P坐标为（-2,0）或
23. 如图所示,有一座抛物线形拱桥,在正常水位时,水面AB的宽为20 m.如果水位上升3 m,则水面CD的宽为10 m.
(1)建立如图所示的平面直角坐标系,求此抛物线的表达式;
(2)现在一辆载有救援物资的货车从甲地出发需此桥开往乙地,已知甲地距此桥280 km(桥长忽略没有计).货车正以40 km/h的速度开往乙地,当行驶了1 h后,突然接到紧急通知:前方连降暴雨,造成水位以0.25 m/h的速度持续上涨(货车接到通知时,水位在CD处,当水位涨到拱桥点O时,禁止车辆通行).
问:如果货车按原来速度行驶,能否通过此桥?若能,请说明理由;若没有能,那么要使货车通过此桥,速度应超过每小时多少千米?
【正确答案】（1）y=-x2.（2）要使货车通过此桥,货车的速度应超过60 km/h.
【详解】试题分析：根据抛物线在坐标系的位置，设抛物线的解析式为y=ax2，设D、B的坐标求解析式；
试题解析：（1）设抛物线的解析式为y=ax2（a没有等于0），桥拱点O到水面CD的距离为h米．
则D（5，﹣h），B（10，﹣h﹣3）
∴
解得
∴抛物线的解析式为y=﹣x2
（2）水位由CD处涨到点O的时间为：1÷0.25=4（小时）
货车按原来速度行驶的路程为：40×1+40×4=200＜280
∴货车按原来速度行驶没有能通过此桥．
设货车速度提高到x千米/时
当4x+40×1=280时，x=60
∴要使货车通过此桥，货车的速度应超过60千米/时．
考点：二次函数的应用．
24. 如图，抛物线y＝x2+bx﹣2与x轴交于A，B两点，与y轴交于C点，且A（﹣1，0）．
（1）求抛物线的解析式及顶点D的坐标；
（2）判断△ABC的形状，证明你的结论；
（3）点M是抛物线对称轴上的一个动点，当MC+MA的值最小时，求点M的坐标．
【正确答案】（1）抛物线解析式为y＝x﹣2，顶点D的坐标为 （，﹣）；（2）△ABC是直角三角形，证明见解析；（3）点M的坐标为（，﹣）．
【分析】（1）因为点A在抛物线上，所以将点A代入函数解析式即可求得答案；
（2）由函数解析式可以求得其与x轴、y轴的交点坐标，即可求得AB、BC、AC的长，由勾股定理的逆定理可得三角形的形状；
（3）根据抛物线的性质可得点A与点B关于对称轴x对称，求出点B，C的坐标，根据轴对称性，可得MA＝MB，两点之间线段最短可知，MC+MB的值最小．则BC与直线点即为M点，利用得到系数法求出直线BC的解析式，即可得到点M的坐标．
【详解】（1）∵点A（﹣1，0）在抛物线ybx﹣2上，∴b×（﹣1）﹣2＝0，解得：b，∴抛物线的解析式为yx﹣2．
yx﹣2（x2﹣3x﹣4 ），∴顶点D的坐标为 （）．
（2）当x＝0时y＝﹣2，∴C（0，﹣2），OC＝2．
当y＝0时，x﹣2＝0，∴x1＝﹣1，x2＝4，∴B （4，0），∴OA＝1，OB＝4，AB＝5．
∵AB2＝25，AC2＝OA2+OC2＝5，BC2＝OC2+OB2＝20，∴AC2+BC2＝AB2．∴△ABC是直角三角形．
（3）∵顶点D的坐标为 （），∴抛物线的对称轴为x．
∵抛物线yx2+bx﹣2与x轴交于A，B两点，∴点A与点B关于对称轴x对称．
∵A（﹣1，0），∴点B的坐标为（4，0），当x＝0时，yx﹣2＝﹣2，则点C的坐标为（0，﹣2），则BC与直线点即为M点，如图，根据轴对称性，可得：MA＝MB，两点之间线段最短可知，MC+MB的值最小．
设直线BC的解析式为y＝kx+b，把C（0，﹣2），B（4，0）代入，可得：，解得：，∴yx﹣2．
当x时，y，∴点M的坐标为（）．
本题考查了待定系数法求二次函数解析式、函数的解析式、直角三角形的性质及判定、轴对称性质，解决本题的关键是利用待定系数法求函数的解析式．
25. 已知关于x的方程mx2-(3m－1)x+2m－2=0
（1）求证：无论m取任何实数时，方程恒有实数根.
（2）若关于x的二次函数y= mx2-(3m－1)x+2m－2的图象与x轴两交点间的距离为2时，求抛物线的解析式.
（3）在直角坐标系xoy中，画出（2）中的函数图象，图象回答问题：当直线y=x+b与（2）中的函数图象只有两个交点时，求b的取值范围.
【正确答案】（1）略
（2）y1= x（x－2）或y2=（x－2）（x－4）
（3）当b<－或b>－或b=－2时，直线y=x+b与（2）中的图象只有两个交点
【详解】解：（1）分两种情况讨论：
①当m=0 时，方程为x－2=0，∴x="2" 方程有实数根
②当m≠0时，则一元二次方程的根的判别式
△=[－（3m－1）]2－4m（2m－2）=m2+2m+1=（m+1）2≥0
没有论m为何实数，△≥0成立，∴方程恒有实数根
综合①②，可知m取任何实数，方程mx2-(3m－1)x+2m－2=0恒有实数根.
（2）设x1，x2为抛物线y= mx2-(3m－1)x+2m－2与x轴交点的横坐标.
则有x1+x2=，x1·x2=
由| x1－x2|====，
由| x1－x2|=2得=2，∴=2或=－2
∴m=1或m=
∴所求抛物线的解析式为：y1=x2－2x或y2=x2+2x－
即y1= x（x－2）或y2=（x－2）（x－4）其图象如图所示.
（3）在（2）的条件下，直线y=x+b与抛物线y1，y2组成的图象只有两个交点，图象，求b的取值范围.
，当y1=y时，得x2－3x－b=0，△=9+4b=0，解得b=－；
同理，可得△=9－4（8+3b）=0，得b=－.
观察函数图象可知当b<－或b>－时，直线y=x+b与（2）中的图象只有两个交点.
由
当y1=y2时，有x=2或x=1
当x=1时，y=－1
所以过两抛物线交点（1，－1），（2，0）的直线y=x－2，
综上：当b<－或b>－或b=－2时，直线y=x+b与（2）中的图象只有两个交点.
2022-2023学年湖北省潜江市九年级下册数学月考专项提升模拟卷（B卷）
一、选一选：本大题共10小题，每题3分，共30分。
1. 下列运算正确的是（ ）
A. a+a=2a2 B. a2·a3=a6 C. a3÷a=3 D. （-a）3=-a3
2. 为迎接建党九十周年，某区在改善环境绿化方面，将投入资金由计划的l 500 000元提高到2 000 000元．其中2 000 000用科学记数法表示为（ ）
A 0.2×107 B. 2×107 C. 2×106 D. 20×105
3. 如果正多边形的每个外角等于40°，则这个正多边形的边数是
A. 10 B. 9 C. 8 D. 7
4. 下列图形中，既是轴对称图形又是对称图形的是
A. B. C. D.
5. 如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，过点C的直线DF与∠BAC的平分线AE平行，若∠B=50°，则∠BCF等于（ ）
A. 100° B. 80° C. 70° D. 50°
6. 如果三角形满足一个角是另一个角的3倍，那么我们称这个三角形为“智慧三角形”．下列各组数据中，能作为一个智慧三角形三边长的一组是( )
A. 1，2，3 B. 1，1， C. 1，1， D. 1，2，
7. 某小组在“用频率估计概率”的实验中，统计了某种结果出现的频率，绘制了如图的折线图，那么符合这一结果的实验最有可能的是（ ）
A. 在“石头、剪刀、布”的游戏中，小明随机出的是“剪刀”
B. 袋子中有1个红球和2个黄球，它们只有颜色上的区别，从中随机地取出一个球是黄球
C. 掷一枚质地均匀的硬币，落地时结果是“正面向上”
D. 掷一个质地均匀的正六面体骰子，落地时面朝上的点数是6
8. 已知反比例函数y=的图象如图所示，则一元二次方程x2-（2k-1）x+k2-1=0根的情况是（ ）
A. 没有实根 B. 有两个没有等实根 C. 有两个相等实根 D. 无法确定
9. 象棋在中国有着三千多年历史，属于二人对抗性游戏的一种．由于用具简单，趣味性强，成为流行极为广泛的棋艺．如图是一方的棋盘，如果“马”的坐标是（-2，2），它是抛物线y=ax2（a≠0）上的一个点，那么下面哪个棋子也在该抛物线上（ ）
A. 帥 B. 卒 C. 炮 D. 仕
10. 如图，点A在半径为3的⊙O内，OA=，P为⊙O上一点，当∠OPA取值时，PA的长等于（ ）
A. B. C. D. 2
二、填 空 题：本大题共6小题，每题3分，共18分.
11. 分解因式：=______．
12. 若二次根式有意义，则的取值范围是_________．
13. 如图，网高为0.8米，击球点到网的水平距离为3米，小明在打网球时，要使球恰好能打过网，且落点恰好在离网4米的位置上，则球拍击球的高度h为___米．
14. 已知a是关于x的方程x2﹣4＝0的解，代数式（a+1）2+a（a﹣1）﹣a的值_____．
15. 如图所示，在⊙O内有折线OABC，其中OA=8，AB=12，∠A=∠B=60°，则BC的长为 __．
16. 定义：在平面内，我们把既有大小又有方向的量叫做平面向量．平面向量可以用有向线段表示，有向线段的长度表示向量的大小，有向线段的方向表示向量的方向其中大小相等，方向相同的向量叫做相等向量．
如以正方形ABCD的四个顶点中某一点为起点，另一个顶点为终点作向量，可以作出8个没有同的向量：、、、、、、、（由于和是相等向量，因此只算一个）．如图作两个相邻的正方形．以其中的一个顶点为起点，另一个顶点为终点作向量，可以作出没有同向量的个数记为f（2），则f（2）的值为__________．
三、解 答 题：本大题共13小题，共72分.
17. tan30°+（+4）0-|-|
18. 解没有等式组：
19. 如图，分别以Rt△ABC的直角边AC及斜边AB向外作等边△ACD，等边△ABE，已知∠BAC=30°，EF⊥AB，垂足为F，连接DF
（1）试说明AC=EF；
（2）求证：四边形ADFE平行四边形．
20. （1）已知二次函数y=x2-2x-3，请你化成y=（x-h）2+k的形式为____________，并在直角坐标系中画出y=x2-2x-3的图象；
（2）如果A（x1，y1），B（x2，y2）是（1）中图象上的两点，且x1
21. 如图，在平面直角坐标系xOy中，O是坐标原点．直线y=-x+b点A（2，1），AB⊥x轴于B，连结AO．
（1）求b的值；
（2）M是直线y=-x+b上异于A的动点，且在象限内．过M作x轴的垂线，垂足为N．若△MON的面积与△AOB的面积相等，求点M的坐标．
22. 列方程解应用题：
老舍先生曾说“天堂是什么样子，我没有晓得，但从我的生活去判断，北平之秋便是天堂．”（摘自《住的梦》）金黄色的银杏叶为北京的秋增色没有少．
小宇家附近新修了一段公路，他想给市政写信，建议在路的两边种上银杏树．他先让爸爸开车驶过这段公路，发现速度为60千米／小时，走了约3分钟，由此估算这段路长约_______千米．
然后小宇查阅资料，得知银杏为落叶大乔木，成年银杏树树冠直径可达8米．小宇计划从路的起点开始，每a米种一棵树，绘制示意图如下：
考虑到投入资金的，他设计了另一种，将原计划的a扩大一倍，则路的两侧共计减少200棵树，请你求出a的值．
23. 已知：如图，在△ABC中，AB=AC，以AC为直径的⊙O与BC交于点D，DE⊥AB，垂足为E，ED的延长线与AC的延长线交于点F．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）若⊙O的半径为4，BE=2，求∠F的度数．
24. 阅读下列材料：
根据联合国《人口老龄化及其社会经济后果》中提到的标准，当一个国家或地区65岁及以上老年人口数量占总人口比例超过7％时，意味着这个国家或地区进入老龄化．从经济角度，一般可用“老年人口抚养比”来反映人口老龄化社会的后果．所谓“老年人口抚养比”是指某范围人口中，老年人口数（65岁及以上人口数）与劳动年龄人口数（15-64岁人口数）之比，通常用百分比表示，用以表明每100名劳动年龄人口要负担多少名老年人．
以下是根据我国近几年的人口相关数据制作的统计图和统计表．
2011-2014年全国人口年龄分布图
2011-2014年全国人口年龄分布表
2011年
2012年
2013年
2014年
0-14岁人口占总人口的百分比
16.4％
165％
16.4％
16.5％
15-64岁人口占总人口的百分比
74.5％
74.1％
73.9％
73.5％
65岁及以上人口占总人口的百分比
m
9.4％
9.7％
10.0％
*以上图表中数据均为年末的数据．
根据以上材料解答下列问题：
（1）2011年末，我国总人口约为_______亿，全国人口年龄分布表中m的值为_______；
（2）若按目前我国的人口自然增长率推测，到2027年末我国约有14.60亿人．假设0-14岁人口占总人口的百分比一直稳定在16.5％，15-64岁的人口一直稳定在10亿，那么2027年末我国0-14岁人口约为_______亿，“老年人口抚养比”约为_______； （到1％）
（3）2016年1月1日起我国开始施行“全面二孩”政策，一对夫妻可生育两个孩子．在未来10年内，假设出生率显著提高，这_______（填“会”或“没有会”）对我国的“老年人口抚养比”产生影响．
25. 有这样一个问题：探究函数y=的图象与性质．小慧根据学习函数的，对函数y=的图象与性质进行了探究．下面是小慧的探究过程，请补充完成：
（1）函数y=的自变量x的取值范围是__________；
（2）列出y与x的几组对应值．请直接写出m的值，m=________；
x
…
-3
-2
0
1
1.5
2.5
m
4
6
7
…
y
…
2.4
2.5
3
4
6
-2
0
1
1.5
1.6
…
（3）请在平面直角坐标系xOy中，描出以上表中各对对应值为坐标的点，并画出该函数的图象；
（4）函数的图象，写出该函数的两条性质：
①_____________________________________________；
②_____________________________________________．
26. 在△AOB中，OA=OB=8，∠AOB=90°，矩形CDEF的顶点C、D、F分别在边AO、OB、AB上．
（1）如图1，若C、D恰好是边AO、OB中点，则此时矩形CDEF的面积为_________；
（2）如图2，若=，求矩形CDEF面积的值．
27. 已知：抛物线y=x2+bx+c点（2，﹣3）和（4，5）．
（1）求抛物线的表达式及顶点坐标；
（2）将抛物线沿x轴翻折，得到图象G，求图象G的表达式；
（3）在（2）的条件下，当﹣2＜x＜2时，直线y=m与该图象有一个公共点，求m的值或取值范围．
28. 如图1，在□ABCD中，AE⊥BC于E，E恰为BC的中点，ta=2．
（1）求证：AD=AE；
（2）如图2，点P在BE上，作EF⊥DP于点F，连结AF，求证：DF-EF=AF；
（3）请你在图3中画图探究：当P为射线EC上任意一点（P没有与点E重合）时，作EF⊥DP于点F，连结AF，线段DF、EF与AF之间有怎样的数量关系?直接写出你的结论为____________．
29. 定义：如图l所示，给定线段MN及其垂直平分线上一点P．若以点P为圆心，PM为半径的优弧（或半圆弧）MN上存在三个点可以作为一个等边三角形的顶点，则称点P为线段MN的“三足点”，特别的，若这样的等边三角形只存在一个，则称点P为线段MN的“强三足点”．
问题：如图2所示，平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为（2，0），点B在射线y=x（x≥0）上．
（1）在点C（，0），D（，1），E（，-2）中，可以成为线段OA的“三足点”的是__________.
（2）若象限内存在一点Q既是线段OA的“三足点”，又是线段OB的“强三足点”，求点B的坐标．
（3）在（2）的条件下，以点A为圆心，AB为半径作圆，假设该圆与x轴交点中右侧一个为H，圆上一动点K从H出发，绕A顺时针旋转180°后停止，设点K出发后转过的角度为（0°<≤180°），若线段OB与AK没有存在公共“三足点”，请直接写出的取值范围是_______________．
2022-2023学年湖北省潜江市九年级下册数学月考专项提升模拟卷（B卷）
一、选一选：本大题共10小题，每题3分，共30分。
1. 下列运算正确的是（ ）
A. a+a=2a2 B. a2·a3=a6 C. a3÷a=3 D. （-a）3=-a3
【正确答案】D
【详解】A. 错误，应为a+a=2a；
B. 错误,应为a2·a3=a5；
C. 错误,应为a ³÷a=a ²；
D. 正确,(−a) ³ =−a ³.
故选D.
2. 为迎接建党九十周年，某区在改善环境绿化方面，将投入资金由计划的l 500 000元提高到2 000 000元．其中2 000 000用科学记数法表示为（ ）
A. 0.2×107 B. 2×107 C. 2×106 D. 20×105
【正确答案】C
【详解】将2000000用科学记数法表示为2×106 .
故选C.
3. 如果正多边形的每个外角等于40°，则这个正多边形的边数是
A. 10 B. 9 C. 8 D. 7
【正确答案】B
【详解】360°÷40°=9．
故选B．
4. 下列图形中，既是轴对称图形又是对称图形的是
A. B. C. D.
【正确答案】D
【分析】根据轴对称图形和对称图形的定义逐项识别即可，在平面内，把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．
【详解】解：A. 是轴对称图形，但没有是对称图形，故没有符合题意；
B. 没有是轴对称图形，是对称图形，故没有符合题意；
C. 是轴对称图形，但没有是对称图形，故没有符合题意；
D. 既是轴对称图形又是对称图形，故符合题意．
故选D．
本题考查了轴对称图形和对称图形的识别，熟练掌握轴对称图形和对称图形的定义是解答本题的关键．
5. 如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，过点C的直线DF与∠BAC的平分线AE平行，若∠B=50°，则∠BCF等于（ ）
A. 100° B. 80° C. 70° D. 50°
【正确答案】C
【详解】∵∠ACB=90°，∠B=50°，
∴∠CAB=40°，
∵AE是∠BAC的平分线，
∴∠CAE=∠CAB=20°，
∵CD∥AE，
∴∠DCA=∠CAE=20°，
∴∠BCF=180°−∠DCA−∠ACB=70°
故选C.
6. 如果三角形满足一个角是另一个角的3倍，那么我们称这个三角形为“智慧三角形”．下列各组数据中，能作为一个智慧三角形三边长的一组是( )
A. 1，2，3 B. 1，1， C. 1，1， D. 1，2，
【正确答案】D
【分析】A、根据三角形三边关系可知，没有能构成三角形，依此即可作出判定； B、根据勾股定理的逆定理可知是等腰直角三角形，依此即可作出判定； C、解直角三角形可知是顶角120°，底角30°的等腰三角形，依此即可作出判定；D、解直角三角形可知是三个角分别是90°，60°，30°的直角三角形，依此即可作出判定．
【详解】∵1+2=3，没有能构成三角形，故选项错误；
B、∵12+12=()2，是等腰直角三角形，故选项错误；
C、底边上的高是=，可知是顶角120°，底角30°的等腰三角形，故选项错误；
D、解直角三角形可知是三个角分别是90°，60°，30°的直角三角形，其中90°÷30°=3，符合“智慧三角形”的定义，故选项正确．
故选D．
7. 某小组在“用频率估计概率”的实验中，统计了某种结果出现的频率，绘制了如图的折线图，那么符合这一结果的实验最有可能的是（ ）
A. 在“石头、剪刀、布”的游戏中，小明随机出的是“剪刀”
B. 袋子中有1个红球和2个黄球，它们只有颜色上的区别，从中随机地取出一个球是黄球
C. 掷一枚质地均匀的硬币，落地时结果是“正面向上”
D. 掷一个质地均匀的正六面体骰子，落地时面朝上的点数是6
【正确答案】D
【详解】试题分析：A、应该在0．16附近波动，故错误；B、黄球的概率是≈0．667，故错误；C、应该在0．5附近，故错误；D、正确；
故选D．
考点：用频率估计概率
8. 已知反比例函数y=的图象如图所示，则一元二次方程x2-（2k-1）x+k2-1=0根的情况是（ ）
A. 没有实根 B. 有两个没有等实根 C. 有两个相等实根 D. 无法确定
【正确答案】C
【详解】分析：首先根据反比例函数y=的图象可以得到k的取值范围，然后根据k的取值范围即可判断方程x2-（2k-1）x+k2-1=0的判别式的正负情况，接着就可以判断方程的根的情况．
解答：解：∵反比例函数y=的图象在、三象限内，
∴k-2＞0，
∴k＞2，
∵一元二次方程x2-（2k-1）x+k2-1=0的判别式为
△=b2-4ac=（2k-1）2-4（k2-1）=-4k+5，
而k＞2，
∴-4k+5＜0，
∴△＜0，
∴一元二次方程x2-（2k-1）x+k2-1=0没有实数根．
故选C．
9. 象棋在中国有着三千多年的历史，属于二人对抗性游戏的一种．由于用具简单，趣味性强，成为流行极为广泛的棋艺．如图是一方的棋盘，如果“马”的坐标是（-2，2），它是抛物线y=ax2（a≠0）上的一个点，那么下面哪个棋子也在该抛物线上（ ）
A. 帥 B. 卒 C. 炮 D. 仕
【正确答案】B
【分析】根据抛物线的轴对称性图形进行解答即可．
【详解】∵“马”的坐标是(−2，2)，抛物线y=ax² (a≠0)的对称轴为y轴，
∵“马”是抛物线y=ax² (a≠0)上的一个点，
∴根据抛物线的对称性得出“卒”在该抛物线上，
故选B．
本题考查了抛物线的轴对称性，熟练掌握是解题的关键．
10. 如图，点A在半径为3的⊙O内，OA=，P为⊙O上一点，当∠OPA取值时，PA的长等于（ ）
A. B. C. D. 2
【正确答案】B
【详解】在△OPA中，当∠OPA取值时，
OA⊥AP，
∴PA取最小值，
又∵OA、OP是定值，
∴PA⊥OA时，PA取最小值；
在直角三角形OPA中,OA=，OP=3，
∴PA=.
故选B.
点睛：当PA⊥OP时，PA取最小值，∠OAP取得值，然后在直角三角形OPA中利用勾股定理求PA得值即可.关键是以O为圆心,OA为半径画圆,当PA与这个圆相切时, ∠OAP取得值.
二、填 空 题：本大题共6小题，每题3分，共18分.
11. 分解因式：=______．
【正确答案】x（x+2）（x﹣2）
【分析】先提取公因式，再根据平方差公式分解因式即可．
【详解】解：
=
=x（x+2）（x﹣2）．
故x（x+2）（x﹣2）．
本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，掌握a2-b2=（a+b）（a-b）是解题的关键．
12. 若二次根式有意义，则的取值范围是_________．
【正确答案】
【分析】二次根式有意义，被开方数为非负数，列没有等式求解．
【详解】解：根据二次根式的意义，得2x－4≥0，
解得x≥2．
故x≥2．
本题考查二次根式有意义的条件．
13. 如图，网高为0.8米，击球点到网的水平距离为3米，小明在打网球时，要使球恰好能打过网，且落点恰好在离网4米的位置上，则球拍击球的高度h为___米．
【正确答案】1.4
【分析】根据相似三角形对应边成比例列式计算即可得．
【详解】由题意得,，
解得h=1.4．
故答案为1.4．
本题考查了相似三角形的应用，熟练掌握性质定理是解题的关键．
14. 已知a是关于x的方程x2﹣4＝0的解，代数式（a+1）2+a（a﹣1）﹣a的值_____．
【正确答案】9
【详解】∵a是关于x的方程x2-4=0的解,
∴a²−4=0，
a²=4，
∴(a+1) ²+a(a−1)−a=a²+2a+1+a²−a−a=2a²+1=8+1=9.
故答案为9.
15. 如图所示，在⊙O内有折线OABC，其中OA=8，AB=12，∠A=∠B=60°，则BC的长为 __．
【正确答案】20
【分析】延长AO交BC于D，根据∠A、∠B的度数易证得△ABD是等边三角形，由此可求出OD、BD的长；过O作BC的垂线，设垂足为E；在Rt△ODE中，根据OD的长及∠ODE的度数易求得DE的长，进而可求出BE的长；由垂径定理知BC=2BE，由此得解．
【详解】解：延长AO交BC于D，作OE⊥BC于E；
∵∠A=∠B=60°，
∴∠ADB=60°；
∴△ADB为等边三角形；
∴BD=AD=AB=12；
∴OD=4，
又∵∠ADB=60°，
∴DE=OD=2；
∴BE=10；
∴BC=2BE=20；
故20．
此题主要考查了等边三角形的判定和性质、垂径定理的应用，难度适中，是一道已知条件和图形均比较的中考题．解答的关键是根据已知条件的特点，作出适当的辅助线，构造出等边三角形和直角三角形．
16. 定义：在平面内，我们把既有大小又有方向的量叫做平面向量．平面向量可以用有向线段表示，有向线段的长度表示向量的大小，有向线段的方向表示向量的方向其中大小相等，方向相同的向量叫做相等向量．
如以正方形ABCD的四个顶点中某一点为起点，另一个顶点为终点作向量，可以作出8个没有同的向量：、、、、、、、（由于和是相等向量，因此只算一个）．如图作两个相邻的正方形．以其中的一个顶点为起点，另一个顶点为终点作向量，可以作出没有同向量的个数记为f（2），则f（2）的值为__________．
【正确答案】14
【详解】作两个相邻的正方形,以其中的一个顶点为起点,另一个顶点为终点作向量,
可以作出没有同向量的个数f(2)=14;
点睛：寻找规律是解决数学问题最常用有效的方法.碰到较为复杂的问题可以先退到简单的问题,通过分析研究,找出一般规律,然后用得出的一般规律去指导问题 的解答.善于从到一般发现规律,找到解题方法,可以举几个(或更多)例子看一看,找找其中的隐藏规律.学生通过分析数据发现和归纳了一些规律,从而使问题得以顺利解决,让学生品尝到了成功的愉悦.此题考查了向量的知识.注意解此题的关键是找到规律:f(n)=6n+2.
三、解 答 题：本大题共13小题，共72分.
17. tan30°+（+4）0-|-|
【正确答案】1
【分析】分别根据角的三角函数值、零指数幂、值的性质及二次函数化简的法则计算出各数，再根据实数混合运算的法则进行计算即可．
【详解】tan30°+（+4）0-|-|
=3×+1-
=1
18. 解没有等式组：
【正确答案】x≥2
【详解】试题分析：分别解出两没有等式的解集再求其公共解．
试题解析：解：解没有等式①得：x≥2
解没有等式②得：x>-1
∴没有等式组的解集为：x≥2．
点睛：求没有等式组的解集应遵循以下原则：同大取较大，同小取较小，小小中间找，小小解没有了．
19. 如图，分别以Rt△ABC的直角边AC及斜边AB向外作等边△ACD，等边△ABE，已知∠BAC=30°，EF⊥AB，垂足为F，连接DF
（1）试说明AC=EF；
（2）求证：四边形ADFE是平行四边形．
【正确答案】证明见解析．
【分析】（1）一方面Rt△ABC中，由∠BAC=30°可以得到AB=2BC，另一方面△ABE是等边三角形，EF⊥AB，由此得到AE=2AF，并且AB=2AF，从而可证明△AFE≌△BCA，再根据全等三角形的性质即可证明AC=EF．
（2）根据（1）知道EF=AC，而△ACD是等边三角形，所以EF=AC=AD，并且AD⊥AB，而EF⊥AB，由此得到EF∥AD，再根据平行四边形的判定定理即可证明四边形ADFE是平行四边形．
【详解】证明：（1）∵Rt△ABC中，∠BAC=30°，∴AB=2BC．
又∵△ABE是等边三角形，EF⊥AB，∴AB=2AF．∴AF=BC．
∵在Rt△AFE和Rt△BCA中，AF=BC，AE=BA，
∴△AFE≌△BCA（HL）．∴AC=EF．
（2）∵△ACD是等边三角形，∴∠DAC=60°，AC=AD．
∴∠DAB=∠DAC+∠BAC=90°．∴EF∥AD．
∵AC=EF，AC=AD，∴EF=AD．
∴四边形ADFE平行四边形．
考点：1．全等三角形的判定与性质；2．等边三角形的性质；3．平行四边形的判定．
20. （1）已知二次函数y=x2-2x-3，请你化成y=（x-h）2+k的形式为____________，并在直角坐标系中画出y=x2-2x-3的图象；
（2）如果A（x1，y1），B（x2，y2）是（1）中图象上的两点，且x1
【正确答案】（1）y=（x-1）2-4；画图象见解析；
（2）y1>y2；
（3）将抛物线y=x2-2x-3向上平移两个单位后得到抛物线y=x2-2x-1，抛物线y=x2-2x-1与x轴交于点A、B，则A、B两点的横坐标即为方程x2-2x-1=0的根．
【详解】试题分析：（1）根据配方法整理即可，再求出x=-1、0、1、2、3时的函数值，然后画出函数图象即可；
（2）求出对称轴为直线x=1，然后根据x＜1，y随x的增大而减小解答；
（3）求出y=-2时对应的x的近似值即可．
试题解析：（1）y=x2-2x-3
=（x-1）2-4
画图象，如图所示:
（2）函数的对称轴为直线x=1，
∵x ₁
（3）如图所示，将抛物线y=x2-2x-3向上平移两个单位后得到抛物线y=x2-2x-1，抛物线y=x2-2x-1与x轴交于点A、B，则A、B两点的横坐标即为方程x2-2x-1=0的根.
21. 如图，在平面直角坐标系xOy中，O是坐标原点．直线y=-x+b点A（2，1），AB⊥x轴于B，连结AO．
（1）求b的值；
（2）M是直线y=-x+b上异于A的动点，且在象限内．过M作x轴的垂线，垂足为N．若△MON的面积与△AOB的面积相等，求点M的坐标．
【正确答案】（1）b=3；
（2）M（1，2）
【详解】试题分析：（1）将点A（2，1）的坐标代入直线y=-x+b即可解得b的值；
（2）先根据A点坐标求出△AOB的面积，再根据题中条件△MON的面积与△AOB面积相等设出M点坐标，解答得到符合条件的解即可．
试题解析：
（1）∵直线y=-x+b点A（2，1），
∴1=-2+b
∴b=3
（2）∵M是直线y=-x+3上异于A的动点，且在象限内．
设M（a，-a+3），且0
MN=-a+3，ON=a，AB=l，OB=2.
∵△MON的面积和△AOB的面积相等，
∴a（-a+3）=×2×l
解得：a1=1，a2=2（没有合题意，舍）
∴M（1，2）.
22. 列方程解应用题：
老舍先生曾说“天堂是什么样子，我没有晓得，但从我的生活去判断，北平之秋便是天堂．”（摘自《住的梦》）金黄色的银杏叶为北京的秋增色没有少．
小宇家附近新修了一段公路，他想给市政写信，建议在路的两边种上银杏树．他先让爸爸开车驶过这段公路，发现速度为60千米／小时，走了约3分钟，由此估算这段路长约_______千米．
然后小宇查阅资料，得知银杏为落叶大乔木，成年银杏树树冠直径可达8米．小宇计划从路的起点开始，每a米种一棵树，绘制示意图如下：
考虑到投入资金的，他设计了另一种，将原计划的a扩大一倍，则路的两侧共计减少200棵树，请你求出a的值．
【正确答案】3,a=15
【详解】试题分析：根据题意列出分式方程进行解答即可．
试题解析：解：这段路长约60×=3千米；
由题意可得：
解方程得：a=15．
经检验：a=15是原方程的解且符合题意．
答：a的值是15．
点睛：本题考查了分式方程的应用，分析题意，找到合适的等量关系是解决问题的关键．
23. 已知：如图，在△ABC中，AB=AC，以AC为直径的⊙O与BC交于点D，DE⊥AB，垂足为E，ED的延长线与AC的延长线交于点F．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）若⊙O半径为4，BE=2，求∠F的度数．
【正确答案】（1）证明见解析;（2）∠F=30°．
【详解】试题分析：如图，（1）求证DE是⊙O的切线，可连接OD证明OD⊥ED即可.可由AB=AC、OD=OC得到，进而可得平行线∥；此时易证；（2）连接AD.由AC为⊙O的直径得，可证Rt∽Rt，进而得到：；由⊙O的半径为4，可求出.
在Rt中，由，所以；进而得到等边三角形，所以.
试题解析：
（1）证明：连接OD.
∵AB=AC，
∴.
∵OD=OC,
∴.
∴.
∴∥.
∴.
∵DE⊥AB,
∴.
∴.
∴.
∴DE是⊙O的切线.
（2）解：连接AD.
∵AC为⊙O的直径，
∴.
又∵DE⊥AB,
∴Rt∽Rt.
∴.
∴.
∵⊙O的半径为4，
∴AB=AC=8.
∴.
∴.
在Rt中，
∵，
∴.
又∵AB=AC,
∴是等边三角形.
∴
∴.
考点：1、切线的判定；2、相似三角形的判定与性质；3、三角函数；4、等边三角形的判定.
24. 阅读下列材料：
根据联合国《人口老龄化及其社会经济后果》中提到的标准，当一个国家或地区65岁及以上老年人口数量占总人口比例超过7％时，意味着这个国家或地区进入老龄化．从经济角度，一般可用“老年人口抚养比”来反映人口老龄化社会的后果．所谓“老年人口抚养比”是指某范围人口中，老年人口数（65岁及以上人口数）与劳动年龄人口数（15-64岁人口数）之比，通常用百分比表示，用以表明每100名劳动年龄人口要负担多少名老年人．
以下是根据我国近几年的人口相关数据制作的统计图和统计表．
2011-2014年全国人口年龄分布图
2011-2014年全国人口年龄分布表
2011年
2012年
2013年
2014年
0-14岁人口占总人口的百分比
16.4％
16.5％
16.4％
16.5％
15-64岁人口占总人口的百分比
74.5％
74.1％
73.9％
73.5％
65岁及以上人口占总人口的百分比
m
9.4％
9.7％
10.0％
*以上图表中数据均为年末的数据．
根据以上材料解答下列问题：
（1）2011年末，我国总人口约为_______亿，全国人口年龄分布表中m的值为_______；
（2）若按目前我国的人口自然增长率推测，到2027年末我国约有14.60亿人．假设0-14岁人口占总人口的百分比一直稳定在16.5％，15-64岁的人口一直稳定在10亿，那么2027年末我国0-14岁人口约为_______亿，“老年人口抚养比”约为_______； （到1％）
（3）2016年1月1日起我国开始施行“全面二孩”政策，一对夫妻可生育两个孩子．在未来10年内，假设出生率显著提高，这_______（填“会”或“没有会”）对我国的“老年人口抚养比”产生影响．
【正确答案】（1）13.47，9.1％；
（2）2.409；15％；
（3）会．
【详解】试题分析：（1）根据人口年龄分布图可以求得2011年末我国的人口数和m的值；
（2）由题目中的数据可以解答本题；
（3）有题意可知，人口的出生率增加了，所以老年人的比重相对减少了，从而可以解答本题．
试题解析：
(1)由题意可得，
2011年末,我国总人口约为：2.21+10.03+1.23=13.47(亿)，
m=1−16.4%−74.5%=9.1%，
故答案为13.47，9.1%；
(2)由题意可得，
2027年末我国0−14岁人口约为：14.60×16.5%=2.409(亿)，
“老年人口抚养比”约为：≈15%，
故答案为2.409，15%；
(3)2016年1月1日起我国开始实施“全面二胎”政策，一对夫妻可生育两个孩子，在未来10年内，假设出生率显著提高，这会对我国的“老年人口抚养比”产生影响，
故答案为会．
25. 有这样一个问题：探究函数y=的图象与性质．小慧根据学习函数的，对函数y=的图象与性质进行了探究．下面是小慧的探究过程，请补充完成：
（1）函数y=的自变量x的取值范围是__________；
（2）列出y与x的几组对应值．请直接写出m的值，m=________；
x
…
-3
-2
0
1
1.5
2.5
m
4
6
7
…
y
…
2.4
2.5
3
4
6
-2
0
1
1.5
1.6
…
（3）请在平面直角坐标系xOy中，描出以上表中各对对应值为坐标的点，并画出该函数的图象；
（4）函数的图象，写出该函数的两条性质：
①_____________________________________________；
②_____________________________________________．
【正确答案】（1）x≠2；（2）m=3；（3）画图见解析；（4）可以从对称性、增减性、渐近性、最值、连续性、与坐标轴交点、图象所在象限方面作答
【分析】（1）分式的分母没有等于零；
（2）根据图表可知当y=0时所对应的x值为m，把y=0代入解析式即可求得；
（3）根据坐标系中的点，用平滑的直线连接即可；
（4）可以从对称性、增减性、渐近性、最值、连续性、与坐标轴交点、图象所在象限等方面作答．
【详解】(1)依题意得：x−2≠0，
解得x≠2，
故答案是：x≠2；
(2)把y=0代入y=2x−6x−2，得
0=2m−6m−2，
解得m=3.
故答案是：3；
(3)如图所示：
(4) 由（3）中的图象得到：该函数图象是轴对称图形，该函数图象没有原点等．
26. 在△AOB中，OA=OB=8，∠AOB=90°，矩形CDEF的顶点C、D、F分别在边AO、OB、AB上．
（1）如图1，若C、D恰好是边AO、OB的中点，则此时矩形CDEF的面积为_________；
（2）如图2，若=，求矩形CDEF面积的值．
【正确答案】（1）S矩形CDEF=16；
（2）矩形CDEF面积值为．
【详解】试题分析：（1）因为当C、D是边AO，OB中点时，点E、F都在边AB上，且CF⊥AB，所以可求出CD的值，进而求出CF的值，矩形CDEF的面积可求出；
（2）设CD=x，CF=y．过F作FH⊥AO于H．在 Rt△COD中，用含x和y的代数式分别表示出CO、AH的长，进而表示出矩形CDEF的面积，再配方可求出面积的值．
试题解析：
（1）如图，当C、D是边AO，OB的中点时，
点E、F都在边AB上，且CF⊥AB．
∵OA=OB=8，
∴OC=AC=OD=4．
∵∠AOB=90°，
∴CD=4．
在Rt△ACF中，
∵∠A=45°，
∴CF=2，
∴S矩形CDEF=4×2=16．
（2）设CD=x，CF=y．过F作FH⊥AO于H．在Rt△COD中，
∵tan∠CDO=，
∴sin∠CDO=，cos∠CDO=，
∴CO=x
∵∠FCH+∠OCD=90°，
∴∠FCH+∠CDO，
∴HC=y·cos∠FCH=y，
∴FH=y．
∵△AHF是等腰直角三角形，
∴AH=FH=y，
∴AO=AH+HC+CO．
∴，
∴y=（40-4x）
易知S矩形CDEF=xy=（40x-4x2）=-[（x-5）2-25]，
∴当x=5时，矩形CDEF面积值为.
27. 已知：抛物线y=x2+bx+c点（2，﹣3）和（4，5）．
（1）求抛物线的表达式及顶点坐标；
（2）将抛物线沿x轴翻折，得到图象G，求图象G的表达式；
（3）在（2）的条件下，当﹣2＜x＜2时，直线y=m与该图象有一个公共点，求m的值或取值范围．
【正确答案】（1）y=x²-2x-3；（1，-4）；（2）y=-x²+2x+3；（3）4，或-5
【详解】试题分析：（1）把（2，-3）和（4，5）分别代入y=x²+bx+c然后解方程组即可得到抛物线的表达式，配方化为顶点式可得顶点坐标；（2）利用对称性可得图象G的表达式；（3）y=m过抛物线顶点（1,4）时，直线y=m与该图象有一个公共点，此时y=4，∴m="4." 利用图象可确定另一情况-5
得：，解得：，
∴抛物线的表达式为：y=x²-2x-3.
∵y=x²-2x-3=（x-1）2-4.
∴顶点坐标为（1，-4）.
（2）∵将抛物线沿x轴翻折，
得到图象G与原抛物线图形关于x轴对称，
∴图像G的表达式为：y=-x²+2x+3.
（3）如图，
当0≤x<2时，y=m过抛物线顶点（1,4）时，
直线y=m与该图象有一个公共点，
此时y=4，∴m=4.
当-2
当y=m过抛物线上的点（-2,-5）时， y=-5，∴m=-5.
∴-5
28. 如图1，在□ABCD中，AE⊥BC于E，E恰为BC的中点，ta=2．
（1）求证：AD=AE；
（2）如图2，点P在BE上，作EF⊥DP于点F，连结AF，求证：DF-EF=AF；
（3）请你在图3中画图探究：当P为射线EC上任意一点（P没有与点E重合）时，作EF⊥DP于点F，连结AF，线段DF、EF与AF之间有怎样的数量关系?直接写出你的结论为____________．
【正确答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）画图见解析，
①当EP在线段BC上时,有DF−EF=AF
②当EP⩽2BC时,DF+EF=AF.
【详解】试题分析：（1）首先根据∠B的正切值知：AE=2BE，而E是BC的中点，平行四边形的对边相等即可得证．
（2）此题要通过构造全等三角形来求解；作GA⊥AF，交BD于G，通过证△AFE≌△AGD，来得到△AFG是等腰直角三角形且EF=GD，由此得证．
（3）辅助线作法和解法同（2），只没有过结论有所没有同而已．
试题解析：
（1）在Rt△ABE中，∠AEB=90°，
∴ta==2，
∴AE=2BE．
∵E为BC的中点，
∴BC=2BE，
∴AE=BC．
∵ABCD是平行四边形，
∴AD=BC，
∴AE=AD．
（2）在DP上截取DH=EF（如图）
∵四边形ABCD是平行四边形，AE⊥BC，
∴∠EAD=90°．
∵EF⊥PD，∠l=∠2，
∴∠ADH=∠AEF．
∵AD=AE，
∴△ADH≌△AEF，
∴∠HAD=∠FAE，AH=AF，
∴∠FAH=90°．
在Rt△FAH中，AH=AF，
∴FH=AF，
∴FH=FD-HD=FD-EF=AF．
即DF-EF=AF．
（3）按题目要求所画图形，
①当EP在线段BC上时,有DF−EF=AF
②当EP⩽2BC时,DF+EF=AF.
③当EP>2BC时,EF−DF=AF.
点睛:此题主要考查的是平行四边形的性质以及全等三角形的判定和性质,难度适中,正确的构造出全等三角形是解答此题的关键.
29. 定义：如图l所示，给定线段MN及其垂直平分线上一点P．若以点P为圆心，PM为半径的优弧（或半圆弧）MN上存在三个点可以作为一个等边三角形的顶点，则称点P为线段MN的“三足点”，特别的，若这样的等边三角形只存在一个，则称点P为线段MN的“强三足点”．
问题：如图2所示，平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为（2，0），点B在射线y=x（x≥0）上．
（1）在点C（，0），D（，1），E（，-2）中，可以成为线段OA的“三足点”的是__________.
（2）若象限内存在一点Q既是线段OA的“三足点”，又是线段OB的“强三足点”，求点B的坐标．
（3）在（2）的条件下，以点A为圆心，AB为半径作圆，假设该圆与x轴交点中右侧一个为H，圆上一动点K从H出发，绕A顺时针旋转180°后停止，设点K出发后转过的角度为（0°<≤180°），若线段OB与AK没有存在公共“三足点”，请直接写出的取值范围是_______________．
【正确答案】（1）D、E；
（2）B（3，3）．
（3）30°<<90°或=150°．
【详解】试题分析：(1) 用排除法判断; (2) 由题意可知 Q 点既为线段 OA 的“三足点”，又是线段 OB 的“强三足点”，则点 Q 须满足在 OA 和 OB 的垂直平分线上，且∠QOB =30°．
y=x 与 x 轴的夹角为 30°．∴∠QOA=60° ．设点 Q 的坐标为 (m,n)，Q 点在 OA 的垂直平分线上，故m=， ，QB=QO= ，所以B( ．
(3) 这个圆正好过O、Q点，F点坐标为（，0）由于三足点存在要求等腰三角形顶角≤120度，通过画图可以算出a的范围为：30°
（1）D、E；
（2）点Q既是线段OA的“三足点”，又是线段OB的“强三足点”，
依题可知，∠OQB=120°，∠QOB=30°，∠QOA=60°，
即Q（，3）.
OQ=BQ=2，BQ∥OA，
即B（3，3）.
（3）依题可知：
线段OB的三足点在射线AE和射线QF上，
即线段AK的三足点要与这两条射线有交点，
当0<≤30°，90°≤<150°，150°<≤180°存在交点．
故若没有存在，则30°<<90°或=150°.
点睛:在这类问题中,首要的是理解新概念,总结和发现新规律,然后通过模仿,类比或归纳解决问题,关键是理解题中所给的新颖的解题方法,然后利用转化思想根据背景材料将要求的问题转化为阅读得来的方法来解决问题.
2022-2023学年湖北省潜江市九年级下册数学月考专项提升模拟卷（A卷）
一、选一选（每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项正确，）．
1. 下列各式是一元二次方程的是（ ）
A. x2＝1 B. +x﹣1＝0
C. ax2+bx+c＝0 D. （2x+1）（2x﹣1）＝4x2+5x
2. 方程的左边配成完全平方后所得方程为 （ ）
A. B. C. D. 以上答案都没有对
3. 将函数y＝2x2向左平移2个单位，再向下平移3个单位得到的新函数是（ ）
A. y＝2（x+2）2+3 B. y＝2（x﹣2）2+3
C. y＝2（x+2）2﹣3 D. y＝2（x﹣2）2﹣3
4. 若x＝-2是关于x的一元二次方程x2＋ax-a2＝0的一个根，则a的值为（ ）
A. 1或-4 B. -1或-4
C. -1或4 D. 1或4
5. 共享单车为市民出行带来了方便，某单车公司个月投放1000辆单车，计划第三个月投放单车数量比个月多440辆．设该公司第二、三两个月投放单车数量的月平均增长率为x，则所列方程正确的为（ ）
A. 1000（1+x）2＝1000+440 B. 1000（1+x）2＝440
C. 440（1+x）2＝1000 D. 1000（1+2x）＝1000+440
6. 已知关于x的一元二次方程（m﹣2）2x2+（2m+1）x+1＝0有两个没有相等的实数根，则m的取值范围是（ ）
A m＞ B. m≥ C. m＞且m≠2 D. m≥且m≠2
7. 若a．b．c是△ABC的三边，且关于x的方程a（x2﹣1）﹣2cx+b（x2+1）=0有两个相等的实数根，则△ABC是（ ）
A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 等边三角形 D. 等腰直角三角形．
8. 如图，已知抛物线与x轴的一个交点A（1，0），对称轴是x=﹣1，则该抛物线与x轴的另一交点坐标是【 】
A. （﹣3，0） B. （﹣2，0） C. x=﹣3 D. x=﹣2
9. 对于二次函数y=(x-1)2+2的图象，下列说确的是（ ）
A. 开口向下 B. 对称轴是x=-1 C. 顶点坐标是(1，2) D. 与x轴有两个交点
10. 如图是二次函数图象一部分，图象过点A（﹣3，0），对称轴为直线x=﹣1，给出四个结论：
①c＞0；
②若点B、C为函数图象上的两点，则；
③2a﹣b=0；
④＜0，其中，正确结论的个数是（ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
二、填 空 题（每小题3分，共18分）
11. 已知关于x的方程x2+px+q=0的两根为﹣3和﹣1，则p=_____，q=_____．
12. 已知关于x的方程x2+（m﹣1）x+=0的一个实数根的倒数恰是它本身，则m为_____．
13. 要组织篮球联赛，赛制为单循环比赛（每两队之间都赛一场），计划安排15场比赛，应邀请多少个队参加比赛？设应邀参加比赛的球队有个，则可以列方程为___________（化为一般形式）．
14. 若二次函数y=ax2+1的图象点（﹣2，0），则关于x的方程a（x﹣2）2+1=0的实数根为_____．
15. 一人患了流感，两轮传染后共有64人患了流感．如果没有及时，第三轮将又有___人被传染.
16. 如图，一段抛物线：y=﹣x（x﹣2）（0≤x≤2）记为C1，它与x轴交于两点O，A1；将C1绕A1旋转180°得到C2，交x轴于A2；将C2绕A2旋转180°得到C3，交x轴于A3；…如此进行下去，直至得到C6，若点P（11，m）在第6段抛物线C6上，则m=_____．
三、解 答 题（共72分）
17. 解方程：
（1）2x2﹣4x﹣3=0； （2）（2x﹣5）2=4（2x﹣5）
18. 已知抛物线的顶点为（1，－4），且过点（3，0）
（1）求抛物线解析式；
（2）写出它的开口方向，对称轴、顶点坐标和最值；
（3）若点（﹣2，y1），（﹣1，y2），（0.5，y3）在抛物线上，指出y1，y2，y3的大小关系.
19. 已知关于方程有两个实数根.
（1）求的取值范围；
（2）若，求的值；
20. 某种新商品每件进价是120元，在试销期间发现，当每件商品售价为130元时，每天可70件，当每件商品售价高于130元时，每涨价1元，日量就减少1件．据此规律，请回答：
（1）当每件商品售价定为170元时，每天可多少件商品商场获得的日盈利是多少？
（2）在商品正常情况下，每件商品的涨价为多少元时，商场日盈利？利润是多少？
21. 如图所示，某农户想建造一花圃，用来种植两种没有同的花卉，以城镇市场需要，现用长为36m的篱笆，一面砌墙（墙的可使用长度l=13m），围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃，设花圃宽AB为x，面积为S．
（1）求S与x的函数关系式．并指出它是函数，还是二次函数？
（2）若要围成面积为96m2的花圃，求宽AB的长度．
（3）花圃的面积能达到108m2吗？若能，请求出AB的长度，若没有能请说明理由．
22. 如图，二次函数的图象A(2，0)，B(0，－6)两点．
（1）求这个二次函数的解析式；
（2）设该二次函数的对称轴与x轴交于点C，连接BA，BC，求△ABC的面积．
（3）在x轴上是否存在一点P，使△ABP为等腰三角形，若存在，求出P的坐标，若没有存在，说明理由.
23. 如图所示,有一座抛物线形拱桥,在正常水位时,水面AB的宽为20 m.如果水位上升3 m,则水面CD的宽为10 m.
(1)建立如图所示的平面直角坐标系,求此抛物线的表达式;
(2)现在一辆载有救援物资的货车从甲地出发需此桥开往乙地,已知甲地距此桥280 km(桥长忽略没有计).货车正以40 km/h的速度开往乙地,当行驶了1 h后,突然接到紧急通知:前方连降暴雨,造成水位以0.25 m/h的速度持续上涨(货车接到通知时,水位在CD处,当水位涨到拱桥点O时,禁止车辆通行).
问:如果货车按原来速度行驶,能否通过此桥?若能,请说明理由;若没有能,那么要使货车通过此桥,速度应超过每小时多少千米?
24. 如图，抛物线y＝x2+bx﹣2与x轴交于A，B两点，与y轴交于C点，且A（﹣1，0）．
（1）求抛物线解析式及顶点D的坐标；
（2）判断△ABC的形状，证明你的结论；
（3）点M是抛物线对称轴上的一个动点，当MC+MA的值最小时，求点M的坐标．
25. 已知关于x的方程mx2-(3m－1)x+2m－2=0
（1）求证：无论m取任何实数时，方程恒有实数根.
（2）若关于x的二次函数y= mx2-(3m－1)x+2m－2的图象与x轴两交点间的距离为2时，求抛物线的解析式.
（3）在直角坐标系xoy中，画出（2）中的函数图象，图象回答问题：当直线y=x+b与（2）中的函数图象只有两个交点时，求b的取值范围.
2022-2023学年湖北省潜江市九年级下册数学月考专项提升模拟卷（A卷）
一、选一选（每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项正确，）．
1. 下列各式是一元二次方程的是（ ）
A. x2＝1 B. +x﹣1＝0
C. ax2+bx+c＝0 D. （2x+1）（2x﹣1）＝4x2+5x
【正确答案】A
【详解】A、x的次数是2，故是一元二次方程，故此选项正确；
B、x的次数是－2，没有是一元二次方程，故此选项错误；
C、含多个未知数，没有是一元二次方程，故此选项错误；
D、化简后，x的次数为1，没有是一元二次方程，故此选项错误；
故选A．
2. 方程的左边配成完全平方后所得方程为 （ ）
A. B. C. D. 以上答案都没有对
【正确答案】A
【分析】先变形得到x2+6x=5，再把方程两边加上9得x2+6x+9=5+9，然后根据完全平方公式得到（x+3）2=14．
【详解】先移项得x2+6x=5，
方程两边加上9得：x2+6x+9=5+9，
所以（x+3）2=14．
故选A．
本题考查了配方法解一元二次方程：将一元二次方程配成（x+m）2=n的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法．
3. 将函数y＝2x2向左平移2个单位，再向下平移3个单位得到的新函数是（ ）
A. y＝2（x+2）2+3 B. y＝2（x﹣2）2+3
C. y＝2（x+2）2﹣3 D. y＝2（x﹣2）2﹣3
【正确答案】C
【详解】将函数y=2x2向左平移2个单位，得：y=2（x+2）2；
再向下平移3个单位，得：y=2（x+2）2﹣3；
故选C．
4. 若x＝-2是关于x的一元二次方程x2＋ax-a2＝0的一个根，则a的值为（ ）
A. 1或-4 B. -1或-4
C. -1或4 D. 1或4
【正确答案】A
【详解】解：∵x=-2是关于x的一元二次方程的一个根，
∴（-2）2+a×（-2）-a2=0，即a2+3a-4=0，
整理，得（a+4）（a-1）=0，
解得 a1=-4，a2=1．
即a的值是1或-4．
故选：A．
一元二次方程的解的定义：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以，一元二次方程的解也称为一元二次方程的根．
5. 共享单车为市民出行带来了方便，某单车公司个月投放1000辆单车，计划第三个月投放单车数量比个月多440辆．设该公司第二、三两个月投放单车数量的月平均增长率为x，则所列方程正确的为（ ）
A. 1000（1+x）2＝1000+440 B. 1000（1+x）2＝440
C. 440（1+x）2＝1000 D. 1000（1+2x）＝1000+440
【正确答案】A
【分析】根据个月的单车数量×(1+x)2=第三个月的单车数量可以列出相应的一元二次方程，进而可得答案．
【详解】解：由题意可得，1000（1+x）2＝1000+440．
故选：A．
本题考查了一元二次方程的应用之增长率问题，属于常考题型，正确理解题意、找准相等关系是解题的关键．
6. 已知关于x的一元二次方程（m﹣2）2x2+（2m+1）x+1＝0有两个没有相等的实数根，则m的取值范围是（ ）
A. m＞ B. m≥ C. m＞且m≠2 D. m≥且m≠2
【正确答案】C
【详解】分析：本题是根的判别式的应用，因为关于x的一元二次方程（m-2）2x2+（2m+1）x+1=0有两个没有相等的实数根，所以△=b2-4ac＞0，从而可以列出关于m的没有等式，求解即可，还要考虑二次项的系数没有能为0．
详解：∵关于x的一元二次方程（m-2）2x2+（2m+1）x+1=0有两个没有相等的实数根，
∴△=b2-4ac＞0，即（2m+1）2-4×（m-2）2×1＞0，
解这个没有等式得，m＞，
又∵二次项系数是（m-2）2，
∴m≠2，
故M得取值范围m＞且m≠2．
故选C．
点睛：1、一元二次方程根的情况与判别式△的关系：
（1）△＞0⇔方程有两个没有相等实数根；
（2）△=0⇔方程有两个相等的实数根；
（3）△＜0⇔方程没有实数根．
2、二次项的系数没有为0是学生常常忘记考虑的，是易错点．
7. 若a．b．c是△ABC的三边，且关于x的方程a（x2﹣1）﹣2cx+b（x2+1）=0有两个相等的实数根，则△ABC是（ ）
A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 等边三角形 D. 等腰直角三角形．
【正确答案】B
【详解】原方程可变形为（a+b）x2﹣2cx﹣（a﹣b）=0，
∵原方程有两个相等的实数根，
∴△=（﹣2c）2﹣4（a+b）（a﹣b）=4c2+4b2﹣4a2=0，即a2=b2+c2．
∵a．b．c是△ABC的三边，
∴△ABC为直角三角形．
故选B．
8. 如图，已知抛物线与x轴的一个交点A（1，0），对称轴是x=﹣1，则该抛物线与x轴的另一交点坐标是【 】
A. （﹣3，0） B. （﹣2，0） C. x=﹣3 D. x=﹣2
【正确答案】A
【详解】设抛物线与x轴的另一个交点为B（b，0），
∵抛物线与x轴的一个交点A（1，0），对称轴是x=﹣1，
∴=﹣1，解得b=﹣3．∴B（﹣3，0）．故选A．
9. 对于二次函数y=(x-1)2+2的图象，下列说确的是（ ）
A. 开口向下 B. 对称轴是x=-1 C. 顶点坐标是(1，2) D. 与x轴有两个交点
【正确答案】C
【分析】根据抛物线的性质由a=1得到图象开口向上，根据顶点式得到顶点坐标为（1，2），对称轴为直线x=1，从而可判断抛物线与x轴没有公共点．
【详解】解：二次函数y=（x-1）2+2的图象开口向上，顶点坐标为（1，2），对称轴为直线x=1，抛物线与x轴没有公共点．
故选：C．
本题考查了二次函数的性质，掌握二次函数的顶点式是解题的关键，即在y=a（x-h）2+k中，其顶点坐标为（h，k），对称轴为x=h．当a＞0时，抛物线开口向上，当a＜0时，抛物线开口向下．
10. 如图是二次函数图象的一部分，图象过点A（﹣3，0），对称轴为直线x=﹣1，给出四个结论：
①c＞0；
②若点B、C为函数图象上的两点，则；
③2a﹣b=0；
④＜0，其中，正确结论的个数是（ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
【正确答案】B
【分析】根据抛物线与y轴的交点可判断①，根据抛物线对称轴的左边的增减性可判断②，根据抛物线的对称轴可判断③，根据抛物线顶点的纵坐标可判断④．
【详解】∵抛物线与y轴交于正半轴，
∴c＞0，①正确，符合题意；
∵对称轴为直线x=﹣1，
∴x＜﹣1时，y随x的增大而增大，
∴y1＞y2②错误，没有符合题意；
∵对称轴为直线x=﹣1，
∴﹣=﹣1，
则2a﹣b=0，③正确，符合题意；
∵抛物线的顶点在x轴的上方，
∴＞0，④错误，没有符合题意；
故选B．
本题考查抛物线与两轴的交点问题，抛物线的增减性质，对称轴，顶点坐标，掌握抛物线与两轴的交点问题，抛物线的增减性质，对称轴，顶点坐标是解解题关键．
二、填 空 题（每小题3分，共18分）
11. 已知关于x的方程x2+px+q=0的两根为﹣3和﹣1，则p=_____，q=_____．
【正确答案】 ①. 4； ②. 3．
【详解】试题解析：∵关于x的方程x2+px+q=0的两根为-3和-1，
∴-3+（-1）=-p，（-3）×（-1）=q，
∴p=4，q=3．
12. 已知关于x的方程x2+（m﹣1）x+=0的一个实数根的倒数恰是它本身，则m为_____．
【正确答案】﹣或
【详解】∵方程x2+（m﹣1）x+=0的一个实数根的倒数恰是它本身，
∴方程有一实数根为1或﹣1，
当x=1时，代入可得1+（m﹣1）+=0，解得m=﹣；
当x=﹣1时，代入可得1﹣（m﹣1）+=0，解得m=；
∴m的值为﹣或，
故答案为﹣或．
13. 要组织篮球联赛，赛制为单循环比赛（每两队之间都赛一场），计划安排15场比赛，应邀请多少个队参加比赛？设应邀参加比赛的球队有个，则可以列方程为___________（化为一般形式）．
【正确答案】
【分析】设邀请个队参加比赛，则每个队比赛场，可得方程： 从而可得答案．
【详解】解：设邀请个队参加比赛，则每个队比赛场，
所以：
整理得：
故
本题考查的是一元二次方程的应用，掌握利用一元二次方程解决比赛场次问题是解题的关键．
14. 若二次函数y=ax2+1的图象点（﹣2，0），则关于x的方程a（x﹣2）2+1=0的实数根为_____．
【正确答案】﹣4或0
【详解】把（﹣2，0）代入二次函数y=ax2+1得：4a+1=0，
解得：a=﹣，
所以二次函数的解析式为y=﹣x2+1，
当y=0时，﹣x2+1=0，
解得：x=±2，
即二次函数y=﹣x2+1与x轴的交点坐标是（﹣2，0）和（2，0），
所以把二次函数y=﹣x2+1向左平移2个单位得出二次函数y=a（x﹣2）2+1，
即关于x的方程a（x﹣2）2+1=0的实数根为﹣4或0，
故答案为﹣4或0．
15. 一人患了流感，两轮传染后共有64人患了流感．如果没有及时，第三轮将又有___人被传染.
【正确答案】448
【详解】设一个患者传染给x人，由题意，得
x（x+1）+x+1=64，
解得：x1=7，x2=-9（舍去），
第三轮被传染的人数是：64×7=448人．
故448
16. 如图，一段抛物线：y=﹣x（x﹣2）（0≤x≤2）记为C1，它与x轴交于两点O，A1；将C1绕A1旋转180°得到C2，交x轴于A2；将C2绕A2旋转180°得到C3，交x轴于A3；…如此进行下去，直至得到C6，若点P（11，m）在第6段抛物线C6上，则m=_____．
【正确答案】-1
【分析】将这段抛物线C1通过配方法求出顶点坐标及抛物线与x轴的交点，由旋转的性质可以知道C1与C2的顶点到x轴的距离相等，且OA1=A1A2，照此类推可以推导知道点P（11，m）为抛物线C6的顶点，从而得到结果．
【详解】解：∵y=﹣x（x﹣2）（0≤x≤2），
∴配方可得y=﹣（x﹣1）2+1（0≤x≤2），
∴顶点坐标为（1，1），
∴A1坐标为（2，0）；
∵C2由C1旋转得到，
∴OA1=A1A2，即C2顶点坐标为（3，﹣1），A2（4，0）；
照此类推可得，C3顶点坐标为（5，1），A3（6，0）；
C4顶点坐标为（7，﹣1），A4（8，0）；
C5顶点坐标为（9，1），A5（10，0）；
C6顶点坐标为（11，﹣1），A6（12，0）；
∴m=﹣1．
故答案为﹣1．
本题考查了二次函数的性质及旋转的性质，解题的关键是求出抛物线的顶点坐标．
三、解 答 题（共72分）
17. 解方程：
（1）2x2﹣4x﹣3=0； （2）（2x﹣5）2=4（2x﹣5）
【正确答案】(1) x1、2=；(2) x1=；x2=．
【详解】试题分析：
试题解析：
∵2x2﹣4x﹣3=0
∴a=2，b=﹣4，c=﹣3，
∵△=b2﹣4ac=16+24=40＞0，
∴x==．
即x1=,x2=
（2）∵（2x﹣5）2=4（2x﹣5），
（2x﹣5）2﹣4（2x﹣5）=0，
∴（2x﹣5）（2x﹣5﹣4）=0，
∴2x﹣5=0，2x﹣9=0，
∴x1=；x2=．
18. 已知抛物线的顶点为（1，－4），且过点（3，0）
（1）求抛物线解析式；
（2）写出它的开口方向，对称轴、顶点坐标和最值；
（3）若点（﹣2，y1），（﹣1，y2），（0.5，y3）在抛物线上，指出y1，y2，y3的大小关系.
【正确答案】（1）y=x2﹣2x﹣3；
（2）开口向上，对称轴为直线x=1，当x=1时函数的最小值为-4；
（3）y1＞y2＞y3.
【详解】试题分析：（1）设抛物线顶点式解析式y=a（x-1）2-4，然后把点（0，-3）代入求出a的值，即可得解；
（2）由抛物线顶点式解析式即可写出它的开口方向，对称轴、顶点坐标和最值；
（3）根据函数图象可指出y1，y2，y3的大小关系.
试题解析：（1）依题意，设抛物线解析式为y=a（x﹣1）2﹣4
∵抛物线点B（3，0），
∴a（3﹣1）2﹣4=0
解得 a=1
∴y=（x﹣1）2﹣4，即y=x2﹣2x﹣3
（2）开口向上，对称轴为直线x=1，顶点为（1，－4），当x=1时函数的最小值为-4；
（3）y1＞y2＞y3
19. 已知关于的方程有两个实数根.
（1）求的取值范围；
（2）若，求的值；
【正确答案】（1）；（2）k＝－3
【分析】（1）依题意得△≥0，即[－2(k－1)]2－4k2≥0，求解即可得；
（2）依题意x1＋x2＝2(k－1)，x1·x2＝k2 ，以下分两种情况讨论：①当x1＋x2≥0时，则有x1＋x2＝x1·x2－1，即2(k－1)＝k2－1；②当x1＋x2＜0时，则有x1＋x2＝－(x1·x2－1)，即2(k－1)＝－(k2－1)，进行求解即可得．
【详解】解：（1）依题意得△≥0，即[－2(k－1)]2－4k2≥0 .
解得；
（2）依题意x1＋x2＝2(k－1)，x1·x2＝k2
以下分两种情况讨论：
①当x1＋x2≥0时，
则有x1＋x2＝x1·x2－1，即2(k－1)＝k2－1
解得k1＝k2＝1
∵
∴k1＝k2＝1没有合题意，舍去；
②当x1＋x2＜0时，则有x1＋x2＝－(x1·x2－1)，即2(k－1)＝－(k2－1)
解得k1＝1，k2＝－3，
∵
∴k＝－3
综合①、②可知k＝－3．
题目主要考查一元二次方程根与系数关系，根判别式，熟练掌握二次根与系数的关系及根的判别式是解题关键.
20. 某种新商品每件进价是120元，在试销期间发现，当每件商品售价为130元时，每天可70件，当每件商品售价高于130元时，每涨价1元，日量就减少1件．据此规律，请回答：
（1）当每件商品售价定为170元时，每天可多少件商品商场获得的日盈利是多少？
（2）在商品正常的情况下，每件商品的涨价为多少元时，商场日盈利？利润是多少？
【正确答案】(1)每天可30件商品，商场获得的日盈利是1500元；(2)每件商品售价为160元时，商场日盈利达到1600元.
【分析】（1）先求出提高的价格170-130=40元，就可以求出此时减少的数量，就可以求出的数量，在由每件利润×件数就可以得出日利润；
（2）设每件商品的售价为x元，则每天商品的件数为70-（x-130）=200-x件，根据“总利润=单件利润×量”得出函数关系式，再配方即可得其最值情况．
【详解】解：（1）由题意得：每天的数量为70-（170-130）=30件，
日盈利为：30（170-120）=1500元，
故每天的数量为30件，日盈利为1500元．
（2）设每件商品的售价为x元，则每天商品的件数为70-（x-130）=200-x件，
则商场的日盈利w=（x-120）（200-x）
=-x2+320x-24000
=-（x-160）2+1600，
∴当x=160时，w取得值，值为1600，
答：当每件商品的价定为160元时，能使商场的日盈利至多,1600元.．
本题考查了列一元二次方程解实际问题的运用，解答时灵活运用问题的数量关系是解答的关键．
21. 如图所示，某农户想建造一花圃，用来种植两种没有同的花卉，以城镇市场需要，现用长为36m的篱笆，一面砌墙（墙的可使用长度l=13m），围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃，设花圃宽AB为x，面积为S．
（1）求S与x的函数关系式．并指出它是函数，还是二次函数？
（2）若要围成面积为96m2的花圃，求宽AB的长度．
（3）花圃的面积能达到108m2吗？若能，请求出AB的长度，若没有能请说明理由．
【正确答案】（1）S=（36-3x）x=-3x2+36x；
（2）AB的长为8m；
（3）花圃的面积没有能达到108m2．
【详解】试题分析：（1）等量关系为：（篱笆长-3AB）×AB=S，即可得出答案；
（2）等量关系为：（篱笆长-3AB）×AB=96，把相关数值代入求得合适的解即可；
（3）把（1）中用代数式表示的面积整理为a（x-h）2+b的形式可得的面积．
试题解析：：（1）设花圃宽AB为x，面积为S．
则S=（36-3x）x=-3x2+36x；
（2）设AB的长是x米．
（36-3x）x=96，
解得x1=4，x2=8，
当x=4时，长方形花圃的长为36-3x=24，又墙的可用长度a是13m，故舍去；
当x=8时，长方形花圃的长为24-3x=12，符合题意；
∴AB的长为8m．
（3）花圃的面积为S=（36-3x）x=-3（x-6）2+108，
∴当AB长为6m，宽为16m时，有面积，为108平方米．
又∵当AB=6m时，长方形花圃的长为36-3×6=18m，又墙的可用长度a是13m，故舍去；
故花圃的面积没有能达到108m2．
22. 如图，二次函数的图象A(2，0)，B(0，－6)两点．
（1）求这个二次函数的解析式；
（2）设该二次函数的对称轴与x轴交于点C，连接BA，BC，求△ABC的面积．
（3）在x轴上是否存在一点P，使△ABP为等腰三角形，若存在，求出P的坐标，若没有存在，说明理由.
【正确答案】（1）y＝－x2＋4x－6；
（2）S△ABC＝6；
（3）点P坐标为（-2，0）或或或
【详解】试题分析：（1）把A、B两点的坐标代入y=-x2+bx+c中得到关于b、c的方程组，然后解方程求出b、c即可得到抛物线解析式；
（2）先确定抛物线的对称轴方程，则可得到C点坐标，然后根据三角形面积公式求解．
（3）分类讨论，进行求解即可.
试题解析：（1）∵的图象A（2，0）、B（0，-6）两点，
∴，
解得b=4，c=-6，
∴这个二次函数解析式为y＝−x2+4x−6
（2）令-x2+4x-6=0
∴x2-8x+12=0
解得：x1=2 x2=6
∴C（4，0）
∴AC=2
∴S△ABC=×2×6=6
（3）点P坐标为（-2,0）或
23. 如图所示,有一座抛物线形拱桥,在正常水位时,水面AB的宽为20 m.如果水位上升3 m,则水面CD的宽为10 m.
(1)建立如图所示的平面直角坐标系,求此抛物线的表达式;
(2)现在一辆载有救援物资的货车从甲地出发需此桥开往乙地,已知甲地距此桥280 km(桥长忽略没有计).货车正以40 km/h的速度开往乙地,当行驶了1 h后,突然接到紧急通知:前方连降暴雨,造成水位以0.25 m/h的速度持续上涨(货车接到通知时,水位在CD处,当水位涨到拱桥点O时,禁止车辆通行).
问:如果货车按原来速度行驶,能否通过此桥?若能,请说明理由;若没有能,那么要使货车通过此桥,速度应超过每小时多少千米?
【正确答案】（1）y=-x2.（2）要使货车通过此桥,货车的速度应超过60 km/h.
【详解】试题分析：根据抛物线在坐标系的位置，设抛物线的解析式为y=ax2，设D、B的坐标求解析式；
试题解析：（1）设抛物线的解析式为y=ax2（a没有等于0），桥拱点O到水面CD的距离为h米．
则D（5，﹣h），B（10，﹣h﹣3）
∴
解得
∴抛物线的解析式为y=﹣x2
（2）水位由CD处涨到点O的时间为：1÷0.25=4（小时）
货车按原来速度行驶的路程为：40×1+40×4=200＜280
∴货车按原来速度行驶没有能通过此桥．
设货车速度提高到x千米/时
当4x+40×1=280时，x=60
∴要使货车通过此桥，货车的速度应超过60千米/时．
考点：二次函数的应用．
24. 如图，抛物线y＝x2+bx﹣2与x轴交于A，B两点，与y轴交于C点，且A（﹣1，0）．
（1）求抛物线的解析式及顶点D的坐标；
（2）判断△ABC的形状，证明你的结论；
（3）点M是抛物线对称轴上的一个动点，当MC+MA的值最小时，求点M的坐标．
【正确答案】（1）抛物线解析式为y＝x﹣2，顶点D的坐标为 （，﹣）；（2）△ABC是直角三角形，证明见解析；（3）点M的坐标为（，﹣）．
【分析】（1）因为点A在抛物线上，所以将点A代入函数解析式即可求得答案；
（2）由函数解析式可以求得其与x轴、y轴的交点坐标，即可求得AB、BC、AC的长，由勾股定理的逆定理可得三角形的形状；
（3）根据抛物线的性质可得点A与点B关于对称轴x对称，求出点B，C的坐标，根据轴对称性，可得MA＝MB，两点之间线段最短可知，MC+MB的值最小．则BC与直线点即为M点，利用得到系数法求出直线BC的解析式，即可得到点M的坐标．
【详解】（1）∵点A（﹣1，0）在抛物线ybx﹣2上，∴b×（﹣1）﹣2＝0，解得：b，∴抛物线的解析式为yx﹣2．
yx﹣2（x2﹣3x﹣4 ），∴顶点D的坐标为 （）．
（2）当x＝0时y＝﹣2，∴C（0，﹣2），OC＝2．
当y＝0时，x﹣2＝0，∴x1＝﹣1，x2＝4，∴B （4，0），∴OA＝1，OB＝4，AB＝5．
∵AB2＝25，AC2＝OA2+OC2＝5，BC2＝OC2+OB2＝20，∴AC2+BC2＝AB2．∴△ABC是直角三角形．
（3）∵顶点D的坐标为 （），∴抛物线的对称轴为x．
∵抛物线yx2+bx﹣2与x轴交于A，B两点，∴点A与点B关于对称轴x对称．
∵A（﹣1，0），∴点B的坐标为（4，0），当x＝0时，yx﹣2＝﹣2，则点C的坐标为（0，﹣2），则BC与直线点即为M点，如图，根据轴对称性，可得：MA＝MB，两点之间线段最短可知，MC+MB的值最小．
设直线BC的解析式为y＝kx+b，把C（0，﹣2），B（4，0）代入，可得：，解得：，∴yx﹣2．
当x时，y，∴点M的坐标为（）．
本题考查了待定系数法求二次函数解析式、函数的解析式、直角三角形的性质及判定、轴对称性质，解决本题的关键是利用待定系数法求函数的解析式．
25. 已知关于x的方程mx2-(3m－1)x+2m－2=0
（1）求证：无论m取任何实数时，方程恒有实数根.
（2）若关于x的二次函数y= mx2-(3m－1)x+2m－2的图象与x轴两交点间的距离为2时，求抛物线的解析式.
（3）在直角坐标系xoy中，画出（2）中的函数图象，图象回答问题：当直线y=x+b与（2）中的函数图象只有两个交点时，求b的取值范围.
【正确答案】（1）略
（2）y1= x（x－2）或y2=（x－2）（x－4）
（3）当b<－或b>－或b=－2时，直线y=x+b与（2）中的图象只有两个交点
【详解】解：（1）分两种情况讨论：
①当m=0 时，方程为x－2=0，∴x="2" 方程有实数根
②当m≠0时，则一元二次方程的根的判别式
△=[－（3m－1）]2－4m（2m－2）=m2+2m+1=（m+1）2≥0
没有论m为何实数，△≥0成立，∴方程恒有实数根
综合①②，可知m取任何实数，方程mx2-(3m－1)x+2m－2=0恒有实数根.
（2）设x1，x2为抛物线y= mx2-(3m－1)x+2m－2与x轴交点的横坐标.
则有x1+x2=，x1·x2=
由| x1－x2|====，
由| x1－x2|=2得=2，∴=2或=－2
∴m=1或m=
∴所求抛物线的解析式为：y1=x2－2x或y2=x2+2x－
即y1= x（x－2）或y2=（x－2）（x－4）其图象如图所示.
（3）在（2）的条件下，直线y=x+b与抛物线y1，y2组成的图象只有两个交点，图象，求b的取值范围.
，当y1=y时，得x2－3x－b=0，△=9+4b=0，解得b=－；
同理，可得△=9－4（8+3b）=0，得b=－.
观察函数图象可知当b<－或b>－时，直线y=x+b与（2）中的图象只有两个交点.
由
当y1=y2时，有x=2或x=1
当x=1时，y=－1
所以过两抛物线交点（1，－1），（2，0）的直线y=x－2，
综上：当b<－或b>－或b=－2时，直线y=x+b与（2）中的图象只有两个交点.
2022-2023学年湖北省潜江市九年级下册数学月考专项提升模拟卷（B卷）
一、选一选：本大题共10小题，每题3分，共30分。
1. 下列运算正确的是（ ）
A. a+a=2a2 B. a2·a3=a6 C. a3÷a=3 D. （-a）3=-a3
2. 为迎接建党九十周年，某区在改善环境绿化方面，将投入资金由计划的l 500 000元提高到2 000 000元．其中2 000 000用科学记数法表示为（ ）
A 0.2×107 B. 2×107 C. 2×106 D. 20×105
3. 如果正多边形的每个外角等于40°，则这个正多边形的边数是
A. 10 B. 9 C. 8 D. 7
4. 下列图形中，既是轴对称图形又是对称图形的是
A. B. C. D.
5. 如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，过点C的直线DF与∠BAC的平分线AE平行，若∠B=50°，则∠BCF等于（ ）
A. 100° B. 80° C. 70° D. 50°
6. 如果三角形满足一个角是另一个角的3倍，那么我们称这个三角形为“智慧三角形”．下列各组数据中，能作为一个智慧三角形三边长的一组是( )
A. 1，2，3 B. 1，1， C. 1，1， D. 1，2，
7. 某小组在“用频率估计概率”的实验中，统计了某种结果出现的频率，绘制了如图的折线图，那么符合这一结果的实验最有可能的是（ ）
A. 在“石头、剪刀、布”的游戏中，小明随机出的是“剪刀”
B. 袋子中有1个红球和2个黄球，它们只有颜色上的区别，从中随机地取出一个球是黄球
C. 掷一枚质地均匀的硬币，落地时结果是“正面向上”
D. 掷一个质地均匀的正六面体骰子，落地时面朝上的点数是6
8. 已知反比例函数y=的图象如图所示，则一元二次方程x2-（2k-1）x+k2-1=0根的情况是（ ）
A. 没有实根 B. 有两个没有等实根 C. 有两个相等实根 D. 无法确定
9. 象棋在中国有着三千多年历史，属于二人对抗性游戏的一种．由于用具简单，趣味性强，成为流行极为广泛的棋艺．如图是一方的棋盘，如果“马”的坐标是（-2，2），它是抛物线y=ax2（a≠0）上的一个点，那么下面哪个棋子也在该抛物线上（ ）
A. 帥 B. 卒 C. 炮 D. 仕
10. 如图，点A在半径为3的⊙O内，OA=，P为⊙O上一点，当∠OPA取值时，PA的长等于（ ）
A. B. C. D. 2
二、填 空 题：本大题共6小题，每题3分，共18分.
11. 分解因式：=______．
12. 若二次根式有意义，则的取值范围是_________．
13. 如图，网高为0.8米，击球点到网的水平距离为3米，小明在打网球时，要使球恰好能打过网，且落点恰好在离网4米的位置上，则球拍击球的高度h为___米．
14. 已知a是关于x的方程x2﹣4＝0的解，代数式（a+1）2+a（a﹣1）﹣a的值_____．
15. 如图所示，在⊙O内有折线OABC，其中OA=8，AB=12，∠A=∠B=60°，则BC的长为 __．
16. 定义：在平面内，我们把既有大小又有方向的量叫做平面向量．平面向量可以用有向线段表示，有向线段的长度表示向量的大小，有向线段的方向表示向量的方向其中大小相等，方向相同的向量叫做相等向量．
如以正方形ABCD的四个顶点中某一点为起点，另一个顶点为终点作向量，可以作出8个没有同的向量：、、、、、、、（由于和是相等向量，因此只算一个）．如图作两个相邻的正方形．以其中的一个顶点为起点，另一个顶点为终点作向量，可以作出没有同向量的个数记为f（2），则f（2）的值为__________．
三、解 答 题：本大题共13小题，共72分.
17. tan30°+（+4）0-|-|
18. 解没有等式组：
19. 如图，分别以Rt△ABC的直角边AC及斜边AB向外作等边△ACD，等边△ABE，已知∠BAC=30°，EF⊥AB，垂足为F，连接DF
（1）试说明AC=EF；
（2）求证：四边形ADFE平行四边形．
20. （1）已知二次函数y=x2-2x-3，请你化成y=（x-h）2+k的形式为____________，并在直角坐标系中画出y=x2-2x-3的图象；
（2）如果A（x1，y1），B（x2，y2）是（1）中图象上的两点，且x1
21. 如图，在平面直角坐标系xOy中，O是坐标原点．直线y=-x+b点A（2，1），AB⊥x轴于B，连结AO．
（1）求b的值；
（2）M是直线y=-x+b上异于A的动点，且在象限内．过M作x轴的垂线，垂足为N．若△MON的面积与△AOB的面积相等，求点M的坐标．
22. 列方程解应用题：
老舍先生曾说“天堂是什么样子，我没有晓得，但从我的生活去判断，北平之秋便是天堂．”（摘自《住的梦》）金黄色的银杏叶为北京的秋增色没有少．
小宇家附近新修了一段公路，他想给市政写信，建议在路的两边种上银杏树．他先让爸爸开车驶过这段公路，发现速度为60千米／小时，走了约3分钟，由此估算这段路长约_______千米．
然后小宇查阅资料，得知银杏为落叶大乔木，成年银杏树树冠直径可达8米．小宇计划从路的起点开始，每a米种一棵树，绘制示意图如下：
考虑到投入资金的，他设计了另一种，将原计划的a扩大一倍，则路的两侧共计减少200棵树，请你求出a的值．
23. 已知：如图，在△ABC中，AB=AC，以AC为直径的⊙O与BC交于点D，DE⊥AB，垂足为E，ED的延长线与AC的延长线交于点F．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）若⊙O的半径为4，BE=2，求∠F的度数．
24. 阅读下列材料：
根据联合国《人口老龄化及其社会经济后果》中提到的标准，当一个国家或地区65岁及以上老年人口数量占总人口比例超过7％时，意味着这个国家或地区进入老龄化．从经济角度，一般可用“老年人口抚养比”来反映人口老龄化社会的后果．所谓“老年人口抚养比”是指某范围人口中，老年人口数（65岁及以上人口数）与劳动年龄人口数（15-64岁人口数）之比，通常用百分比表示，用以表明每100名劳动年龄人口要负担多少名老年人．
以下是根据我国近几年的人口相关数据制作的统计图和统计表．
2011-2014年全国人口年龄分布图
2011-2014年全国人口年龄分布表
2011年
2012年
2013年
2014年
0-14岁人口占总人口的百分比
16.4％
165％
16.4％
16.5％
15-64岁人口占总人口的百分比
74.5％
74.1％
73.9％
73.5％
65岁及以上人口占总人口的百分比
m
9.4％
9.7％
10.0％
*以上图表中数据均为年末的数据．
根据以上材料解答下列问题：
（1）2011年末，我国总人口约为_______亿，全国人口年龄分布表中m的值为_______；
（2）若按目前我国的人口自然增长率推测，到2027年末我国约有14.60亿人．假设0-14岁人口占总人口的百分比一直稳定在16.5％，15-64岁的人口一直稳定在10亿，那么2027年末我国0-14岁人口约为_______亿，“老年人口抚养比”约为_______； （到1％）
（3）2016年1月1日起我国开始施行“全面二孩”政策，一对夫妻可生育两个孩子．在未来10年内，假设出生率显著提高，这_______（填“会”或“没有会”）对我国的“老年人口抚养比”产生影响．
25. 有这样一个问题：探究函数y=的图象与性质．小慧根据学习函数的，对函数y=的图象与性质进行了探究．下面是小慧的探究过程，请补充完成：
（1）函数y=的自变量x的取值范围是__________；
（2）列出y与x的几组对应值．请直接写出m的值，m=________；
x
…
-3
-2
0
1
1.5
2.5
m
4
6
7
…
y
…
2.4
2.5
3
4
6
-2
0
1
1.5
1.6
…
（3）请在平面直角坐标系xOy中，描出以上表中各对对应值为坐标的点，并画出该函数的图象；
（4）函数的图象，写出该函数的两条性质：
①_____________________________________________；
②_____________________________________________．
26. 在△AOB中，OA=OB=8，∠AOB=90°，矩形CDEF的顶点C、D、F分别在边AO、OB、AB上．
（1）如图1，若C、D恰好是边AO、OB中点，则此时矩形CDEF的面积为_________；
（2）如图2，若=，求矩形CDEF面积的值．
27. 已知：抛物线y=x2+bx+c点（2，﹣3）和（4，5）．
（1）求抛物线的表达式及顶点坐标；
（2）将抛物线沿x轴翻折，得到图象G，求图象G的表达式；
（3）在（2）的条件下，当﹣2＜x＜2时，直线y=m与该图象有一个公共点，求m的值或取值范围．
28. 如图1，在□ABCD中，AE⊥BC于E，E恰为BC的中点，ta=2．
（1）求证：AD=AE；
（2）如图2，点P在BE上，作EF⊥DP于点F，连结AF，求证：DF-EF=AF；
（3）请你在图3中画图探究：当P为射线EC上任意一点（P没有与点E重合）时，作EF⊥DP于点F，连结AF，线段DF、EF与AF之间有怎样的数量关系?直接写出你的结论为____________．
29. 定义：如图l所示，给定线段MN及其垂直平分线上一点P．若以点P为圆心，PM为半径的优弧（或半圆弧）MN上存在三个点可以作为一个等边三角形的顶点，则称点P为线段MN的“三足点”，特别的，若这样的等边三角形只存在一个，则称点P为线段MN的“强三足点”．
问题：如图2所示，平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为（2，0），点B在射线y=x（x≥0）上．
（1）在点C（，0），D（，1），E（，-2）中，可以成为线段OA的“三足点”的是__________.
（2）若象限内存在一点Q既是线段OA的“三足点”，又是线段OB的“强三足点”，求点B的坐标．
（3）在（2）的条件下，以点A为圆心，AB为半径作圆，假设该圆与x轴交点中右侧一个为H，圆上一动点K从H出发，绕A顺时针旋转180°后停止，设点K出发后转过的角度为（0°<≤180°），若线段OB与AK没有存在公共“三足点”，请直接写出的取值范围是_______________．
2022-2023学年湖北省潜江市九年级下册数学月考专项提升模拟卷（B卷）
一、选一选：本大题共10小题，每题3分，共30分。
1. 下列运算正确的是（ ）
A. a+a=2a2 B. a2·a3=a6 C. a3÷a=3 D. （-a）3=-a3
【正确答案】D
【详解】A. 错误，应为a+a=2a；
B. 错误,应为a2·a3=a5；
C. 错误,应为a ³÷a=a ²；
D. 正确,(−a) ³ =−a ³.
故选D.
2. 为迎接建党九十周年，某区在改善环境绿化方面，将投入资金由计划的l 500 000元提高到2 000 000元．其中2 000 000用科学记数法表示为（ ）
A. 0.2×107 B. 2×107 C. 2×106 D. 20×105
【正确答案】C
【详解】将2000000用科学记数法表示为2×106 .
故选C.
3. 如果正多边形的每个外角等于40°，则这个正多边形的边数是
A. 10 B. 9 C. 8 D. 7
【正确答案】B
【详解】360°÷40°=9．
故选B．
4. 下列图形中，既是轴对称图形又是对称图形的是
A. B. C. D.
【正确答案】D
【分析】根据轴对称图形和对称图形的定义逐项识别即可，在平面内，把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．
【详解】解：A. 是轴对称图形，但没有是对称图形，故没有符合题意；
B. 没有是轴对称图形，是对称图形，故没有符合题意；
C. 是轴对称图形，但没有是对称图形，故没有符合题意；
D. 既是轴对称图形又是对称图形，故符合题意．
故选D．
本题考查了轴对称图形和对称图形的识别，熟练掌握轴对称图形和对称图形的定义是解答本题的关键．
5. 如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，过点C的直线DF与∠BAC的平分线AE平行，若∠B=50°，则∠BCF等于（ ）
A. 100° B. 80° C. 70° D. 50°
【正确答案】C
【详解】∵∠ACB=90°，∠B=50°，
∴∠CAB=40°，
∵AE是∠BAC的平分线，
∴∠CAE=∠CAB=20°，
∵CD∥AE，
∴∠DCA=∠CAE=20°，
∴∠BCF=180°−∠DCA−∠ACB=70°
故选C.
6. 如果三角形满足一个角是另一个角的3倍，那么我们称这个三角形为“智慧三角形”．下列各组数据中，能作为一个智慧三角形三边长的一组是( )
A. 1，2，3 B. 1，1， C. 1，1， D. 1，2，
【正确答案】D
【分析】A、根据三角形三边关系可知，没有能构成三角形，依此即可作出判定； B、根据勾股定理的逆定理可知是等腰直角三角形，依此即可作出判定； C、解直角三角形可知是顶角120°，底角30°的等腰三角形，依此即可作出判定；D、解直角三角形可知是三个角分别是90°，60°，30°的直角三角形，依此即可作出判定．
【详解】∵1+2=3，没有能构成三角形，故选项错误；
B、∵12+12=()2，是等腰直角三角形，故选项错误；
C、底边上的高是=，可知是顶角120°，底角30°的等腰三角形，故选项错误；
D、解直角三角形可知是三个角分别是90°，60°，30°的直角三角形，其中90°÷30°=3，符合“智慧三角形”的定义，故选项正确．
故选D．
7. 某小组在“用频率估计概率”的实验中，统计了某种结果出现的频率，绘制了如图的折线图，那么符合这一结果的实验最有可能的是（ ）
A. 在“石头、剪刀、布”的游戏中，小明随机出的是“剪刀”
B. 袋子中有1个红球和2个黄球，它们只有颜色上的区别，从中随机地取出一个球是黄球
C. 掷一枚质地均匀的硬币，落地时结果是“正面向上”
D. 掷一个质地均匀的正六面体骰子，落地时面朝上的点数是6
【正确答案】D
【详解】试题分析：A、应该在0．16附近波动，故错误；B、黄球的概率是≈0．667，故错误；C、应该在0．5附近，故错误；D、正确；
故选D．
考点：用频率估计概率
8. 已知反比例函数y=的图象如图所示，则一元二次方程x2-（2k-1）x+k2-1=0根的情况是（ ）
A. 没有实根 B. 有两个没有等实根 C. 有两个相等实根 D. 无法确定
【正确答案】C
【详解】分析：首先根据反比例函数y=的图象可以得到k的取值范围，然后根据k的取值范围即可判断方程x2-（2k-1）x+k2-1=0的判别式的正负情况，接着就可以判断方程的根的情况．
解答：解：∵反比例函数y=的图象在、三象限内，
∴k-2＞0，
∴k＞2，
∵一元二次方程x2-（2k-1）x+k2-1=0的判别式为
△=b2-4ac=（2k-1）2-4（k2-1）=-4k+5，
而k＞2，
∴-4k+5＜0，
∴△＜0，
∴一元二次方程x2-（2k-1）x+k2-1=0没有实数根．
故选C．
9. 象棋在中国有着三千多年的历史，属于二人对抗性游戏的一种．由于用具简单，趣味性强，成为流行极为广泛的棋艺．如图是一方的棋盘，如果“马”的坐标是（-2，2），它是抛物线y=ax2（a≠0）上的一个点，那么下面哪个棋子也在该抛物线上（ ）
A. 帥 B. 卒 C. 炮 D. 仕
【正确答案】B
【分析】根据抛物线的轴对称性图形进行解答即可．
【详解】∵“马”的坐标是(−2，2)，抛物线y=ax² (a≠0)的对称轴为y轴，
∵“马”是抛物线y=ax² (a≠0)上的一个点，
∴根据抛物线的对称性得出“卒”在该抛物线上，
故选B．
本题考查了抛物线的轴对称性，熟练掌握是解题的关键．
10. 如图，点A在半径为3的⊙O内，OA=，P为⊙O上一点，当∠OPA取值时，PA的长等于（ ）
A. B. C. D. 2
【正确答案】B
【详解】在△OPA中，当∠OPA取值时，
OA⊥AP，
∴PA取最小值，
又∵OA、OP是定值，
∴PA⊥OA时，PA取最小值；
在直角三角形OPA中,OA=，OP=3，
∴PA=.
故选B.
点睛：当PA⊥OP时，PA取最小值，∠OAP取得值，然后在直角三角形OPA中利用勾股定理求PA得值即可.关键是以O为圆心,OA为半径画圆,当PA与这个圆相切时, ∠OAP取得值.
二、填 空 题：本大题共6小题，每题3分，共18分.
11. 分解因式：=______．
【正确答案】x（x+2）（x﹣2）
【分析】先提取公因式，再根据平方差公式分解因式即可．
【详解】解：
=
=x（x+2）（x﹣2）．
故x（x+2）（x﹣2）．
本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，掌握a2-b2=（a+b）（a-b）是解题的关键．
12. 若二次根式有意义，则的取值范围是_________．
【正确答案】
【分析】二次根式有意义，被开方数为非负数，列没有等式求解．
【详解】解：根据二次根式的意义，得2x－4≥0，
解得x≥2．
故x≥2．
本题考查二次根式有意义的条件．
13. 如图，网高为0.8米，击球点到网的水平距离为3米，小明在打网球时，要使球恰好能打过网，且落点恰好在离网4米的位置上，则球拍击球的高度h为___米．
【正确答案】1.4
【分析】根据相似三角形对应边成比例列式计算即可得．
【详解】由题意得,，
解得h=1.4．
故答案为1.4．
本题考查了相似三角形的应用，熟练掌握性质定理是解题的关键．
14. 已知a是关于x的方程x2﹣4＝0的解，代数式（a+1）2+a（a﹣1）﹣a的值_____．
【正确答案】9
【详解】∵a是关于x的方程x2-4=0的解,
∴a²−4=0，
a²=4，
∴(a+1) ²+a(a−1)−a=a²+2a+1+a²−a−a=2a²+1=8+1=9.
故答案为9.
15. 如图所示，在⊙O内有折线OABC，其中OA=8，AB=12，∠A=∠B=60°，则BC的长为 __．
【正确答案】20
【分析】延长AO交BC于D，根据∠A、∠B的度数易证得△ABD是等边三角形，由此可求出OD、BD的长；过O作BC的垂线，设垂足为E；在Rt△ODE中，根据OD的长及∠ODE的度数易求得DE的长，进而可求出BE的长；由垂径定理知BC=2BE，由此得解．
【详解】解：延长AO交BC于D，作OE⊥BC于E；
∵∠A=∠B=60°，
∴∠ADB=60°；
∴△ADB为等边三角形；
∴BD=AD=AB=12；
∴OD=4，
又∵∠ADB=60°，
∴DE=OD=2；
∴BE=10；
∴BC=2BE=20；
故20．
此题主要考查了等边三角形的判定和性质、垂径定理的应用，难度适中，是一道已知条件和图形均比较的中考题．解答的关键是根据已知条件的特点，作出适当的辅助线，构造出等边三角形和直角三角形．
16. 定义：在平面内，我们把既有大小又有方向的量叫做平面向量．平面向量可以用有向线段表示，有向线段的长度表示向量的大小，有向线段的方向表示向量的方向其中大小相等，方向相同的向量叫做相等向量．
如以正方形ABCD的四个顶点中某一点为起点，另一个顶点为终点作向量，可以作出8个没有同的向量：、、、、、、、（由于和是相等向量，因此只算一个）．如图作两个相邻的正方形．以其中的一个顶点为起点，另一个顶点为终点作向量，可以作出没有同向量的个数记为f（2），则f（2）的值为__________．
【正确答案】14
【详解】作两个相邻的正方形,以其中的一个顶点为起点,另一个顶点为终点作向量,
可以作出没有同向量的个数f(2)=14;
点睛：寻找规律是解决数学问题最常用有效的方法.碰到较为复杂的问题可以先退到简单的问题,通过分析研究,找出一般规律,然后用得出的一般规律去指导问题 的解答.善于从到一般发现规律,找到解题方法,可以举几个(或更多)例子看一看,找找其中的隐藏规律.学生通过分析数据发现和归纳了一些规律,从而使问题得以顺利解决,让学生品尝到了成功的愉悦.此题考查了向量的知识.注意解此题的关键是找到规律:f(n)=6n+2.
三、解 答 题：本大题共13小题，共72分.
17. tan30°+（+4）0-|-|
【正确答案】1
【分析】分别根据角的三角函数值、零指数幂、值的性质及二次函数化简的法则计算出各数，再根据实数混合运算的法则进行计算即可．
【详解】tan30°+（+4）0-|-|
=3×+1-
=1
18. 解没有等式组：
【正确答案】x≥2
【详解】试题分析：分别解出两没有等式的解集再求其公共解．
试题解析：解：解没有等式①得：x≥2
解没有等式②得：x>-1
∴没有等式组的解集为：x≥2．
点睛：求没有等式组的解集应遵循以下原则：同大取较大，同小取较小，小小中间找，小小解没有了．
19. 如图，分别以Rt△ABC的直角边AC及斜边AB向外作等边△ACD，等边△ABE，已知∠BAC=30°，EF⊥AB，垂足为F，连接DF
（1）试说明AC=EF；
（2）求证：四边形ADFE是平行四边形．
【正确答案】证明见解析．
【分析】（1）一方面Rt△ABC中，由∠BAC=30°可以得到AB=2BC，另一方面△ABE是等边三角形，EF⊥AB，由此得到AE=2AF，并且AB=2AF，从而可证明△AFE≌△BCA，再根据全等三角形的性质即可证明AC=EF．
（2）根据（1）知道EF=AC，而△ACD是等边三角形，所以EF=AC=AD，并且AD⊥AB，而EF⊥AB，由此得到EF∥AD，再根据平行四边形的判定定理即可证明四边形ADFE是平行四边形．
【详解】证明：（1）∵Rt△ABC中，∠BAC=30°，∴AB=2BC．
又∵△ABE是等边三角形，EF⊥AB，∴AB=2AF．∴AF=BC．
∵在Rt△AFE和Rt△BCA中，AF=BC，AE=BA，
∴△AFE≌△BCA（HL）．∴AC=EF．
（2）∵△ACD是等边三角形，∴∠DAC=60°，AC=AD．
∴∠DAB=∠DAC+∠BAC=90°．∴EF∥AD．
∵AC=EF，AC=AD，∴EF=AD．
∴四边形ADFE平行四边形．
考点：1．全等三角形的判定与性质；2．等边三角形的性质；3．平行四边形的判定．
20. （1）已知二次函数y=x2-2x-3，请你化成y=（x-h）2+k的形式为____________，并在直角坐标系中画出y=x2-2x-3的图象；
（2）如果A（x1，y1），B（x2，y2）是（1）中图象上的两点，且x1
【正确答案】（1）y=（x-1）2-4；画图象见解析；
（2）y1>y2；
（3）将抛物线y=x2-2x-3向上平移两个单位后得到抛物线y=x2-2x-1，抛物线y=x2-2x-1与x轴交于点A、B，则A、B两点的横坐标即为方程x2-2x-1=0的根．
【详解】试题分析：（1）根据配方法整理即可，再求出x=-1、0、1、2、3时的函数值，然后画出函数图象即可；
（2）求出对称轴为直线x=1，然后根据x＜1，y随x的增大而减小解答；
（3）求出y=-2时对应的x的近似值即可．
试题解析：（1）y=x2-2x-3
=（x-1）2-4
画图象，如图所示:
（2）函数的对称轴为直线x=1，
∵x ₁
（3）如图所示，将抛物线y=x2-2x-3向上平移两个单位后得到抛物线y=x2-2x-1，抛物线y=x2-2x-1与x轴交于点A、B，则A、B两点的横坐标即为方程x2-2x-1=0的根.
21. 如图，在平面直角坐标系xOy中，O是坐标原点．直线y=-x+b点A（2，1），AB⊥x轴于B，连结AO．
（1）求b的值；
（2）M是直线y=-x+b上异于A的动点，且在象限内．过M作x轴的垂线，垂足为N．若△MON的面积与△AOB的面积相等，求点M的坐标．
【正确答案】（1）b=3；
（2）M（1，2）
【详解】试题分析：（1）将点A（2，1）的坐标代入直线y=-x+b即可解得b的值；
（2）先根据A点坐标求出△AOB的面积，再根据题中条件△MON的面积与△AOB面积相等设出M点坐标，解答得到符合条件的解即可．
试题解析：
（1）∵直线y=-x+b点A（2，1），
∴1=-2+b
∴b=3
（2）∵M是直线y=-x+3上异于A的动点，且在象限内．
设M（a，-a+3），且0
MN=-a+3，ON=a，AB=l，OB=2.
∵△MON的面积和△AOB的面积相等，
∴a（-a+3）=×2×l
解得：a1=1，a2=2（没有合题意，舍）
∴M（1，2）.
22. 列方程解应用题：
老舍先生曾说“天堂是什么样子，我没有晓得，但从我的生活去判断，北平之秋便是天堂．”（摘自《住的梦》）金黄色的银杏叶为北京的秋增色没有少．
小宇家附近新修了一段公路，他想给市政写信，建议在路的两边种上银杏树．他先让爸爸开车驶过这段公路，发现速度为60千米／小时，走了约3分钟，由此估算这段路长约_______千米．
然后小宇查阅资料，得知银杏为落叶大乔木，成年银杏树树冠直径可达8米．小宇计划从路的起点开始，每a米种一棵树，绘制示意图如下：
考虑到投入资金的，他设计了另一种，将原计划的a扩大一倍，则路的两侧共计减少200棵树，请你求出a的值．
【正确答案】3,a=15
【详解】试题分析：根据题意列出分式方程进行解答即可．
试题解析：解：这段路长约60×=3千米；
由题意可得：
解方程得：a=15．
经检验：a=15是原方程的解且符合题意．
答：a的值是15．
点睛：本题考查了分式方程的应用，分析题意，找到合适的等量关系是解决问题的关键．
23. 已知：如图，在△ABC中，AB=AC，以AC为直径的⊙O与BC交于点D，DE⊥AB，垂足为E，ED的延长线与AC的延长线交于点F．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）若⊙O半径为4，BE=2，求∠F的度数．
【正确答案】（1）证明见解析;（2）∠F=30°．
【详解】试题分析：如图，（1）求证DE是⊙O的切线，可连接OD证明OD⊥ED即可.可由AB=AC、OD=OC得到，进而可得平行线∥；此时易证；（2）连接AD.由AC为⊙O的直径得，可证Rt∽Rt，进而得到：；由⊙O的半径为4，可求出.
在Rt中，由，所以；进而得到等边三角形，所以.
试题解析：
（1）证明：连接OD.
∵AB=AC，
∴.
∵OD=OC,
∴.
∴.
∴∥.
∴.
∵DE⊥AB,
∴.
∴.
∴.
∴DE是⊙O的切线.
（2）解：连接AD.
∵AC为⊙O的直径，
∴.
又∵DE⊥AB,
∴Rt∽Rt.
∴.
∴.
∵⊙O的半径为4，
∴AB=AC=8.
∴.
∴.
在Rt中，
∵，
∴.
又∵AB=AC,
∴是等边三角形.
∴
∴.
考点：1、切线的判定；2、相似三角形的判定与性质；3、三角函数；4、等边三角形的判定.
24. 阅读下列材料：
根据联合国《人口老龄化及其社会经济后果》中提到的标准，当一个国家或地区65岁及以上老年人口数量占总人口比例超过7％时，意味着这个国家或地区进入老龄化．从经济角度，一般可用“老年人口抚养比”来反映人口老龄化社会的后果．所谓“老年人口抚养比”是指某范围人口中，老年人口数（65岁及以上人口数）与劳动年龄人口数（15-64岁人口数）之比，通常用百分比表示，用以表明每100名劳动年龄人口要负担多少名老年人．
以下是根据我国近几年的人口相关数据制作的统计图和统计表．
2011-2014年全国人口年龄分布图
2011-2014年全国人口年龄分布表
2011年
2012年
2013年
2014年
0-14岁人口占总人口的百分比
16.4％
16.5％
16.4％
16.5％
15-64岁人口占总人口的百分比
74.5％
74.1％
73.9％
73.5％
65岁及以上人口占总人口的百分比
m
9.4％
9.7％
10.0％
*以上图表中数据均为年末的数据．
根据以上材料解答下列问题：
（1）2011年末，我国总人口约为_______亿，全国人口年龄分布表中m的值为_______；
（2）若按目前我国的人口自然增长率推测，到2027年末我国约有14.60亿人．假设0-14岁人口占总人口的百分比一直稳定在16.5％，15-64岁的人口一直稳定在10亿，那么2027年末我国0-14岁人口约为_______亿，“老年人口抚养比”约为_______； （到1％）
（3）2016年1月1日起我国开始施行“全面二孩”政策，一对夫妻可生育两个孩子．在未来10年内，假设出生率显著提高，这_______（填“会”或“没有会”）对我国的“老年人口抚养比”产生影响．
【正确答案】（1）13.47，9.1％；
（2）2.409；15％；
（3）会．
【详解】试题分析：（1）根据人口年龄分布图可以求得2011年末我国的人口数和m的值；
（2）由题目中的数据可以解答本题；
（3）有题意可知，人口的出生率增加了，所以老年人的比重相对减少了，从而可以解答本题．
试题解析：
(1)由题意可得，
2011年末,我国总人口约为：2.21+10.03+1.23=13.47(亿)，
m=1−16.4%−74.5%=9.1%，
故答案为13.47，9.1%；
(2)由题意可得，
2027年末我国0−14岁人口约为：14.60×16.5%=2.409(亿)，
“老年人口抚养比”约为：≈15%，
故答案为2.409，15%；
(3)2016年1月1日起我国开始实施“全面二胎”政策，一对夫妻可生育两个孩子，在未来10年内，假设出生率显著提高，这会对我国的“老年人口抚养比”产生影响，
故答案为会．
25. 有这样一个问题：探究函数y=的图象与性质．小慧根据学习函数的，对函数y=的图象与性质进行了探究．下面是小慧的探究过程，请补充完成：
（1）函数y=的自变量x的取值范围是__________；
（2）列出y与x的几组对应值．请直接写出m的值，m=________；
x
…
-3
-2
0
1
1.5
2.5
m
4
6
7
…
y
…
2.4
2.5
3
4
6
-2
0
1
1.5
1.6
…
（3）请在平面直角坐标系xOy中，描出以上表中各对对应值为坐标的点，并画出该函数的图象；
（4）函数的图象，写出该函数的两条性质：
①_____________________________________________；
②_____________________________________________．
【正确答案】（1）x≠2；（2）m=3；（3）画图见解析；（4）可以从对称性、增减性、渐近性、最值、连续性、与坐标轴交点、图象所在象限方面作答
【分析】（1）分式的分母没有等于零；
（2）根据图表可知当y=0时所对应的x值为m，把y=0代入解析式即可求得；
（3）根据坐标系中的点，用平滑的直线连接即可；
（4）可以从对称性、增减性、渐近性、最值、连续性、与坐标轴交点、图象所在象限等方面作答．
【详解】(1)依题意得：x−2≠0，
解得x≠2，
故答案是：x≠2；
(2)把y=0代入y=2x−6x−2，得
0=2m−6m−2，
解得m=3.
故答案是：3；
(3)如图所示：
(4) 由（3）中的图象得到：该函数图象是轴对称图形，该函数图象没有原点等．
26. 在△AOB中，OA=OB=8，∠AOB=90°，矩形CDEF的顶点C、D、F分别在边AO、OB、AB上．
（1）如图1，若C、D恰好是边AO、OB的中点，则此时矩形CDEF的面积为_________；
（2）如图2，若=，求矩形CDEF面积的值．
【正确答案】（1）S矩形CDEF=16；
（2）矩形CDEF面积值为．
【详解】试题分析：（1）因为当C、D是边AO，OB中点时，点E、F都在边AB上，且CF⊥AB，所以可求出CD的值，进而求出CF的值，矩形CDEF的面积可求出；
（2）设CD=x，CF=y．过F作FH⊥AO于H．在 Rt△COD中，用含x和y的代数式分别表示出CO、AH的长，进而表示出矩形CDEF的面积，再配方可求出面积的值．
试题解析：
（1）如图，当C、D是边AO，OB的中点时，
点E、F都在边AB上，且CF⊥AB．
∵OA=OB=8，
∴OC=AC=OD=4．
∵∠AOB=90°，
∴CD=4．
在Rt△ACF中，
∵∠A=45°，
∴CF=2，
∴S矩形CDEF=4×2=16．
（2）设CD=x，CF=y．过F作FH⊥AO于H．在Rt△COD中，
∵tan∠CDO=，
∴sin∠CDO=，cos∠CDO=，
∴CO=x
∵∠FCH+∠OCD=90°，
∴∠FCH+∠CDO，
∴HC=y·cos∠FCH=y，
∴FH=y．
∵△AHF是等腰直角三角形，
∴AH=FH=y，
∴AO=AH+HC+CO．
∴，
∴y=（40-4x）
易知S矩形CDEF=xy=（40x-4x2）=-[（x-5）2-25]，
∴当x=5时，矩形CDEF面积值为.
27. 已知：抛物线y=x2+bx+c点（2，﹣3）和（4，5）．
（1）求抛物线的表达式及顶点坐标；
（2）将抛物线沿x轴翻折，得到图象G，求图象G的表达式；
（3）在（2）的条件下，当﹣2＜x＜2时，直线y=m与该图象有一个公共点，求m的值或取值范围．
【正确答案】（1）y=x²-2x-3；（1，-4）；（2）y=-x²+2x+3；（3）4，或-5
【详解】试题分析：（1）把（2，-3）和（4，5）分别代入y=x²+bx+c然后解方程组即可得到抛物线的表达式，配方化为顶点式可得顶点坐标；（2）利用对称性可得图象G的表达式；（3）y=m过抛物线顶点（1,4）时，直线y=m与该图象有一个公共点，此时y=4，∴m="4." 利用图象可确定另一情况-5
得：，解得：，
∴抛物线的表达式为：y=x²-2x-3.
∵y=x²-2x-3=（x-1）2-4.
∴顶点坐标为（1，-4）.
（2）∵将抛物线沿x轴翻折，
得到图象G与原抛物线图形关于x轴对称，
∴图像G的表达式为：y=-x²+2x+3.
（3）如图，
当0≤x<2时，y=m过抛物线顶点（1,4）时，
直线y=m与该图象有一个公共点，
此时y=4，∴m=4.
当-2
当y=m过抛物线上的点（-2,-5）时， y=-5，∴m=-5.
∴-5
28. 如图1，在□ABCD中，AE⊥BC于E，E恰为BC的中点，ta=2．
（1）求证：AD=AE；
（2）如图2，点P在BE上，作EF⊥DP于点F，连结AF，求证：DF-EF=AF；
（3）请你在图3中画图探究：当P为射线EC上任意一点（P没有与点E重合）时，作EF⊥DP于点F，连结AF，线段DF、EF与AF之间有怎样的数量关系?直接写出你的结论为____________．
【正确答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）画图见解析，
①当EP在线段BC上时,有DF−EF=AF
②当EP⩽2BC时,DF+EF=AF.
【详解】试题分析：（1）首先根据∠B的正切值知：AE=2BE，而E是BC的中点，平行四边形的对边相等即可得证．
（2）此题要通过构造全等三角形来求解；作GA⊥AF，交BD于G，通过证△AFE≌△AGD，来得到△AFG是等腰直角三角形且EF=GD，由此得证．
（3）辅助线作法和解法同（2），只没有过结论有所没有同而已．
试题解析：
（1）在Rt△ABE中，∠AEB=90°，
∴ta==2，
∴AE=2BE．
∵E为BC的中点，
∴BC=2BE，
∴AE=BC．
∵ABCD是平行四边形，
∴AD=BC，
∴AE=AD．
（2）在DP上截取DH=EF（如图）
∵四边形ABCD是平行四边形，AE⊥BC，
∴∠EAD=90°．
∵EF⊥PD，∠l=∠2，
∴∠ADH=∠AEF．
∵AD=AE，
∴△ADH≌△AEF，
∴∠HAD=∠FAE，AH=AF，
∴∠FAH=90°．
在Rt△FAH中，AH=AF，
∴FH=AF，
∴FH=FD-HD=FD-EF=AF．
即DF-EF=AF．
（3）按题目要求所画图形，
①当EP在线段BC上时,有DF−EF=AF
②当EP⩽2BC时,DF+EF=AF.
③当EP>2BC时,EF−DF=AF.
点睛:此题主要考查的是平行四边形的性质以及全等三角形的判定和性质,难度适中,正确的构造出全等三角形是解答此题的关键.
29. 定义：如图l所示，给定线段MN及其垂直平分线上一点P．若以点P为圆心，PM为半径的优弧（或半圆弧）MN上存在三个点可以作为一个等边三角形的顶点，则称点P为线段MN的“三足点”，特别的，若这样的等边三角形只存在一个，则称点P为线段MN的“强三足点”．
问题：如图2所示，平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为（2，0），点B在射线y=x（x≥0）上．
（1）在点C（，0），D（，1），E（，-2）中，可以成为线段OA的“三足点”的是__________.
（2）若象限内存在一点Q既是线段OA的“三足点”，又是线段OB的“强三足点”，求点B的坐标．
（3）在（2）的条件下，以点A为圆心，AB为半径作圆，假设该圆与x轴交点中右侧一个为H，圆上一动点K从H出发，绕A顺时针旋转180°后停止，设点K出发后转过的角度为（0°<≤180°），若线段OB与AK没有存在公共“三足点”，请直接写出的取值范围是_______________．
【正确答案】（1）D、E；
（2）B（3，3）．
（3）30°<<90°或=150°．
【详解】试题分析：(1) 用排除法判断; (2) 由题意可知 Q 点既为线段 OA 的“三足点”，又是线段 OB 的“强三足点”，则点 Q 须满足在 OA 和 OB 的垂直平分线上，且∠QOB =30°．
y=x 与 x 轴的夹角为 30°．∴∠QOA=60° ．设点 Q 的坐标为 (m,n)，Q 点在 OA 的垂直平分线上，故m=， ，QB=QO= ，所以B( ．
(3) 这个圆正好过O、Q点，F点坐标为（，0）由于三足点存在要求等腰三角形顶角≤120度，通过画图可以算出a的范围为：30°
（1）D、E；
（2）点Q既是线段OA的“三足点”，又是线段OB的“强三足点”，
依题可知，∠OQB=120°，∠QOB=30°，∠QOA=60°，
即Q（，3）.
OQ=BQ=2，BQ∥OA，
即B（3，3）.
（3）依题可知：
线段OB的三足点在射线AE和射线QF上，
即线段AK的三足点要与这两条射线有交点，
当0<≤30°，90°≤<150°，150°<≤180°存在交点．
故若没有存在，则30°<<90°或=150°.
点睛:在这类问题中,首要的是理解新概念,总结和发现新规律,然后通过模仿,类比或归纳解决问题,关键是理解题中所给的新颖的解题方法,然后利用转化思想根据背景材料将要求的问题转化为阅读得来的方法来解决问题.
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