2022-2023学年江西省上饶市九年级下册数学月考专项提升模拟卷（AB卷）含解析

这是一份2022-2023学年江西省上饶市九年级下册数学月考专项提升模拟卷（AB卷）含解析，共55页。试卷主要包含了选一选每小题只有一个正确选项.，填 空 题等内容，欢迎下载使用。

2022-2023学年江西省上饶市九年级下册数学月考专项提升模拟卷（A卷）
一、选一选（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）每小题只有一个正确选项.
1. 下列实数中是无理数的是( ) ．
A. B. C. 2－2 D. sin450
2. 可以写成( ) ．
A. B. C. D.
3. 如图，BD∥EF，AE与BD交于点C，若∠B=30°，∠A=75°，则∠CEF的度数为（ ）．

A. 105° B. 110° C. 115° D. 120°
4. 如图所示的几何体的左视图是 ( ) ．

A. A B. B C. C D. D
5. 某同学抽取20名学生统计某月的用笔数量情况，结果如下表：
用笔数（支）
4
5
6
8
9
学生数
4
4
7
3
2
则关于这20名学生这个月的用笔数量的描述，下列说确的是( ) ．
A. 众数是7支 B. 中位数是6支 C. 平均数是5支 D. 方差为0
6. 如图，⊙O的直径AB=10，C是AB上一点，矩形ACND交⊙O于M， N两点 ，若DN=8，则AD的值为( ) ．

A. 4 B. 6 C. D.
二、填 空 题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
7. 要使分式有意义，则x的取值范围为_________．
8. 目前，我国高速铁路总营业里程近12 000公里，将12 000用科学记数法表示为_____．
9. 某个正多边形有一个外角是36°，则这个正多边形是 ___边形．
10. 如图，D、E分别是AC和AB上的点，AD＝DC＝4，DE＝3，DE∥BC，∠C＝90°，将△ADE沿着AB边向右平移，当点D落在BC上时，平移的距离为________．

11. 已知，，则代数式的值为__________________
12. 二次函数的图象与坐标轴只有两个交点，则c的值为_____．
三、（本大题共5小题，每小题6分，共30分）
13. (1)化简：．
(2)解没有等式组
14. 已知关于x的一元二次方程（a﹣c）x2﹣2bx+（a+c）=0，其中a、b、c分别为△ABC三边的长．
如果方程有两个相等的实数根，试判断△ABC的形状，并说明理由．
15. 如图，等边三角形ABC和等边三角形ECD边长相等，BC与CD两边在同一直线上，请根据如下要求，用无刻度的直尺通过连线的方式画图．
(1)在图①中画一个直角三角形；
(2)在图②中画出∠ACE的平分线．

16. 如图，四边形ABCD的对角线AC、BD交于点O，已知O是AC的中点，AE=CF，DF∥BE．
（1）求证：△BOE≌△DOF；
（2）若OD=OC，则四边形ABCD是什么四边形？请直接给出你的结论，没有必证明．

17. 有两把没有同的锁和四把没有同的钥匙，其中两把钥匙恰好分别能打开这两把锁，其余的钥匙没有能打开这两把锁．现在任意取出一把钥匙去开任意一把锁．
（1）请用列表或画树状图的方法表示出上述试验所有可能结果；
（2）求打开锁的概率．
四、（本大题共4小题，每小题8分，共32分）
18. 如图1是一种折叠椅，忽略其支架等宽度，得到它的侧面简化结构图（图2），支架与坐板均用线段表示．若座板CD平行于地面，前支撑架AB与后支撑架OF分别与CD交于点E、D，ED= 15㎝，OD=20㎝，DF=40㎝，∠ODC=60°，∠AED=50°．
(1)求两支架着地点B、F之间的距离；
(2)若A、D两点所在的直线正好与地面垂直，求椅子的高度（结果取整数）．
(参考数据:；可使用科学计算器.)

19. 如图，直角三角形ABC斜边AC的两个顶点在反比例函数的图象上，点B在反比例函数的图象上，AB与轴平行，BC=2，点A的坐标为（1，3）．
（1）求C点的坐标； （2）求点B所在函数图象的解析式．

20. “你记得父母生日吗？”这是某中学在七年级学生中开展主题为“感恩”教育时 设置的一个问题，有以下四个选项：A．父母生日都记得；B．只记得母亲生日；C．只 记得父亲生日；D．父母生日都没有记得．在随机了（1）班和（2）班各 50 名学 生后，根据相关数据绘出如图所示的统计图．
（1）补全频数分布直方图；
（2）已知该校七年级共 900 名学生，据此推算，该校七年级学生中，“父母生日都 没有记得”的学生共多少名？
（3）若两个班中“只记得母亲生日”的学生占 22％，则（2）班“只记得母亲生日” 的学生所占百分比是多少？

21. 如图，AB是⊙O直径, BM切⊙O于点B，点P是⊙O上的一个动点（没有A，B两点）,过O作OQ∥AP交于点Q，过点P作于C，交的延长线于点E，连结.

（1）求证：PQ与⊙O相切；
（2）若直径AB的长为12，PC=2EC，求tan∠E的值．
五、（本大题共1小题，共 10分）
22. 如图1，△DBE和△ABC都是等腰直角三角形，D，E两点分别在AB，BC上，∠B=90°．将△DBE绕点B顺时针旋转，得到图2．
（1）在图2中，求证：AD=CE；
（2）设AB=，BD=，且当A、D、E三点在同一直线上时，∠EAC=30°，请利用备用图画出此情况下的图形，并求旋转的角度和的值．


六、（本大题共12分）
23. 在平面直角坐标系中，有一组有规律的点：
A1（0，1）、A2（1，0）、A3（2，1）、A4（3，0）、A5（4，1）….依此规律可知，当n为奇数时，有点An (n－1，1)，当n为偶数时，有点An(n－1，0)．
抛物线C1A1，A2，A3三点，抛物线C2A2，A3，A4三点，抛物线C3A3，A4，A5三点，…抛物线CnAn，An＋1，An＋2．
（1）直接写出抛物线C1，C4的解析式；
（2）若点E（e，f1）、F（e，f2）分别在抛物线C27、C28上，当e＝29时，求证：△A26EF是等腰直角三角形；

（3） 若直线x＝m分别交x轴、抛物线C2014、C2015于点P、M、N，作直线A2015 M、A2015 N，当∠A2015 NM＝90°时，求sin∠A2015 MN的值．







2022-2023学年江西省上饶市九年级下册数学月考专项提升模拟卷（A卷）
一、选一选（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）每小题只有一个正确选项.
1. 下列实数中是无理数的是( ) ．
A. B. C. 2－2 D. sin450
【正确答案】D

【详解】A. 是有理数中的分数，故没有合题意；
B. =3是有理数中的整数，故没有合题意；
C. 2－2 =，是有理数中的分数，故没有合题意；
D. sin45º=是无理数，故合题意；
故选D.
点睛:本题考查了无理数的识别，无限没有循环小数叫无理数，无理数通常有以下三种形式，①开方开没有尽的数，如 ， 等；②圆周率π；③构造的无限没有循环小数，如 （0的个数多一个）.
2. 可以写成( ) ．
A. B. C. D.
【正确答案】C

【详解】= .
故选C.
3. 如图，BD∥EF，AE与BD交于点C，若∠B=30°，∠A=75°，则∠CEF的度数为（ ）．

A. 105° B. 110° C. 115° D. 120°
【正确答案】A

【详解】∵∠B=30°，∠A=75°，
∴∠ACD=30°+75°=105°.
∵BD∥EF，
∴∠CEF=∠ACD=105°.
故选A.
4. 如图所示的几何体的左视图是 ( ) ．

A. A B. B C. C D. D
【正确答案】D

【详解】A是该几何体的俯视图，B是该几何体的主视图，C没有是该几何体的视图，D是该几何体的左视图.
故选D.
点睛:从正面看到的图是正视图，从上面看到的图形是俯视图，从左面看到的图形是左视图，能看到的线画实线，看没有到的线画虚线.
5. 某同学抽取20名学生统计某月的用笔数量情况，结果如下表：
用笔数（支）
4
5
6
8
9
学生数
4
4
7
3
2
则关于这20名学生这个月的用笔数量的描述，下列说确的是( ) ．
A. 众数是7支 B. 中位数是6支 C. 平均数是5支 D. 方差为0
【正确答案】B

【详解】A．6出现了7次，出现的次数至多，则众数是6支，故本选项错误；
B．把这组数据从小到大排列，最中间数是地10和11个数的平均数，则中位数是（6+6）÷2=6，故本选项正确； 
C．平均数是（4×4+5×4+6×7+8×3+9×2）÷20=6（支），故本选项错误； 
D．方差是： × [4（4﹣6） 2+4（5﹣6） 2+7（6﹣6） 2+3（8﹣6） 2+2（9﹣6） 2]=2.5，故本选项错误； 
故选B． 
6. 如图，⊙O的直径AB=10，C是AB上一点，矩形ACND交⊙O于M， N两点 ，若DN=8，则AD的值为( ) ．

A. 4 B. 6 C. D.
【正确答案】A

【详解】解：连接ON，

∵四边形ACND是矩形，
∴AC=DN=8，AD=CN，∠ACN=90°，
∵AB=10，
∴BC=2，BO=ON=AB=5，
∴OC=3，
∴CN=，
∴AD=CN=4．
故选A．
本题考查了垂径定理，勾股定理，矩形的性质，正确的作出辅助线构造直角三角形是解答本题的关键．
二、填 空 题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
7. 要使分式有意义，则x的取值范围为_________．
【正确答案】x≠1

【详解】由题意得
x-1≠0,
∴x≠1.
故答案为x≠1.
8. 目前，我国高速铁路总营业里程近12 000公里，将12 000用科学记数法表示为_____．
【正确答案】

【详解】12 000=.
故答案为.
点睛: 本题考查了正整数指数科学记数法,对于一个值较大的数，用科学记数法写成的形式，其中，n是比原整数位数少1的数.
9. 某个正多边形有一个外角是36°，则这个正多边形是 ___边形．
【正确答案】10

【分析】根据正多边形的外角和为360°，且正多边形的每一个外角都相等，用360°除以36°即可求得．
【详解】某个正多边形有一个外角是36°，

则这个正多边形是正10边形
故10
本题考查了正多边形外角，掌握正多边形的外角和是360°是解题的关键．
10. 如图，D、E分别是AC和AB上的点，AD＝DC＝4，DE＝3，DE∥BC，∠C＝90°，将△ADE沿着AB边向右平移，当点D落在BC上时，平移的距离为________．

【正确答案】5

【详解】试题分析：根据勾股定理得到AE==5，由平行线等分线段定理得到AE=BE=5，根据平移的性质即可得到结论．∵∠C=90°，AD=DC=4，DE=3， ∴AE==5， ∵DE∥BC， ∴AE=BE=5，
∴当点D落在BC上时，平移的距离为BE=5．

考点：平移的性质
11. 已知，，则代数式的值为__________________
【正确答案】

【详解】解：∵，，
∴，=2
∴，
故
12. 二次函数的图象与坐标轴只有两个交点，则c的值为_____．
【正确答案】6或﹣2或﹣3

【详解】试题分析：∵二次函数的图象与坐标轴只有两个交点，∴二次函数的图象与x轴只有一个交点，∴△=0，即，解得：c=6，或c=﹣2；当c+3=0时，即c=﹣3时，的图象与坐标轴也只有两个交点，综上所述，c的值为6或﹣2或﹣3．故答案为6或﹣2或﹣3．
考点：1．抛物线与x轴的交点；2．综合题．
三、（本大题共5小题，每小题6分，共30分）
13. (1)化简：．
(2)解没有等式组
【正确答案】(1) -4a-8; (2).

【详解】试题分析：（2）先按照平方差公式、单项式乘多项式、完全平方公式计算，再合并同类项化简；（2）分别解两个没有等式，然后求出两个没有等式解集的公共部分.
解：(1)
=a2-9-2a-2a2+a2-2a+1
=-4a -8;
(2)
解①得
x>1;
解②得
x≤2;
∴原没有等式组的解集是.
14. 已知关于x的一元二次方程（a﹣c）x2﹣2bx+（a+c）=0，其中a、b、c分别为△ABC三边的长．
如果方程有两个相等的实数根，试判断△ABC的形状，并说明理由．
【正确答案】△ABC为直角三角形．

【详解】试题分析：由方程有两个相等的实数根，可得4b2﹣4（a+c）（a﹣c）=0，然后整理可得到b2+c2=a2，从而△ABC为直角三角形．
解：∵方程有两个相等的实数根，
∴b2﹣4ac=0，即4b2﹣4（a+c）（a﹣c）=0，
∴b2+c2=a2，∴△ABC为直角三角形．
点睛:本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b2﹣4ac：当∆>0时，一元二次方程有两个没有相等的实数根；当∆=0时，一元二次方程有两个相等的实数根；当∆<0时，一元二次方程没有实数根.
15. 如图，等边三角形ABC和等边三角形ECD的边长相等，BC与CD两边在同一直线上，请根据如下要求，用无刻度的直尺通过连线的方式画图．
(1)在图①中画一个直角三角形；
(2)在图②中画出∠ACE的平分线．

【正确答案】（1）见解析；（2）见解析.

【详解】试题分析：（1）直接利用等边三角形的性质菱形的性质得出△ABD为直角三角形，同理可知，△BED也为直角三角形；
（2）利用菱形的判定与性质得出△AFG≌△EFH，得出FG=FH，进而角平分线的判定得出答案．
解：（1）如图①所示：连接AE，
∵△ABC与△ECD全等且为等边三角形，
∴四边形ACDE为菱形，连接AD，则AD平分∠EDC，
∴∠ADC=30°，
∵∠ABC=60°，
∴∠BAD=90°，
则△ABD为直角三角形，同理可知，△BED也为直角三角形；
（2）如图②所示：连接AE、BE、AD，则四边形ABCE和四边形ACDE为菱形，
则AC⊥BE，AD⊥CE，设BE，AD相交于F，AC交BE于点G，CE交AD于点H，
则FG⊥AC，FH⊥BC，
由（1）得：∠BEC=∠DAC，∠AEF=∠EAF，
则AF=EF，
在△AFG和△EFH中
∵∠AGF=∠FHE,
∠GFA=∠HFE,
AF=EF,
∴△AFG≌△EFH（AAS），
∴FG=FH，
由到角两边距离相等的点在角平分线上，可知，连接CF，GF为所作的角平分线．

16. 如图，四边形ABCD的对角线AC、BD交于点O，已知O是AC的中点，AE=CF，DF∥BE．
（1）求证：△BOE≌△DOF；
（2）若OD=OC，则四边形ABCD是什么四边形？请直接给出你的结论，没有必证明．

【正确答案】（1）详见解析；（2）若OD=OC，则四边形ABCD是矩形．

【分析】（1）根据平行线的性质证明∠DFO=∠BEO，由O为AC的中点和AE=CF，证明OE=OF，根据ASA即可证得；
（2）根据全等三角形的性质，证明OB=OD，根据对角线互相平分且相等的四边形是矩形即可得证．
【详解】（1）证明：∵DF∥BE，
∴∠FDO=∠EBO，∠DFO=∠BEO，
∵O为AC的中点，即OA=OC，AE=CF，
∴OA﹣AE=OC﹣CF，即OE=OF，
在△BOE和△DOF中，
，
∴△BOE≌△DOF（AAS）；
（2）若OD=OC，则四边形ABCD是矩形．
理由是：∵△BOE≌△DOF，
∴OB=OD，
又∵OA=OC，OD=OC，
∴OA=OC= OB=OD，
∴四边形ABCD是矩形．
17. 有两把没有同的锁和四把没有同的钥匙，其中两把钥匙恰好分别能打开这两把锁，其余的钥匙没有能打开这两把锁．现在任意取出一把钥匙去开任意一把锁．
（1）请用列表或画树状图方法表示出上述试验所有可能结果；
（2）求打开锁的概率．
【正确答案】（1）详见解析（2）

【分析】设两把没有同的锁分别为A、B，能把两锁打开的钥匙分别为、，其余两把钥匙分别为、，根据题意，可以画出树形图，再根据概率公式求解即可.
【详解】（1）设两把没有同的锁分别为A、B，能把两锁打开的钥匙分别为、，其余两把钥匙分别为、，根据题意，可以画出如下树形图：

由上图可知，上述试验共有8种等可能结果；
（2）由（1）可知，任意取出一把钥匙去开任意一把锁共有8种可能的结果，打开锁的结果有2种，且所有结果的可能性相等．
∴P（打开锁）＝．
如果一个有n种可能，而且这些的可能性相同，其中A出现m种结果，那么A的概率．
四、（本大题共4小题，每小题8分，共32分）
18. 如图1是一种折叠椅，忽略其支架等的宽度，得到它的侧面简化结构图（图2），支架与坐板均用线段表示．若座板CD平行于地面，前支撑架AB与后支撑架OF分别与CD交于点E、D，ED= 15㎝，OD=20㎝，DF=40㎝，∠ODC=60°，∠AED=50°．
(1)求两支架着地点B、F之间的距离；
(2)若A、D两点所在的直线正好与地面垂直，求椅子的高度（结果取整数）．
(参考数据:；可使用科学计算器.)

【正确答案】（1）BF=45㎝；（2）≈53㎝.

【详解】试题分析：（1）连接BF，由CD∥BF，根据平行线分线段成比例定理可得，代入数值计算得到结论；
（2）根据三角函数的定义求解，在Rt△ADE中求出AD的长，在Rt△DHF中求出DH的长，从而求出AH的长．
解：（1）连接BF，
∵CD∥BF，ED= 15㎝ OD=20㎝，DF=40㎝,
∴，
∴BF=45㎝；
（2）如图，依题意可设AD所在直线与BF交于点H，

则有AH⊥BF，AD⊥ED，
∵∠AED=50°，ED= 15㎝,
∴15×1.19≈17.9㎝,
∵∠ODC=60°,∴∠DFH=60°,
∴=34.8㎝,
∴17.9+34.8≈53㎝.
19. 如图，直角三角形ABC的斜边AC的两个顶点在反比例函数的图象上，点B在反比例函数的图象上，AB与轴平行，BC=2，点A的坐标为（1，3）．
（1）求C点的坐标； （2）求点B所在函数图象的解析式．

【正确答案】（1）C点坐标为（3，1）；（2）

【详解】试题分析：（1）将点A（1，3）代入反比例函数 中，求出k1的值，从而得到反比例函数的解析式； 已知条件可推出点C的纵坐标为1，将y=1代入反比例函数中即可确定出点C的横坐标； 
（2）第（1）问的结果可确定出点B的坐标，然后将点B的坐标代入 中可求出k2的值，从而求出点B所在函数图象的解析式.
解：(1)∵点A、C在反比例函数的图象上，点A的坐标为(1，3)，
∴＝3，
∵BC=2，AB与轴平行，点A到轴的距离为3，
∴点C到轴的距离为1,
∵点C在反比例函数的图象上，
∴C点坐标为（3，1）；
（2）∵AB与轴平行，∠B=90°，
点B到轴的距离为3，到轴的距离也是3，
∴B点的坐标为（3，3），
∴的值为9，点B所在函数图象的解析式为.
20. “你记得父母的生日吗？”这是某中学在七年级学生中开展主题为“感恩”教育时 设置的一个问题，有以下四个选项：A．父母生日都记得；B．只记得母亲生日；C．只 记得父亲生日；D．父母生日都没有记得．在随机了（1）班和（2）班各 50 名学 生后，根据相关数据绘出如图所示的统计图．
（1）补全频数分布直方图；
（2）已知该校七年级共 900 名学生，据此推算，该校七年级学生中，“父母生日都 没有记得”的学生共多少名？
（3）若两个班中“只记得母亲生日”的学生占 22％，则（2）班“只记得母亲生日” 的学生所占百分比是多少？

【正确答案】（1）画图略；（2）351人；（3）26%

【分析】（1）读图可知：七年级（ 1）班父母生日都记得的人数=七年级（ 1）班总人数-其余选项的人数，据此可全的条形统计图；
（2）先求出（1）班和（2）班“父母生日都没有记得”的学生人数，得到所占的比例，再用样本估计总体，乘以总人数900即可求解；
（3）可设（2）班“只记得母亲生日”的学生有x名，根据两个班中“只记得母亲生日”的学生占22%，列方程求解即可．
【详解】(1)50−9−3−20=18人．如图所示．

(2) ×900=351人.
即“父母生日都没有记得”的学生共351名.
(3)设(2)班“只记得母亲生日”的学生有x名，依题意得：
×=22%，
∴x=13,
∴ ×=26%.
即(2)班“只记得母亲生日”的学生所占百分比是26%.
此题考查扇形统计图，一元方程的应用，用样本估计总体，条形统计图
，扇形统计图，解题关键在于看懂图中数据.
21. 如图，AB是⊙O的直径, BM切⊙O于点B，点P是⊙O上的一个动点（没有A，B两点）,过O作OQ∥AP交于点Q，过点P作于C，交的延长线于点E，连结.

（1）求证：PQ与⊙O相切；
（2）若直径AB的长为12，PC=2EC，求tan∠E的值．
【正确答案】（1）详见解析；（2）.

【详解】试题分析：（1）连接OP，根据平行线的性质得到∠EOC=∠OAP，∠POQ=∠APO，根据等腰三角形的性质得到∠APO=∠OAP，推出△POQ≌△BOQ，根据全等三角形的性质得到∠OPQ=∠OBQ=90°，根据切线的判定定理即可得到结论；
（2）由OQ∥AP，可得△COE∽△CAP,从而列比例式求出PC的长； 由OQ∥AP，∠E=∠APC，所以tan∠E=，从而求得结果.
解：(1)连接OP，
∵OQ∥AP，∴∠A=∠BOQ，∠APO=∠POQ，
又∵OA=OP，∴∠A=∠APO．
∴∠BOQ=∠POQ,
△OQB与△OQP中，
∠BOQ=∠POQ，OP=OB，OQ=OQ，
∴△OQB≌△OQP,
∴∠OBQ=∠OPQ，PQ=BQ．
∵BM切⊙O于点B,∴∠OBQ=∠OPQ=90°．
∴PQ与⊙O相切；
(2) ∵OQ∥AP，∴△COE∽△CAP,∴,
由AB的长为12，
∴OA=6.
∵PC=2EC， ∴OC=2，AC=4,
∴.
由OQ∥AP，∠E=∠APC，
∴tan∠E=.
五、（本大题共1小题，共 10分）
22. 如图1，△DBE和△ABC都是等腰直角三角形，D，E两点分别在AB，BC上，∠B=90°．将△DBE绕点B顺时针旋转，得到图2．
（1）在图2中，求证：AD=CE；
（2）设AB=，BD=，且当A、D、E三点在同一直线上时，∠EAC=30°，请利用备用图画出此情况下的图形，并求旋转的角度和的值．

【正确答案】(1)详见解析；（2）30°，.

【详解】试题分析：由△DBE和△ABC都是等腰直角三角形，可得AB=BC, DB=BE,∠ABD=∠CBE,根据“SAS”可证△ABD≌△CBE,从而AD=CE；
（2）先证△ABD≌△CBE，可求∠ADB=∠CEB=135°，可求∠AEC=90°，进而求出∠BAD=45°-30°=15°，根据三角形内角和即可旋转角∠ABD的度数；由AE=AD+DE=cos30 º·AC，整理可得的值．
解：(1)∵△DBE和△ABC都是等腰直角三角形，
∴AB=BC, DB=BE,∠ABC=∠DBE=90°,∴∠ABD=90°-∠DBC=∠CBE=90°-∠DBC,
∴△ABD≌△CBE,
∴AD=CE;
(2)如图, A、D、E三点在同一直线上时，

∵△DBE和△ABC都是等腰直角三角形，
∴∠BAC=∠BDE=∠BED =45°,
又△ABD≌△CBE，∴∠ADB=∠CEB=135°．
∴∠AEC=90°，
∵∠EAC=30°，
∴∠BAD=45°-30°=15°，∴∠ABD=30°，即旋转角为30°.
∵△DBE和△ABC是等腰直角三角形，AB=, BD=,
∴AC=，DE=,
∵△ABD≌△CBE,
∴AD=EC，
∵∠EAC=30°，∠AEC=90°，AC=，
∴AD=EC=，
∴AE=AD+DE=+=，
整理得.

六、（本大题共12分）
23. 在平面直角坐标系中，有一组有规律的点：
A1（0，1）、A2（1，0）、A3（2，1）、A4（3，0）、A5（4，1）….依此规律可知，当n为奇数时，有点An (n－1，1)，当n为偶数时，有点An(n－1，0)．
抛物线C1A1，A2，A3三点，抛物线C2A2，A3，A4三点，抛物线C3A3，A4，A5三点，…抛物线CnAn，An＋1，An＋2．
（1）直接写出抛物线C1，C4的解析式；
（2）若点E（e，f1）、F（e，f2）分别在抛物线C27、C28上，当e＝29时，求证：△A26EF是等腰直角三角形；

（3）若直线x＝m分别交x轴、抛物线C2014、C2015于点P、M、N，作直线A2015 M、A2015 N，当∠A2015 NM＝90°时，求sin∠A2015 MN的值．
【正确答案】（1）y1＝(x－1)2， y4＝－(x－4)2＋1；（2）详见解析；（3）.

【详解】试题分析：(1)根据顶点式即可求出C1，C4的解析式;
(2)由出发,可以发现抛物线C27、C28的解析式应该为: y27＝(x－27)2, y28＝－(x－28)2＋1.则得到点E（29，4）、F（29，0）,根据两点之间的距离公式即可求得EF, 从而说明△A26EF是等腰直角三角形;
(3) 如图，要使∠A2015 NM＝90°，直线x＝m只能在点A2015的右侧，根据三角函数即可得到sin∠A2015 MN的值.
解:（1）根据顶点式容易求出C1，C4的解析式分别为：
y1＝(x－1)2， y4＝－(x－4)2＋1．

（2）由出发，可以发现这组抛物线解析式的特点：
y1＝(x－1)2
y3＝(x－3)2
……
y2＝－(x－2)2＋1
y4＝－(x－4)2＋1
……
∴如图所示，抛物线C27的解析式为：y27＝(x－27)2,且过点A27，A28，A29 ,
抛物线C28的解析式为：y28＝－(x－28)2＋1．且过点A28，A29，A30,
∵点E（e，f1）、F（e，f2）分别在抛物线C27、C28上， e＝29，
∴f1＝(29－27)2＝4，f2＝－(29－28)2+1＝0，
∴点E（e，f1）、F（e，f2）坐标分别为E（29，4）、F（29，0）；
∵A26的坐标是（25，0），点F（29，0）与点A30重合，
∴A26A30＝29－25＝4，EF＝4，且与轴平行, ∠EF A26=90°,
∴△A26EF是等腰直角三角形；
（3）由（2）中发现的规律可知，
过点，
过点，
点A2015坐标为（2014，1）．
如图，要使∠A2015 NM＝90°，直线x＝m只能在点A2015的右侧，

此时，∠A2015 N平行于轴，
∴PN=1．
∵点N在上，
∴，或2015（舍去）．
∴∠A2015 N=2，且点M的横坐标为2016．
∴=－3．
∴MN=1－（－3）=4，A2015 M=．
，∴sin∠A2015 MN的值为．
点睛:本题考查了二次函数综合题，涉及的知识点有：顶点式求抛物线的解析式，两点之间的距离公式，勾股定理逆定理，三角函数的知识，综合性较强，有一定的难度.
















2022-2023学年江西省上饶市九年级下册数学月考专项提升模拟卷（B卷）
一、选一选（本大题共8小题，每小题3分，共24分）
1. 下列图形中，既是轴对称图形又是对称图形的是　　
A. B. C. D.
2. 下列中，须用普查的是( )
A. 了解某市学生的视力情况 B. 了解某市中学生课外阅读的情况 C. 了解某市百岁以上老人的健康情况 D. 了解某市老年人参加晨练的情况
3. 某中学要了解八年级学生的视力情况，在全校八年级中抽取了30名学生进行检测，在这个问题中，样本是（ ）.
A. 八年级所有的学生 B. 被抽取的30名八年级学生
C. 八年级所有的学生的视力情况 D. 被抽取的30名八年级学生的视力情况
4. 下列命题中正确的是（　　）
A. 有一组邻边相等的四边形是菱形
B. 有一个角是直角的平行四边形是矩形
C. 对角线垂直平行四边形是正方形
D. 一组对边平行的四边形是平行四边形
5. 下列性质中，正方形具有而菱形没有一定具有的性质是 ( )
A. 对角线相等 B. 四条边相等 C. 对角线互相平分 D. 对角线互相垂直
6. 如图，平行四边形ABCD的周长是22cm，对角线AC与BD交于点O，AC⊥AB，E是BC中点，△AOD的周长比△AOB的周长多3cm，则AE的长度为（　　）

A. 3cm B. 3.5cm C. 4cm D. 4.5cm
7. 矩形OABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，点B的坐标为（3，4），D是OA的中点，点E在AB上，当△CDE的周长最小时，点E的坐标为（ ）

A. （3，1） B. （3，） C. （3，） D. （3，2）
8. 如图，在一张矩形纸片中，，，点，分别在， 上，将纸片沿直线折叠，点落在上一点处，点落在点处，有以下四个结论：
①四边形是菱形；②平分；③线段的取值范围为；④当点与点重合时，．
以上结论中，你认为正确的有（　　）个．

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
二、填 空 题（本大题共10小题，每题3分，共30分）
9. 已知平行四边形ABCD中，∠B=5∠A，则∠D=__________．
10. “种瓜得瓜，种豆得豆”这一是__________（填“必然”“没有可能”“随机”）．
11. 扇形统计图中，A,B,C,D 4个扇形所表示的数据个数的比是，则扇形C的圆心角的度数为_____
12. 下列命题：①一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形；②对角线互相平分的四边形是平行四边形；③在四边形ABCD中，AB＝AD，BC＝DC，那么这个四边形ABCD是平行四边形；④一组对边相等，一组对角相等的四边形是平行四边形．其中正确的命题是_______（将命题的序号填上即可）
13. 如图所示，平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，过点O的直线分别交AD、BC于点M、N，若△CON的面积为2，△DOM的面积为4，则△AOB的面积为_____．

14. 如图，矩形OBCD的顶点C的坐标为（1，3），则线段BD的长等于________

15. 已知菱形ABCD的两条对角线AC，BD长分别为10cm、24cm，且AE⊥BC， AE=______cm．

16. 如图，为矩形ABCD的对角线交点，DF平分∠ADC交AC于E，交BC于F，∠BDF =15°，则∠COF的度数是______°．

17. 在平面直角坐标系中，平行四边形ABCD点A的坐标（2，2），点C的坐标(6,4),直线y=-2x以每秒1个单位长度的速度向右平移，_____秒该直线可将平行四边形ABCD的面积平分．

18. 如图，点E、F分别是菱形ABCD的边BC、CD上的动点，且有∠EAF=∠D=60°，AB=8，则△CEF面积为　 　．

三、解 答 题（本大题共96分）
19. 正方形网格中（网格中的每个小正方形边长是1），△ABC的顶点均在格点上，请在所给的直角坐标系中解答下列问题：

（1）试作出△ABC以A为旋转，沿顺时针方向旋转90°后的图形△AB1C1；点B1的坐标为 ；
（2）作△ABC关于原点O成对称的△A2B2C2；点B2的坐标为 .
20. 在信息发展的社会，“信息消费”已成为人们生活的重要部分．我市区机抽取了部分家庭，每月用于信息消费的金额，数据整理成如图所示的没有完整统计图．已知A、B两组户数直方图的高度比为1：5，请图中相关数据回答下列问题：

（1）A组的频数是 ，本次样本的容量是 ；
（2）补全直方图（需标明各组频数）；
（3）若该社区有1500户住户，请估计月信息消费额没有少于300元的户数是多少？
21. 在一个没有透明的布袋中装有黄、白两种颜色的球共40只，这些球除颜色外其余均相同．小红按如下规则做摸球实验：将这些球搅匀后从中随机摸出一只球，记下颜色后再把球放回布袋中，没有断重复上述过程. 下表是实验得到的一组统计数据：
摸球的次数
50
100
200
300
500
1 000
2000
3 000
摸到黄球的频数
36
67
128
176
306
593
1256
1803
摸到黄球的频率
0.72
067
0.64
0.59
0.61
0.59
0.63
0.60
（1）对实验得到数据，选用“扇形统计图”、“条形统计图”或“折线统计图”中的　 　（填
写一种），能使我们地观察摸到黄球频率的变化情况；
（2）请估计：①当摸球次数很大时，摸到黄球的频率将会接近　 　；（到0.1）
②若从布袋中随机摸出一只球，则摸到白球的概率为 　 　；（到0.1）
（3）试估算布袋中黄球的只数.
22. 如图，已知四边形为平行四边形，、为对角线上的两点，且，连接．求证：（1）．（2）连接AC交于BD点O,求证AC,EF互相平分


23. 如图，已知矩形ABCD中，E是AD上的一点，F是AB上的一点，EF⊥EC，且EF=EC，DE=4cm，矩形ABCD的周长为32cm，求AE的长．

24. 如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AD是中线，E是AD的中点，过点A作AF∥BC交BE的延长线于点F，连接CF．
(1) 求证：AD=AF；
(2) 当△ABC满足什么条件时，四边形ADCF是矩形．并说明理由．

25. 如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，过点D作DE∥AC且DE＝AC，连接CE、OE，连接AE交OD于点F．
（1）求证：OE＝CD；
（2）若菱形ABCD的边长为2，∠ABC＝60°，求AE的长．

26. 如图，在正方形ABCD中，点P在AD上，且没有与A、D重合，BP的垂直平分线分别交CD、AB于E、F两点，垂足为Q，过E作EH⊥AB于H．

（1）求证：HF=AP；
（2）若正方形ABCD边长为12，AP=4，求线段EQ的长．
27. 如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，AC=60cm，∠A=60°，点D从点C出发沿CA方向以4cm/s的速度向点A匀速运动，同时点E从点A出发沿AB方向以2cm/s的速度向点B匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点D、E运动的时间是ts．过点D作DF⊥BC于点F，连接DE、EF．

（1）用t的代数式表示：AE=　 　；DF=　 　；
（2）四边形AEFD能够成为菱形吗？如果能，求出相应的t值；如果没有能，请说明理由；
（3）当t为何值时，△DEF为直角三角形？请说明理由．
28. 如图，点P是正方形ABCD对角线AC上一动点，点E在射线BC上，且PE＝PB，连接PD，O为AC中点．
（1）如图1，当点P在线段AO上时，试猜想PE与PD的数量关系和位置关系，请说明理由；
（2）①如图2，当点P在线段OC上时，（1）中的猜想还成立吗？请说明理由；
②如图2，试用等式来表示PB,BC,CE之间的数量关系，并证明．
（3）如图3，把正方形ABCD改为菱形ABCD，其他条件没有变，当时，连接DE，试探究线段PB与线段DE的数量关系，并说明理由．











2022-2023学年江西省上饶市九年级下册数学月考专项提升模拟卷（B卷）
一、选一选（本大题共8小题，每小题3分，共24分）
1. 下列图形中，既是轴对称图形又是对称图形的是　　
A. B. C. D.
【正确答案】D

【分析】根据轴对称图形和对称图形的定义逐项识别即可，在平面内，把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．
【详解】解：A. 是轴对称图形，但没有是对称图形，故没有符合题意；
B. 没有是轴对称图形，是对称图形，故没有符合题意；
C. 是轴对称图形，但没有是对称图形，故没有符合题意；
D. 既是轴对称图形又是对称图形，故符合题意．
故选D．
本题考查了轴对称图形和对称图形的识别，熟练掌握轴对称图形和对称图形的定义是解答本题的关键．
2. 下列中，须用普查的是( )
A. 了解某市学生视力情况 B. 了解某市中学生课外阅读的情况 C. 了解某市百岁以上老人的健康情况 D. 了解某市老年人参加晨练的情况
【正确答案】C

【分析】方法的选择，由普查得到的结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，而抽样得到的结果比较近似，对各选项分析判断后利用排除法求解．
【详解】解：A．了解某市学生的视力情况，适合采用抽样，故本选项错误；
B．了解某市中学生课外阅读的情况，适合采用抽样，故本选项错误；
C．了解某市百岁以上老人的健康情况，人数比较少，适合采用普查，故本选项正确；
D．了解某市老年人参加晨练的情况，老年人的标准没有限定，人群范围可能够较大，适合采用抽样，故本选项错误．
故选C．
本题考查方法的选择，掌握全面和抽样的优缺点是本题的解题关键．
3. 某中学要了解八年级学生的视力情况，在全校八年级中抽取了30名学生进行检测，在这个问题中，样本是（ ）.
A. 八年级所有学生 B. 被抽取的30名八年级学生
C. 八年级所有的学生的视力情况 D. 被抽取的30名八年级学生的视力情况
【正确答案】D

【详解】样本是被抽取的30名八年级学生的视力情况．故选D．
4. 下列命题中正确的是（　　）
A. 有一组邻边相等的四边形是菱形
B. 有一个角是直角的平行四边形是矩形
C. 对角线垂直的平行四边形是正方形
D. 一组对边平行的四边形是平行四边形
【正确答案】B

【分析】利用四边形的判定定理对个选项逐一判断后即可得到正确的选项．
【详解】A、一组邻边相等的平行四边形是菱形，故选项错误；
B、正确；
C、对角线垂直的平行四边形是菱形，故选项错误；
D、两组对边平行的四边形才是平行四边形，故选项错误．
考点：命题与定理．
本题考查的是命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．

5. 下列性质中，正方形具有而菱形没有一定具有的性质是 ( )
A. 对角线相等 B. 四条边相等 C. 对角线互相平分 D. 对角线互相垂直
【正确答案】A

【详解】根据正方形和菱形的性质对比分析可知，选项B、C、D中的性质两者都具有，只有A中的性质正方形具有，而菱形没有具有.
故选A.
6. 如图，平行四边形ABCD的周长是22cm，对角线AC与BD交于点O，AC⊥AB，E是BC中点，△AOD的周长比△AOB的周长多3cm，则AE的长度为（　　）

A. 3cm B. 3.5cm C. 4cm D. 4.5cm
【正确答案】B

【详解】∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OB=OD，AD=BC，
∵△AOD的周长比△AOB的周长多3cm，
∴AD+AO+OD-(AB+AO+BO)=AD-AB=3cm，
∵平行四边形ABCD的周长为22cm，
∴AD+AB=11cm，
∴AD=7cm，
∴BC=7cm，
又∵AC⊥AB，点E是BC的中点，
∴AE=3.5cm.
故选B.
7. 矩形OABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，点B的坐标为（3，4），D是OA的中点，点E在AB上，当△CDE的周长最小时，点E的坐标为（ ）

A. （3，1） B. （3，） C. （3，） D. （3，2）
【正确答案】B

【详解】解：如图，作点D关于直线AB的对称点H，连接CH与AB的交点为E，此时△CDE的周长最小．
∵矩形OABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，点B的坐标为（3，4），D是OA的中点，
∴D（，0），A（3，0），C（0，4），
∴H（，0），
设直线CH解析式为，
把C、H两点坐标代入得，，
解得，，
y=x+4，当x=3时，y=，
∴点E坐标（3，）
故选B．

8. 如图，在一张矩形纸片中，，，点，分别在， 上，将纸片沿直线折叠，点落在上的一点处，点落在点处，有以下四个结论：
①四边形是菱形；②平分；③线段的取值范围为；④当点与点重合时，．
以上结论中，你认为正确的有（　　）个．

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
【正确答案】C

【分析】①先判断出四边形CFHE是平行四边形，再根据翻折的性质可得CF=FH，然后根据邻边相等的平行四边形是菱形证明，判断出①正确；
②根据菱形的对角线平分一组对角线可得∠BCH=∠ECH，然后求出只有∠DCE=30°时EC平分∠DCH，判断出②错误；
③点H与点A重合时，设BF=x，表示出AF=FC=8-x，利用勾股定理列出方程求解得到BF的最小值，点G与点D重合时，CF=CD，求出值BF=4，然后写出BF的取值范围，判断出③正确；
④过点F作FM⊥AD于M，求出ME，再利用勾股定理列式求解得到EF，判断出④正确．
【详解】解：
①∵FH与CG，EH与CF都是矩形ABCD的对边AD、BC的一部分，
∴FH∥CG，EH∥CF，
∴四边形CFHE是平行四边形，
由翻折的性质得，CF=FH，
∴四边形CFHE是菱形，（故①正确）；

②∴∠BCH=∠ECH，
∴只有∠DCE=30°时EC平分∠DCH，（故②错误）；

③点H与点A重合时，此时BF最小，设BF=x，则AF=FC=8-x，
在Rt△ABF中，AB2+BF2=AF2，
即42+x2=（8-x）2，
解得x=3，
点G与点D重合时，此时BF，CF=CD=4，
∴BF=4，
∴线段BF的取值范围为3≤BF≤4，（故③正确）；

过点F作FM⊥AD于M，

则ME=（8-3）-3=2，
由勾股定理得，
EF===，（故④正确）；
综上所述，结论正确的有①③④共3个，
故选C．
本题考查了翻折变换的性质，菱形的判定与性质，勾股定理的应用，难点在于灵活运用菱形的判定与性质与勾股定理等其它知识有机．
二、填 空 题（本大题共10小题，每题3分，共30分）
9. 已知平行四边形ABCD中，∠B=5∠A，则∠D=__________．
【正确答案】150°

【详解】试题解析：如图所示：

∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠A+∠B=180°，∠D=∠B，
∵∠B=5∠A，
∴6∠A=180°，解得∠A=30°，
∴∠D=∠B=30°×5=150°°．
考点：平行四边形的性质．
10. “种瓜得瓜，种豆得豆”这一是__________（填“必然”“没有可能”“随机”）．
【正确答案】必然．

【详解】解：“种瓜得瓜，种豆得豆”这一是“必然”
故必然．
11. 扇形统计图中，A,B,C,D 4个扇形所表示的数据个数的比是，则扇形C的圆心角的度数为_____
【正确答案】135°

【详解】由题意可得扇形C所对应的圆心角的度数为.
故135°.
12. 下列命题：①一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形；②对角线互相平分的四边形是平行四边形；③在四边形ABCD中，AB＝AD，BC＝DC，那么这个四边形ABCD是平行四边形；④一组对边相等，一组对角相等的四边形是平行四边形．其中正确的命题是_______（将命题的序号填上即可）
【正确答案】②

【详解】试题分析：①一组对边平行，另一组对边相等的四边形没有一定是平行四边形，等腰梯形也满足该条件．故①错误；
②对角线互相平分的四边形是平行四边形．故②正确；
③在四边形ABCD中，AB=AD，BC=DC，那么这个四边形ABCD没有一定是平行四边形，筝形也满足该条件．故③错误；
④一组对边相等，一组对角相等的四边形没有能证明另一组对边也相等或平行．故④错误．
故答案是②．
考点：1.平行四边形的判定2.命题与定理．
13. 如图所示，平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，过点O的直线分别交AD、BC于点M、N，若△CON的面积为2，△DOM的面积为4，则△AOB的面积为_____．

【正确答案】6

【分析】
【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//BC，OA=OC，
∴∠CAD=∠ACB，
∵∠AOM=∠NOC，
∴△CON≌△AOM，
∴
∴，
又∵OB=OD，
∴
故答案：6
14. 如图，矩形OBCD的顶点C的坐标为（1，3），则线段BD的长等于________

【正确答案】

【详解】解：根据勾股定理可得OC==，
根据矩形的性质可得BD=OC=.
故
15. 已知菱形ABCD的两条对角线AC，BD长分别为10cm、24cm，且AE⊥BC， AE=______cm．

【正确答案】

【详解】∵四边形ABCD是菱形，AC=10cm，BD=24cm，
∴∠BOC=90°，BO=12cm，OC=5cm，S菱形ABCD=AC·BD=120cm2，
∴BC=（cm），
∴AE=120×BC=120÷13=（cm）.
故答案为.

点睛：菱形的面积=底×高=两对角线乘积的一半.
16. 如图，为矩形ABCD的对角线交点，DF平分∠ADC交AC于E，交BC于F，∠BDF =15°，则∠COF的度数是______°．

【正确答案】75°．

【详解】∵DF平分∠ADC，∴∠CDF=45°，∴△CDF是等腰直角三角形，∴CD=CF，
∵∠BDF=15°，∴∠CDO=∠CDF+∠BDF=45°+15°=60°，
在矩形ABCD中，OD=OC，∴△OCD是等边三角形，∴OC=CD，∠OCD=60°，
∴OC=CF，∠OCF=90°-∠OCD=90°-60°=30°，
在△COF中，∠COF= ×（180°-30°）=75°，
故答案为75°．
本题考查了矩形的性质，等边三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，角平分线的定义，熟记各性质并判断出△OCD是等边三角形是解决本题的关键．
17. 在平面直角坐标系中，平行四边形ABCD点A的坐标（2，2），点C的坐标(6,4),直线y=-2x以每秒1个单位长度的速度向右平移，_____秒该直线可将平行四边形ABCD的面积平分．

【正确答案】5.5

【详解】如图，∵点A的坐标为（2，2），点C的坐标为（6，4），
∴线段AC的中点O的坐标为（4，3），
∵直线y=-2x向右平移后要平分平行四边形ABCD的面积，
∴平移后的直线必过点O，
设平移后直线的解析式为：y=-2x+b，则代入点O的坐标可得：3=-2×4+b，解得：b=11，
∴当平移后的直线平分平行四边形ABCD的面积时，其解析式为y=-2x+11，
∵在y=-2x+11中，当y=0时，x=5.5，
∴直线y=-2x+11与x轴相交于点（5.5，0），
又∵直线y=-2x过原点，
∴当直线y=-2x向右平移5.5个单位长度后，刚好平分平行四边形ABCD的面积，
∴直线y=-2x5.5秒后可平分平行四边形ABCD的面积.
故答案为5.5.

点睛：（1）平分平行四边形面积的直线必过平行四边形对角线的中点；（2）若线段PQ的两端点的坐标分别为，则其中点坐标为；（3）若直线平移后所得新直线的解析式为，则.
18. 如图，点E、F分别是菱形ABCD的边BC、CD上的动点，且有∠EAF=∠D=60°，AB=8，则△CEF面积为　 　．

【正确答案】

【详解】如图，连接AC，
∵四边形ABCD是菱形，且∠EAF=∠D=60°，
∴∠BAC=∠ACF=∠B=60°，AB=BC，
∴∠BAE+∠EAC=∠EAC+∠CAF=60°，△ABC是等边三角形，
∴∠BAE=∠CAF，AB=AC，
∴△ABE≌△ACF，
∴AE=AF，S△ACF=S△ABE，
∴△CEF是等边三角形，S四边形AECF=S△ABC，
∴S△CEF=S△ABC-S△AEF，
∵AB=8，△ABC是等边三角形，
∴S△ABC=，
∴当AE⊥BC，S△AEF面积最小时，S△CEF，
∵当AE⊥BC时，AE=，
∴S△AEF最小=，
∴S△CEF=.
故答案为.

三、解 答 题（本大题共96分）
19. 正方形网格中（网格中的每个小正方形边长是1），△ABC的顶点均在格点上，请在所给的直角坐标系中解答下列问题：

（1）试作出△ABC以A为旋转，沿顺时针方向旋转90°后的图形△AB1C1；点B1的坐标为 ；
（2）作△ABC关于原点O成对称的△A2B2C2；点B2的坐标为 .
【正确答案】（1） （0，3）；（2）（4，-1）.

【详解】试题分析：
（1）过点A在AC的右侧作C1A⊥AC，且使AC1=AC即可得到C1点，同法作出点B1，然后连接AC1、AB1和B1C1即可得到所求三角形，再由图写出点B1的坐标即可；
（2）连接AO并延长至A2，使A2O=AO即可得到A2点，同法作出B2和C2，然后顺次连接这三点即可得到所求三角形，再由图写出点B2的坐标即可.
试题解析：
（1）如下图所示，△AB1C1为所求三角形，点B1的坐标为（0，3）；

（2）如下图所示，△A2B2C2为所求三角形，点B2的坐标为（4，-1）.

20. 在信息发展的社会，“信息消费”已成为人们生活的重要部分．我市区机抽取了部分家庭，每月用于信息消费的金额，数据整理成如图所示的没有完整统计图．已知A、B两组户数直方图的高度比为1：5，请图中相关数据回答下列问题：

（1）A组的频数是 ，本次样本的容量是 ；
（2）补全直方图（需标明各组频数）；
（3）若该社区有1500户住户，请估计月信息消费额没有少于300元的户数是多少？
【正确答案】（1）2；50；（2）补图见解析；（3）540户．

【详解】试题分析：根据A、B组的比值得出A组的人数和A、B组的百分比，然后分别进行计算．
试题解析：（1）10÷5=2 1－40%－20%－8%=24% 则A组：24%÷6=4% 2÷4%=50人
C组的频数是：50×40%=20，如图．

（3）∵1500×（28%+8%）=540，
∴全社区捐款没有少于300元的户数是540户．
考点：条形统计图和扇形统计图．
21. 在一个没有透明的布袋中装有黄、白两种颜色的球共40只，这些球除颜色外其余均相同．小红按如下规则做摸球实验：将这些球搅匀后从中随机摸出一只球，记下颜色后再把球放回布袋中，没有断重复上述过程. 下表是实验得到的一组统计数据：
摸球的次数
50
100
200
300
500
1 000
2000
3 000
摸到黄球的频数
36
67
128
176
306
593
1256
1803
摸到黄球的频率
0.72
0.67
0.64
0.59
0.61
0.59
0.63
0.60
（1）对实验得到的数据，选用“扇形统计图”、“条形统计图”或“折线统计图”中的　 　（填
写一种），能使我们地观察摸到黄球频率的变化情况；
（2）请估计：①当摸球次数很大时，摸到黄球的频率将会接近　 　；（到0.1）
②若从布袋中随机摸出一只球，则摸到白球的概率为 　 　；（到0.1）
（3）试估算布袋中黄球的只数.
【正确答案】（1）折线统计图；（2）0.6，0.4；（3）24只．

【详解】试题分析：
（1）要观察摸到黄球频率的变化情况，根据各统计的特点可知应该选用折线统计图；
（2）①计算出其平均值即可；
②1-①得到的频率即可得；
（3）黄球个数=球的总数×得到的黄球的概率．
试题解析：（1）根据统计图的特点，要想观察摸到黄球频率的变化情况，应该选用折线统计图，
故答案为折线统计图；
（2）①∵摸到黄球的频率为（0.72+0.67+0.61+0.59+0.61+0.59+0.63+0.60）÷8≈0.6，
∴当n很大时，摸到白球的频率将会接近0.6，
故答案为0.6；
②∵袋子中只有黄球与白球，∴摸到白球的频率约为1-0.6=0.4，
故答案为0.4；
（3）布袋中黄球约有：40×0.6=24只.
22. 如图，已知四边形为平行四边形，、为对角线上的两点，且，连接．求证：（1）．（2）连接AC交于BD点O,求证AC,EF互相平分

【正确答案】（1）证明见解析（2）证明见解析

【详解】答案没有；如：
（1）证明：
∵四边形为平行四边形
∴AB∥CD， AB=CD
∴∠ABD=∠CDB
在△ABE与△CDF中

∴△ABE≌△CDF
∴
（2）证明：
连接AF、CE．
由（1）得，△ABE≌△CDF
∴∠AED=∠CFB，AE=CF
∴∠AEB=∠CFD
∴AE∥CF
∴四边形为平行四边形
∴AC、EF互相平分

23. 如图，已知矩形ABCD中，E是AD上的一点，F是AB上的一点，EF⊥EC，且EF=EC，DE=4cm，矩形ABCD的周长为32cm，求AE的长．

【正确答案】6cm

【详解】解： ∵EF⊥CE， ∴∠FEC=90°，
∴∠AEF+∠DEC=90°，
在矩形ABCD中，∠A=∠D=90°，
∴∠ECD+∠DEC=90°，
∴∠AEF=∠ECD．
∵EF=EC
∴Rt△AEF≌Rt△DCE．
∴AE=CD．
∵ DE=4cm，
∴AD=AE+4．
∵矩形ABCD的周长为32 cm，
∴2（AE+AE+4）=32．
解得， AE=6cm．
24. 如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AD是中线，E是AD的中点，过点A作AF∥BC交BE的延长线于点F，连接CF．
(1) 求证：AD=AF；
(2) 当△ABC满足什么条件时，四边形ADCF是矩形．并说明理由．

【正确答案】（1）见解析；（2）当AB=AC时，四边形ADCF是矩形，理由见解析

【分析】(1) 由E是AD的中点，AF∥BC，易证得△AEF≌△DEB，即可得AF=BD，又由在△ABC中，∠BAC=90°，AD是中线，根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，即可证得AD=BD=CD=BC，即可证得：AD=AF；
(2) 当AB=AC时，四边形ADCF是矩形．由AF=BD=DC，AF∥BC，可证得：四边形ADCF是平行四边形，又由AB=AC，根据三线合一的性质，可得AD⊥BC，AD=DC，继而可得四边形ADCF是正方形．
【详解】(1) 证明：∵AF∥BC，
∴∠EAF=∠EDB，
∵E是AD的中点，
∴AE=DE，
在△AEF和△DEB中，
，
∴△AEF≌△DEB（ASA），
∴AF=BD，
∵在△ABC中，∠BAC=90°，AD是中线，
∴AD=BD=DC=BC，
∴AD=AF．
(2) 当AB=AC时，四边形ADCF是矩形．
∵AF=BD=DC，AF∥BC，
∴四边形ADCF是平行四边形，
∵AB=AC，AD是中线，
∴AD⊥BC，
∵AD=AF，
∴四边形ADCF是正方形，是的矩形.
查了正方形判定、平行四边形的判定与性质以及全等三角形的判定与性质．此题难度适中，注意掌握数形思想的应用．
25. 如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，过点D作DE∥AC且DE＝AC，连接CE、OE，连接AE交OD于点F．
（1）求证：OE＝CD；
（2）若菱形ABCD的边长为2，∠ABC＝60°，求AE的长．

【正确答案】（1）见解析；（2）．

【分析】（1）根据菱形的性质可得OC＝AC，即可证明DE＝OC，可得出四边形OCED是平行四边形，再根据菱形的对角线互相垂直求出∠COD＝90°，可证明OCED是矩形，根据矩形的性质可得OE＝CD即可；
（2）根据∠ABC＝60°，利用菱形的性质得出AC＝AB，即可求出OA的长，再根据勾股定理求出OD的长，再利用勾股定理得出AE的长度即可．
【详解】（1）∵四边形ABCD是菱形，
∴OC＝AC，AC⊥BD，
∵DE＝AC，
∴DE＝OC，
∵DE∥AC，
∴四边形OCED是平行四边形．
∵AC⊥BD，
∴平行四边形OCED是矩形．
∴OE＝CD．
（2）∵菱形ABCD中，∠ABC＝60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴AC＝AB＝2，
∵OA=AC=1，AC⊥BD，AD=2，
∴OD=，
∴在矩形OCED中，CE＝OD＝，
∴在Rt△ACE中，AE＝．
本题考查了菱形的性质，矩形的判定和性质及勾股定理，菱形中出现了60°角要求线段的长度时，一般要考虑两点：①图形中会有等边三角形，②以60°角的某一边为直角边的直角三角形，再利用勾股定理求解．熟记矩形的判定方法与菱形的性质是解题的关键．
26. 如图，在正方形ABCD中，点P在AD上，且没有与A、D重合，BP的垂直平分线分别交CD、AB于E、F两点，垂足为Q，过E作EH⊥AB于H．

（1）求证：HF=AP；
（2）若正方形ABCD的边长为12，AP=4，求线段EQ的长．
【正确答案】（1）证明见试题解析；（2）．

【详解】试题分析：（1）由EQ⊥BO，EH⊥AB得到∠EQN=∠BHM=90°，由∠EMQ=∠BMH得到△EMQ∽△BMH，故∠QEM=∠HBM．由ASA定理得到△APB≌△HFE，故可得出结论；
（2）根据勾股定理求出BP的长，由EF是BP的垂直平分线可知BQ=BP，再由锐角三角函数的定义得出QF=BQ的长，由（1）知，△APB≌△HFE，故EF=BP=，再由EQ=EF﹣QF即可得出结论．
试题解析：（1）∵EQ⊥BO，EH⊥AB，∴∠EQN=∠BHM=90°，∵∠EMQ=∠BMH，∴△EMQ∽△BMH，∴∠QEM=∠HBM，在Rt△APB与Rt△HFE中，∵∠QEM=∠HBM，∠PAB=∠FHE，AB=EH，∴△APB≌△HFE，∴HF=AP；
（2）由勾股定理得，BP===4，∵EF是BP的垂直平分线，∴BQ=BP=，∴QF=BQ•tan∠FBQ=BQ•tan∠ABP==，由（1）知，△APB≌△HFE，∴EF=BP=，∴EQ=EF﹣QF==．
考点：1．正方形的性质；2．全等三角形的判定与性质；3．勾股定理；4．综合题．
27. 如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，AC=60cm，∠A=60°，点D从点C出发沿CA方向以4cm/s的速度向点A匀速运动，同时点E从点A出发沿AB方向以2cm/s的速度向点B匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点D、E运动的时间是ts．过点D作DF⊥BC于点F，连接DE、EF．

（1）用t的代数式表示：AE=　 　；DF=　 　；
（2）四边形AEFD能够成为菱形吗？如果能，求出相应的t值；如果没有能，请说明理由；
（3）当t为何值时，△DEF为直角三角形？请说明理由．
【正确答案】（1）2t，2t；（2）当t=10时，▱AEFD是菱形；（3）当t=s或12s时，△DEF是直角三角形．

【详解】试题分析：
（1）由已知易得∠C=30°，∠DFC=90°，这样已知条件即可得到：DF=CD=2t，AE=2t；
（2）由（1）可知，AE=DF，AE∥DF可得四边形AEFD是平行四边形，由此可得当AD=AE，即60-4t=2t时，四边形AEFD是菱形，解此关于t的方程即可求得对应的t的值；
（3）如图1和图2，根据题意分∠EDF=90°和∠DEF=90°两种情况已知条件分析、计算即可得到对应的t的值.
试题解析：
（1）∵直角△ABC中，∠C=90°﹣∠A=30°．
∵CD=4t，AE=2t，
又∵在直角△CDF中，∠C=30°，
∴DF=CD=2t，
故答案为2t，2t；
（2）∵DF⊥BC
∴∠CFD=90°
∵∠B=90°
∴∠B=∠CFD
∴DF∥AB，
由（1）得：DF=AE=2t，
∴四边形AEFD是平行四边形，
当AD=AE时，四边形AEFD是菱形，
即60﹣4t=2t，
解得：t=10，
即当t=10时，▱AEFD是菱形；
（3）分两种情况：
①当∠EDF=90°时，如图1，DE∥BC．

∴∠ADE=∠C=30°
∴AD=2AE
∵CD=4t，
∴DF=2t=AE，
∴AD=4t，
∴4t=60﹣4t，
∴t=
②当∠DEF=90°时，如图2，DE⊥EF，

∵四边形AEFD是平行四边形，
∴AD∥EF，
∴DE⊥AD，
∴△ADE是直角三角形，∠ADE=90°，
∵∠A=60°，
∴∠DEA=30°，
∴AD=AE，
∴60﹣4t=t，
解得t=12．
综上所述，当t=s或12s时，△DEF是直角三角形．
28. 如图，点P是正方形ABCD对角线AC上一动点，点E在射线BC上，且PE＝PB，连接PD，O为AC中点．
（1）如图1，当点P在线段AO上时，试猜想PE与PD的数量关系和位置关系，请说明理由；
（2）①如图2，当点P在线段OC上时，（1）中的猜想还成立吗？请说明理由；
②如图2，试用等式来表示PB,BC,CE之间的数量关系，并证明．
（3）如图3，把正方形ABCD改为菱形ABCD，其他条件没有变，当时，连接DE，试探究线段PB与线段DE的数量关系，并说明理由．

【正确答案】（1）PE=PD,PE⊥PD，证明详见解析；（2）①成立PE=PD,PE⊥PD,证明详见解析；②，证明详见解析；(3)PB=DE,证明详见解析.

【详解】试题分析：
（1）如图1，过点P分别作PM⊥BC于点M，PN⊥CD于点N，则由已知条件可得PM=PN，∠MPN=90°，由正方形关于对角线对称可得PB=PD，PB=PE可得PE=PD，从而可得△PME≌△PND，由此可得∠EPM=∠DPN，从而可证得∠DPE=90°，得到PD⊥PE；
（2）①如图2，过点P分别作PM⊥BC于点M，PN⊥CD于点N，同（1）可证得PD=PE，PD⊥PE仍然成立；
②如图2，连接DE，在Rt△DCE中，由勾股定理可得DC2+CE2=DE2，在等腰Rt△DPE中，DE2=2PE2及PE=PB，BC=DC即可得到BC2+CE2=2PB2；
（3）如图3，由已知条件易得∠DCE=∠ACD=∠ACB=60°，由菱形关于对角线对称可得PB=PE，∠OBC=∠PDC，PB=PE可得∠PEC=∠PBC=∠PDC及PE=PD，再∠PHD=∠CHE可得∠DPE=∠DCE=60°，从而可得△PDE是等边三角形，由此即可得到DE=PE=PB.
试题解析：
（1）PD=PE且PD⊥PE，理由如下：
如图1，过点P分别作PM⊥BC于点M，PN⊥CD于点N，
∴∠PME=∠PND=90°，
∵四边形ABCD是正方形，点P在AC上，
∴∠BCD=90°，PM=PN，PB=PD，
∴四边形PMCN是正方形，
∴∠MPN=90°，
∵PB=PE，
∴PE=PD，
∴Rt△PME≌Rt△PND，
∴∠DPN=∠EPM，
∴∠DPN+∠NPE=∠NPE+∠EPM=∠MPN=90°，
∴PD⊥PE，
∴PE与PE关系是：PD=PE且PD⊥PE；

（2）①如图2，过点P分别作PM⊥BC于点M，PN⊥CD于点N，和（1）同法可证得PD=PE，PD⊥PE仍然成立；
②如图2，连接DE，
由①可得PE=PD，PE⊥PD，
∴DE2=PD2+PE2=2PE2，
∵四边形ABCD是正方形，
∴BC=DC，∠BCD=∠DCE=90°，
∴在Rt△DCE中，DC2+CE2=DE2，
∴BC2+CE2=DE2=2PE2，
又∵PE=PB，
∴BC2+CE2=2PB2.

（3）如图3，∵四边形ABCD是菱形，且∠BAD=120°，
∴∠ACB=∠ACD=60°，
∴∠DCE=180°-60°-60°=60°，
∵点P在对称性AC上，
∴由菱形是关于对角线对称的轴对称图形可得：PD=PB，∠PDC=∠PBC，
∵PB=PE，
∴PD=PE，∠PBC=∠PEC，
∴∠PEC=∠PDC，
又∵∠PHD=∠CHE，
∴∠DPE=∠DCE=60°，
∴△PED是等边三角形，
∴DE=PE，
∴DE=PB.

点睛：解第2题第②小问的要点是连接DE，这样即可构造出以DE为斜边的等腰Rt△DPE和Rt△DCE，PD=PE=PB及BC=CD即可使问题得到解决；