2023天津宁河区芦台一中高二上学期期末数学试题含答案

2022-2023学年第一学期期末质量检测

高二数学

一、选择题（每小题5分，共45分）

1．椭圆上一点P到一个焦点的距离为7，则P点到另一个焦点的距离为（   ）

A．5     B．3     C．4     D．7

2．已知等差数列满足，则其前10项之和为（    ）

A．90     B．180     C．99     D．81

3．双曲线的渐近线方程是（   ）

A．     B．     C．     D．

4．如图，在三棱锥中，点N为棱的中点，点M在棱上，且满足，设，则（   ）

A．     B．     C．     D．

5．设，则“”是“直线与直线”平行的（   ）

A．充分不必要条件     B．必要不充分条件     C．充分必要条件     D．即不充分也不必要条件

6．记等比数列的前n项和为，若，则（   ）

A．12     B．18     C．21     D．27

7．已知抛物线的准线是圆与圆的公共弦所在的直线，则抛物线的标准方程为（   ）

A．     B．     C．     D．

8．在公差不为零的等差数列中，依次成等比数列，前7项和为49，则数列的通项等于（   ）

A．n     B．     C．     D．

9．设为椭圆与双曲线的公共的左右焦点，它们在第一象限内交于点M，是以线段为底边的等腰三角形，且．若椭圆的离心率，则双曲线离心率取值范围是（    ）

A．     B．     C．     D．

二、填空题（每小题5分，共计30分）

10．已知抛物线上一点到其焦点的距离为10．抛物线C的方程为____________；准线方程为____________．

11．已知数列满足，则____________．

12．设椭圆的两个焦点分别是，过作椭圆长轴的垂线，交椭圆于点P．若为等腰直角三角形，则该椭圆的离心率是____________．

13．数列的前n项和为，若，则____________．

14．在长方体中，，点E为的中点，则点B到平面的距离为____________．

15．若直线与曲线有公共点，则b的取值范围是____________．

三、解答题（本大题共5小题，共75分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤，请把解题过程写在答案纸上．）

16．已知圆C的圆心在直线上，且与直线相切于点．

（1）求圆C的方程；

（2）求过点与圆C相切的直线方程．

17．已知为等差数列，前n项和为，是首项为2的等比数列，且公比大于0，，．

（1）求和的通项公式；

（2）求数列的前n项和．

18．如图，在四棱锥中，底面是边长为4的正方形，是等边三角形，平面，E，F，G，O分别是的中点．

（1）求证：平面；

（2）求平面与平面的夹角的大小；

（3）线段上是否存在点M，使得直线与平面所成角为，若存在，求线段的长；若不存在，说明理由．

19．已知点F为椭圆的右焦点，A为椭圆的左顶点，椭圆的离心率为，连接椭圆的四个项点得到的菱形的面积为4．

（1）求椭圆的方程；

（2）设过点A作斜率为k的直线交椭圆于另一点B，

①求的取值范围；

②若，求k的值．

20．已知数列和数列，满足，且，．

（1）证明数列为等差数列，并求的通项公式；

（2）证明：．

2022-2023学年第一学期期末质量检测

高二数学参考答案

1-5  BADBC；  6-9CACD

10．  11．2  12．  13．  14．  15．

16．【解】

（1）过点与直线垂直的直线m的斜率为，

所以直线m的方程为，即．

由，解得．

所以．

故圆C的方程为：．

（2）①若过点的直线斜率不存在，即直线是，与圆相切，符合题意；

②若过点的直线斜率存在，设直线方程为，

即，

若直线与圆C相切，则有，

解得．

此时直线的方程为，即．

综上，切线的方程为或．

17．【解】

（1）设等差数列的公差为d，等比数列的公比为q．

由已知，得，而，所以．

又因为，解得．

所以，．

由，可得①，

由，可得②，

联立①②，解得，

由此可得．

所以，的通项公式为的通项公式为．

（2）设数列的前n项和为，

由，有，

，

上述两式相减，得

．

得．

所以，数列的前n项和为．

18．【解】

（1）证明：因为是正三角形，O是的中点，所以．

又因为平面平面，所以．

平面，所以面．

（2）以O点为原点分别以、、所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系．

则，

设平面的法向量为，所以，即，

令，则

又平面的法向量，

所以．

所以平面与平面所成角为．

（3）假设线段上存在点M，使得直线与平面所成角为，则直线与平面法向量所成的夹角为，

设，，，

所以，

所以，

整理得，可知存在．

19．【解】

（1）由，得，

再由，解得，

由椭圆的四个顶点得到的菱形的面积为4可得，即，

解方程组，解得，

所以椭圆的方程为；

（2）①由（1）可得，所以根据题意可得，设点，

则

∴

由题意得，所以，

，即的取值范围为；

②由①可知，

由题意可知直线的斜率存在，设直线l的斜率为k，则直线l的方程为，

于是A、B两点的坐标满足方程组，消去y并整理得，，

所以，得，从而，

所以，

两边平方可得整理得，即，解得，满足，

所以直线l的斜率为

20．【解】

（1）

（2）要证，即证

∵，

∴，

即．