2022-2023学年内蒙古赤峰市九年级上册数学期中提升突破模拟题（AB卷）含解析

这是一份2022-2023学年内蒙古赤峰市九年级上册数学期中提升突破模拟题（AB卷）含解析，共46页。试卷主要包含了选一选，填 空 题，解 答 题等内容，欢迎下载使用。

2022-2023学年内蒙古赤峰市九年级上册数学期中提升突破模拟题（A卷）
一、选一选（本大题共12小题，共48分）
1. 下列图形中，既是轴对称图形又是对称图形的是　　
A. B. C. D.
2. 如图，小林坐在秋千上，秋千旋转了80°，小林位置也从A点运动到了A'点，则∠OAA'的度数为（　　）

A. 40° B. 50° C. 70° D. 80°
3. 已知y=（m+2）x|m|+2是y关于x的二次函数，那么m的值为____________．
4. 若将抛物线先向右平移2个单位，再向上平移1个单位，得到的新抛物线的表达式为（ ）
A. B. C. D.
5. 抛物线y＝2(x－3)2＋4的顶点坐标是(　 　)
A. (3，4) B. (－3，4) C. (3，－4) D. (2，4)
6. 如图，已知二次函数y1=x2﹣x图象与正比例函数y2=x的图象交于点A（3，2），与x轴交于点B（2，0），若y1＜y2，则x的取值范围是（　　）

A. 0＜x＜2 B. x＜0或x＞3 C. 2＜x＜3 D. 0＜x＜3
7. 观察下列表格，一元二次方程x2﹣x﹣1.1=0的最的一个近似解是（　　）
x
1.1
1.2
1.3
1.4
1.5
1.6
1.7
1.8
1.9
x2﹣x﹣1.1
﹣0.99
﹣0.86
﹣0.71
﹣0.54
﹣0.35
﹣0.14
0.09
0.34
0.61

A. 0.09 B. 1.1 C. 1.6 D. 1.7
8. 对于二次函数y=2（x﹣1）2﹣3的图象性质，下列说法没有正确的是（　　）
A. 开口向上 B. 对称轴为直线x=1 C. 顶点坐标为（1，﹣3） D. 最小值为3
9. 如图，⊙O的半径为5，弦AB的长为8，点M在线段AB（包括端点A，B）上移动，则OM的取值范围是（　　）

A. 3≤OM≤5 B. 3≤OM＜5 C. 4≤OM≤5 D. 4≤OM＜5
10. 已知抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）在平面直角坐标系中的位置如图所示，则下列结论中，正确的是（　　）

A. ac＜0 B. a+b+c＜0 C. b2﹣4ac＜0 D. b=8a
11. 在同一坐标系中函数y=ax﹣b和二次函数y=ax2+bx的图象可能为（   ）
A. B. C. D.
12. 二次函数（）的图象如图所示，下列说法：
①，
②当时，，
③若、在函数图象上，当时，，
④，
其中正确的是（ ）

A. ①②④ B. ①④ C. ①②③ D. ③④
二、填 空 题（本大题共6小题，共24分）
13. 二次函数y＝2(x－3)2－4的最小值为________．
14. 二次函数y=（k﹣1）x2+（2k﹣1）x+k﹣2与x轴有两个交点，则k取值范围是_____．
15. 若，， 为二次函数的图象上的三点，则，，的大小关系是______．
16. 如图，将线段AB绕点O顺时针旋转90°得到线段A′B′，那么A（﹣2，5）的对应点A′的坐标是_________________.

17. 过⊙O内一点M的最长弦为10cm，OM=3cm，则过M点的最短弦长是_____cm．
18. 写一个你喜欢实数m的值_____，使得“对于二次函数y=x2﹣（m﹣1）x+3，当x＜﹣3时，y随x的增大而减小”成为随机．
三、解 答 题（本大题共7小题，共78分）
19. 已知二次函数y=﹣x2+3x+4的图象如图：（直接写答案）
（1）方程﹣x2+3x+4=0解是　 　；
（2）没有等式﹣x2+3x+4＞0的解集是　 　；
（3）没有等式﹣x2+3x+4＜0的解集是　 　．

20. 如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=1，将△ABC绕点C顺时针旋转60°至△A′B′C，点A的对应点A′恰好落在AB上，求BB′的长．

21. 如图，△ABC的三个顶点都在边长为1的小正方形组成的网格的格点上，以点O为原点建立直角坐标系，回答下列问题：
（1）将△ABC先向上平移5个单位，再向右平移1个单位得到△A1B1C1，画出△A1B1C1，并直接写出A1的坐标　 　；
（2）将△A1B1C1绕点（0，﹣1）顺时针旋转90°得到△A2B2C2，画出A2B2C2；
（3）观察图形发现，A2B2C2是由△ABC绕点　 　顺时针旋转　 　度得到的．

22. 如图，⊙P的圆心为P（﹣3，2），半径为3，直线MN过点M（5，0）且平行于y轴，点N在点M的上方．
（1）在图中作出⊙P关于y轴对称的⊙P′．根据作图直接写出⊙P′与直线MN的位置关系．
（2）若点N在（1）中的⊙P′上，求PN的长．

23. 如图，AB是圆O的直径，CD为弦，AB⊥CD，垂足为H，连接BC、BD．
（1）求证：BC=BD；
（2）已知CD=6，OH=2，求圆O的半径长．

24. 如图，在△ABC中，∠ACB=90°，O是边AC上一点，以O为圆心，OA为半径的圆分别交AB，AC于点E，D，在BC的延长线上取点F，使得BF=EF，EF与AC交于点G．
（1）试判断直线EF与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若OA=2，∠A=30°，求图中阴影部分的面积．

25. 如图，已知抛物线y＝ax2+bx+3点A（﹣1，0）、B（3，0）两点，且交y轴交于点C．

（1）求抛物线的解析式；
（2）点M是线段BC上的点（没有与B、C重合），过M作MN∥y轴交抛物线于N，若点M的横坐标为m，请用m的代数式表示MN的长；
（3）在（2）的条件下，连接，NC，是否存在点M，使△BNC的面积？若存在，求m的值；若没有存在，说明理由．





















2022-2023学年内蒙古赤峰市九年级上册数学期中提升突破模拟题
（A卷）
一、选一选（本大题共12小题，共48分）
1. 下列图形中，既是轴对称图形又是对称图形的是　　
A. B. C. D.
【正确答案】D

【分析】根据轴对称图形和对称图形的定义逐项识别即可，在平面内，把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．
【详解】解：A. 是轴对称图形，但没有是对称图形，故没有符合题意；
B. 没有是轴对称图形，是对称图形，故没有符合题意；
C. 是轴对称图形，但没有是对称图形，故没有符合题意；
D. 既是轴对称图形又是对称图形，故符合题意．
故选D．
本题考查了轴对称图形和对称图形的识别，熟练掌握轴对称图形和对称图形的定义是解答本题的关键．
2. 如图，小林坐在秋千上，秋千旋转了80°，小林的位置也从A点运动到了A'点，则∠OAA'的度数为（　　）

A. 40° B. 50° C. 70° D. 80°
【正确答案】B

【详解】根据旋转角的定义、旋转的性质、等腰三角形的性质以及三角形内角和定理进行解答．
解：∵秋千旋转了80°，小林的位置也从A点运动到了A'点，
∴AOA′=80°，OA=OA′，
∴∠OAA'=（180°﹣80°）=50°．
故选B．
3. 已知y=（m+2）x|m|+2是y关于x的二次函数，那么m的值为____________．
【正确答案】2

【分析】根据形如y=ax2+bx+c （a≠0）是二次函数，可得答案．
【详解】解：∵y=（m+2）x|m|+2是y关于x二次函数，
∴|m|=2且m+2≠0．
解得m=2．
故2．
本题考查了二次函数的定义、值的定义，利用二次函数的定义得出关于m的方程是解题关键．
4. 若将抛物线先向右平移2个单位，再向上平移1个单位，得到的新抛物线的表达式为（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】A

【分析】根据函数平移的法则：上加下减，左加右减进行求解．
【详解】解：∵抛物线先向右平移2个单位，再向上平移1个单位
∴平移后解析式为：
故选：A
本题考查了二次函数的平移，熟练掌握函数平移的法则是解答此题的关键．
5. 抛物线y＝2(x－3)2＋4的顶点坐标是(　 　)
A. (3，4) B. (－3，4) C. (3，－4) D. (2，4)
【正确答案】A

【详解】根据 的顶点坐标为 ，易得抛物线y=2（x﹣3）2+4顶点坐标是（3，4）.故选A.
6. 如图，已知二次函数y1=x2﹣x的图象与正比例函数y2=x的图象交于点A（3，2），与x轴交于点B（2，0），若y1＜y2，则x的取值范围是（　　）

A. 0＜x＜2 B. x＜0或x＞3 C. 2＜x＜3 D. 0＜x＜3
【正确答案】D

【详解】直接利用已知函数图象得出y1在y2下方时，x的取值范围即可．
解：如图所示：若y1＜y2，则二次函数图象在函数图象的下面，
此时x的取值范围是：0＜x＜3．
故选D．
点睛：此题主要考查了二次函数与没有等式，正确利用数形求出是解题关键．
7. 观察下列表格，一元二次方程x2﹣x﹣1.1=0的最的一个近似解是（　　）
x
1.1
1.2
1.3
1.4
1.5
1.6
1.7
1.8
1.9
x2﹣x﹣1.1
﹣0.99
﹣0.86
﹣0.71
﹣0.54
﹣0.35
﹣0.14
0.09
0.34
0.61

A. 0.09 B. 1.1 C. 1.6 D. 1.7
【正确答案】D

【详解】根据图表数据找出一元二次方程最接近0的未知数的值，即为最的近似解．
解：∵x=1.7时，x2﹣x﹣1.1的值0.09最小，
∴一元二次方程x2﹣x﹣1.1=0的最的一个近似解是1.7．
故选D．
点睛：本题考查了图象法求一元二次方程的近似根，解此类题目的关键在于找代数式的值最接近0的未知数的值．
8. 对于二次函数y=2（x﹣1）2﹣3的图象性质，下列说法没有正确的是（　　）
A. 开口向上 B. 对称轴为直线x=1 C. 顶点坐标为（1，﹣3） D. 最小值为3
【正确答案】D

【分析】根据二次函数的性质即可直接判断．
【详解】A.a=2＞0，则函数开口向上，故命题正确；
B.对称轴是直线x=1，故命题正确；
C.顶点坐标是（1，﹣3），命题正确；
D.最小值是﹣3，命题错误．
故选D．
本题考查了二次函数的性质，正确记忆函数的性质是解决本题的关键．
9. 如图，⊙O的半径为5，弦AB的长为8，点M在线段AB（包括端点A，B）上移动，则OM的取值范围是（　　）

A. 3≤OM≤5 B. 3≤OM＜5 C. 4≤OM≤5 D. 4≤OM＜5
【正确答案】A

【详解】试题分析：当M与A或B重合时，达到值，即圆的半径5；
当OM⊥AB时，为最小值=
故OM的取值范围是：3≤OM≤5．
故选A．
考点：1.垂径定理；2.勾股定理．
10. 已知抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）在平面直角坐标系中的位置如图所示，则下列结论中，正确的是（　　）

A. ac＜0 B. a+b+c＜0 C. b2﹣4ac＜0 D. b=8a
【正确答案】D

【详解】根据二次函数的性质即可得出a，b，c的符号以及a+b+c的值，利用图象与x轴交点个数得出b2﹣4ac符号，以及利用对称轴得出b=8a．
解：∵图象开口向上，对称轴为直线：x=﹣4，
∴a，b同号，
∵图象与y轴交在y轴正半轴上，∴c＞0，
∴A．ac＞0，故此选项错误；
B．当x=1对应的函数图形上x轴上方，所以x=1，y=a+b+c＞0，故此选项错误；
C．∵图象与x轴有两个交点，∴b2﹣4ac＞0，故此选项错误；
D．∵x=﹣=﹣4，
∴b=8a，故此选项正确．
故选D．
11. 在同一坐标系中函数y=ax﹣b和二次函数y=ax2+bx的图象可能为（   ）
A. B. C. D.
【正确答案】C

【分析】逐一分析各选项中函数与二次函数的系数的符号，然后比较即可得.
【详解】A、由抛物线可知，a＞0，x=-＞0，得b＜0，由直线可知，a＞0，-b＜0，即b>0，故本选项错误；
B、由抛物线可知，a＞0，由直线可知，a＜0，故本选项错误；
C、由抛物线可知，a＜0，x=-＞0，得b＞0，由直线可知，a＜0，b>0，故本选项正确；
D、由抛物线可知，a＜0，x=-<0，得b<0，由直线可知，a＞0，b>0，故本选项错误．
故选C．
12. 二次函数（）的图象如图所示，下列说法：
①，
②当时，，
③若、在函数图象上，当时，，
④，
其中正确的是（ ）

A. ①②④ B. ①④ C. ①②③ D. ③④
【正确答案】B

【分析】①由抛物线与x轴的两交点坐标可求出抛物线的对称轴为直线x＝1，进而即可得出2a＋b＝0，符合题意；②图形即可得出当−1≤x≤时，y≤0，没有符合题意；③根据二次函数的性质找出：当x≤1时，y值随x的增大而减小，进而即可得出③没有符合题意；④由（3，0）在抛物线上，代入后即可得出9a＋3b＋c＝0，符合题意．
【详解】解：①∵二次函数图象的对称轴为：，
∴，即，故①正确；
②由函数图象可知，当时，，故②错误；
③∵抛物线的对称轴为x=1，开口方向向上，
∴当时，；当时，；故③错误；
④∵二次函数的图象过点（3，0），
∴当x=3时，y=0，即，故④正确．
故选：B．
本题考查了抛物线与x轴的交点、二次函数图象与系数的关系、二次函数的性质以及二次函数图象上点的坐标特征，逐一分析四条结论的正确性是解题的关键．
二、填 空 题（本大题共6小题，共24分）
13. 二次函数y＝2(x－3)2－4的最小值为________．
【正确答案】－4

【详解】由二次函数y=2（x﹣3）2﹣4，根据二次函数的性质即可求出其最小值：
∵y=2（x﹣3）2﹣4，
∴当x=3时，二次函数y=2（x﹣3）2﹣4，取得最小值为-4.
14. 二次函数y=（k﹣1）x2+（2k﹣1）x+k﹣2与x轴有两个交点，则k的取值范围是_____．
【正确答案】k≥且k≠1

【详解】根据二次函数y=（k﹣1）x2+（2k﹣1）x+k﹣2与x轴有两个交点可知△≥0，由△≥0可得出关于k的没有等式，求出k的取值范围即可．
解：∵二次函数y=（k﹣1）x2+（2k﹣1）x+k﹣2与x轴有两个交点，
∴△≥0，k﹣1≠0，
即且，
解得k≥且k≠1．
故答案为k≥且k≠1．
点睛：本题主要考查抛物线与x轴的交点及二次函数的定义. 题中k﹣1≠0是易忽略的地方，是本题的易错点，而根据二次函数的定义及抛物线与x轴的交点个数建立没有等式组是解题的关键.
15. 若，， 为二次函数的图象上的三点，则，，的大小关系是______．
【正确答案】

【分析】分别将点的坐标代入二次函数解析式，然后进行判断即可．
【详解】，
，
，
，
．
故答案为．
本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，二次函数图像上点的坐标满足二次函数解析式．
16. 如图，将线段AB绕点O顺时针旋转90°得到线段A′B′，那么A（﹣2，5）对应点A′的坐标是_________________.

【正确答案】(5,2)

【详解】解：∵线段AB绕点O顺时针旋转90°得到线段A′B′，
∴△ABO≌△A′B′O′，∠AOA′=90°，
∴AO=A′O．作AC⊥y轴于C，A′C′⊥x轴于C′，
∴∠ACO=∠A′C′O=90°．∵∠COC′=90°，
∴∠AOA′﹣∠COA′=∠COC′﹣∠COA′，
∴∠AOC=∠A′OC′．
在△ACO和△A′C′O中，
∵∠ACO=∠A′C′O，∠AOC=∠A′OC′，AO=A′O，
∴△ACO≌△A′C′O（AAS），
∴AC=A′C′，CO=C′O．
∵A（﹣2，5），
∴AC=2，CO=5，
∴A′C′=2，OC′=5，
∴A′（5，2）．故答案为（5，2）．

考点：坐标与图形变化-旋转．

17. 过⊙O内一点M的最长弦为10cm，OM=3cm，则过M点的最短弦长是_____cm．
【正确答案】8

【详解】根据垂径定理及勾股定理即可求出．
解：由已知可知，最长的弦是过M的直径AB，
最短的是垂直平分直径的弦CD，

已知AB=10cm，OM=3cm，
则OD=5cm，
由勾股定理得MD=4cm，
∴CD=8cm，
故答案8．
18. 写一个你喜欢的实数m的值_____，使得“对于二次函数y=x2﹣（m﹣1）x+3，当x＜﹣3时，y随x的增大而减小”成为随机．
【正确答案】2（答案没有）

详解】试题解析：，

∵当x<−3时，y随x增大而减小，
∴m−1<−3，
解得：m<−2，
∴x<−2的任意实数即可．
故答案为−4(答案没有).
三、解 答 题（本大题共7小题，共78分）
19. 已知二次函数y=﹣x2+3x+4的图象如图：（直接写答案）
（1）方程﹣x2+3x+4=0的解是　 　；
（2）没有等式﹣x2+3x+4＞0的解集是　 　；
（3）没有等式﹣x2+3x+4＜0的解集是　 　．

【正确答案】（1）x1=﹣1，x2=4；（2）﹣1＜x＜4；（3）x＜﹣1或x＞4．

【详解】（1）二次函数y=﹣x2+3x+4的图象与x轴的交点横坐标就是方程﹣x2+3x+4=0的解；
（2）看x轴上方图象x的取值范围；
（3）看x轴下方图象x的取值范围．
解：由图象可知：
（1）方程﹣x2+3x+4=0的解是x1=﹣1，x2=4；
（2）没有等式﹣x2+3x+4＞0的解集是﹣1＜x＜4；
（3）没有等式﹣x2+3x+4＜0的解集是x＜﹣1，或x＞4；
故答案为x1=﹣1，x2=4；﹣1＜x＜4；x＜﹣1，或x＞4．
点睛：此题考查二次函数与方程、没有等式的联系，二次函数与x轴的交点问题，解题的关键是利用图象直观解决问题．
20. 如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=1，将△ABC绕点C顺时针旋转60°至△A′B′C，点A的对应点A′恰好落在AB上，求BB′的长．

【正确答案】BB′=

【分析】先利用旋转的旋转得CA=CA′，CB=CB′，∠ACA′=∠BCB′=60°，则可判断△ACA′和△BCB′均为等边三角形，所以BB′=BC，∠A=60°，再利用∠A=60°得∠ABC=30°，所以BC=AC=，从而得到BB′的长．
【详解】解：∵将△ABC绕点C顺时针旋转60°至△A′B′C，
∴CA=CA′，CB=CB′，∠ACA′=∠BCB′=60°，
∴△ACA′和△BCB′均为等边三角形，
∴BB′=BC，∠A=60°，
∵点A′在AB上，∠ACB=90°，
∴∠A=60°，∠ABC=90°﹣∠A=30°，
在Rt△ABC中，AC=1，
∴AB=2AC=2，则BC=AC=，
∴BB′=．
本题考查了旋转的性质、等边三角形的判定与性质、含30°的直角三角形的性质、勾股定理，根据旋转的性质：对应点到旋转的距离相等；对应点与旋转所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等是解题的关键．
21. 如图，△ABC的三个顶点都在边长为1的小正方形组成的网格的格点上，以点O为原点建立直角坐标系，回答下列问题：
（1）将△ABC先向上平移5个单位，再向右平移1个单位得到△A1B1C1，画出△A1B1C1，并直接写出A1的坐标　 　；
（2）将△A1B1C1绕点（0，﹣1）顺时针旋转90°得到△A2B2C2，画出A2B2C2；
（3）观察图形发现，A2B2C2是由△ABC绕点　 　顺时针旋转　 　度得到的．

【正确答案】（1）画图见解析，A1（﹣3，4）；（2）画图见解析；（3）（2，﹣4），90°．

【分析】（1）根据网格结构找出点A、B、C平移后的对应点A1、B1、C1的位置，然后顺次连接即可，再根据平面直角坐标系写出点A1的坐标；
（2）根据网格结构找出点A1、B1、C1绕点（0，﹣1）顺时针旋转90°的对应点A2、B2、C2的位置，然后顺次连接即可；
（3）作对应点A与A2、B与B2的连线的垂直平分线，交点即为旋转，再根据图形确定出旋转角度数即可．
【详解】解：（1）如图所示，△A1B1C1即为所求，由题可得A1（﹣3，4）；
故答案为（﹣3，4）；
（2）如图所示，△A2B2C2即为所求；

（3）如图，△A2B2C2是由△ABC绕点（2，﹣4）顺时针旋转90度得到的．
故答案为（2，﹣4），90°．
本题主要考查了利用旋转变换作图，利用平移变换作图以及旋转的性质，熟练掌握网格结构准确找出对应点的位置是解题的关键．
22. 如图，⊙P的圆心为P（﹣3，2），半径为3，直线MN过点M（5，0）且平行于y轴，点N在点M的上方．
（1）在图中作出⊙P关于y轴对称的⊙P′．根据作图直接写出⊙P′与直线MN的位置关系．
（2）若点N在（1）中的⊙P′上，求PN的长．

【正确答案】（1）作图见解析，⊙P′与直线MN相交；（2）PN= ．

【详解】分析：在平面直角坐标系中，易知点P′的坐标为(3，2)，⊙P′的半径和⊙P的半径相等为3，这样⊙P′就被确定，因为点N在直线MN上，直线MN过(5，0)点且平行于y轴，直线PP′⊥MN，这样利用勾股定理就可求得PN的长度．
解：(1)如图，⊙P′的圆心为(3，2)，半径为3，与直线MN相交．

(2)连接PP′，交直线MN于点A，
∵点P、P′的纵坐标相同，∴PP′∥x轴，
又∵MN∥y轴，∴PP′⊥MN，
∴点A的坐标为(5，2)．
在Rt△P′NA中，P′N＝3，P′A＝5－3＝2.
∴AN＝＝＝，
在Rt△PAN中，PA＝5－(－3)＝8，AN＝，
∴PN＝＝＝.
23. 如图，AB是圆O的直径，CD为弦，AB⊥CD，垂足为H，连接BC、BD．
（1）求证：BC=BD；
（2）已知CD=6，OH=2，求圆O的半径长．

【正确答案】（1）证明见解析；（2）OC= ．

【详解】（1）根据垂径定理可得，由此即可解决问题；
（2）在Rt△OCH中利用勾股定理计算即可；
（1）证明：∵AB是圆O的直径，CD为弦，AB⊥CD，
∴，
∴BC=BD；
（2）解：连接OC，

∵AB是圆O的直径，CD为弦，AB⊥CD，CD=6，
∴CH=3，
∴OC=．
点睛：本题考查了垂径定理、勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握圆基本知识，并勾股定理进行求解．
24. 如图，在△ABC中，∠ACB=90°，O是边AC上一点，以O为圆心，OA为半径的圆分别交AB，AC于点E，D，在BC的延长线上取点F，使得BF=EF，EF与AC交于点G．
（1）试判断直线EF与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若OA=2，∠A=30°，求图中阴影部分的面积．

【正确答案】（1）EF是⊙O的切线，理由见解析；（2）S阴影=．

【详解】试题分析：（1）连接OE，根据等腰三角形的性质得到∠A=∠AEO，∠B=∠BEF，于是得到∠OEG=90°，即可得到结论；（2）由AD是⊙O的直径，得到∠AED=90°，根据三角形的内角和得到∠EOD=60°，求得∠EGO=30°，根据三角形和扇形的面积公式即可得到结论．
试题解析：（1）连接OE，
∵OA=OE，∴∠A=∠AEO，
∵BF=EF，∴∠B=∠BEF，
∵∠ACB=90°，∴∠A+∠B=90°，∴∠AEO+∠BEF=90°，
∴∠OEG=90°，∴EF是⊙O的切线；
（2）∵AD是⊙O的直径，∴∠AED=90°，
∵∠A=30°，∴∠EOD=60°，∴∠EGO=30°，
∵AO=2，∴OE=2，∴EG=2 ，
∴阴影部分的面积== ．

本题考查了切线的判定、等腰三角形的性质、圆周角定理、扇形的面积的计算等，连接OE是解题的关键.
25. 如图，已知抛物线y＝ax2+bx+3点A（﹣1，0）、B（3，0）两点，且交y轴交于点C．

（1）求抛物线的解析式；
（2）点M是线段BC上的点（没有与B、C重合），过M作MN∥y轴交抛物线于N，若点M的横坐标为m，请用m的代数式表示MN的长；
（3）在（2）的条件下，连接，NC，是否存在点M，使△BNC的面积？若存在，求m的值；若没有存在，说明理由．
【正确答案】（1）y＝﹣x2+2x+3；（2）MN＝﹣m2+3m（0＜m＜3）；（3）存在，当m＝时，△BNC的面积，值为

【分析】（1）直接利用待定系数法即可求出抛物线的解析式；
（2）先利用待定系数法求出直线BC的解析式，已知点M的横坐标，代入直线BC、抛物线的解析式中，可得到M、N点的坐标，N、M纵坐标的差的值即为MN的长；
（3）根据题（1）（2）的结论，列出关于m的表达式，再利用函数的性质求解的值即可.
【详解】（1）抛物线点两点，代入得：
，解得：
则抛物线的解析式为；
（2）由抛物线可知，
因此，设直线BC的解析式为：
代入得
解得：
则直线BC的解析式：
已知点M的横坐标为m，且轴，则；
则
故MN的长为；
（3）存在点M，使的面积
如图，过点M作轴于点D
则
即
由二次函数的性质可知：当时，随m的增大而增大；当时，随m的增大而减小
则当时，的面积，值为.

本题考查了利用待定系数法求函数和二次函数的解析式，以及二次函数图象的性质，较难的是题（3），求出的面积关于m的表达式是解题关键.









2022-2023学年内蒙古赤峰市九年级上册数学期中提升突破模拟题
（B卷）
一、选一选（每小题3分，共36分）
1. 下列标志既是轴对称图形又是对称图形的是（　　）
A. B. C. D.
2. 若方程是关于x的一元二次方程，则（ ）
A. B. m=2 C. m=-2 D.
3. 抛物线的顶点坐标是　　
A. B. C. D.
4. 二次函数y=x2﹣2x﹣3与x轴交点的个数为（　　）
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
5. 二次函数y=ax2+bx+c的部分对应值如表：
x
…
﹣2
﹣1
0
1
2
3
…
y
…
5
0
﹣3
﹣4
﹣3
0
…
二次函数图象的对称轴是（　　）
A. 直线x=1 B. y轴 C. 直线x= D. 直线x=﹣
6. 若点P（x+1，﹣ ）与点Q（2，y﹣1）关于原点对称，则x+y等于（　　）
A. B. ﹣ C. ﹣2 D. 3
7. 已知二次函数y=3（x﹣1）2+k的图象上有三点A（，y1），B（2，y2），C（﹣，y3），则y1、y2、y3的大小关系为（　　）
A. y1＞y2＞y3 B. y2＞y1＞y3 C. y3＞y1＞y2 D. y3＞y2＞y1
8. 同一平面直角坐标系中，抛物线y＝(x－a)2与直线y＝ax+a的图象可能是（ ）
A. B. C. D.
9. 某商品的进价为每件40元，当售价为每件80元时，每星期可卖出200件，现需降价处理，且经市场：每降价1元，每星期可多卖出8件，店里每周利润要达到8450元．若设店主把该商品每件售价降低x元，则可列方程为（　　）
A. B.
C. D.
10. 如图，在正方形ABCD中，E为DC边上的点，连接BE，将△BCE绕点C顺时针方向旋转90°得到△DCF，连接EF，若∠BEC=60°，则∠EFD的度数为_______度．

11. 如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AC是⊙O的直径，∠C=50°，∠ABC的平分线BD交⊙O于点D，则∠BAD的度数是（ ）

A. 45° B. 85° C. 90° D. 95°
12. 如图是二次函数图象一部分，其对称轴为x=﹣1，且过点（﹣3，0）．下列说法：①abc＜0；②2a﹣b=0；③4a+2b+c＜0；④若（﹣5，y1），（，y2）是抛物线上两点，则
y1＞y2．其中说确的是【 】

A. ①② B. ②③ C. ①②④ D. ②③④
二、填 空 题（每小题3分，共18分）
13. 已知x的方程x2﹣ax﹣a2﹣1=0的其中一个根是2，则a的值是_____．
14. 已知关于x的一元二次方程x2+（2k+3）x+k2＝0有两个没有相等的实数根x1，x2．若＝﹣1，则k的值为_____．
15. 二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则方程ax2+bx+c=0的两根为______．

16. 如图，已知正方形的边长为3，、分别是、边上的点，且，将绕点逆时针旋转，得到．若，则的长为____．

17. 工程上常用钢珠来测量零件上小圆孔的宽口，假设钢珠的直径是10mm，测得钢珠顶端离零件表面的距离为8mm，如图所示，则这个小圆孔的宽口AB的长度为____mm．
18. 如图，Rt△OAB顶点A（﹣2，4）在抛物线y=ax2上，将Rt△OAB绕点O顺时针旋转90°，得到△OCD，边CD与该抛物线交于点P，则点P的坐标为_____．

三、解 答 题（共66分）
19. 解下列方程：（1）x2﹣12x﹣4=0（用配方法） （2）3（x﹣2）2=x（x﹣2）
20. 在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为A（2，﹣1），B（3，﹣3），C（0，﹣4）
（1）画出△ABC关于原点O成对称△A1B1C1；
（2）画出△A1B1C1关于y轴对称的△A2B2C2．

21. 已知：如图，在中，，以为边向形外作等边三角形，把绕着点按顺时针方向旋转后得到，若，，求的度数与的长.

22. 如图，⊙O的半径OD⊥弦AB于点C，连结AO并延长交⊙O于点E，连结EC．若AB＝8，CD＝2．
（1）求OD长．
（2）求EC长．

23. 某广告公司设计一幅周长为16米的矩形广告牌，广告设计费为每平方米2000元．设矩形一边长为x，面积为S平方米．
（1）求S与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
（2）设计费能达到24000元吗？为什么？
（3）当x是多少米时，设计费至多？至多是多少元？
24. 如图，已知抛物线y＝﹣+bx+4与x轴相交于A、B两点，与y轴相交于点C，若已知A点的坐标为A（﹣2，0）．
（1）求抛物线的解析式及它的对称轴方程；
（2）求点C的坐标，连接AC、BC并求线段BC所在直线的解析式；
（3）在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使△ACQ为等腰三角形？若存在，求出符合条件的Q点坐标；若没有存在，请说明理由．

2022-2023学年内蒙古赤峰市九年级上册数学期中提升突破模拟题
（B卷）
一、选一选（每小题3分，共36分）
1. 下列标志既是轴对称图形又是对称图形的是（　　）
A. B. C. D.
【正确答案】A

【分析】根据轴对称图形的定义“平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形叫做轴对称图形”、对称图形的定义“平面内，把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做对称图形”逐项判断即可．
【详解】解：A、是轴对称图形，也是对称图形，则此项符合题意
B、是轴对称图形，没有是对称图形，则此项没有符题意
C、没有是轴对称图形，是对称图形，则此项没有符题意
D、没有是轴对称图形，也没有是对称图形，则此项没有符题意
故选：A．
本题考查了轴对称图形和对称图形的定义，熟记定义是解题关键．
2. 若方程是关于x的一元二次方程，则（ ）
A. B. m=2 C. m=-2 D.
【正确答案】B

【分析】根据一元二次方程的定义可以得到关于m的方程，从而得到m的值．
【详解】解：由题意得：，即，∴m=2
故选B．
本题考查一元二次方程的定义，注意一元二次方程的二次项系数没有为0是解题关键．
3. 抛物线的顶点坐标是　　
A. B. C. D.
【正确答案】D

【分析】直接根据顶点式的特点写出顶点坐标．
【详解】解：因为是抛物线的顶点式，
根据顶点式的坐标特点，顶点坐标为．
故选D．
主要考查了求抛物线的顶点坐标的方法．
4. 二次函数y=x2﹣2x﹣3与x轴交点的个数为（　　）
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
【正确答案】B

【详解】根据b2﹣4ac与零的关系即可判断出二次函数y=x2﹣2x﹣3的图象与x轴交点的个数．
解：∵△=b2﹣4ac=（﹣2）2﹣4×1×（﹣3）=16＞0，
∴二次函数y=x2﹣2x﹣3的图象与x轴有2个交点．
故选B．
5. 二次函数y=ax2+bx+c的部分对应值如表：
x
…
﹣2
﹣1
0
1
2
3
…
y
…
5
0
﹣3
﹣4
﹣3
0
…
二次函数图象的对称轴是（　　）
A. 直线x=1 B. y轴 C. 直线x= D. 直线x=﹣
【正确答案】A

【详解】由当x=0和x=2时y值均为﹣3，可得出点（0，﹣3）和（2，﹣3）关于二次函数图象的对称轴对称，即可求出该二次函数图象的对称轴．
解：∵当x=0和x=2时，y值均为﹣3，
∴点（0，﹣3）和（2，﹣3）关于二次函数图象的对称轴对称，
∴二次函数图象的对称轴为直线x==1．
故选A．
6. 若点P（x+1，﹣ ）与点Q（2，y﹣1）关于原点对称，则x+y等于（　　）
A. B. ﹣ C. ﹣2 D. 3
【正确答案】B

【详解】直接利用关于原点对称点的性质，两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，即点P（x，y）关于原点O的对称点是P′（﹣x，﹣y），进而得出x，y的值即可得出答案．
解：∵点P（x+1，﹣）与点Q（2，y﹣1）关于原点对称，
∴x+1=﹣2，y﹣1=，
解得：x=﹣1﹣2，y=1+，
则x+y=﹣1﹣2+1+=﹣．
故选B．
7. 已知二次函数y=3（x﹣1）2+k的图象上有三点A（，y1），B（2，y2），C（﹣，y3），则y1、y2、y3的大小关系为（　　）
A. y1＞y2＞y3 B. y2＞y1＞y3 C. y3＞y1＞y2 D. y3＞y2＞y1
【正确答案】D

【详解】试题分析：根据二次函数的解析式y＝3(x－1)2＋k，可知函数的开口向上，对称轴为x=1，根据函数图像的对称性，可得这三点的函数值的大小为y3＞y2＞y1.
故选D
点睛：此题主要考查了二次函数的图像与性质，解题时先根据顶点式求出开口方向，和对称轴，然后根据函数的增减性比较即可，这是中考常考题，难度有点偏大，注意图形判断验证.
8. 同一平面直角坐标系中，抛物线y＝(x－a)2与直线y＝ax+a的图象可能是（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】D

【分析】先根据函数的图象判断 , 的符号,再判断二次函数图象与实际是否相符,判断正误.
【详解】A.由函数y＝ax+a 的图象可得: a<0且a>0 ,两者矛盾,故A错误;
B．由函数 y＝ax+a的图象可得: a<0,此时二次函数 y＝(x－a)2的顶点(a, 0)的位置可推出a>0 ,两者矛盾,故B错误;
C.由函数 y＝ax+a的图象可得: a<0且a>0,两者矛盾,故C错误;
D.由函数y＝ax+a 的图象可得:a>0 ,此时二次函数 y＝(x－a)2的顶点(a, 0)的位置可推出a>0 ,故D正确;
故选:D.
此题考查函数图象的判别，解题关键在于函数图象进行解答.
9. 某商品的进价为每件40元，当售价为每件80元时，每星期可卖出200件，现需降价处理，且经市场：每降价1元，每星期可多卖出8件，店里每周利润要达到8450元．若设店主把该商品每件售价降低x元，则可列方程为（　　）
A. B.
C. D.
【正确答案】B

【详解】利润=售价﹣进价，由每降价1元，每星期可多卖出8件，可知每件售价降低x元，每星期可多卖出8x件，从而列出方程即可．
解：原来售价为每件80元，进价为每件40元，利润为每件40元，
所以每件售价降价x元后，利润为每件（40﹣x）元．
每降价1元，每星期可多卖出8件，
因为每件售价降低x元，每星期可多卖出8x件，现在的销量为(200+8x)．
根据题意得：（40﹣x）×(200+8x) =8450.
故选B．
点睛：本题主要考查列一元二次方程解决实际问题.解题关键在于要理解题意，并根据题中的数量关系建立方程.
10. 如图，在正方形ABCD中，E为DC边上的点，连接BE，将△BCE绕点C顺时针方向旋转90°得到△DCF，连接EF，若∠BEC=60°，则∠EFD的度数为_______度．

【正确答案】15

【分析】根据旋转的性质知∠DFC=60°，再根据EF=CF，EC⊥CF知∠EFC=45°，故∠EFD=∠DFC-∠EFC=15°.
【详解】∵△DCF是△BCE旋转以后得到的图形，
∴∠BEC=∠DFC=60°，∠ECF=∠BCE=90°，CF=CE．
又∵∠ECF=90°，
∴∠EFC=∠FEC=（180°﹣∠ECF）=（180°﹣90°）=45°，
故∠EFD=∠DFC﹣∠EFC=60°﹣45°=15°．
此题主要考查正方形的性质，解题的关键是熟知等腰直角三角形与正方形的性质.
11. 如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AC是⊙O的直径，∠C=50°，∠ABC的平分线BD交⊙O于点D，则∠BAD的度数是（ ）

A. 45° B. 85° C. 90° D. 95°
【正确答案】B

【详解】解：∵AC是⊙O的直径，∴∠ABC=90°，
∵∠C=50°，∴∠BAC=40°，
∵∠ABC平分线BD交⊙O于点D，∴∠ABD=∠DBC=45°，
∴∠CAD=∠DBC=45°，
∴∠BAD=∠BAC+∠CAD=40°+45°=85°，
故选B．
本题考查圆周角定理；圆心角、弧、弦的关系．

12. 如图是二次函数图象的一部分，其对称轴为x=﹣1，且过点（﹣3，0）．下列说法：①abc＜0；②2a﹣b=0；③4a+2b+c＜0；④若（﹣5，y1），（，y2）是抛物线上两点，则
y1＞y2．其中说确的是【 】

A. ①② B. ②③ C. ①②④ D. ②③④
【正确答案】C

【详解】∵二次函数的图象的开口向上，∴a＞0．
∵二次函数的图象y轴的交点在y轴的负半轴上，∴c＜0．
∵二次函数图象的对称轴是直线x=﹣1，∴．∴b=2a＞0．
∴abc＜0，因此说法①正确．
∵2a﹣b=2a﹣2a=0，因此说法②正确．
∵二次函数图象的一部分，其对称轴为x=﹣1，且过点（﹣3，0），
∴图象与x轴的另一个交点的坐标是（1，0）．
∴把x=2代入y=ax2+bx+c得：y=4a+2b+c＞0，因此说法③错误．
∵二次函数图象的对称轴为x=﹣1，
∴点（﹣5，y1）关于对称轴的对称点的坐标是（3，y1），
∵当x＞﹣1时，y随x的增大而增大，而＜3
∴y2＜y1，因此说法④正确．
综上所述，说确的是①②④．
故选C．
二、填 空 题（每小题3分，共18分）
13. 已知x的方程x2﹣ax﹣a2﹣1=0的其中一个根是2，则a的值是_____．
【正确答案】﹣3或1

【详解】把x=2代入解得a即可．
解：∵关于x的方程x2﹣ax﹣a2﹣1=0的其中一个根是2，
∴4﹣2a﹣a2﹣1=0，
解得a=﹣3或1，
故答案为﹣3或1．
14. 已知关于x的一元二次方程x2+（2k+3）x+k2＝0有两个没有相等的实数根x1，x2．若＝﹣1，则k的值为_____．
【正确答案】3．

【分析】利用根与系数的关系＝﹣1可得出关于k的方程，解之可得出k的值，由方程的系数根的判别式△＞0可得出关于k的没有等式，解之即可得出k的取值范围，进而可确定k的值，此题得解．
【详解】∵关于x一元二次方程x2+（2k+3）x+k2＝0的两根为x1，x2，
∴x1+x2＝﹣（2k+3），x1x2＝k2，
∴＝＝﹣＝﹣1，
解得：k1＝﹣1，k2＝3．
∵关于x的一元二次方程x2+（2k+3）x+k2＝0有两个没有相等的实数根，
∴△＝（2k+3）2﹣4k2＞0，
解得：k＞﹣，
∴k1＝﹣1舍去．
∴k=3.
故答案为3．
本题考查了一元二次方程根与系数的关系及根的判别式，熟练运用根与系数的关系及根的判别式是解决问题的关键.
15. 二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则方程ax2+bx+c=0的两根为______．

【正确答案】x1=﹣1，x2=3

【详解】图象得到抛物线与x轴的一交点坐标为（﹣1，0），对称轴方程为x=1，则抛物线与x轴的另一交点坐标与（﹣1，0）关于直线x=1对称，可得出另一交点的坐标，根据二次函数与一元二次方程的关系即可求解．
解：∵抛物线与x轴的一交点坐标为（﹣1，0），对称轴方程为x=1，
∴抛物线与x轴的另一交点坐标与（﹣1，0）关于直线x=1对称，
∴抛物线与x轴的另一交点坐标（3，0）．
∴方程ax2+bx+c=0的两根为：x1=﹣1，x2=3．
故答案是：x1=﹣1，x2=3．
16. 如图，已知正方形的边长为3，、分别是、边上的点，且，将绕点逆时针旋转，得到．若，则的长为____．

【正确答案】

【分析】由旋转可得，为直角，可得出，由，得到为，可得出，再由，利用可得出三角形与三角形全等，由全等三角形的对应边相等可得出；则可得到，正方形的边长为3，用求出的长，再由求出的长，设，可得出，在直角三角形中，利用勾股定理列出关于的方程，求出方程的解得到的值，即为的长．
【详解】解：逆时针旋转得到，
，
、、三点共线，
，，
，
，
，
在和中，
，
，
，
设，
，且，
，
，
，
在中，由勾股定理得，
即，
解得：，
．
故．
此题考查了正方形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定与性质，以及勾股定理．此题难度适中，解题的关键是注意掌握数形思想与方程思想的应用．
17. 工程上常用钢珠来测量零件上小圆孔的宽口，假设钢珠的直径是10mm，测得钢珠顶端离零件表面的距离为8mm，如图所示，则这个小圆孔的宽口AB的长度为____mm．
【正确答案】8

【分析】先根据钢珠的直径求出其半径，再构造直角三角形，求出小圆孔的宽口AB的长度的一半，乘以2即为所求．
【详解】连接OA，过点O作OD⊥AB于点D，

则AB=2AD，
∵钢珠的直径是10mm，∴钢珠的半径是5mm．
∵钢珠顶端离零件表面的距离为8mm，∴OD=3mm．
在Rt△AOD中，∵mm，
∴AB=2AD=2×4=8mm
本题是典型的几何联系实际应用题，熟练运用垂径定理是解题的关键．
18. 如图，Rt△OAB的顶点A（﹣2，4）在抛物线y=ax2上，将Rt△OAB绕点O顺时针旋转90°，得到△OCD，边CD与该抛物线交于点P，则点P的坐标为_____．

【正确答案】（ ，2）

【详解】由题意得：
，即点P的坐标.
三、解 答 题（共66分）
19. 解下列方程：（1）x2﹣12x﹣4=0（用配方法） （2）3（x﹣2）2=x（x﹣2）
【正确答案】（1）x1=6+2，x2=6﹣2；（2）x1=2，x2=3．

【详解】（1）移项，配方，开方，即可得出两个一元方程，求出方程的解即可；
（2）先移项，再分解因式，即可得出两个一元方程，求出方程的解即可
解：（1）x2﹣12x﹣4=0，
x2﹣12x=4，
x2﹣12x+36=4+36，
（x﹣6）2=40，
x﹣6=，
x1=6+2，x2=6﹣2；
（2）移项得：3（x﹣2）2﹣x（x﹣2）=0，
（x﹣2）[3（x﹣2）﹣x]=0，
x﹣2=0，3（x﹣2）﹣x=0，
x1=2，x2=3．
20. 在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为A（2，﹣1），B（3，﹣3），C（0，﹣4）
（1）画出△ABC关于原点O成对称△A1B1C1；
（2）画出△A1B1C1关于y轴对称的△A2B2C2．

【正确答案】（1）见解析；（2）见解析．

【详解】试题分析：（1）根据网格结构找出点A、B、C关于原点对称的点A1、B1、C1的位置，然后顺次连接即可；（2）根据网格结构找出点A1、B1、C1关于y轴对称的点A2、B2、C2的位置，然后顺次连接即可．
试题解析：（1）△A1B1C1如图所示；（2）△A2B2C2如图所示．

考点：（1）作图-旋转变换；（2）作图-轴对称变换
21. 已知：如图，在中，，以为边向形外作等边三角形，把绕着点按顺时针方向旋转后得到，若，，求的度数与的长.

【正确答案】，AD=5

【分析】只要证明A、B、D、C四点共圆，即可推出∠BAD=∠BCD =60°，然后证明A、C、E三点共线，根据旋转的性质，推出AD=AE=AC+CE=AC+AB=2+3=5．
【详解】解：∵的，以为边向形外作等边，
∴.
∴，，，四点共圆，
∴，，
又∵，
∴，
∴，即，，共线
∵把绕点按顺时针方向旋转到位置且，
∴，
∴.
本题考查旋转变换、等边三角形的性质、四边形内角和定理等知识，解题的关键是充分利用旋转没有变性解决问题，本题的突破点是证明A、C、E共线，△AED是等边三角形即可．
22. 如图，⊙O的半径OD⊥弦AB于点C，连结AO并延长交⊙O于点E，连结EC．若AB＝8，CD＝2．
（1）求OD的长．
（2）求EC的长．

【正确答案】（1）5 （2）

【分析】(1)设⊙O的半径为r，根据垂径定理求出AC的长，在Rt△OAC中利用勾股定理求出r的值；
(2)连接BE，由AE是直径，根据圆周角定理得到∠ABE=90°，利用OC是△ABE的中位线得到BE=2OC=6，然后在Rt△CBE中利用勾股定理可计算出CE．
【详解】解：(1)设⊙O半径为r，则OA＝OD＝r，OC＝r﹣2，
∵OD⊥AB，
∴∠ACO＝90°，
AC＝BC＝AB＝4，
在Rt△ACO中，由勾股定理得：r2＝42+（r﹣2）2，
r＝5，
∴OD＝r＝5；
(2)连接BE，如图：

由(1)得：AE＝2r＝10，
∵AE为⊙O的直径，
∴∠ABE＝90°，
由勾股定理得：BE＝6，
在Rt△ECB中，EC＝＝＝2．
故答案为(1)5；(2).
本题考查的是垂径定理及勾股定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．
23. 某广告公司设计一幅周长为16米的矩形广告牌，广告设计费为每平方米2000元．设矩形一边长为x，面积为S平方米．
（1）求S与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
（2）设计费能达到24000元吗？为什么？
（3）当x是多少米时，设计费至多？至多是多少元？
【正确答案】（1）S=﹣x2+8x，其中0＜x＜8；（2）能，理由见解析；（3）当x=4米时，矩形的面积为16平方米，设计费至多，至多是32000元．

【详解】试题分析：（1）由矩形的一边长为x、周长为16得出另一边长为8﹣x，根据矩形的面积公式可得答案；
（2）由设计费为24000元得出矩形面积为12平方米，据此列出方程，解之求得x的值，从而得出答案；
（3）将函数解析式配方成顶点式，可得函数的最值情况．
试题解析：（1）∵矩形的一边为x米，周长为16米，∴另一边长为（8﹣x）米，∴S=x（8﹣x）=，其中0＜x＜8，即（0＜x＜8）；
（2）能，∵设计费能达到24000元，∴当设计费为24000元时，面积为24000÷200=12（平方米），即=12，解得：x=2或x=6，∴设计费能达到24000元．
（3）∵=，∴当x=4时，S值=16，∴当x=4米时，矩形的面积为16平方米，设计费至多，至多是32000元．
考点：二次函数的应用；一元二次方程的应用；二次函数的最值；最值问题．
24. 如图，已知抛物线y＝﹣+bx+4与x轴相交于A、B两点，与y轴相交于点C，若已知A点的坐标为A（﹣2，0）．
（1）求抛物线的解析式及它的对称轴方程；
（2）求点C的坐标，连接AC、BC并求线段BC所在直线的解析式；
（3）在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使△ACQ为等腰三角形？若存在，求出符合条件的Q点坐标；若没有存在，请说明理由．

【正确答案】（1）y=-x2+x+4，x=3；（2）C（0，4）；y=−x+4；（3）Q1（3，0），Q2（3，4+），Q3（3，4-）．

【分析】（1）利用待定系数法求出抛物线解析式，利用配方法或利用公式x=−求出对称轴方程；
（2）在抛物线解析式中，令x=0，可求出点C坐标；令y=0，可求出点B坐标．再利用待定系数法求出直线BD的解析式；
（3）本问为存在型问题．若△ACQ为等腰三角形，则有三种可能的情形，需要分类讨论，逐一计算，避免漏解．
【详解】解：（1）∵抛物线y=-x2+bx+4的图象点A（-2，0），
∴-×（-2）2+b×（-2）+4=0，
解得：b=，
∴抛物线解析式为 y=-x2+x+4，
又∵y=-x2+x+4=-（x-3）2+，
∴对称轴方程为：x=3．
（2）在y=-x2+x+4中，令x=0，得y=4，
∴C（0，4）；
令y=0，即-x2+x+4=0，整理得x2-6x-16=0，解得：x=8或x=-2，
∴A（-2，0），B（8，0）．
设直线BC的解析式为y=kx+b，
把B（8，0），C（0，4）的坐标分别代入解析式，得：
，
解得，
∴直线BC的解析式为：y=−x+4．
∵抛物线的对称轴方程为：x=3，
可设点Q（3，t），则可求得：
AC=，
AQ=，
CQ=．
i）当AQ=CQ时，有=，
25+t2=t2-8t+16+9，
解得t=0，
∴Q1（3，0）；
ii）当AC=AQ时，有
t2=-5，此方程无实数根，
∴此时△ACQ没有能构成等腰三角形；
iii）当AC=CQ时，有，
整理得：t2-8t+5=0，
解得：t=4±，
∴点Q坐标为：Q2（3，4+），Q3（3，4-）．
综上所述，存在点Q，使△ACQ为等腰三角形，点Q的坐标为：Q1（3，0），Q2（3，4+），Q3（3，4-）．
本题考查二次函数综合题，综合性较强，有一定难度，注意分类讨论是本题的解题关键．