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2022-2023学年广东省深圳市九年级上册数学期末专项提升模拟卷（卷一卷二）含解析
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这是一份2022-2023学年广东省深圳市九年级上册数学期末专项提升模拟卷（卷一卷二）含解析，共54页。试卷主要包含了选一选，填 空 题，解 答 题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年广东省深圳市九年级上册数学期末专项提升模拟卷（卷一）
一、选一选(本题有10小题，每小题4分,共40分．每小题只有一个选项是正确的,没有选、多选、错选，均没有给分)
1. 若，则的值等于（ ）
A. B. C. D.
2. 已知⊙O半径为4cm．若点P到圆心O的距离为3cm，则点P（ ）
A. 在⊙O内 B. 在⊙O上
C. 在⊙O外 D. 与⊙O的位置关系无法确定
3. 二次函数的图象与y轴的交点坐标是（ ）
A. （0，1） B. （1，0） C. （－1，0） D. （0，－1）
4. 若两个三角形的相似比为1∶2，则它们的面积比为（ ）
A. 1∶2 B. 1∶4 C. 2∶1 D. 4∶1
5. 一个没有透明的盒子里有n个除颜色外其他完全相同的小球，其中有9个黄球，每次摸球前先将盒子里的球摇匀，任意摸出一个球记下颜色后再放回盒子，通过大量重复摸球实验后发现，摸到黄球的频率稳定在30%，那么估计盒子中小球的个数n为（ ）
A. 20 B. 24 C. 28 D. 30
6. 已知二次函数的图象（0≤x≤4）如图，关于该函数在所给自变量的取值范围内，下列说确的是（ ）
A. 有值 1.5，有最小值﹣2.5 B. 有值 2，有最小值 1.5
C. 有值 2，有最小值﹣2.5 D. 有值 2，无最小值
7. 如图，D是等边△ABC外接圆上的点，且∠CAD=20°，则∠ACD的度数为（ ）
A. 20° B. 30° C. 40° D. 45°
8. 如图，有一块直角三角形余料ABC，∠BAC=90°，D是AC的中点，现从中切出一条矩形纸条DEFG，其中E,F在BC上，点G在AB上，若BF=4.5cm，CE=2cm，则纸条GD的长为（ ）
A. 3 cm B. cm C. cm D. cm
9. 二次函数与函数的图象交于点A（2，5）和点B（3，m），要使，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D. 或
10. 如图，点，，均在坐标轴上，，过，，作，是上任意一点，连结，，则值是（ ）
A. 4 B. 5 C. 6 D.
二、填 空 题(本题有6小题.每小题5分，共30分)
11. 某校九年1班共有45位学生，其中男生有25人，现从中任选一位学生，选中女生的概率是____．
12. 已知扇形的圆心角为120°，弧长为6π，则它的半径为________．
13. 如图，点B，E分别在线段AC，DF上，若AD∥BE∥CF，AB=3，BC=2，DE=4.5，则DF的长为____．
14. 若二次函数的图象与x轴的一个交点是（2，0），则与x轴的另一个交点坐标是____．
15. 如图，△ABC内接于⊙O，AD⊥BC于点D，AD＝BD．若⊙O的半径OB＝2，则AC的长为_____．
16. 两幢大楼的部分截面及相关数据如图，小明在甲楼A处透过窗户E发现乙楼F处出现火灾，此时A,E,F在同一直线上.跑到一楼时，消防员正在进行喷水灭火，水流路线呈抛物线，在1.2m高的D处喷出，水流正好E,F. 若点B和点E、点C和F的离地高度分别相同，现消防员将水流抛物线向上平移0.4m，再向左后退了____m，恰好把水喷到F处进行灭火．
三、解 答 题(本题有8小题，共80分)
17. 已知：如图，⊙O中弦．求证：AD=BC．
18. 一个没有透明的袋子中装有红、白两种颜色的小球，这些球除颜色外完全相同，其中红球有个，若从中随机摸出一个球，这个球是白球的概率为．
（）请直接写出袋子中白球个数．
（）随机摸出一个球后，放回并搅匀，再随机摸出一个球，求两次都摸到相同颜色的小球的概率．（请树状图或列表解答）
19. 如图，点O是线段AB的中点，根据要求完成下题：
（1）在图中补画完成：
步，以AB为直径的画出⊙O；
第二步，以B为圆心，以BO为半径画圆弧，交⊙O于点C，连接点CA,CO；
（2）设AB=6，求扇形AOC的面积.（结果保留π）
20. 如图，将矩形ABCD沿EF折叠，使顶点C恰好落在AB边的C1处，点D落在点D1处，C1D1交线段AE于点G．
(1)求证：△BC1F∽△AGC1；
(2)若C1是AB的中点，AB＝6，BC＝9，求AG的长．
21. 如图，二次函数的图象的顶点坐标为（1，），现将等腰直角三角板直角顶点放在原点O，一个锐角顶点A在此二次函数的图象上，而另一个锐角顶点B在第二象限，且点A的坐标为（2，1）.
（1）求该二次函数的表达式；
（2）判断点B是否在此二次函数的图象上，并说明理由.
22. 甲乙两位同学利用灯光下的影子来测量一路灯A的高度，如图，当甲走到点C处时，乙测得甲直立身高CD与其影子长CE正好相等，接着甲沿BC方向继续向前走，走到点E处时，甲直立身高EF的影子恰好是线段EG，并测得EG=2.5m.已知甲直立时的身高为1.75m，求路灯的高AB的长.（结果到0.1m）
23. 如图，二次函数的图象与x轴交于点A,B，与y轴交于点C．点P是该函数图象上的动点，且位于象限，设点P的横坐标为x．
（1）写出线段AC, BC的长度：AC= ，BC= ；
（2）记△BCP的面积为S，求S关于x的函数表达式；
（3）过点P作PH⊥BC，垂足为H，连结AH,AP，设AP与BC交于点K，探究：是否存在四边形ACPH为平行四边形？若存在，请求出的值；若没有存在，请说明理由，并求出的值．
24. 如图，AB是⊙O直径，，连结AC，过点C作直线l∥AB，点P是直线l上的一个动点，直线PA与⊙O交于另一点D，连结CD，设直线PB与直线AC交于点E．
（1）求∠BAC的度数；
（2）当点DAB上方，且CD⊥BP时，求证：PC＝AC；
（3）在点P的运动过程中
①当点A在线段PB的中垂线上或点B在线段PA的中垂线上时，求出所有满足条件的∠ACD的度数；
②设⊙O的半径为6，点E到直线l的距离为3，连结BD，DE，直接写出△BDE的面积．
2022-2023学年广东省深圳市九年级上册数学期末专项提升模拟卷（卷一）
一、选一选(本题有10小题，每小题4分,共40分．每小题只有一个选项是正确的,没有选、多选、错选，均没有给分)
1. 若，则的值等于（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】B
【详解】∵，
∴设a=3k,b=2k,
∴===.
故选B.
2. 已知⊙O的半径为4cm．若点P到圆心O的距离为3cm，则点P（ ）
A. 在⊙O内 B. 在⊙O上
C. 在⊙O外 D. 与⊙O的位置关系无法确定
【正确答案】A
【分析】根据点与圆的位置关系判断即可.
【详解】∵点P到圆心的距离为3cm，
而⊙O的半径为4cm，
∴点P到圆心的距离小于圆的半径，
∴点P在圆内，
故选：A．
此题考查的是点与圆的位置关系,掌握点与圆的位置关系的判断方法是解决此题的关键.
3. 二次函数的图象与y轴的交点坐标是（ ）
A. （0，1） B. （1，0） C. （－1，0） D. （0，－1）
【正确答案】D
【详解】当x=0时，y=0-1=-1,
∴图象与y轴的交点坐标是（0,-1）.
故选D.
4. 若两个三角形的相似比为1∶2，则它们的面积比为（ ）
A. 1∶2 B. 1∶4 C. 2∶1 D. 4∶1
【正确答案】B
【详解】∵两个三角形的相似比为1∶2，
∴它们的面积比为1∶4．
故选B．
相似三角形对应边的比，对应高的比，对应中线的比，对应角平分线的比，对应周长的比等于相似比；相似三角形面积的比等于相似比的平方．
5. 一个没有透明的盒子里有n个除颜色外其他完全相同的小球，其中有9个黄球，每次摸球前先将盒子里的球摇匀，任意摸出一个球记下颜色后再放回盒子，通过大量重复摸球实验后发现，摸到黄球的频率稳定在30%，那么估计盒子中小球的个数n为（ ）
A. 20 B. 24 C. 28 D. 30
【正确答案】D
【分析】直接由概率公式求解即可.
【详解】根据题意得=30%，解得：n=30，
所以这个没有透明的盒子里大约有30个除颜色外其他完全相同的小球．
故选：D．
本题考查由频率估计概率、简单的概率计算，熟知求概率公式是解答的关键.
6. 已知二次函数图象（0≤x≤4）如图，关于该函数在所给自变量的取值范围内，下列说确的是（ ）
A. 有值 1.5，有最小值﹣2.5 B. 有值 2，有最小值 1.5
C. 有值 2，有最小值﹣2.5 D. 有值 2，无最小值
【正确答案】C
【详解】由图像可知，当x=1时，y有值2;当x=4时，y有最小值-2.5.
故选C.
7. 如图，D是等边△ABC外接圆上的点，且∠CAD=20°，则∠ACD的度数为（ ）
A. 20° B. 30° C. 40° D. 45°
【正确答案】C
【分析】根据圆内接四边形的性质得到∠D=180°-∠B=120°，根据三角形内角和定理计算即可．
【详解】∴∠B=60°，
∵四边形ABCD是圆内接四边形，
∴∠D=180°−∠B=120°，
∴∠ACD=180°−∠DAC−∠D=40°，
故选C.
8. 如图，有一块直角三角形余料ABC，∠BAC=90°，D是AC的中点，现从中切出一条矩形纸条DEFG，其中E,F在BC上，点G在AB上，若BF=4.5cm，CE=2cm，则纸条GD的长为（ ）
A. 3 cm B. cm C. cm D. cm
【正确答案】C
【详解】∵四边形DEFG是矩形，
∴GD∥EF,GD=EF,
∵D是AC的中点，
∴GD是△ABC的中位线，
∴,
∴,
解得：GD=.
故选C.
9. 二次函数与函数的图象交于点A（2，5）和点B（3，m），要使，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D. 或
【正确答案】A
【详解】当k<0时，的图象过二、三、四象限，这与交点A（2，5）和点B（3，m）在象限没有符；
当k>0时，的图象过一、三、四象限，又因二次函数开口向上，
∴当时，.
故选A.
10. 如图，点，，均在坐标轴上，，过，，作，是上任意一点，连结，，则的值是（ ）
A. 4 B. 5 C. 6 D.
【正确答案】C
【分析】连接，，如图，利用圆周角定理可判定点在上，易得，，，，，设，则，由于表示点到原点的距离，则当为直径时，点到原点的距离，由于为平分，则，利用点在圆上得到，则可计算出，从而得到的值．
【详解】解：连接，，如图，
，
为的直径，
点在上，
，
，，，，，
设，
，
而表示点到原点的距离，
当为直径时，点到原点的距离，
为平分，
，
，
，
即
，
此时，
即的值是6．
故选：．
本题考查了点与圆的位置关系、圆周角定理、勾股定理等，作出辅助线，得到是解题的关键．
二、填 空 题(本题有6小题.每小题5分，共30分)
11. 某校九年1班共有45位学生，其中男生有25人，现从中任选一位学生，选中女生的概率是____．
【正确答案】
【详解】解:选中女生的概率是： .
12. 已知扇形的圆心角为120°，弧长为6π，则它的半径为________．
【正确答案】9
【分析】根据弧长公式L＝求解即可．
【详解】∵L＝，
∴R＝＝9．
故答案为9．
本题考查了弧长的计算，解答本题的关键是掌握弧长公式：L＝．
13. 如图，点B，E分别在线段AC，DF上，若AD∥BE∥CF，AB=3，BC=2，DE=4.5，则DF的长为____．
【正确答案】7.5
【详解】∵AD∥BE∥CF，
∴ .
∵AB=3，BC=2，DE=4.5，
∴ ,
∴EF=3，
∴DF=DE+EF=4.5+3=7.5.
14. 若二次函数的图象与x轴的一个交点是（2，0），则与x轴的另一个交点坐标是____．
【正确答案】（-4，0）
【分析】将交点（2，0）代入抛物线y=ax2+2ax-3，求得a的值，由此可得抛物线的解析式，令y=0，即可得到方程x2+x-3=0，解方程得到x的值即可得出另一交点的坐标.
【详解】将（2，0）代入抛物线y=ax2+2ax-3，得4a+4a-3=0，
解得，
所以抛物线的解析式为y=x2+x-3.
令y=0，则x2+x-3=0，
解得x=2或x=-4，
所以抛物线与x轴的另一个交点为（-4，0）
故答案：（-4，0）
15. 如图，△ABC内接于⊙O，AD⊥BC于点D，AD＝BD．若⊙O的半径OB＝2，则AC的长为_____．
【正确答案】
【详解】延长AO交⊙O与点E，连接BE,则AE=2OB=4.
∵AD⊥BC，AD=BD,
∴ .
∵∠E=∠C, ∠ABE=∠ADC=90°,
∴△ABE∽△ADC,
∴ ,
∴,
∴ ,
∴AC=.
16. 两幢大楼的部分截面及相关数据如图，小明在甲楼A处透过窗户E发现乙楼F处出现火灾，此时A,E,F在同一直线上.跑到一楼时，消防员正在进行喷水灭火，水流路线呈抛物线，在1.2m高的D处喷出，水流正好E,F. 若点B和点E、点C和F的离地高度分别相同，现消防员将水流抛物线向上平移0.4m，再向左后退了____m，恰好把水喷到F处进行灭火．
【正确答案】
【详解】设直线AE的解析式为:y=kx+21.2.
把E（20,9.2）代入得，20k+21.2=9.2,
∴k=-0.6,
∴y=-0.6x+21.2.
把y=6.2代入得，
-0.6x+21.2=6.2，
∴x=25,
∴F(25,6.2).
设抛物线解析式为：y=ax2+bx+1.2,
把E（20,9.2）, F(25,6.2)代入得，
，解之得：，
∴y=-0.04x2+1.2x+1.2，
设向上平移0.4m，向左后退了hm, 恰好把水喷到F处进行灭火由题意得
y=-0.04(x+h)2+1.2(x+h)+1.2+0.4,
把F(25,6.2)代入得，
6.2=-0.04×(25+h)2+1.2(25+h)+1.2+0.4，整理得：h2+20h-10=0,
解之得： ,（舍去）.
∴向后退了m
故答案是：
本题考查了二次函数和函数的实际应用，设直线AE的解析式为:y=kx+21.2.
把E（20,9.2）代入求出直线解析式，从而求出点F的坐标.把E（20,9.2）, F(25,6.2)代入y=ax2+bx+1.2求出二次函数解析式.设向左平移了hm，表示出平移后的解析式，把点F的坐标代入可求出k的值.
三、解 答 题(本题有8小题，共80分)
17. 已知：如图，⊙O中弦．求证：AD=BC．
【正确答案】见解析
【分析】先根据等弦所对的劣弧相等得到，从而得到，再由等弧所对的弦相等即可得到．
【详解】证明：∵AB=CD，
∴，
∴，
．
本题主要考查了弧与弦之间的关系，解题的关键在于能够熟练掌握等弦所对的劣弧相等，等弧所对的弦相等．
18. 一个没有透明的袋子中装有红、白两种颜色的小球，这些球除颜色外完全相同，其中红球有个，若从中随机摸出一个球，这个球是白球的概率为．
（）请直接写出袋子中白球的个数．
（）随机摸出一个球后，放回并搅匀，再随机摸出一个球，求两次都摸到相同颜色的小球的概率．（请树状图或列表解答）
【正确答案】（1）袋子中白球有2个；（2）．
【分析】（1）设袋子中白球有x个，根据概率公式列方程解方程即可求得答案；
（2）根据题意画出树状图，求得所有等可能的结果与两次都摸到相同颜色的小球的情况，再利用概率公式即可求得答案．
【详解】解：（1）设袋子中白球有x个，
根据题意得：，
解得：x=2，
经检验，x=2是原分式方程的解，
∴袋子中白球有2个；
（2）画树状图得：
∵共有9种等可能结果，两次都摸到相同颜色的小球的有5种情况，
∴两次都摸到相同颜色的小球的概率为：．
19. 如图，点O是线段AB的中点，根据要求完成下题：
（1）在图中补画完成：
步，以AB为直径的画出⊙O；
第二步，以B为圆心，以BO为半径画圆弧，交⊙O于点C，连接点CA,CO；
（2）设AB=6，求扇形AOC的面积.（结果保留π）
【正确答案】（1）作图见解析；（2）
【详解】试题分析：（1）以点O为圆心，以OA为半径可画出⊙O；
（2）由画法可知BC=BO=OC，从而△BOC是正三角形，进而可求得∠AOC=120°，然后根据扇形面积公式求解.
解：（1）画图；
（2）解：连结BC，则BC=BO=OC，
∴△BOC是正三角形，
∴∠BOC=60°，∴∠AOC=120°，
∴
20. 如图，将矩形ABCD沿EF折叠，使顶点C恰好落在AB边的C1处，点D落在点D1处，C1D1交线段AE于点G．
(1)求证：△BC1F∽△AGC1；
(2)若C1是AB的中点，AB＝6，BC＝9，求AG的长．
【正确答案】（1）证明见解析；（2）.
【分析】（1）根据题意和图形可以找出△BC1F∽△AGC1的条件，从而可以解答本题；（2）根据勾股定理和（1）中的结论可以求得AG的长．
【详解】证明：（1）由题意可知∠A＝∠B＝∠GC1F＝90°，
∴∠BFC1+∠BC1F＝90°，∠AC1G+∠BC1F＝90°，
∴∠BFC1＝∠AC1G，
∴△BC1F∽△AGC1．
（2）∵C1是AB的中点，AB＝6，
∴AC1＝BC1＝3．
∵∠B＝90°，
∴BF2+32＝（9﹣BF）2，
∴BF＝4，
由（1）得△AGC1∽△BC1'F，
∴=，
∴=，
解得，AG＝ ．
本题考查相似三角形的判定与性质、矩形的性质、翻折变化，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用三角形的相似和勾股定理解答．
21. 如图，二次函数的图象的顶点坐标为（1，），现将等腰直角三角板直角顶点放在原点O，一个锐角顶点A在此二次函数的图象上，而另一个锐角顶点B在第二象限，且点A的坐标为（2，1）.
（1）求该二次函数的表达式；
（2）判断点B是否在此二次函数的图象上，并说明理由.
【正确答案】（1）；（2）点B在这个函数图象上.
【详解】试题分析：（1）设二次函数的表达式为，，把A（2，1）代入求出a的值；
（2）过点A,B分别作AC⊥x轴，BD⊥x轴，由△AOC≌△DOB求出点B的坐标，代入到二次函数关系式中验证即可.
解：（1）设二次函数的表达式为，
∵图象过A（2，1），
∴，即
∴
（2）过点A,B分别作AC⊥x轴，BD⊥x轴，垂足分别为C,D.
易证得△AOC≌△DOB，
∴DO=AC=1，BD=OC=2，∴B（-1，2）
当x=-1时，
∴点B在这个函数图象上.
点睛：本题考查了待定系数法求二次函数解析式，因知道了顶点坐标，所以设顶点式方程求解；判断点在没有在函数图像上，只要把点的坐标代入到函数关系式中，验证左右是否相等，若相等，则点在函数图像上，若没有相等，则点没有在函数图像上.
22. 甲乙两位同学利用灯光下影子来测量一路灯A的高度，如图，当甲走到点C处时，乙测得甲直立身高CD与其影子长CE正好相等，接着甲沿BC方向继续向前走，走到点E处时，甲直立身高EF的影子恰好是线段EG，并测得EG=2.5m.已知甲直立时的身高为1.75m，求路灯的高AB的长.（结果到0.1m）
【正确答案】路灯高AB约为5.8米.
【详解】试题分析：根据EF⊥BC，CD⊥BC，AB⊥BC，得到AB∥CD∥EF，从而得到△ABN∽△ACD，利用相似三角形对应边的比相等列出比例式求解即可．
解：如图，设AB= x，
由题意知AB⊥BG，CD⊥BG，FE⊥BG，CD=CE，
∴AB∥CD∥EF，∴BE=AB=x，
∴△ABG∽△FEC
∴，即，
∴m
答：路灯高AB约为5.8米.
23. 如图，二次函数的图象与x轴交于点A,B，与y轴交于点C．点P是该函数图象上的动点，且位于象限，设点P的横坐标为x．
（1）写出线段AC, BC的长度：AC= ，BC= ；
（2）记△BCP的面积为S，求S关于x的函数表达式；
（3）过点P作PH⊥BC，垂足为H，连结AH,AP，设AP与BC交于点K，探究：是否存在四边形ACPH为平行四边形？若存在，请求出的值；若没有存在，请说明理由，并求出的值．
【正确答案】（1）AC=，BC=；（2）y;(3).
【分析】（1）求出与坐标轴的交点坐标，然后根据勾股定理求解；
（2）利用割补法列式，即根据列式；
（3）过点P作PH⊥BC于H，根据一组对边及平行又相等的四边形是平行四边形判断；由△AKC∽△PHK列比例式求解.
【详解】解：（1）二次函数
当x=0时，y=2，
∴C（0，2），
∴OC=2，
当y=0时，
解得：x1=4，x2=-1，
∴A（-1，0），B（4，0），
∴OA=1，OB=4，
由勾股定理得：
∴AC=，BC=；
（2）∵B（4，0），C（0，2），
∴直线BC的解析式为：
如图1，过P作PD∥y轴，交直线BC于D，
设P（x, ），则
则有
（3）没有存在，
过点P作PH⊥BC于H，
∵，
∴△ABC直角三角形，即AC⊥BC；∴AC∥PH，
要使四边形ACPH为平行四边形，只需满足PH=AC=，
∴=5，而==，
所以没有存在四边形ACPH为平行四边形
∵AC∥PH，
∴△AKC∽△PHK，
∴=（当x=2时，取到值）
24. 如图，AB是⊙O的直径，，连结AC，过点C作直线l∥AB，点P是直线l上的一个动点，直线PA与⊙O交于另一点D，连结CD，设直线PB与直线AC交于点E．
（1）求∠BAC的度数；
（2）当点D在AB上方，且CD⊥BP时，求证：PC＝AC；
（3）在点P的运动过程中
①当点A在线段PB的中垂线上或点B在线段PA的中垂线上时，求出所有满足条件的∠ACD的度数；
②设⊙O的半径为6，点E到直线l的距离为3，连结BD，DE，直接写出△BDE的面积．
【正确答案】（1）45°；（2）见解析；（3）①∠ACD=15°；∠ACD=105°；∠ACD=60°；∠ACD=120°；②36或．
【分析】（1）易得△ABC是等腰直角三角形，从而∠BAC=∠CBA=45°；
（2）分当 B在PA的中垂线上，且P在右时；B在PA的中垂线上，且P在左；A在PB的中垂线上，且P在右时；A在PB的中垂线上，且P在左时四中情况求解；
（3）①先说明四边形OHEF是正方形，再利用△DOH∽△DFE求出EF的长，然后利用割补法求面积；
②根据△EPC∽△EBA可求PC=4，根据△PDC∽△PCA可求PD •PA=PC2=16，再根据S△ABP=S△ABC得到，利用勾股定理求出k2,然后利用三角形面积公式求解.
【详解】（1）解：（1）连接BC，
∵AB是直径，
∴∠ACB=90°.
∴△ABC是等腰直角三角形，
∴∠BAC=∠CBA=45°；
（2）解：∵，
∴∠CDB=∠CDP=45°，CB= CA，
∴CD平分∠BDP
又∵CD⊥BP，
∴BE=EP，
即CD是PB的中垂线，
∴CP=CB= CA，
（3）① （Ⅰ）如图2，当 B在PA的中垂线上，且P在右时，∠ACD=15°；
（Ⅱ）如图3，当B在PA的中垂线上，且P在左，∠ACD=105°；
（Ⅲ）如图4，A在PB的中垂线上，且P在右时∠ACD=60°；
（Ⅳ）如图5，A在PB的中垂线上，且P在左时∠ACD=120°
②（Ⅰ）如图6， ,
.
（Ⅱ）如图7， ,
,
.
，
.
,
,
,
.
设BD=9k,PD=2k,
,
,
,
.
本题是圆的综合题，熟练掌握30°角所对的直角边等于斜边的一半，平行线的性质，垂直平分线的性质，相似三角形的判定与性质，圆周角定理，圆内接四边形的性质，勾股定理，同底等高的三角形的面积相等是解答本题的关键.
2022-2023学年广东省深圳市九年级上册数学期末专项提升模拟卷（卷二）
一、选一选（本大题共16题，1-10小题每小题3分，11-16题每小题3分，共42分．）
1. 方程x2 ＝ 2x解是（ ）
A. x＝2 B. ，＝ 0 C. ＝2，＝0 D. x ＝ 0
2. 如图所示的几何体的俯视图是( )．
A. B. C. D.
3. 已知（），则下列比例式成立的是（ ）
A. B. C. D.
4. 如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，那么的值是（ ）
A. B. C. D.
5. 菱形，矩形，正方形都具有的性质是（ ）
A. 四条边相等，四个角相等 B. 对角线相等
C. 对角线互相垂直 D. 对角线互相平分
6. 如图，在△ABC中，DE∥BC，AD=4，AE=3，CE=6，那么BD的值是（ ）
A. 4 B. 6 C. 8 D. 12
7. 顺次连结矩形各边的中点，所成的四边形一定是（ ）
A. 菱形 B. 矩形 C. 正方形 D. 没有确定
8. 如图，从热气球P处看一栋高楼顶部M的仰角为72°，看底部N的俯角为40°，以下符合条件的示意图（ ）
A. B. C. D.
9. 如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，建立平面直角坐标系，△ABO与△A′B′O′是以点P为位似的位似图形，它们的顶点均在格点（网格线的交点）上，则点P的坐标为（ ）
A. （0，0） B. （0，1） C. （﹣3，2） D. （3，﹣2）
10. 在一个没有透明的布袋中装有50个黄、白两种颜色的球，除颜色外其他都相同，小红通过多次摸球试验后发现，摸到黄球的频率稳定在0.3左右，则布袋中白球可能有（ ）
A 35个 B. 30个 C. 20个 D. 15个
11. 中国“”战略给沿线国家和地区带来很大的经济效益，沿线某地区居民2016年年收入300美元，预计2018年年收入将达到1500美元，设2016年到2018年该地区居民年人均收入平均增长率为x，可列方程为（ ）
A. 300（1+x）2＝1500 B. 300（1+2x）＝1500
C. 300（1+x2）＝1500 D. 300+2x＝1500
12. 某学校要种植一块面积为100 m2的长方形草坪，要求两边长均没有小于5 m，则草坪的一边长为y（单位：m）随另一边长x（单位：m）的变化而变化的图象可能是（ ）
A. B.
C. D.
13. 将抛物线y=3x2﹣3向右平移3个单位长度，得到新抛物线表达式为（ ）
A. y=3（x﹣3）2﹣3 B. y=3x2 C. y=3（x+3）2﹣3 D. y=3x2﹣6
14. 已知矩形ABCD中，AB=1，在BC上取一点E，沿AE将ΔABE向上折叠，使B点落在AD上的F点，若四边形EFDC与矩形ABCD相似，则AD=（ ）．
A. B. C. D. 2
15. 有3个正方形如图所示放置，阴影部分的面积依次记为S1，S2，则S1：S2等于（ ）
A. 1： B. 1：2 C. 2：3 D. 4：9
16. 二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图所示，其顶点坐标为（1，n），且与x轴的一个交点在（3，0）和（4，0）之间，则下列结论：
①ac
②a﹣b+c＞0；
③当时，y随x的增大而增大
若（﹣，y1），（，y2）是抛物线上的两点，则y1y2；
④一元二次方程ax2+bx+c=n﹣1有两个没有相等的实数根．
其中正确结论的个数是（ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
二、填 空 题（本大题共3个小题，共10分；17～18小题每小题3分，19题每空2分）
17. 计算：2cos60°+tan45°=____．
18. 如图，在平面直角坐标系中，直线l∥x轴，且直线l分别与反比例函数y=（x＞0）和y=﹣（x＜0）的图象交于点P、Q，连结PO、QO，则△POQ的面积为 ．
19. 如图，一段抛物线：y=-x（x-3）（0≤x≤3），记为C1，它与x轴交于点O、A1；将C1绕点A1旋转180°得C2，交x轴于点A2；将C2绕点A2旋转180°得C3，交x轴于A3；…如此进行下去，直至得C17．
（1）写出点A1的坐标__________；
（2）若P（50，m）在第17段抛物线C17上，则m=__________．
三、解 答 题（共7道大题，共68分）
20. 已知关于x的一元二次方程（k﹣1）x2+4x+1=0．
（1）若此方程的一个根为﹣1，求k的值；
（2）若此一元二次方程有实数根，求k的取值范围．
21. 车辆润扬大桥收费站时，4个收费通道 A．B、C、D中，可随机选择其中的一个通过．
（1）一辆车此收费站时，选择 A通道通过的概率是 ；
（2）求两辆车此收费站时，选择没有同通道通过的概率．
22. 如图1，研究发现，科学使用电脑时，望向荧光屏幕画面的“视线角”α约为20°，而当手指接触键盘时，肘部形成的“手肘角”β约为100°．图2是其侧面简化示意图，其中视线AB水平，且与屏幕BC垂直．
（1）若屏幕上下宽BC=20cm，科学使用电脑时，求眼睛与屏幕的最短距离AB的长；
（2）若肩膀到水平地面的距离DG=100cm，上臂DE=30cm，下臂EF水平放置在键盘上，其到地面的距离FH=72cm．请判断此时β是否符合科学要求的100°？
（参考数据：sin69°≈，cos21°≈，tan20°≈，tan43°≈，所有结果到个位）
23. 在Rt△ABC中，∠BAC=90°，D是BC的中点，E是AD的中点．过点A作AF∥BC交BE的延长线于点F．
（1）求证：△AEF≌△DEB；
（2）证明四边形ADCF菱形；
（3）若AC=4，AB=5，求菱形ADCF 的面积．
24. 如图，在平面直角坐标系 中，函数的图象与直线交于点A(3,m).
（1）求k、m的值；
（2）已知点P(n，n)(n>0)，过点P作平行于轴的直线，交直线y=x-2于点M，过点P作平行于y轴的直线，交函数 的图象于点N.
①当n=1时，判断线段PM与PN的数量关系，并说明理由；
②若PN≥PM，函数的图象，直接写出n的取值范围.
25. 某商品的进价为每件20元，当单价是25元时，每天的量为250件，如果调整价格，单价每上涨1元，每天的量就减少10件．
①求每天所得的利润w（元）与每件涨价x（元）之间的函数关系式，并写出x的取值范围．
②求单价为多少元时，该文具每天的利润？利润是多少？
③若商场要每天获得利润2000元，同时让利于顾客，单价应定为多少元？
26. 如图，在平面直角坐标系中，点C的坐标为（0，4），动点A以每秒1个单位长的速度，从点O出发沿x轴的正方向运动，M是线段AC的中点．将线段AM以点A为，沿顺时针方向旋转90°，得到线段AB．过点B作x轴的垂线，垂足为E，过点C作y轴的垂线，交直线BE于点D．运动时间为t秒．
（1）当点B与点D重合时，求t的值；
（2）设△BCD面积为S，当t为何值时，S=？
（3）连接MB，当MBOA时，如果抛物线y=ax2﹣10ax的顶点在△ABM内部（没有包括边），求a的取值范围．
2022-2023学年广东省深圳市九年级上册数学期末专项提升模拟卷（卷二）
一、选一选（本大题共16题，1-10小题每小题3分，11-16题每小题3分，共42分．）
1. 方程x2 ＝ 2x的解是（ ）
A. x＝2 B. ，＝ 0 C. ＝2，＝0 D. x ＝ 0
【正确答案】C
【分析】先移项得到x2－2x＝0，再把方程左边进行因式分解得到x（x－2）＝0，方程转化为两个一元方程：x＝0或x－2＝0，即可得到原方程的解为x1＝0，x2＝2．
【详解】解：∵x2－2x＝0，
∴x（x－2）＝0，
∴x＝0或x－2＝0，
∴＝2，＝0．
故选：C．
2. 如图所示的几何体的俯视图是( )．
A. B. C. D.
【正确答案】D
【分析】根据俯视图的作法即可得出结论．
【详解】解：从上往下看该几何体的俯视图是D．
故选D．
本题考查简单几何体的三视图，掌握简单几何体的三视图是解题关键．
3. 已知（），则下列比例式成立的是（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】B
【分析】分别将四个选项根据“内项之积等于外项之积”进行计算，然后与条件进行对比即可判断．
【详解】解：A.，由内项之积等于外项之积得，与条件没有符，故选项A没有符合题意；
B.，由内项之积等于外项之积得，与条件相符，故选项B符合题意；
C.，由内项之积等于外项之积得，与条件没有符，故选项C没有符合题意；
D.，由内项之积等于外项之积得，与条件没有符，故选项D没有符合题意；
故选：B．
此题主要考查了比例的性质，正确将已知变形是解题关键．
4. 如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，那么的值是（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】D
【分析】过A作AB⊥x轴于点B，在Rt△AOB中，利用勾股定理求出OA，再根据正弦的定义即可求解.
【详解】如图，过A作AB⊥x轴于点B，
∵A的坐标为(4,3)
∴OB=4，AB=3，
在Rt△AOB中，
∴
故选：D．
本题考查求正弦值，利用坐标求出直角三角形的边长是解题的关键．
5. 菱形，矩形，正方形都具有的性质是（ ）
A. 四条边相等，四个角相等 B. 对角线相等
C. 对角线互相垂直 D. 对角线互相平分
【正确答案】D
【分析】根据菱形、矩形及正方形的性质可直接进行排除选项．
【详解】解：A、没有正确，矩形的四边没有相等，菱形的四个角没有相等；
B、没有正确，菱形的对角线没有相等；
C、没有正确，矩形的对角线没有垂直；
D、正确，三者均具有此性质；
故选D．
本题主要考查菱形、矩形及正方形的性质，熟练掌握菱形、矩形及正方形的性质是解题的关键．
6. 如图，在△ABC中，DE∥BC，AD=4，AE=3，CE=6，那么BD的值是（ ）
A. 4 B. 6 C. 8 D. 12
【正确答案】C
【详解】∵DE∥BC，
∴，
∵AD=4，AE=3，CE=6，
∴，
∴BD=8，
故选C．
7. 顺次连结矩形各边的中点，所成的四边形一定是（ ）
A. 菱形 B. 矩形 C. 正方形 D. 没有确定
【正确答案】A
【详解】如图，连接AC、BD，在△ABD中，∵AH=HD，AE=EB，∴EH=BD，同理FG=BD，HG=AC，EF=AC，又∵在矩形ABCD中，AC=BD，∴EH=HG=GF=FE，∴四边形EFGH为菱形．故选A．
8. 如图，从热气球P处看一栋高楼顶部M的仰角为72°，看底部N的俯角为40°，以下符合条件的示意图（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】B
【详解】试题解析：根据俯角、仰角定义可以判断选项B符合条件.
故选B.
9. 如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，建立平面直角坐标系，△ABO与△A′B′O′是以点P为位似的位似图形，它们的顶点均在格点（网格线的交点）上，则点P的坐标为（ ）
A. （0，0） B. （0，1） C. （﹣3，2） D. （3，﹣2）
【正确答案】C
【详解】解：如图所示：P点即为所求，故P点坐标为：（﹣3，2）．
故选C．
本题考查1．位似变换；2．坐标与图形性质．
10. 在一个没有透明的布袋中装有50个黄、白两种颜色的球，除颜色外其他都相同，小红通过多次摸球试验后发现，摸到黄球的频率稳定在0.3左右，则布袋中白球可能有（ ）
A. 35个 B. 30个 C. 20个 D. 15个
【正确答案】A
【分析】设袋中黄球x个，根据摸到黄球的频率稳定在0.3左右可得关于x的方程，解方程即可求得x，则可求得白球的个数．
【详解】设袋中有黄球x个，由题意得=0.3，
解得x=15，
则白球可能有50-15=35(个)．
故选：A．
本题考查了用频率估计概率，通过概率的计算公式用方程来解决．掌握概率公式是关键．
11. 中国“”战略给沿线国家和地区带来很大的经济效益，沿线某地区居民2016年年收入300美元，预计2018年年收入将达到1500美元，设2016年到2018年该地区居民年人均收入平均增长率为x，可列方程为（ ）
A. 300（1+x）2＝1500 B. 300（1+2x）＝1500
C. 300（1+x2）＝1500 D. 300+2x＝1500
【正确答案】A
【详解】解：设2016年到2018年该地区居民年人均收入平均增长率为x，
那么根据题意得2018年年收入：300（1+x）2，
列出方程为：300（1+x）2=1500．
故选A．
12. 某学校要种植一块面积为100 m2的长方形草坪，要求两边长均没有小于5 m，则草坪的一边长为y（单位：m）随另一边长x（单位：m）的变化而变化的图象可能是（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】C
【详解】由草坪面积为100m2，可知x、y存在关系y=，然后根据两边长均没有小于5m，可得x≥5、y≥5，则x≤20，
故选 ：C．
13. 将抛物线y=3x2﹣3向右平移3个单位长度，得到新抛物线的表达式为（ ）
A y=3（x﹣3）2﹣3 B. y=3x2 C. y=3（x+3）2﹣3 D. y=3x2﹣6
【正确答案】A
【分析】根据二次函数的图象平移规律：左加右减，上加下减，即可得出.
【详解】抛物线向右平移3个单位,
得到的抛物线的解析式是
故选A.
本题主要考查二次函数的图象平移规律：左加右减，上加下减.
14. 已知矩形ABCD中，AB=1，在BC上取一点E，沿AE将ΔABE向上折叠，使B点落在AD上的F点，若四边形EFDC与矩形ABCD相似，则AD=（ ）．
A. B. C. D. 2
【正确答案】B
【分析】可设AD=x，根据四边形EFDC与矩形ABCD相似，可得比例式，求解即可．
【详解】解：∵矩形ABCD中，AF由AB折叠而得，
∴ABEF是正方形．
又∵AB=1，
∴AF= AB=EF=1．
设AD=x，则FD=x－1．
∵四边形EFDC与矩形ABCD相似，
∴，即．
解得，（负值舍去）．
经检验是原方程的解．
故选B．
考查了翻折变换（折叠问题），相似多边形的性质，本题的关键是根据四边形EFDC与矩形ABCD相似得到比例式．
15. 有3个正方形如图所示放置，阴影部分的面积依次记为S1，S2，则S1：S2等于（ ）
A. 1： B. 1：2 C. 2：3 D. 4：9
【正确答案】D
【分析】设小正方形的边长为x，再根据相似的性质求出S1、S2与正方形面积的关系，然后进行计算即可得出答案．
【详解】设小正方形的边长为x，根据图形可得：
∴，
∴S1=x2，
∵
∴，
∴S2=S正方形ABCD，
∴S2=x2，
∴S1：S2=x2：x2=4：9
考点：正方形的性质．
16. 二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图所示，其顶点坐标为（1，n），且与x轴的一个交点在（3，0）和（4，0）之间，则下列结论：
①ac
②a﹣b+c＞0；
③当时，y随x的增大而增大
若（﹣，y1），（，y2）是抛物线上的两点，则y1y2；
④一元二次方程ax2+bx+c=n﹣1有两个没有相等的实数根．
其中正确结论的个数是（ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
【正确答案】C
【详解】试题解析：：∵抛物线的对称轴为直线x=1，抛物线与x轴的一个交点在（3，0）和（4，0）之间，
∴抛物线与x轴的一个交点在（-2，0）和（-1，0）之间，
∴x=-1时，y＞0，
即a-b+c＞0，所以①正确；
∵抛物线的对称轴为x=-=1，
∴b=-2a，
∴3a+b=3a-2a=a≠0，所以②错误；
∵点（-，y1）到直线x=1的距离比点（，y2）到直线x=1的距离大，
而抛物线开口向下，
∴y1＜y2，所以③正确；
∵x=1时，y有值为n，
∴抛物线与直线y=n-1有两个交点，
∴一元二次方程ax2+bx+c=n-1有两个没有相等的实数根，所以④正确．
故选C．
二、填 空 题（本大题共3个小题，共10分；17～18小题每小题3分，19题每空2分）
17. 计算：2cos60°+tan45°=____．
【正确答案】2
【详解】解：原式=．
故答案为2．
本题考查角的三角函数值．
18. 如图，在平面直角坐标系中，直线l∥x轴，且直线l分别与反比例函数y=（x＞0）和y=﹣（x＜0）的图象交于点P、Q，连结PO、QO，则△POQ的面积为 ．
【正确答案】7
【分析】根据反比例函数比例系数k的几何意义得到S△OQM=4，S△OPM=3，然后利用S△POQ=S△OQM+S△OPM进行计算．
【详解】解：如图，
∵直线l∥x轴，
∴S△OQM=×|﹣8|=4，S△OPM=×|6|=3，
∴S△POQ=S△OQM+S△OPM=7．
故答案为7．
考点：反比例函数系数k的几何意义．
19. 如图，一段抛物线：y=-x（x-3）（0≤x≤3），记为C1，它与x轴交于点O、A1；将C1绕点A1旋转180°得C2，交x轴于点A2；将C2绕点A2旋转180°得C3，交x轴于A3；…如此进行下去，直至得C17．
（1）写出点A1的坐标__________；
（2）若P（50，m）在第17段抛物线C17上，则m=__________．
【正确答案】 ①. （3，0） ②. 2
【详解】试题解析：：∵一段抛物线：y=-x（x-3）（0≤x≤3），
∴图象与x轴交点坐标：（0，0），（3，0），
∴的坐标为（3,0）.
∵将C1绕点A1旋转180°得C2，交x轴于点A2；
将C2绕点A2旋转180°得C3，交x轴于点A3；
…
如此进行下去，直至得C17．
∴C17的解析式与x轴的交点坐标为（48，0），（51，0），且图象在x轴上方，
∴C13的解析式为：y13=-（x-48）（x-51），
当x=50时，m=-（50-48）×（50-51）=2．
故答案为2．
三、解 答 题（共7道大题，共68分）
20. 已知关于x的一元二次方程（k﹣1）x2+4x+1=0．
（1）若此方程的一个根为﹣1，求k的值；
（2）若此一元二次方程有实数根，求k的取值范围．
【正确答案】（1）；（2）且．
【分析】（1）把x=﹣1代入原方程求k值；
（2）一元二次方程的判别式是非负数，且二次项系数没有等于0．
【详解】解：（1）将x=﹣1代入一元二次方程（k﹣1）x2+4x+1=0得，
（k﹣1）﹣4+1=0，
解得k=4；
（2）∵若一元二次方程（k﹣1）x2+4x+1=0有实数根，
∴△=16﹣4（k﹣1）≥0，且k﹣1≠0
解得k≤5且k﹣1≠0，
即k的取值范围是k≤5且k≠1．
21. 车辆润扬大桥收费站时，4个收费通道 A．B、C、D中，可随机选择其中的一个通过．
（1）一辆车此收费站时，选择 A通道通过的概率是 ；
（2）求两辆车此收费站时，选择没有同通道通过的概率．
【正确答案】（1）；（2）．
【详解】试题分析：（1）根据概率公式即可得到结论；
（2）画出树状图即可得到结论．
试题解析：（1）选择 A通道通过概率=，
故答案为；
（2）设两辆车为甲，乙，如图，两辆车此收费站时，会有16种可能的结果，其中选择没有同通道通过的有12种结果，∴选择没有同通道通过的概率==．
22. 如图1，研究发现，科学使用电脑时，望向荧光屏幕画面的“视线角”α约为20°，而当手指接触键盘时，肘部形成的“手肘角”β约为100°．图2是其侧面简化示意图，其中视线AB水平，且与屏幕BC垂直．
（1）若屏幕上下宽BC=20cm，科学使用电脑时，求眼睛与屏幕的最短距离AB的长；
（2）若肩膀到水平地面的距离DG=100cm，上臂DE=30cm，下臂EF水平放置在键盘上，其到地面的距离FH=72cm．请判断此时β是否符合科学要求的100°？
（参考数据：sin69°≈，cos21°≈，tan20°≈，tan43°≈，所有结果到个位）
【正确答案】（1）55；（2）没有符合要求．
【分析】（1）Rt△ABC中利用三角函数即可直接求解；
（2）延长FE交DG于点I，利用三角函数求得∠DEI即可求得β的值，从而作出判断．
【详解】解：（1）∵Rt△ABC中，tanA=，
∴AB===55（cm）；
（2）延长FE交DG于点I．
则DI=DG﹣FH=100﹣72=28（cm）．
在Rt△DEI中，sin∠DEI=，
∴∠DEI=69°，
∴∠β=180°﹣69°=111°≠100°，
∴此时β没有是符合科学要求的100°．
考点：解直角三角形的应用
23. 在Rt△ABC中，∠BAC=90°，D是BC的中点，E是AD的中点．过点A作AF∥BC交BE的延长线于点F．
（1）求证：△AEF≌△DEB；
（2）证明四边形ADCF是菱形；
（3）若AC=4，AB=5，求菱形ADCF 的面积．
【正确答案】（1）证明详见解析；
（2）证明详见解析； （3）10．
【分析】（1）利用平行线的性质及中点的定义，可利用AAS证得结论；
（2）由（1）可得AF=BD，条件可求得AF=DC，则可证明四边形ADCF为平行四边形，再利用直角三角形的性质可证得AD=CD，可证得四边形ADCF为菱形；
（3）连接DF，可证得四边形ABDF为平行四边形，则可求得DF的长，利用菱形的面积公式可求得答案．
【小问1详解】
证明：∵AF∥BC，
∴∠AFE=∠DBE，
∵E是AD的中点，
∴AE=DE，
在△AFE和△DBE中，
，
∴△AFE≌△DBE（AAS）；
【小问2详解】
证明：由（1）知，△AFE≌△DBE，则AF=DB．
∵AD为BC边上的中线，
∴DB=DC，
∴AF=CD．
∵AF∥BC，
∴四边形ADCF是平行四边形，
∵∠BAC=90°，D是BC的中点，
∴AD=DC=BC，
∴四边形ADCF是菱形；
【小问3详解】
解：连接DF，
∵AF∥BD，AF=BD，
∴四边形ABDF是平行四边形，
∴DF=AB=5，
∵四边形ADCF是菱形，
∴S菱形ADCF=AC▪DF=×4×5=10．
本题主要考查菱形的性质及判定，全等三角形的性质与判定，平行四边形的性质与判定，直角三角形斜边上的中线，利用全等三角形的性质证得AF=CD是解题的关键，注意菱形面积公式的应用．
24. 如图，在平面直角坐标系 中，函数的图象与直线交于点A(3,m).
（1）求k、m的值；
（2）已知点P(n，n)(n>0)，过点P作平行于轴的直线，交直线y=x-2于点M，过点P作平行于y轴的直线，交函数 的图象于点N.
①当n=1时，判断线段PM与PN的数量关系，并说明理由；
②若PN≥PM，函数的图象，直接写出n的取值范围.
【正确答案】(1) k的值为3，m的值为1；（2）0
【详解】分析：（1）将A点代入y=x-2中即可求出m的值，然后将A的坐标代入反比例函数中即可求出k的值．
（2）①当n=1时，分别求出M、N两点的坐标即可求出PM与PN的关系；
②由题意可知：P的坐标为（n，n），由于PN≥PM，从而可知PN≥2，根据图象可求出n的范围．
详解：（1）将A（3，m）代入y=x-2，
∴m=3-2=1，
∴A（3，1），
将A（3，1）代入y=，
∴k=3×1=3，
m的值为1.
（2）①当n=1时，P（1，1），
令y=1，代入y=x-2，
x-2=1，
∴x=3，
∴M（3，1），
∴PM=2，
令x=1代入y=，
∴y=3，
∴N（1，3），
∴PN=2
∴PM=PN，
②P（n，n），
点P在直线y=x上，
过点P作平行于x轴的直线，交直线y=x-2于点M，
M（n+2，n），
∴PM=2，
∵PN≥PM，
即PN≥2，
∴0＜n≤1或n≥3
点睛：本题考查反比例函数与函数的综合问题，解题的关键是求出反比例函数与函数的解析式，本题属于基础题型．
25. 某商品的进价为每件20元，当单价是25元时，每天的量为250件，如果调整价格，单价每上涨1元，每天的量就减少10件．
①求每天所得的利润w（元）与每件涨价x（元）之间的函数关系式，并写出x的取值范围．
②求单价为多少元时，该文具每天的利润？利润是多少？
③若商场要每天获得利润2000元，同时让利于顾客，单价应定为多少元？
【正确答案】①w=﹣10x2+200x+1250（ 0≤x≤25 ）②当单价为35元时，该文具每天的利润，利润为2250元③商场要每天获得利润2000元，单价应定为30元
【详解】试题分析：①根据利润=（单价-进价）×量，列出函数关系式即可；
②根据（1）式列出的函数关系式，运用配方法求值；
③根据利润等于2000元，列出方程求解即可.
试题解析：①w=（25+x﹣20）（250﹣10x）
=﹣10x2+200x+1250（ 0≤x≤25 ）；
②w=﹣10x2+200x+1250=﹣10（x﹣10）2+2250．
∵﹣10＜0，
∴函数图象开口向下，w有值，
当x=10时，wmax=2250，
故当单价为35元时，该文具每天的利润，利润为2250元．
③当w=2000时，得﹣10x2+200x+1250=2000
解得：x1=5，x2=15，让利给顾客，
所以，商场要每天获得利润2000元，单价应定为30元；
26. 如图，在平面直角坐标系中，点C的坐标为（0，4），动点A以每秒1个单位长的速度，从点O出发沿x轴的正方向运动，M是线段AC的中点．将线段AM以点A为，沿顺时针方向旋转90°，得到线段AB．过点B作x轴的垂线，垂足为E，过点C作y轴的垂线，交直线BE于点D．运动时间为t秒．
（1）当点B与点D重合时，求t的值；
（2）设△BCD的面积为S，当t为何值时，S=？
（3）连接MB，当MBOA时，如果抛物线y=ax2﹣10ax的顶点在△ABM内部（没有包括边），求a的取值范围．
【正确答案】（1）t=8 （2）当t=3或3+5时，S=
（3）﹣＜a＜﹣
【分析】（1）由于∠CAB＝90°，易证得Rt△∽Rt△ABE；当B、D重合时，BE的长已知（即OC长），根据AC、AB的比例关系，即可得到AO、BE的比例关系，由此求得t的值．
（2）求△BCD的面积时，可以CD为底、BD为高来解，那么表示出BD的长是关键；Rt△∽Rt△ABE，且知道AC、AB的比例关系，即可通过相似三角形的对应边成比例求出BE的长，进一步得到BD的长，在表达BD长时，应分两种情况考虑：①B在线段DE上，②B在ED的延长线上．
（3）首先将抛物线的解析式进行配方，可得到抛物线的顶点坐标，将其横坐标分别代入直线MB、AB的解析式中，可得到抛物线对称轴与这两条直线的交点坐标，根据这两个坐标即可判定出a的取值范围．
【小问1详解】
解：解：∵∠＋∠BAE＝90°，∠ABE＋∠BAE＝90°，
∴∠＝∠ABE
∴Rt△∽Rt△ABE
∴
∴
∴t=8
【小问2详解】
解：解：由Rt△∽Rt△ABE可知：，AE＝2，
当0＜＜8时，
∴
当时，
∴，（为负数，舍去）．
当或时，
【小问3详解】
解：解：过M作MN⊥轴于N，则
当MBOA时，BE＝MN＝2，OA＝2BE＝4
∵抛物线 的顶点坐标为（5，）
∴ 它的顶点在直线x ＝5上移动．
∵直线x ＝5交MB于点（5，2），交AB于点（5，1）
∴1＜＜2．
∴﹣＜a＜﹣
考查了二次函数综合题，该题是图形的动点问题，前两问的关键在于找出相似三角形，得到关键线段的表达式，注意点在运动过程中未知数的取值范围问题．一问中，先得到抛物线的顶点坐标是简化解题的关键．
2022-2023学年广东省深圳市九年级上册数学期末专项提升模拟卷（卷一）
一、选一选(本题有10小题，每小题4分,共40分．每小题只有一个选项是正确的,没有选、多选、错选，均没有给分)
1. 若，则的值等于（ ）
A. B. C. D.
2. 已知⊙O半径为4cm．若点P到圆心O的距离为3cm，则点P（ ）
A. 在⊙O内 B. 在⊙O上
C. 在⊙O外 D. 与⊙O的位置关系无法确定
3. 二次函数的图象与y轴的交点坐标是（ ）
A. （0，1） B. （1，0） C. （－1，0） D. （0，－1）
4. 若两个三角形的相似比为1∶2，则它们的面积比为（ ）
A. 1∶2 B. 1∶4 C. 2∶1 D. 4∶1
5. 一个没有透明的盒子里有n个除颜色外其他完全相同的小球，其中有9个黄球，每次摸球前先将盒子里的球摇匀，任意摸出一个球记下颜色后再放回盒子，通过大量重复摸球实验后发现，摸到黄球的频率稳定在30%，那么估计盒子中小球的个数n为（ ）
A. 20 B. 24 C. 28 D. 30
6. 已知二次函数的图象（0≤x≤4）如图，关于该函数在所给自变量的取值范围内，下列说确的是（ ）
A. 有值 1.5，有最小值﹣2.5 B. 有值 2，有最小值 1.5
C. 有值 2，有最小值﹣2.5 D. 有值 2，无最小值
7. 如图，D是等边△ABC外接圆上的点，且∠CAD=20°，则∠ACD的度数为（ ）
A. 20° B. 30° C. 40° D. 45°
8. 如图，有一块直角三角形余料ABC，∠BAC=90°，D是AC的中点，现从中切出一条矩形纸条DEFG，其中E,F在BC上，点G在AB上，若BF=4.5cm，CE=2cm，则纸条GD的长为（ ）
A. 3 cm B. cm C. cm D. cm
9. 二次函数与函数的图象交于点A（2，5）和点B（3，m），要使，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D. 或
10. 如图，点，，均在坐标轴上，，过，，作，是上任意一点，连结，，则值是（ ）
A. 4 B. 5 C. 6 D.
二、填 空 题(本题有6小题.每小题5分，共30分)
11. 某校九年1班共有45位学生，其中男生有25人，现从中任选一位学生，选中女生的概率是____．
12. 已知扇形的圆心角为120°，弧长为6π，则它的半径为________．
13. 如图，点B，E分别在线段AC，DF上，若AD∥BE∥CF，AB=3，BC=2，DE=4.5，则DF的长为____．
14. 若二次函数的图象与x轴的一个交点是（2，0），则与x轴的另一个交点坐标是____．
15. 如图，△ABC内接于⊙O，AD⊥BC于点D，AD＝BD．若⊙O的半径OB＝2，则AC的长为_____．
16. 两幢大楼的部分截面及相关数据如图，小明在甲楼A处透过窗户E发现乙楼F处出现火灾，此时A,E,F在同一直线上.跑到一楼时，消防员正在进行喷水灭火，水流路线呈抛物线，在1.2m高的D处喷出，水流正好E,F. 若点B和点E、点C和F的离地高度分别相同，现消防员将水流抛物线向上平移0.4m，再向左后退了____m，恰好把水喷到F处进行灭火．
三、解 答 题(本题有8小题，共80分)
17. 已知：如图，⊙O中弦．求证：AD=BC．
18. 一个没有透明的袋子中装有红、白两种颜色的小球，这些球除颜色外完全相同，其中红球有个，若从中随机摸出一个球，这个球是白球的概率为．
（）请直接写出袋子中白球个数．
（）随机摸出一个球后，放回并搅匀，再随机摸出一个球，求两次都摸到相同颜色的小球的概率．（请树状图或列表解答）
19. 如图，点O是线段AB的中点，根据要求完成下题：
（1）在图中补画完成：
步，以AB为直径的画出⊙O；
第二步，以B为圆心，以BO为半径画圆弧，交⊙O于点C，连接点CA,CO；
（2）设AB=6，求扇形AOC的面积.（结果保留π）
20. 如图，将矩形ABCD沿EF折叠，使顶点C恰好落在AB边的C1处，点D落在点D1处，C1D1交线段AE于点G．
(1)求证：△BC1F∽△AGC1；
(2)若C1是AB的中点，AB＝6，BC＝9，求AG的长．
21. 如图，二次函数的图象的顶点坐标为（1，），现将等腰直角三角板直角顶点放在原点O，一个锐角顶点A在此二次函数的图象上，而另一个锐角顶点B在第二象限，且点A的坐标为（2，1）.
（1）求该二次函数的表达式；
（2）判断点B是否在此二次函数的图象上，并说明理由.
22. 甲乙两位同学利用灯光下的影子来测量一路灯A的高度，如图，当甲走到点C处时，乙测得甲直立身高CD与其影子长CE正好相等，接着甲沿BC方向继续向前走，走到点E处时，甲直立身高EF的影子恰好是线段EG，并测得EG=2.5m.已知甲直立时的身高为1.75m，求路灯的高AB的长.（结果到0.1m）
23. 如图，二次函数的图象与x轴交于点A,B，与y轴交于点C．点P是该函数图象上的动点，且位于象限，设点P的横坐标为x．
（1）写出线段AC, BC的长度：AC= ，BC= ；
（2）记△BCP的面积为S，求S关于x的函数表达式；
（3）过点P作PH⊥BC，垂足为H，连结AH,AP，设AP与BC交于点K，探究：是否存在四边形ACPH为平行四边形？若存在，请求出的值；若没有存在，请说明理由，并求出的值．
24. 如图，AB是⊙O直径，，连结AC，过点C作直线l∥AB，点P是直线l上的一个动点，直线PA与⊙O交于另一点D，连结CD，设直线PB与直线AC交于点E．
（1）求∠BAC的度数；
（2）当点DAB上方，且CD⊥BP时，求证：PC＝AC；
（3）在点P的运动过程中
①当点A在线段PB的中垂线上或点B在线段PA的中垂线上时，求出所有满足条件的∠ACD的度数；
②设⊙O的半径为6，点E到直线l的距离为3，连结BD，DE，直接写出△BDE的面积．
2022-2023学年广东省深圳市九年级上册数学期末专项提升模拟卷（卷一）
一、选一选(本题有10小题，每小题4分,共40分．每小题只有一个选项是正确的,没有选、多选、错选，均没有给分)
1. 若，则的值等于（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】B
【详解】∵，
∴设a=3k,b=2k,
∴===.
故选B.
2. 已知⊙O的半径为4cm．若点P到圆心O的距离为3cm，则点P（ ）
A. 在⊙O内 B. 在⊙O上
C. 在⊙O外 D. 与⊙O的位置关系无法确定
【正确答案】A
【分析】根据点与圆的位置关系判断即可.
【详解】∵点P到圆心的距离为3cm，
而⊙O的半径为4cm，
∴点P到圆心的距离小于圆的半径，
∴点P在圆内，
故选：A．
此题考查的是点与圆的位置关系,掌握点与圆的位置关系的判断方法是解决此题的关键.
3. 二次函数的图象与y轴的交点坐标是（ ）
A. （0，1） B. （1，0） C. （－1，0） D. （0，－1）
【正确答案】D
【详解】当x=0时，y=0-1=-1,
∴图象与y轴的交点坐标是（0,-1）.
故选D.
4. 若两个三角形的相似比为1∶2，则它们的面积比为（ ）
A. 1∶2 B. 1∶4 C. 2∶1 D. 4∶1
【正确答案】B
【详解】∵两个三角形的相似比为1∶2，
∴它们的面积比为1∶4．
故选B．
相似三角形对应边的比，对应高的比，对应中线的比，对应角平分线的比，对应周长的比等于相似比；相似三角形面积的比等于相似比的平方．
5. 一个没有透明的盒子里有n个除颜色外其他完全相同的小球，其中有9个黄球，每次摸球前先将盒子里的球摇匀，任意摸出一个球记下颜色后再放回盒子，通过大量重复摸球实验后发现，摸到黄球的频率稳定在30%，那么估计盒子中小球的个数n为（ ）
A. 20 B. 24 C. 28 D. 30
【正确答案】D
【分析】直接由概率公式求解即可.
【详解】根据题意得=30%，解得：n=30，
所以这个没有透明的盒子里大约有30个除颜色外其他完全相同的小球．
故选：D．
本题考查由频率估计概率、简单的概率计算，熟知求概率公式是解答的关键.
6. 已知二次函数图象（0≤x≤4）如图，关于该函数在所给自变量的取值范围内，下列说确的是（ ）
A. 有值 1.5，有最小值﹣2.5 B. 有值 2，有最小值 1.5
C. 有值 2，有最小值﹣2.5 D. 有值 2，无最小值
【正确答案】C
【详解】由图像可知，当x=1时，y有值2;当x=4时，y有最小值-2.5.
故选C.
7. 如图，D是等边△ABC外接圆上的点，且∠CAD=20°，则∠ACD的度数为（ ）
A. 20° B. 30° C. 40° D. 45°
【正确答案】C
【分析】根据圆内接四边形的性质得到∠D=180°-∠B=120°，根据三角形内角和定理计算即可．
【详解】∴∠B=60°，
∵四边形ABCD是圆内接四边形，
∴∠D=180°−∠B=120°，
∴∠ACD=180°−∠DAC−∠D=40°，
故选C.
8. 如图，有一块直角三角形余料ABC，∠BAC=90°，D是AC的中点，现从中切出一条矩形纸条DEFG，其中E,F在BC上，点G在AB上，若BF=4.5cm，CE=2cm，则纸条GD的长为（ ）
A. 3 cm B. cm C. cm D. cm
【正确答案】C
【详解】∵四边形DEFG是矩形，
∴GD∥EF,GD=EF,
∵D是AC的中点，
∴GD是△ABC的中位线，
∴,
∴,
解得：GD=.
故选C.
9. 二次函数与函数的图象交于点A（2，5）和点B（3，m），要使，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D. 或
【正确答案】A
【详解】当k<0时，的图象过二、三、四象限，这与交点A（2，5）和点B（3，m）在象限没有符；
当k>0时，的图象过一、三、四象限，又因二次函数开口向上，
∴当时，.
故选A.
10. 如图，点，，均在坐标轴上，，过，，作，是上任意一点，连结，，则的值是（ ）
A. 4 B. 5 C. 6 D.
【正确答案】C
【分析】连接，，如图，利用圆周角定理可判定点在上，易得，，，，，设，则，由于表示点到原点的距离，则当为直径时，点到原点的距离，由于为平分，则，利用点在圆上得到，则可计算出，从而得到的值．
【详解】解：连接，，如图，
，
为的直径，
点在上，
，
，，，，，
设，
，
而表示点到原点的距离，
当为直径时，点到原点的距离，
为平分，
，
，
，
即
，
此时，
即的值是6．
故选：．
本题考查了点与圆的位置关系、圆周角定理、勾股定理等，作出辅助线，得到是解题的关键．
二、填 空 题(本题有6小题.每小题5分，共30分)
11. 某校九年1班共有45位学生，其中男生有25人，现从中任选一位学生，选中女生的概率是____．
【正确答案】
【详解】解:选中女生的概率是： .
12. 已知扇形的圆心角为120°，弧长为6π，则它的半径为________．
【正确答案】9
【分析】根据弧长公式L＝求解即可．
【详解】∵L＝，
∴R＝＝9．
故答案为9．
本题考查了弧长的计算，解答本题的关键是掌握弧长公式：L＝．
13. 如图，点B，E分别在线段AC，DF上，若AD∥BE∥CF，AB=3，BC=2，DE=4.5，则DF的长为____．
【正确答案】7.5
【详解】∵AD∥BE∥CF，
∴ .
∵AB=3，BC=2，DE=4.5，
∴ ,
∴EF=3，
∴DF=DE+EF=4.5+3=7.5.
14. 若二次函数的图象与x轴的一个交点是（2，0），则与x轴的另一个交点坐标是____．
【正确答案】（-4，0）
【分析】将交点（2，0）代入抛物线y=ax2+2ax-3，求得a的值，由此可得抛物线的解析式，令y=0，即可得到方程x2+x-3=0，解方程得到x的值即可得出另一交点的坐标.
【详解】将（2，0）代入抛物线y=ax2+2ax-3，得4a+4a-3=0，
解得，
所以抛物线的解析式为y=x2+x-3.
令y=0，则x2+x-3=0，
解得x=2或x=-4，
所以抛物线与x轴的另一个交点为（-4，0）
故答案：（-4，0）
15. 如图，△ABC内接于⊙O，AD⊥BC于点D，AD＝BD．若⊙O的半径OB＝2，则AC的长为_____．
【正确答案】
【详解】延长AO交⊙O与点E，连接BE,则AE=2OB=4.
∵AD⊥BC，AD=BD,
∴ .
∵∠E=∠C, ∠ABE=∠ADC=90°,
∴△ABE∽△ADC,
∴ ,
∴,
∴ ,
∴AC=.
16. 两幢大楼的部分截面及相关数据如图，小明在甲楼A处透过窗户E发现乙楼F处出现火灾，此时A,E,F在同一直线上.跑到一楼时，消防员正在进行喷水灭火，水流路线呈抛物线，在1.2m高的D处喷出，水流正好E,F. 若点B和点E、点C和F的离地高度分别相同，现消防员将水流抛物线向上平移0.4m，再向左后退了____m，恰好把水喷到F处进行灭火．
【正确答案】
【详解】设直线AE的解析式为:y=kx+21.2.
把E（20,9.2）代入得，20k+21.2=9.2,
∴k=-0.6,
∴y=-0.6x+21.2.
把y=6.2代入得，
-0.6x+21.2=6.2，
∴x=25,
∴F(25,6.2).
设抛物线解析式为：y=ax2+bx+1.2,
把E（20,9.2）, F(25,6.2)代入得，
，解之得：，
∴y=-0.04x2+1.2x+1.2，
设向上平移0.4m，向左后退了hm, 恰好把水喷到F处进行灭火由题意得
y=-0.04(x+h)2+1.2(x+h)+1.2+0.4,
把F(25,6.2)代入得，
6.2=-0.04×(25+h)2+1.2(25+h)+1.2+0.4，整理得：h2+20h-10=0,
解之得： ,（舍去）.
∴向后退了m
故答案是：
本题考查了二次函数和函数的实际应用，设直线AE的解析式为:y=kx+21.2.
把E（20,9.2）代入求出直线解析式，从而求出点F的坐标.把E（20,9.2）, F(25,6.2)代入y=ax2+bx+1.2求出二次函数解析式.设向左平移了hm，表示出平移后的解析式，把点F的坐标代入可求出k的值.
三、解 答 题(本题有8小题，共80分)
17. 已知：如图，⊙O中弦．求证：AD=BC．
【正确答案】见解析
【分析】先根据等弦所对的劣弧相等得到，从而得到，再由等弧所对的弦相等即可得到．
【详解】证明：∵AB=CD，
∴，
∴，
．
本题主要考查了弧与弦之间的关系，解题的关键在于能够熟练掌握等弦所对的劣弧相等，等弧所对的弦相等．
18. 一个没有透明的袋子中装有红、白两种颜色的小球，这些球除颜色外完全相同，其中红球有个，若从中随机摸出一个球，这个球是白球的概率为．
（）请直接写出袋子中白球的个数．
（）随机摸出一个球后，放回并搅匀，再随机摸出一个球，求两次都摸到相同颜色的小球的概率．（请树状图或列表解答）
【正确答案】（1）袋子中白球有2个；（2）．
【分析】（1）设袋子中白球有x个，根据概率公式列方程解方程即可求得答案；
（2）根据题意画出树状图，求得所有等可能的结果与两次都摸到相同颜色的小球的情况，再利用概率公式即可求得答案．
【详解】解：（1）设袋子中白球有x个，
根据题意得：，
解得：x=2，
经检验，x=2是原分式方程的解，
∴袋子中白球有2个；
（2）画树状图得：
∵共有9种等可能结果，两次都摸到相同颜色的小球的有5种情况，
∴两次都摸到相同颜色的小球的概率为：．
19. 如图，点O是线段AB的中点，根据要求完成下题：
（1）在图中补画完成：
步，以AB为直径的画出⊙O；
第二步，以B为圆心，以BO为半径画圆弧，交⊙O于点C，连接点CA,CO；
（2）设AB=6，求扇形AOC的面积.（结果保留π）
【正确答案】（1）作图见解析；（2）
【详解】试题分析：（1）以点O为圆心，以OA为半径可画出⊙O；
（2）由画法可知BC=BO=OC，从而△BOC是正三角形，进而可求得∠AOC=120°，然后根据扇形面积公式求解.
解：（1）画图；
（2）解：连结BC，则BC=BO=OC，
∴△BOC是正三角形，
∴∠BOC=60°，∴∠AOC=120°，
∴
20. 如图，将矩形ABCD沿EF折叠，使顶点C恰好落在AB边的C1处，点D落在点D1处，C1D1交线段AE于点G．
(1)求证：△BC1F∽△AGC1；
(2)若C1是AB的中点，AB＝6，BC＝9，求AG的长．
【正确答案】（1）证明见解析；（2）.
【分析】（1）根据题意和图形可以找出△BC1F∽△AGC1的条件，从而可以解答本题；（2）根据勾股定理和（1）中的结论可以求得AG的长．
【详解】证明：（1）由题意可知∠A＝∠B＝∠GC1F＝90°，
∴∠BFC1+∠BC1F＝90°，∠AC1G+∠BC1F＝90°，
∴∠BFC1＝∠AC1G，
∴△BC1F∽△AGC1．
（2）∵C1是AB的中点，AB＝6，
∴AC1＝BC1＝3．
∵∠B＝90°，
∴BF2+32＝（9﹣BF）2，
∴BF＝4，
由（1）得△AGC1∽△BC1'F，
∴=，
∴=，
解得，AG＝ ．
本题考查相似三角形的判定与性质、矩形的性质、翻折变化，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用三角形的相似和勾股定理解答．
21. 如图，二次函数的图象的顶点坐标为（1，），现将等腰直角三角板直角顶点放在原点O，一个锐角顶点A在此二次函数的图象上，而另一个锐角顶点B在第二象限，且点A的坐标为（2，1）.
（1）求该二次函数的表达式；
（2）判断点B是否在此二次函数的图象上，并说明理由.
【正确答案】（1）；（2）点B在这个函数图象上.
【详解】试题分析：（1）设二次函数的表达式为，，把A（2，1）代入求出a的值；
（2）过点A,B分别作AC⊥x轴，BD⊥x轴，由△AOC≌△DOB求出点B的坐标，代入到二次函数关系式中验证即可.
解：（1）设二次函数的表达式为，
∵图象过A（2，1），
∴，即
∴
（2）过点A,B分别作AC⊥x轴，BD⊥x轴，垂足分别为C,D.
易证得△AOC≌△DOB，
∴DO=AC=1，BD=OC=2，∴B（-1，2）
当x=-1时，
∴点B在这个函数图象上.
点睛：本题考查了待定系数法求二次函数解析式，因知道了顶点坐标，所以设顶点式方程求解；判断点在没有在函数图像上，只要把点的坐标代入到函数关系式中，验证左右是否相等，若相等，则点在函数图像上，若没有相等，则点没有在函数图像上.
22. 甲乙两位同学利用灯光下影子来测量一路灯A的高度，如图，当甲走到点C处时，乙测得甲直立身高CD与其影子长CE正好相等，接着甲沿BC方向继续向前走，走到点E处时，甲直立身高EF的影子恰好是线段EG，并测得EG=2.5m.已知甲直立时的身高为1.75m，求路灯的高AB的长.（结果到0.1m）
【正确答案】路灯高AB约为5.8米.
【详解】试题分析：根据EF⊥BC，CD⊥BC，AB⊥BC，得到AB∥CD∥EF，从而得到△ABN∽△ACD，利用相似三角形对应边的比相等列出比例式求解即可．
解：如图，设AB= x，
由题意知AB⊥BG，CD⊥BG，FE⊥BG，CD=CE，
∴AB∥CD∥EF，∴BE=AB=x，
∴△ABG∽△FEC
∴，即，
∴m
答：路灯高AB约为5.8米.
23. 如图，二次函数的图象与x轴交于点A,B，与y轴交于点C．点P是该函数图象上的动点，且位于象限，设点P的横坐标为x．
（1）写出线段AC, BC的长度：AC= ，BC= ；
（2）记△BCP的面积为S，求S关于x的函数表达式；
（3）过点P作PH⊥BC，垂足为H，连结AH,AP，设AP与BC交于点K，探究：是否存在四边形ACPH为平行四边形？若存在，请求出的值；若没有存在，请说明理由，并求出的值．
【正确答案】（1）AC=，BC=；（2）y;(3).
【分析】（1）求出与坐标轴的交点坐标，然后根据勾股定理求解；
（2）利用割补法列式，即根据列式；
（3）过点P作PH⊥BC于H，根据一组对边及平行又相等的四边形是平行四边形判断；由△AKC∽△PHK列比例式求解.
【详解】解：（1）二次函数
当x=0时，y=2，
∴C（0，2），
∴OC=2，
当y=0时，
解得：x1=4，x2=-1，
∴A（-1，0），B（4，0），
∴OA=1，OB=4，
由勾股定理得：
∴AC=，BC=；
（2）∵B（4，0），C（0，2），
∴直线BC的解析式为：
如图1，过P作PD∥y轴，交直线BC于D，
设P（x, ），则
则有
（3）没有存在，
过点P作PH⊥BC于H，
∵，
∴△ABC直角三角形，即AC⊥BC；∴AC∥PH，
要使四边形ACPH为平行四边形，只需满足PH=AC=，
∴=5，而==，
所以没有存在四边形ACPH为平行四边形
∵AC∥PH，
∴△AKC∽△PHK，
∴=（当x=2时，取到值）
24. 如图，AB是⊙O的直径，，连结AC，过点C作直线l∥AB，点P是直线l上的一个动点，直线PA与⊙O交于另一点D，连结CD，设直线PB与直线AC交于点E．
（1）求∠BAC的度数；
（2）当点D在AB上方，且CD⊥BP时，求证：PC＝AC；
（3）在点P的运动过程中
①当点A在线段PB的中垂线上或点B在线段PA的中垂线上时，求出所有满足条件的∠ACD的度数；
②设⊙O的半径为6，点E到直线l的距离为3，连结BD，DE，直接写出△BDE的面积．
【正确答案】（1）45°；（2）见解析；（3）①∠ACD=15°；∠ACD=105°；∠ACD=60°；∠ACD=120°；②36或．
【分析】（1）易得△ABC是等腰直角三角形，从而∠BAC=∠CBA=45°；
（2）分当 B在PA的中垂线上，且P在右时；B在PA的中垂线上，且P在左；A在PB的中垂线上，且P在右时；A在PB的中垂线上，且P在左时四中情况求解；
（3）①先说明四边形OHEF是正方形，再利用△DOH∽△DFE求出EF的长，然后利用割补法求面积；
②根据△EPC∽△EBA可求PC=4，根据△PDC∽△PCA可求PD •PA=PC2=16，再根据S△ABP=S△ABC得到，利用勾股定理求出k2,然后利用三角形面积公式求解.
【详解】（1）解：（1）连接BC，
∵AB是直径，
∴∠ACB=90°.
∴△ABC是等腰直角三角形，
∴∠BAC=∠CBA=45°；
（2）解：∵，
∴∠CDB=∠CDP=45°，CB= CA，
∴CD平分∠BDP
又∵CD⊥BP，
∴BE=EP，
即CD是PB的中垂线，
∴CP=CB= CA，
（3）① （Ⅰ）如图2，当 B在PA的中垂线上，且P在右时，∠ACD=15°；
（Ⅱ）如图3，当B在PA的中垂线上，且P在左，∠ACD=105°；
（Ⅲ）如图4，A在PB的中垂线上，且P在右时∠ACD=60°；
（Ⅳ）如图5，A在PB的中垂线上，且P在左时∠ACD=120°
②（Ⅰ）如图6， ,
.
（Ⅱ）如图7， ,
,
.
，
.
,
,
,
.
设BD=9k,PD=2k,
,
,
,
.
本题是圆的综合题，熟练掌握30°角所对的直角边等于斜边的一半，平行线的性质，垂直平分线的性质，相似三角形的判定与性质，圆周角定理，圆内接四边形的性质，勾股定理，同底等高的三角形的面积相等是解答本题的关键.
2022-2023学年广东省深圳市九年级上册数学期末专项提升模拟卷（卷二）
一、选一选（本大题共16题，1-10小题每小题3分，11-16题每小题3分，共42分．）
1. 方程x2 ＝ 2x解是（ ）
A. x＝2 B. ，＝ 0 C. ＝2，＝0 D. x ＝ 0
2. 如图所示的几何体的俯视图是( )．
A. B. C. D.
3. 已知（），则下列比例式成立的是（ ）
A. B. C. D.
4. 如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，那么的值是（ ）
A. B. C. D.
5. 菱形，矩形，正方形都具有的性质是（ ）
A. 四条边相等，四个角相等 B. 对角线相等
C. 对角线互相垂直 D. 对角线互相平分
6. 如图，在△ABC中，DE∥BC，AD=4，AE=3，CE=6，那么BD的值是（ ）
A. 4 B. 6 C. 8 D. 12
7. 顺次连结矩形各边的中点，所成的四边形一定是（ ）
A. 菱形 B. 矩形 C. 正方形 D. 没有确定
8. 如图，从热气球P处看一栋高楼顶部M的仰角为72°，看底部N的俯角为40°，以下符合条件的示意图（ ）
A. B. C. D.
9. 如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，建立平面直角坐标系，△ABO与△A′B′O′是以点P为位似的位似图形，它们的顶点均在格点（网格线的交点）上，则点P的坐标为（ ）
A. （0，0） B. （0，1） C. （﹣3，2） D. （3，﹣2）
10. 在一个没有透明的布袋中装有50个黄、白两种颜色的球，除颜色外其他都相同，小红通过多次摸球试验后发现，摸到黄球的频率稳定在0.3左右，则布袋中白球可能有（ ）
A 35个 B. 30个 C. 20个 D. 15个
11. 中国“”战略给沿线国家和地区带来很大的经济效益，沿线某地区居民2016年年收入300美元，预计2018年年收入将达到1500美元，设2016年到2018年该地区居民年人均收入平均增长率为x，可列方程为（ ）
A. 300（1+x）2＝1500 B. 300（1+2x）＝1500
C. 300（1+x2）＝1500 D. 300+2x＝1500
12. 某学校要种植一块面积为100 m2的长方形草坪，要求两边长均没有小于5 m，则草坪的一边长为y（单位：m）随另一边长x（单位：m）的变化而变化的图象可能是（ ）
A. B.
C. D.
13. 将抛物线y=3x2﹣3向右平移3个单位长度，得到新抛物线表达式为（ ）
A. y=3（x﹣3）2﹣3 B. y=3x2 C. y=3（x+3）2﹣3 D. y=3x2﹣6
14. 已知矩形ABCD中，AB=1，在BC上取一点E，沿AE将ΔABE向上折叠，使B点落在AD上的F点，若四边形EFDC与矩形ABCD相似，则AD=（ ）．
A. B. C. D. 2
15. 有3个正方形如图所示放置，阴影部分的面积依次记为S1，S2，则S1：S2等于（ ）
A. 1： B. 1：2 C. 2：3 D. 4：9
16. 二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图所示，其顶点坐标为（1，n），且与x轴的一个交点在（3，0）和（4，0）之间，则下列结论：
①ac
②a﹣b+c＞0；
③当时，y随x的增大而增大
若（﹣，y1），（，y2）是抛物线上的两点，则y1y2；
④一元二次方程ax2+bx+c=n﹣1有两个没有相等的实数根．
其中正确结论的个数是（ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
二、填 空 题（本大题共3个小题，共10分；17～18小题每小题3分，19题每空2分）
17. 计算：2cos60°+tan45°=____．
18. 如图，在平面直角坐标系中，直线l∥x轴，且直线l分别与反比例函数y=（x＞0）和y=﹣（x＜0）的图象交于点P、Q，连结PO、QO，则△POQ的面积为 ．
19. 如图，一段抛物线：y=-x（x-3）（0≤x≤3），记为C1，它与x轴交于点O、A1；将C1绕点A1旋转180°得C2，交x轴于点A2；将C2绕点A2旋转180°得C3，交x轴于A3；…如此进行下去，直至得C17．
（1）写出点A1的坐标__________；
（2）若P（50，m）在第17段抛物线C17上，则m=__________．
三、解 答 题（共7道大题，共68分）
20. 已知关于x的一元二次方程（k﹣1）x2+4x+1=0．
（1）若此方程的一个根为﹣1，求k的值；
（2）若此一元二次方程有实数根，求k的取值范围．
21. 车辆润扬大桥收费站时，4个收费通道 A．B、C、D中，可随机选择其中的一个通过．
（1）一辆车此收费站时，选择 A通道通过的概率是 ；
（2）求两辆车此收费站时，选择没有同通道通过的概率．
22. 如图1，研究发现，科学使用电脑时，望向荧光屏幕画面的“视线角”α约为20°，而当手指接触键盘时，肘部形成的“手肘角”β约为100°．图2是其侧面简化示意图，其中视线AB水平，且与屏幕BC垂直．
（1）若屏幕上下宽BC=20cm，科学使用电脑时，求眼睛与屏幕的最短距离AB的长；
（2）若肩膀到水平地面的距离DG=100cm，上臂DE=30cm，下臂EF水平放置在键盘上，其到地面的距离FH=72cm．请判断此时β是否符合科学要求的100°？
（参考数据：sin69°≈，cos21°≈，tan20°≈，tan43°≈，所有结果到个位）
23. 在Rt△ABC中，∠BAC=90°，D是BC的中点，E是AD的中点．过点A作AF∥BC交BE的延长线于点F．
（1）求证：△AEF≌△DEB；
（2）证明四边形ADCF菱形；
（3）若AC=4，AB=5，求菱形ADCF 的面积．
24. 如图，在平面直角坐标系 中，函数的图象与直线交于点A(3,m).
（1）求k、m的值；
（2）已知点P(n，n)(n>0)，过点P作平行于轴的直线，交直线y=x-2于点M，过点P作平行于y轴的直线，交函数 的图象于点N.
①当n=1时，判断线段PM与PN的数量关系，并说明理由；
②若PN≥PM，函数的图象，直接写出n的取值范围.
25. 某商品的进价为每件20元，当单价是25元时，每天的量为250件，如果调整价格，单价每上涨1元，每天的量就减少10件．
①求每天所得的利润w（元）与每件涨价x（元）之间的函数关系式，并写出x的取值范围．
②求单价为多少元时，该文具每天的利润？利润是多少？
③若商场要每天获得利润2000元，同时让利于顾客，单价应定为多少元？
26. 如图，在平面直角坐标系中，点C的坐标为（0，4），动点A以每秒1个单位长的速度，从点O出发沿x轴的正方向运动，M是线段AC的中点．将线段AM以点A为，沿顺时针方向旋转90°，得到线段AB．过点B作x轴的垂线，垂足为E，过点C作y轴的垂线，交直线BE于点D．运动时间为t秒．
（1）当点B与点D重合时，求t的值；
（2）设△BCD面积为S，当t为何值时，S=？
（3）连接MB，当MBOA时，如果抛物线y=ax2﹣10ax的顶点在△ABM内部（没有包括边），求a的取值范围．
2022-2023学年广东省深圳市九年级上册数学期末专项提升模拟卷（卷二）
一、选一选（本大题共16题，1-10小题每小题3分，11-16题每小题3分，共42分．）
1. 方程x2 ＝ 2x的解是（ ）
A. x＝2 B. ，＝ 0 C. ＝2，＝0 D. x ＝ 0
【正确答案】C
【分析】先移项得到x2－2x＝0，再把方程左边进行因式分解得到x（x－2）＝0，方程转化为两个一元方程：x＝0或x－2＝0，即可得到原方程的解为x1＝0，x2＝2．
【详解】解：∵x2－2x＝0，
∴x（x－2）＝0，
∴x＝0或x－2＝0，
∴＝2，＝0．
故选：C．
2. 如图所示的几何体的俯视图是( )．
A. B. C. D.
【正确答案】D
【分析】根据俯视图的作法即可得出结论．
【详解】解：从上往下看该几何体的俯视图是D．
故选D．
本题考查简单几何体的三视图，掌握简单几何体的三视图是解题关键．
3. 已知（），则下列比例式成立的是（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】B
【分析】分别将四个选项根据“内项之积等于外项之积”进行计算，然后与条件进行对比即可判断．
【详解】解：A.，由内项之积等于外项之积得，与条件没有符，故选项A没有符合题意；
B.，由内项之积等于外项之积得，与条件相符，故选项B符合题意；
C.，由内项之积等于外项之积得，与条件没有符，故选项C没有符合题意；
D.，由内项之积等于外项之积得，与条件没有符，故选项D没有符合题意；
故选：B．
此题主要考查了比例的性质，正确将已知变形是解题关键．
4. 如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，那么的值是（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】D
【分析】过A作AB⊥x轴于点B，在Rt△AOB中，利用勾股定理求出OA，再根据正弦的定义即可求解.
【详解】如图，过A作AB⊥x轴于点B，
∵A的坐标为(4,3)
∴OB=4，AB=3，
在Rt△AOB中，
∴
故选：D．
本题考查求正弦值，利用坐标求出直角三角形的边长是解题的关键．
5. 菱形，矩形，正方形都具有的性质是（ ）
A. 四条边相等，四个角相等 B. 对角线相等
C. 对角线互相垂直 D. 对角线互相平分
【正确答案】D
【分析】根据菱形、矩形及正方形的性质可直接进行排除选项．
【详解】解：A、没有正确，矩形的四边没有相等，菱形的四个角没有相等；
B、没有正确，菱形的对角线没有相等；
C、没有正确，矩形的对角线没有垂直；
D、正确，三者均具有此性质；
故选D．
本题主要考查菱形、矩形及正方形的性质，熟练掌握菱形、矩形及正方形的性质是解题的关键．
6. 如图，在△ABC中，DE∥BC，AD=4，AE=3，CE=6，那么BD的值是（ ）
A. 4 B. 6 C. 8 D. 12
【正确答案】C
【详解】∵DE∥BC，
∴，
∵AD=4，AE=3，CE=6，
∴，
∴BD=8，
故选C．
7. 顺次连结矩形各边的中点，所成的四边形一定是（ ）
A. 菱形 B. 矩形 C. 正方形 D. 没有确定
【正确答案】A
【详解】如图，连接AC、BD，在△ABD中，∵AH=HD，AE=EB，∴EH=BD，同理FG=BD，HG=AC，EF=AC，又∵在矩形ABCD中，AC=BD，∴EH=HG=GF=FE，∴四边形EFGH为菱形．故选A．
8. 如图，从热气球P处看一栋高楼顶部M的仰角为72°，看底部N的俯角为40°，以下符合条件的示意图（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】B
【详解】试题解析：根据俯角、仰角定义可以判断选项B符合条件.
故选B.
9. 如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，建立平面直角坐标系，△ABO与△A′B′O′是以点P为位似的位似图形，它们的顶点均在格点（网格线的交点）上，则点P的坐标为（ ）
A. （0，0） B. （0，1） C. （﹣3，2） D. （3，﹣2）
【正确答案】C
【详解】解：如图所示：P点即为所求，故P点坐标为：（﹣3，2）．
故选C．
本题考查1．位似变换；2．坐标与图形性质．
10. 在一个没有透明的布袋中装有50个黄、白两种颜色的球，除颜色外其他都相同，小红通过多次摸球试验后发现，摸到黄球的频率稳定在0.3左右，则布袋中白球可能有（ ）
A. 35个 B. 30个 C. 20个 D. 15个
【正确答案】A
【分析】设袋中黄球x个，根据摸到黄球的频率稳定在0.3左右可得关于x的方程，解方程即可求得x，则可求得白球的个数．
【详解】设袋中有黄球x个，由题意得=0.3，
解得x=15，
则白球可能有50-15=35(个)．
故选：A．
本题考查了用频率估计概率，通过概率的计算公式用方程来解决．掌握概率公式是关键．
11. 中国“”战略给沿线国家和地区带来很大的经济效益，沿线某地区居民2016年年收入300美元，预计2018年年收入将达到1500美元，设2016年到2018年该地区居民年人均收入平均增长率为x，可列方程为（ ）
A. 300（1+x）2＝1500 B. 300（1+2x）＝1500
C. 300（1+x2）＝1500 D. 300+2x＝1500
【正确答案】A
【详解】解：设2016年到2018年该地区居民年人均收入平均增长率为x，
那么根据题意得2018年年收入：300（1+x）2，
列出方程为：300（1+x）2=1500．
故选A．
12. 某学校要种植一块面积为100 m2的长方形草坪，要求两边长均没有小于5 m，则草坪的一边长为y（单位：m）随另一边长x（单位：m）的变化而变化的图象可能是（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】C
【详解】由草坪面积为100m2，可知x、y存在关系y=，然后根据两边长均没有小于5m，可得x≥5、y≥5，则x≤20，
故选 ：C．
13. 将抛物线y=3x2﹣3向右平移3个单位长度，得到新抛物线的表达式为（ ）
A y=3（x﹣3）2﹣3 B. y=3x2 C. y=3（x+3）2﹣3 D. y=3x2﹣6
【正确答案】A
【分析】根据二次函数的图象平移规律：左加右减，上加下减，即可得出.
【详解】抛物线向右平移3个单位,
得到的抛物线的解析式是
故选A.
本题主要考查二次函数的图象平移规律：左加右减，上加下减.
14. 已知矩形ABCD中，AB=1，在BC上取一点E，沿AE将ΔABE向上折叠，使B点落在AD上的F点，若四边形EFDC与矩形ABCD相似，则AD=（ ）．
A. B. C. D. 2
【正确答案】B
【分析】可设AD=x，根据四边形EFDC与矩形ABCD相似，可得比例式，求解即可．
【详解】解：∵矩形ABCD中，AF由AB折叠而得，
∴ABEF是正方形．
又∵AB=1，
∴AF= AB=EF=1．
设AD=x，则FD=x－1．
∵四边形EFDC与矩形ABCD相似，
∴，即．
解得，（负值舍去）．
经检验是原方程的解．
故选B．
考查了翻折变换（折叠问题），相似多边形的性质，本题的关键是根据四边形EFDC与矩形ABCD相似得到比例式．
15. 有3个正方形如图所示放置，阴影部分的面积依次记为S1，S2，则S1：S2等于（ ）
A. 1： B. 1：2 C. 2：3 D. 4：9
【正确答案】D
【分析】设小正方形的边长为x，再根据相似的性质求出S1、S2与正方形面积的关系，然后进行计算即可得出答案．
【详解】设小正方形的边长为x，根据图形可得：
∴，
∴S1=x2，
∵
∴，
∴S2=S正方形ABCD，
∴S2=x2，
∴S1：S2=x2：x2=4：9
考点：正方形的性质．
16. 二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图所示，其顶点坐标为（1，n），且与x轴的一个交点在（3，0）和（4，0）之间，则下列结论：
①ac
②a﹣b+c＞0；
③当时，y随x的增大而增大
若（﹣，y1），（，y2）是抛物线上的两点，则y1y2；
④一元二次方程ax2+bx+c=n﹣1有两个没有相等的实数根．
其中正确结论的个数是（ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
【正确答案】C
【详解】试题解析：：∵抛物线的对称轴为直线x=1，抛物线与x轴的一个交点在（3，0）和（4，0）之间，
∴抛物线与x轴的一个交点在（-2，0）和（-1，0）之间，
∴x=-1时，y＞0，
即a-b+c＞0，所以①正确；
∵抛物线的对称轴为x=-=1，
∴b=-2a，
∴3a+b=3a-2a=a≠0，所以②错误；
∵点（-，y1）到直线x=1的距离比点（，y2）到直线x=1的距离大，
而抛物线开口向下，
∴y1＜y2，所以③正确；
∵x=1时，y有值为n，
∴抛物线与直线y=n-1有两个交点，
∴一元二次方程ax2+bx+c=n-1有两个没有相等的实数根，所以④正确．
故选C．
二、填 空 题（本大题共3个小题，共10分；17～18小题每小题3分，19题每空2分）
17. 计算：2cos60°+tan45°=____．
【正确答案】2
【详解】解：原式=．
故答案为2．
本题考查角的三角函数值．
18. 如图，在平面直角坐标系中，直线l∥x轴，且直线l分别与反比例函数y=（x＞0）和y=﹣（x＜0）的图象交于点P、Q，连结PO、QO，则△POQ的面积为 ．
【正确答案】7
【分析】根据反比例函数比例系数k的几何意义得到S△OQM=4，S△OPM=3，然后利用S△POQ=S△OQM+S△OPM进行计算．
【详解】解：如图，
∵直线l∥x轴，
∴S△OQM=×|﹣8|=4，S△OPM=×|6|=3，
∴S△POQ=S△OQM+S△OPM=7．
故答案为7．
考点：反比例函数系数k的几何意义．
19. 如图，一段抛物线：y=-x（x-3）（0≤x≤3），记为C1，它与x轴交于点O、A1；将C1绕点A1旋转180°得C2，交x轴于点A2；将C2绕点A2旋转180°得C3，交x轴于A3；…如此进行下去，直至得C17．
（1）写出点A1的坐标__________；
（2）若P（50，m）在第17段抛物线C17上，则m=__________．
【正确答案】 ①. （3，0） ②. 2
【详解】试题解析：：∵一段抛物线：y=-x（x-3）（0≤x≤3），
∴图象与x轴交点坐标：（0，0），（3，0），
∴的坐标为（3,0）.
∵将C1绕点A1旋转180°得C2，交x轴于点A2；
将C2绕点A2旋转180°得C3，交x轴于点A3；
…
如此进行下去，直至得C17．
∴C17的解析式与x轴的交点坐标为（48，0），（51，0），且图象在x轴上方，
∴C13的解析式为：y13=-（x-48）（x-51），
当x=50时，m=-（50-48）×（50-51）=2．
故答案为2．
三、解 答 题（共7道大题，共68分）
20. 已知关于x的一元二次方程（k﹣1）x2+4x+1=0．
（1）若此方程的一个根为﹣1，求k的值；
（2）若此一元二次方程有实数根，求k的取值范围．
【正确答案】（1）；（2）且．
【分析】（1）把x=﹣1代入原方程求k值；
（2）一元二次方程的判别式是非负数，且二次项系数没有等于0．
【详解】解：（1）将x=﹣1代入一元二次方程（k﹣1）x2+4x+1=0得，
（k﹣1）﹣4+1=0，
解得k=4；
（2）∵若一元二次方程（k﹣1）x2+4x+1=0有实数根，
∴△=16﹣4（k﹣1）≥0，且k﹣1≠0
解得k≤5且k﹣1≠0，
即k的取值范围是k≤5且k≠1．
21. 车辆润扬大桥收费站时，4个收费通道 A．B、C、D中，可随机选择其中的一个通过．
（1）一辆车此收费站时，选择 A通道通过的概率是 ；
（2）求两辆车此收费站时，选择没有同通道通过的概率．
【正确答案】（1）；（2）．
【详解】试题分析：（1）根据概率公式即可得到结论；
（2）画出树状图即可得到结论．
试题解析：（1）选择 A通道通过概率=，
故答案为；
（2）设两辆车为甲，乙，如图，两辆车此收费站时，会有16种可能的结果，其中选择没有同通道通过的有12种结果，∴选择没有同通道通过的概率==．
22. 如图1，研究发现，科学使用电脑时，望向荧光屏幕画面的“视线角”α约为20°，而当手指接触键盘时，肘部形成的“手肘角”β约为100°．图2是其侧面简化示意图，其中视线AB水平，且与屏幕BC垂直．
（1）若屏幕上下宽BC=20cm，科学使用电脑时，求眼睛与屏幕的最短距离AB的长；
（2）若肩膀到水平地面的距离DG=100cm，上臂DE=30cm，下臂EF水平放置在键盘上，其到地面的距离FH=72cm．请判断此时β是否符合科学要求的100°？
（参考数据：sin69°≈，cos21°≈，tan20°≈，tan43°≈，所有结果到个位）
【正确答案】（1）55；（2）没有符合要求．
【分析】（1）Rt△ABC中利用三角函数即可直接求解；
（2）延长FE交DG于点I，利用三角函数求得∠DEI即可求得β的值，从而作出判断．
【详解】解：（1）∵Rt△ABC中，tanA=，
∴AB===55（cm）；
（2）延长FE交DG于点I．
则DI=DG﹣FH=100﹣72=28（cm）．
在Rt△DEI中，sin∠DEI=，
∴∠DEI=69°，
∴∠β=180°﹣69°=111°≠100°，
∴此时β没有是符合科学要求的100°．
考点：解直角三角形的应用
23. 在Rt△ABC中，∠BAC=90°，D是BC的中点，E是AD的中点．过点A作AF∥BC交BE的延长线于点F．
（1）求证：△AEF≌△DEB；
（2）证明四边形ADCF是菱形；
（3）若AC=4，AB=5，求菱形ADCF 的面积．
【正确答案】（1）证明详见解析；
（2）证明详见解析； （3）10．
【分析】（1）利用平行线的性质及中点的定义，可利用AAS证得结论；
（2）由（1）可得AF=BD，条件可求得AF=DC，则可证明四边形ADCF为平行四边形，再利用直角三角形的性质可证得AD=CD，可证得四边形ADCF为菱形；
（3）连接DF，可证得四边形ABDF为平行四边形，则可求得DF的长，利用菱形的面积公式可求得答案．
【小问1详解】
证明：∵AF∥BC，
∴∠AFE=∠DBE，
∵E是AD的中点，
∴AE=DE，
在△AFE和△DBE中，
，
∴△AFE≌△DBE（AAS）；
【小问2详解】
证明：由（1）知，△AFE≌△DBE，则AF=DB．
∵AD为BC边上的中线，
∴DB=DC，
∴AF=CD．
∵AF∥BC，
∴四边形ADCF是平行四边形，
∵∠BAC=90°，D是BC的中点，
∴AD=DC=BC，
∴四边形ADCF是菱形；
【小问3详解】
解：连接DF，
∵AF∥BD，AF=BD，
∴四边形ABDF是平行四边形，
∴DF=AB=5，
∵四边形ADCF是菱形，
∴S菱形ADCF=AC▪DF=×4×5=10．
本题主要考查菱形的性质及判定，全等三角形的性质与判定，平行四边形的性质与判定，直角三角形斜边上的中线，利用全等三角形的性质证得AF=CD是解题的关键，注意菱形面积公式的应用．
24. 如图，在平面直角坐标系 中，函数的图象与直线交于点A(3,m).
（1）求k、m的值；
（2）已知点P(n，n)(n>0)，过点P作平行于轴的直线，交直线y=x-2于点M，过点P作平行于y轴的直线，交函数 的图象于点N.
①当n=1时，判断线段PM与PN的数量关系，并说明理由；
②若PN≥PM，函数的图象，直接写出n的取值范围.
【正确答案】(1) k的值为3，m的值为1；（2）0
【详解】分析：（1）将A点代入y=x-2中即可求出m的值，然后将A的坐标代入反比例函数中即可求出k的值．
（2）①当n=1时，分别求出M、N两点的坐标即可求出PM与PN的关系；
②由题意可知：P的坐标为（n，n），由于PN≥PM，从而可知PN≥2，根据图象可求出n的范围．
详解：（1）将A（3，m）代入y=x-2，
∴m=3-2=1，
∴A（3，1），
将A（3，1）代入y=，
∴k=3×1=3，
m的值为1.
（2）①当n=1时，P（1，1），
令y=1，代入y=x-2，
x-2=1，
∴x=3，
∴M（3，1），
∴PM=2，
令x=1代入y=，
∴y=3，
∴N（1，3），
∴PN=2
∴PM=PN，
②P（n，n），
点P在直线y=x上，
过点P作平行于x轴的直线，交直线y=x-2于点M，
M（n+2，n），
∴PM=2，
∵PN≥PM，
即PN≥2，
∴0＜n≤1或n≥3
点睛：本题考查反比例函数与函数的综合问题，解题的关键是求出反比例函数与函数的解析式，本题属于基础题型．
25. 某商品的进价为每件20元，当单价是25元时，每天的量为250件，如果调整价格，单价每上涨1元，每天的量就减少10件．
①求每天所得的利润w（元）与每件涨价x（元）之间的函数关系式，并写出x的取值范围．
②求单价为多少元时，该文具每天的利润？利润是多少？
③若商场要每天获得利润2000元，同时让利于顾客，单价应定为多少元？
【正确答案】①w=﹣10x2+200x+1250（ 0≤x≤25 ）②当单价为35元时，该文具每天的利润，利润为2250元③商场要每天获得利润2000元，单价应定为30元
【详解】试题分析：①根据利润=（单价-进价）×量，列出函数关系式即可；
②根据（1）式列出的函数关系式，运用配方法求值；
③根据利润等于2000元，列出方程求解即可.
试题解析：①w=（25+x﹣20）（250﹣10x）
=﹣10x2+200x+1250（ 0≤x≤25 ）；
②w=﹣10x2+200x+1250=﹣10（x﹣10）2+2250．
∵﹣10＜0，
∴函数图象开口向下，w有值，
当x=10时，wmax=2250，
故当单价为35元时，该文具每天的利润，利润为2250元．
③当w=2000时，得﹣10x2+200x+1250=2000
解得：x1=5，x2=15，让利给顾客，
所以，商场要每天获得利润2000元，单价应定为30元；
26. 如图，在平面直角坐标系中，点C的坐标为（0，4），动点A以每秒1个单位长的速度，从点O出发沿x轴的正方向运动，M是线段AC的中点．将线段AM以点A为，沿顺时针方向旋转90°，得到线段AB．过点B作x轴的垂线，垂足为E，过点C作y轴的垂线，交直线BE于点D．运动时间为t秒．
（1）当点B与点D重合时，求t的值；
（2）设△BCD的面积为S，当t为何值时，S=？
（3）连接MB，当MBOA时，如果抛物线y=ax2﹣10ax的顶点在△ABM内部（没有包括边），求a的取值范围．
【正确答案】（1）t=8 （2）当t=3或3+5时，S=
（3）﹣＜a＜﹣
【分析】（1）由于∠CAB＝90°，易证得Rt△∽Rt△ABE；当B、D重合时，BE的长已知（即OC长），根据AC、AB的比例关系，即可得到AO、BE的比例关系，由此求得t的值．
（2）求△BCD的面积时，可以CD为底、BD为高来解，那么表示出BD的长是关键；Rt△∽Rt△ABE，且知道AC、AB的比例关系，即可通过相似三角形的对应边成比例求出BE的长，进一步得到BD的长，在表达BD长时，应分两种情况考虑：①B在线段DE上，②B在ED的延长线上．
（3）首先将抛物线的解析式进行配方，可得到抛物线的顶点坐标，将其横坐标分别代入直线MB、AB的解析式中，可得到抛物线对称轴与这两条直线的交点坐标，根据这两个坐标即可判定出a的取值范围．
【小问1详解】
解：解：∵∠＋∠BAE＝90°，∠ABE＋∠BAE＝90°，
∴∠＝∠ABE
∴Rt△∽Rt△ABE
∴
∴
∴t=8
【小问2详解】
解：解：由Rt△∽Rt△ABE可知：，AE＝2，
当0＜＜8时，
∴
当时，
∴，（为负数，舍去）．
当或时，
【小问3详解】
解：解：过M作MN⊥轴于N，则
当MBOA时，BE＝MN＝2，OA＝2BE＝4
∵抛物线 的顶点坐标为（5，）
∴ 它的顶点在直线x ＝5上移动．
∵直线x ＝5交MB于点（5，2），交AB于点（5，1）
∴1＜＜2．
∴﹣＜a＜﹣
考查了二次函数综合题，该题是图形的动点问题，前两问的关键在于找出相似三角形，得到关键线段的表达式，注意点在运动过程中未知数的取值范围问题．一问中，先得到抛物线的顶点坐标是简化解题的关键．
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