
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2022-2023学年广东省深圳市九年级上册数学期末专项提升模拟卷(卷一卷二)含解析
展开2022-2023学年广东省深圳市九年级上册数学期末专项提升模拟卷(卷一)
一、选一选(本题有10小题,每小题4分,共40分.每小题只有一个选项是正确的,没有选、多选、错选,均没有给分)
1. 若,则的值等于( )
A. B. C. D.
2. 已知⊙O半径为4cm.若点P到圆心O的距离为3cm,则点P( )
A. 在⊙O内 B. 在⊙O上
C. 在⊙O外 D. 与⊙O的位置关系无法确定
3. 二次函数的图象与y轴的交点坐标是( )
A. (0,1) B. (1,0) C. (-1,0) D. (0,-1)
4. 若两个三角形的相似比为1∶2,则它们的面积比为( )
A. 1∶2 B. 1∶4 C. 2∶1 D. 4∶1
5. 一个没有透明的盒子里有n个除颜色外其他完全相同的小球,其中有9个黄球,每次摸球前先将盒子里的球摇匀,任意摸出一个球记下颜色后再放回盒子,通过大量重复摸球实验后发现,摸到黄球的频率稳定在30%,那么估计盒子中小球的个数n为( )
A. 20 B. 24 C. 28 D. 30
6. 已知二次函数的图象(0≤x≤4)如图,关于该函数在所给自变量的取值范围内,下列说确的是( )
A. 有值 1.5,有最小值﹣2.5 B. 有值 2,有最小值 1.5
C. 有值 2,有最小值﹣2.5 D. 有值 2,无最小值
7. 如图,D是等边△ABC外接圆上的点,且∠CAD=20°,则∠ACD的度数为( )
A. 20° B. 30° C. 40° D. 45°
8. 如图,有一块直角三角形余料ABC,∠BAC=90°,D是AC的中点,现从中切出一条矩形纸条DEFG,其中E,F在BC上,点G在AB上,若BF=4.5cm,CE=2cm,则纸条GD的长为( )
A. 3 cm B. cm C. cm D. cm
9. 二次函数与函数的图象交于点A(2,5)和点B(3,m),要使,则的取值范围是( )
A. B. C. D. 或
10. 如图,点,,均在坐标轴上,,过,,作,是上任意一点,连结,,则值是( )
A. 4 B. 5 C. 6 D.
二、填 空 题(本题有6小题.每小题5分,共30分)
11. 某校九年1班共有45位学生,其中男生有25人,现从中任选一位学生,选中女生的概率是____.
12. 已知扇形的圆心角为120°,弧长为6π,则它的半径为________.
13. 如图,点B,E分别在线段AC,DF上,若AD∥BE∥CF,AB=3,BC=2,DE=4.5,则DF的长为____.
14. 若二次函数的图象与x轴的一个交点是(2,0),则与x轴的另一个交点坐标是____.
15. 如图,△ABC内接于⊙O,AD⊥BC于点D,AD=BD.若⊙O的半径OB=2,则AC的长为_____.
16. 两幢大楼的部分截面及相关数据如图,小明在甲楼A处透过窗户E发现乙楼F处出现火灾,此时A,E,F在同一直线上.跑到一楼时,消防员正在进行喷水灭火,水流路线呈抛物线,在1.2m高的D处喷出,水流正好E,F. 若点B和点E、点C和F的离地高度分别相同,现消防员将水流抛物线向上平移0.4m,再向左后退了____m,恰好把水喷到F处进行灭火.
三、解 答 题(本题有8小题,共80分)
17. 已知:如图,⊙O中弦.求证:AD=BC.
18. 一个没有透明的袋子中装有红、白两种颜色的小球,这些球除颜色外完全相同,其中红球有个,若从中随机摸出一个球,这个球是白球的概率为.
()请直接写出袋子中白球个数.
()随机摸出一个球后,放回并搅匀,再随机摸出一个球,求两次都摸到相同颜色的小球的概率.(请树状图或列表解答)
19. 如图,点O是线段AB的中点,根据要求完成下题:
(1)在图中补画完成:
步,以AB为直径的画出⊙O;
第二步,以B为圆心,以BO为半径画圆弧,交⊙O于点C,连接点CA,CO;
(2)设AB=6,求扇形AOC的面积.(结果保留π)
20. 如图,将矩形ABCD沿EF折叠,使顶点C恰好落在AB边的C1处,点D落在点D1处,C1D1交线段AE于点G.
(1)求证:△BC1F∽△AGC1;
(2)若C1是AB的中点,AB=6,BC=9,求AG的长.
21. 如图,二次函数的图象的顶点坐标为(1,),现将等腰直角三角板直角顶点放在原点O,一个锐角顶点A在此二次函数的图象上,而另一个锐角顶点B在第二象限,且点A的坐标为(2,1).
(1)求该二次函数的表达式;
(2)判断点B是否在此二次函数的图象上,并说明理由.
22. 甲乙两位同学利用灯光下的影子来测量一路灯A的高度,如图,当甲走到点C处时,乙测得甲直立身高CD与其影子长CE正好相等,接着甲沿BC方向继续向前走,走到点E处时,甲直立身高EF的影子恰好是线段EG,并测得EG=2.5m.已知甲直立时的身高为1.75m,求路灯的高AB的长.(结果到0.1m)
23. 如图,二次函数的图象与x轴交于点A,B,与y轴交于点C.点P是该函数图象上的动点,且位于象限,设点P的横坐标为x.
(1)写出线段AC, BC的长度:AC= ,BC= ;
(2)记△BCP的面积为S,求S关于x的函数表达式;
(3)过点P作PH⊥BC,垂足为H,连结AH,AP,设AP与BC交于点K,探究:是否存在四边形ACPH为平行四边形?若存在,请求出的值;若没有存在,请说明理由,并求出的值.
24. 如图,AB是⊙O直径,,连结AC,过点C作直线l∥AB,点P是直线l上的一个动点,直线PA与⊙O交于另一点D,连结CD,设直线PB与直线AC交于点E.
(1)求∠BAC的度数;
(2)当点DAB上方,且CD⊥BP时,求证:PC=AC;
(3)在点P的运动过程中
①当点A在线段PB的中垂线上或点B在线段PA的中垂线上时,求出所有满足条件的∠ACD的度数;
②设⊙O的半径为6,点E到直线l的距离为3,连结BD,DE,直接写出△BDE的面积.
2022-2023学年广东省深圳市九年级上册数学期末专项提升模拟卷(卷一)
一、选一选(本题有10小题,每小题4分,共40分.每小题只有一个选项是正确的,没有选、多选、错选,均没有给分)
1. 若,则的值等于( )
A. B. C. D.
【正确答案】B
【详解】∵,
∴设a=3k,b=2k,
∴===.
故选B.
2. 已知⊙O的半径为4cm.若点P到圆心O的距离为3cm,则点P( )
A. 在⊙O内 B. 在⊙O上
C. 在⊙O外 D. 与⊙O的位置关系无法确定
【正确答案】A
【分析】根据点与圆的位置关系判断即可.
【详解】∵点P到圆心的距离为3cm,
而⊙O的半径为4cm,
∴点P到圆心的距离小于圆的半径,
∴点P在圆内,
故选:A.
此题考查的是点与圆的位置关系,掌握点与圆的位置关系的判断方法是解决此题的关键.
3. 二次函数的图象与y轴的交点坐标是( )
A. (0,1) B. (1,0) C. (-1,0) D. (0,-1)
【正确答案】D
【详解】当x=0时,y=0-1=-1,
∴图象与y轴的交点坐标是(0,-1).
故选D.
4. 若两个三角形的相似比为1∶2,则它们的面积比为( )
A. 1∶2 B. 1∶4 C. 2∶1 D. 4∶1
【正确答案】B
【详解】∵两个三角形的相似比为1∶2,
∴它们的面积比为1∶4.
故选B.
相似三角形对应边的比,对应高的比,对应中线的比,对应角平分线的比,对应周长的比等于相似比;相似三角形面积的比等于相似比的平方.
5. 一个没有透明的盒子里有n个除颜色外其他完全相同的小球,其中有9个黄球,每次摸球前先将盒子里的球摇匀,任意摸出一个球记下颜色后再放回盒子,通过大量重复摸球实验后发现,摸到黄球的频率稳定在30%,那么估计盒子中小球的个数n为( )
A. 20 B. 24 C. 28 D. 30
【正确答案】D
【分析】直接由概率公式求解即可.
【详解】根据题意得=30%,解得:n=30,
所以这个没有透明的盒子里大约有30个除颜色外其他完全相同的小球.
故选:D.
本题考查由频率估计概率、简单的概率计算,熟知求概率公式是解答的关键.
6. 已知二次函数图象(0≤x≤4)如图,关于该函数在所给自变量的取值范围内,下列说确的是( )
A. 有值 1.5,有最小值﹣2.5 B. 有值 2,有最小值 1.5
C. 有值 2,有最小值﹣2.5 D. 有值 2,无最小值
【正确答案】C
【详解】由图像可知,当x=1时,y有值2;当x=4时,y有最小值-2.5.
故选C.
7. 如图,D是等边△ABC外接圆上的点,且∠CAD=20°,则∠ACD的度数为( )
A. 20° B. 30° C. 40° D. 45°
【正确答案】C
【分析】根据圆内接四边形的性质得到∠D=180°-∠B=120°,根据三角形内角和定理计算即可.
【详解】∴∠B=60°,
∵四边形ABCD是圆内接四边形,
∴∠D=180°−∠B=120°,
∴∠ACD=180°−∠DAC−∠D=40°,
故选C.
8. 如图,有一块直角三角形余料ABC,∠BAC=90°,D是AC的中点,现从中切出一条矩形纸条DEFG,其中E,F在BC上,点G在AB上,若BF=4.5cm,CE=2cm,则纸条GD的长为( )
A. 3 cm B. cm C. cm D. cm
【正确答案】C
【详解】∵四边形DEFG是矩形,
∴GD∥EF,GD=EF,
∵D是AC的中点,
∴GD是△ABC的中位线,
∴,
∴,
解得:GD=.
故选C.
9. 二次函数与函数的图象交于点A(2,5)和点B(3,m),要使,则的取值范围是( )
A. B. C. D. 或
【正确答案】A
【详解】当k<0时,的图象过二、三、四象限,这与交点A(2,5)和点B(3,m)在象限没有符;
当k>0时,的图象过一、三、四象限,又因二次函数开口向上,
∴当时,.
故选A.
10. 如图,点,,均在坐标轴上,,过,,作,是上任意一点,连结,,则的值是( )
A. 4 B. 5 C. 6 D.
【正确答案】C
【分析】连接,,如图,利用圆周角定理可判定点在上,易得,,,,,设,则,由于表示点到原点的距离,则当为直径时,点到原点的距离,由于为平分,则,利用点在圆上得到,则可计算出,从而得到的值.
【详解】解:连接,,如图,
,
为的直径,
点在上,
,
,,,,,
设,
,
而表示点到原点的距离,
当为直径时,点到原点的距离,
为平分,
,
,
,
即
,
此时,
即的值是6.
故选:.
本题考查了点与圆的位置关系、圆周角定理、勾股定理等,作出辅助线,得到是解题的关键.
二、填 空 题(本题有6小题.每小题5分,共30分)
11. 某校九年1班共有45位学生,其中男生有25人,现从中任选一位学生,选中女生的概率是____.
【正确答案】
【详解】解:选中女生的概率是: .
12. 已知扇形的圆心角为120°,弧长为6π,则它的半径为________.
【正确答案】9
【分析】根据弧长公式L=求解即可.
【详解】∵L=,
∴R==9.
故答案为9.
本题考查了弧长的计算,解答本题的关键是掌握弧长公式:L=.
13. 如图,点B,E分别在线段AC,DF上,若AD∥BE∥CF,AB=3,BC=2,DE=4.5,则DF的长为____.
【正确答案】7.5
【详解】∵AD∥BE∥CF,
∴ .
∵AB=3,BC=2,DE=4.5,
∴ ,
∴EF=3,
∴DF=DE+EF=4.5+3=7.5.
14. 若二次函数的图象与x轴的一个交点是(2,0),则与x轴的另一个交点坐标是____.
【正确答案】(-4,0)
【分析】将交点(2,0)代入抛物线y=ax2+2ax-3,求得a的值,由此可得抛物线的解析式,令y=0,即可得到方程x2+x-3=0,解方程得到x的值即可得出另一交点的坐标.
【详解】将(2,0)代入抛物线y=ax2+2ax-3,得4a+4a-3=0,
解得,
所以抛物线的解析式为y=x2+x-3.
令y=0,则x2+x-3=0,
解得x=2或x=-4,
所以抛物线与x轴的另一个交点为(-4,0)
故答案:(-4,0)
15. 如图,△ABC内接于⊙O,AD⊥BC于点D,AD=BD.若⊙O的半径OB=2,则AC的长为_____.
【正确答案】
【详解】延长AO交⊙O与点E,连接BE,则AE=2OB=4.
∵AD⊥BC,AD=BD,
∴ .
∵∠E=∠C, ∠ABE=∠ADC=90°,
∴△ABE∽△ADC,
∴ ,
∴,
∴ ,
∴AC=.
16. 两幢大楼的部分截面及相关数据如图,小明在甲楼A处透过窗户E发现乙楼F处出现火灾,此时A,E,F在同一直线上.跑到一楼时,消防员正在进行喷水灭火,水流路线呈抛物线,在1.2m高的D处喷出,水流正好E,F. 若点B和点E、点C和F的离地高度分别相同,现消防员将水流抛物线向上平移0.4m,再向左后退了____m,恰好把水喷到F处进行灭火.
【正确答案】
【详解】设直线AE的解析式为:y=kx+21.2.
把E(20,9.2)代入得,20k+21.2=9.2,
∴k=-0.6,
∴y=-0.6x+21.2.
把y=6.2代入得,
-0.6x+21.2=6.2,
∴x=25,
∴F(25,6.2).
设抛物线解析式为:y=ax2+bx+1.2,
把E(20,9.2), F(25,6.2)代入得,
,解之得:,
∴y=-0.04x2+1.2x+1.2,
设向上平移0.4m,向左后退了hm, 恰好把水喷到F处进行灭火由题意得
y=-0.04(x+h)2+1.2(x+h)+1.2+0.4,
把F(25,6.2)代入得,
6.2=-0.04×(25+h)2+1.2(25+h)+1.2+0.4,整理得:h2+20h-10=0,
解之得: ,(舍去).
∴向后退了m
故答案是:
本题考查了二次函数和函数的实际应用,设直线AE的解析式为:y=kx+21.2.
把E(20,9.2)代入求出直线解析式,从而求出点F的坐标.把E(20,9.2), F(25,6.2)代入y=ax2+bx+1.2求出二次函数解析式.设向左平移了hm,表示出平移后的解析式,把点F的坐标代入可求出k的值.
三、解 答 题(本题有8小题,共80分)
17. 已知:如图,⊙O中弦.求证:AD=BC.
【正确答案】见解析
【分析】先根据等弦所对的劣弧相等得到,从而得到,再由等弧所对的弦相等即可得到.
【详解】证明:∵AB=CD,
∴,
∴,
.
本题主要考查了弧与弦之间的关系,解题的关键在于能够熟练掌握等弦所对的劣弧相等,等弧所对的弦相等.
18. 一个没有透明的袋子中装有红、白两种颜色的小球,这些球除颜色外完全相同,其中红球有个,若从中随机摸出一个球,这个球是白球的概率为.
()请直接写出袋子中白球的个数.
()随机摸出一个球后,放回并搅匀,再随机摸出一个球,求两次都摸到相同颜色的小球的概率.(请树状图或列表解答)
【正确答案】(1)袋子中白球有2个;(2).
【分析】(1)设袋子中白球有x个,根据概率公式列方程解方程即可求得答案;
(2)根据题意画出树状图,求得所有等可能的结果与两次都摸到相同颜色的小球的情况,再利用概率公式即可求得答案.
【详解】解:(1)设袋子中白球有x个,
根据题意得:,
解得:x=2,
经检验,x=2是原分式方程的解,
∴袋子中白球有2个;
(2)画树状图得:
∵共有9种等可能结果,两次都摸到相同颜色的小球的有5种情况,
∴两次都摸到相同颜色的小球的概率为:.
19. 如图,点O是线段AB的中点,根据要求完成下题:
(1)在图中补画完成:
步,以AB为直径的画出⊙O;
第二步,以B为圆心,以BO为半径画圆弧,交⊙O于点C,连接点CA,CO;
(2)设AB=6,求扇形AOC的面积.(结果保留π)
【正确答案】(1)作图见解析;(2)
【详解】试题分析:(1)以点O为圆心,以OA为半径可画出⊙O;
(2)由画法可知BC=BO=OC,从而△BOC是正三角形,进而可求得∠AOC=120°,然后根据扇形面积公式求解.
解:(1)画图;
(2)解:连结BC,则BC=BO=OC,
∴△BOC是正三角形,
∴∠BOC=60°,∴∠AOC=120°,
∴
20. 如图,将矩形ABCD沿EF折叠,使顶点C恰好落在AB边的C1处,点D落在点D1处,C1D1交线段AE于点G.
(1)求证:△BC1F∽△AGC1;
(2)若C1是AB的中点,AB=6,BC=9,求AG的长.
【正确答案】(1)证明见解析;(2).
【分析】(1)根据题意和图形可以找出△BC1F∽△AGC1的条件,从而可以解答本题;(2)根据勾股定理和(1)中的结论可以求得AG的长.
【详解】证明:(1)由题意可知∠A=∠B=∠GC1F=90°,
∴∠BFC1+∠BC1F=90°,∠AC1G+∠BC1F=90°,
∴∠BFC1=∠AC1G,
∴△BC1F∽△AGC1.
(2)∵C1是AB的中点,AB=6,
∴AC1=BC1=3.
∵∠B=90°,
∴BF2+32=(9﹣BF)2,
∴BF=4,
由(1)得△AGC1∽△BC1'F,
∴=,
∴=,
解得,AG= .
本题考查相似三角形的判定与性质、矩形的性质、翻折变化,解答本题的关键是明确题意,找出所求问题需要的条件,利用三角形的相似和勾股定理解答.
21. 如图,二次函数的图象的顶点坐标为(1,),现将等腰直角三角板直角顶点放在原点O,一个锐角顶点A在此二次函数的图象上,而另一个锐角顶点B在第二象限,且点A的坐标为(2,1).
(1)求该二次函数的表达式;
(2)判断点B是否在此二次函数的图象上,并说明理由.
【正确答案】(1);(2)点B在这个函数图象上.
【详解】试题分析:(1)设二次函数的表达式为,,把A(2,1)代入求出a的值;
(2)过点A,B分别作AC⊥x轴,BD⊥x轴,由△AOC≌△DOB求出点B的坐标,代入到二次函数关系式中验证即可.
解:(1)设二次函数的表达式为,
∵图象过A(2,1),
∴,即
∴
(2)过点A,B分别作AC⊥x轴,BD⊥x轴,垂足分别为C,D.
易证得△AOC≌△DOB,
∴DO=AC=1,BD=OC=2,∴B(-1,2)
当x=-1时,
∴点B在这个函数图象上.
点睛:本题考查了待定系数法求二次函数解析式,因知道了顶点坐标,所以设顶点式方程求解;判断点在没有在函数图像上,只要把点的坐标代入到函数关系式中,验证左右是否相等,若相等,则点在函数图像上,若没有相等,则点没有在函数图像上.
22. 甲乙两位同学利用灯光下影子来测量一路灯A的高度,如图,当甲走到点C处时,乙测得甲直立身高CD与其影子长CE正好相等,接着甲沿BC方向继续向前走,走到点E处时,甲直立身高EF的影子恰好是线段EG,并测得EG=2.5m.已知甲直立时的身高为1.75m,求路灯的高AB的长.(结果到0.1m)
【正确答案】路灯高AB约为5.8米.
【详解】试题分析:根据EF⊥BC,CD⊥BC,AB⊥BC,得到AB∥CD∥EF,从而得到△ABN∽△ACD,利用相似三角形对应边的比相等列出比例式求解即可.
解:如图,设AB= x,
由题意知AB⊥BG,CD⊥BG,FE⊥BG,CD=CE,
∴AB∥CD∥EF,∴BE=AB=x,
∴△ABG∽△FEC
∴,即,
∴m
答:路灯高AB约为5.8米.
23. 如图,二次函数的图象与x轴交于点A,B,与y轴交于点C.点P是该函数图象上的动点,且位于象限,设点P的横坐标为x.
(1)写出线段AC, BC的长度:AC= ,BC= ;
(2)记△BCP的面积为S,求S关于x的函数表达式;
(3)过点P作PH⊥BC,垂足为H,连结AH,AP,设AP与BC交于点K,探究:是否存在四边形ACPH为平行四边形?若存在,请求出的值;若没有存在,请说明理由,并求出的值.
【正确答案】(1)AC=,BC=;(2)y;(3).
【分析】(1)求出与坐标轴的交点坐标,然后根据勾股定理求解;
(2)利用割补法列式,即根据列式;
(3)过点P作PH⊥BC于H,根据一组对边及平行又相等的四边形是平行四边形判断;由△AKC∽△PHK列比例式求解.
【详解】解:(1)二次函数
当x=0时,y=2,
∴C(0,2),
∴OC=2,
当y=0时,
解得:x1=4,x2=-1,
∴A(-1,0),B(4,0),
∴OA=1,OB=4,
由勾股定理得:
∴AC=,BC=;
(2)∵B(4,0),C(0,2),
∴直线BC的解析式为:
如图1,过P作PD∥y轴,交直线BC于D,
设P(x, ),则
则有
(3)没有存在,
过点P作PH⊥BC于H,
∵,
∴△ABC直角三角形,即AC⊥BC;∴AC∥PH,
要使四边形ACPH为平行四边形,只需满足PH=AC=,
∴=5,而==,
所以没有存在四边形ACPH为平行四边形
∵AC∥PH,
∴△AKC∽△PHK,
∴=(当x=2时,取到值)
24. 如图,AB是⊙O的直径,,连结AC,过点C作直线l∥AB,点P是直线l上的一个动点,直线PA与⊙O交于另一点D,连结CD,设直线PB与直线AC交于点E.
(1)求∠BAC的度数;
(2)当点D在AB上方,且CD⊥BP时,求证:PC=AC;
(3)在点P的运动过程中
①当点A在线段PB的中垂线上或点B在线段PA的中垂线上时,求出所有满足条件的∠ACD的度数;
②设⊙O的半径为6,点E到直线l的距离为3,连结BD,DE,直接写出△BDE的面积.
【正确答案】(1)45°;(2)见解析;(3)①∠ACD=15°;∠ACD=105°;∠ACD=60°;∠ACD=120°;②36或.
【分析】(1)易得△ABC是等腰直角三角形,从而∠BAC=∠CBA=45°;
(2)分当 B在PA的中垂线上,且P在右时;B在PA的中垂线上,且P在左;A在PB的中垂线上,且P在右时;A在PB的中垂线上,且P在左时四中情况求解;
(3)①先说明四边形OHEF是正方形,再利用△DOH∽△DFE求出EF的长,然后利用割补法求面积;
②根据△EPC∽△EBA可求PC=4,根据△PDC∽△PCA可求PD •PA=PC2=16,再根据S△ABP=S△ABC得到,利用勾股定理求出k2,然后利用三角形面积公式求解.
【详解】(1)解:(1)连接BC,
∵AB是直径,
∴∠ACB=90°.
∴△ABC是等腰直角三角形,
∴∠BAC=∠CBA=45°;
(2)解:∵,
∴∠CDB=∠CDP=45°,CB= CA,
∴CD平分∠BDP
又∵CD⊥BP,
∴BE=EP,
即CD是PB的中垂线,
∴CP=CB= CA,
(3)① (Ⅰ)如图2,当 B在PA的中垂线上,且P在右时,∠ACD=15°;
(Ⅱ)如图3,当B在PA的中垂线上,且P在左,∠ACD=105°;
(Ⅲ)如图4,A在PB的中垂线上,且P在右时∠ACD=60°;
(Ⅳ)如图5,A在PB的中垂线上,且P在左时∠ACD=120°
②(Ⅰ)如图6, ,
.
(Ⅱ)如图7, ,
,
.
,
.
,
,
,
.
设BD=9k,PD=2k,
,
,
,
.
本题是圆的综合题,熟练掌握30°角所对的直角边等于斜边的一半,平行线的性质,垂直平分线的性质,相似三角形的判定与性质,圆周角定理,圆内接四边形的性质,勾股定理,同底等高的三角形的面积相等是解答本题的关键.
2022-2023学年广东省深圳市九年级上册数学期末专项提升模拟卷(卷二)
一、选一选(本大题共16题,1-10小题每小题3分,11-16题每小题3分,共42分.)
1. 方程x2 = 2x解是( )
A. x=2 B. ,= 0 C. =2,=0 D. x = 0
2. 如图所示的几何体的俯视图是( ).
A. B. C. D.
3. 已知(),则下列比例式成立的是( )
A. B. C. D.
4. 如图,在平面直角坐标系中,点的坐标为,那么的值是( )
A. B. C. D.
5. 菱形,矩形,正方形都具有的性质是( )
A. 四条边相等,四个角相等 B. 对角线相等
C. 对角线互相垂直 D. 对角线互相平分
6. 如图,在△ABC中,DE∥BC,AD=4,AE=3,CE=6,那么BD的值是( )
A. 4 B. 6 C. 8 D. 12
7. 顺次连结矩形各边的中点,所成的四边形一定是( )
A. 菱形 B. 矩形 C. 正方形 D. 没有确定
8. 如图,从热气球P处看一栋高楼顶部M的仰角为72°,看底部N的俯角为40°,以下符合条件的示意图( )
A. B. C. D.
9. 如图,在边长为1的小正方形组成的网格中,建立平面直角坐标系,△ABO与△A′B′O′是以点P为位似的位似图形,它们的顶点均在格点(网格线的交点)上,则点P的坐标为( )
A. (0,0) B. (0,1) C. (﹣3,2) D. (3,﹣2)
10. 在一个没有透明的布袋中装有50个黄、白两种颜色的球,除颜色外其他都相同,小红通过多次摸球试验后发现,摸到黄球的频率稳定在0.3左右,则布袋中白球可能有( )
A 35个 B. 30个 C. 20个 D. 15个
11. 中国“”战略给沿线国家和地区带来很大的经济效益,沿线某地区居民2016年年收入300美元,预计2018年年收入将达到1500美元,设2016年到2018年该地区居民年人均收入平均增长率为x,可列方程为( )
A. 300(1+x)2=1500 B. 300(1+2x)=1500
C. 300(1+x2)=1500 D. 300+2x=1500
12. 某学校要种植一块面积为100 m2的长方形草坪,要求两边长均没有小于5 m,则草坪的一边长为y(单位:m)随另一边长x(单位:m)的变化而变化的图象可能是( )
A. B.
C. D.
13. 将抛物线y=3x2﹣3向右平移3个单位长度,得到新抛物线表达式为( )
A. y=3(x﹣3)2﹣3 B. y=3x2 C. y=3(x+3)2﹣3 D. y=3x2﹣6
14. 已知矩形ABCD中,AB=1,在BC上取一点E,沿AE将ΔABE向上折叠,使B点落在AD上的F点,若四边形EFDC与矩形ABCD相似,则AD=( ).
A. B. C. D. 2
15. 有3个正方形如图所示放置,阴影部分的面积依次记为S1,S2,则S1:S2等于( )
A. 1: B. 1:2 C. 2:3 D. 4:9
16. 二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的部分图象如图所示,其顶点坐标为(1,n),且与x轴的一个交点在(3,0)和(4,0)之间,则下列结论:
①ac
②a﹣b+c>0;
③当时,y随x的增大而增大
若(﹣,y1),(,y2)是抛物线上的两点,则y1y2;
④一元二次方程ax2+bx+c=n﹣1有两个没有相等的实数根.
其中正确结论的个数是( )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
二、填 空 题(本大题共3个小题,共10分;17~18小题每小题3分,19题每空2分)
17. 计算:2cos60°+tan45°=____.
18. 如图,在平面直角坐标系中,直线l∥x轴,且直线l分别与反比例函数y=(x>0)和y=﹣(x<0)的图象交于点P、Q,连结PO、QO,则△POQ的面积为 .
19. 如图,一段抛物线:y=-x(x-3)(0≤x≤3),记为C1,它与x轴交于点O、A1;将C1绕点A1旋转180°得C2,交x轴于点A2;将C2绕点A2旋转180°得C3,交x轴于A3;…如此进行下去,直至得C17.
(1)写出点A1的坐标__________;
(2)若P(50,m)在第17段抛物线C17上,则m=__________.
三、解 答 题(共7道大题,共68分)
20. 已知关于x的一元二次方程(k﹣1)x2+4x+1=0.
(1)若此方程的一个根为﹣1,求k的值;
(2)若此一元二次方程有实数根,求k的取值范围.
21. 车辆润扬大桥收费站时,4个收费通道 A.B、C、D中,可随机选择其中的一个通过.
(1)一辆车此收费站时,选择 A通道通过的概率是 ;
(2)求两辆车此收费站时,选择没有同通道通过的概率.
22. 如图1,研究发现,科学使用电脑时,望向荧光屏幕画面的“视线角”α约为20°,而当手指接触键盘时,肘部形成的“手肘角”β约为100°.图2是其侧面简化示意图,其中视线AB水平,且与屏幕BC垂直.
(1)若屏幕上下宽BC=20cm,科学使用电脑时,求眼睛与屏幕的最短距离AB的长;
(2)若肩膀到水平地面的距离DG=100cm,上臂DE=30cm,下臂EF水平放置在键盘上,其到地面的距离FH=72cm.请判断此时β是否符合科学要求的100°?
(参考数据:sin69°≈,cos21°≈,tan20°≈,tan43°≈,所有结果到个位)
23. 在Rt△ABC中,∠BAC=90°,D是BC的中点,E是AD的中点.过点A作AF∥BC交BE的延长线于点F.
(1)求证:△AEF≌△DEB;
(2)证明四边形ADCF菱形;
(3)若AC=4,AB=5,求菱形ADCF 的面积.
24. 如图,在平面直角坐标系 中,函数的图象与直线交于点A(3,m).
(1)求k、m的值;
(2)已知点P(n,n)(n>0),过点P作平行于轴的直线,交直线y=x-2于点M,过点P作平行于y轴的直线,交函数 的图象于点N.
①当n=1时,判断线段PM与PN的数量关系,并说明理由;
②若PN≥PM,函数的图象,直接写出n的取值范围.
25. 某商品的进价为每件20元,当单价是25元时,每天的量为250件,如果调整价格,单价每上涨1元,每天的量就减少10件.
①求每天所得的利润w(元)与每件涨价x(元)之间的函数关系式,并写出x的取值范围.
②求单价为多少元时,该文具每天的利润?利润是多少?
③若商场要每天获得利润2000元,同时让利于顾客,单价应定为多少元?
26. 如图,在平面直角坐标系中,点C的坐标为(0,4),动点A以每秒1个单位长的速度,从点O出发沿x轴的正方向运动,M是线段AC的中点.将线段AM以点A为,沿顺时针方向旋转90°,得到线段AB.过点B作x轴的垂线,垂足为E,过点C作y轴的垂线,交直线BE于点D.运动时间为t秒.
(1)当点B与点D重合时,求t的值;
(2)设△BCD面积为S,当t为何值时,S=?
(3)连接MB,当MBOA时,如果抛物线y=ax2﹣10ax的顶点在△ABM内部(没有包括边),求a的取值范围.
2022-2023学年广东省深圳市九年级上册数学期末专项提升模拟卷(卷二)
一、选一选(本大题共16题,1-10小题每小题3分,11-16题每小题3分,共42分.)
1. 方程x2 = 2x的解是( )
A. x=2 B. ,= 0 C. =2,=0 D. x = 0
【正确答案】C
【分析】先移项得到x2-2x=0,再把方程左边进行因式分解得到x(x-2)=0,方程转化为两个一元方程:x=0或x-2=0,即可得到原方程的解为x1=0,x2=2.
【详解】解:∵x2-2x=0,
∴x(x-2)=0,
∴x=0或x-2=0,
∴=2,=0.
故选:C.
2. 如图所示的几何体的俯视图是( ).
A. B. C. D.
【正确答案】D
【分析】根据俯视图的作法即可得出结论.
【详解】解:从上往下看该几何体的俯视图是D.
故选D.
本题考查简单几何体的三视图,掌握简单几何体的三视图是解题关键.
3. 已知(),则下列比例式成立的是( )
A. B. C. D.
【正确答案】B
【分析】分别将四个选项根据“内项之积等于外项之积”进行计算,然后与条件进行对比即可判断.
【详解】解:A.,由内项之积等于外项之积得,与条件没有符,故选项A没有符合题意;
B.,由内项之积等于外项之积得,与条件相符,故选项B符合题意;
C.,由内项之积等于外项之积得,与条件没有符,故选项C没有符合题意;
D.,由内项之积等于外项之积得,与条件没有符,故选项D没有符合题意;
故选:B.
此题主要考查了比例的性质,正确将已知变形是解题关键.
4. 如图,在平面直角坐标系中,点的坐标为,那么的值是( )
A. B. C. D.
【正确答案】D
【分析】过A作AB⊥x轴于点B,在Rt△AOB中,利用勾股定理求出OA,再根据正弦的定义即可求解.
【详解】如图,过A作AB⊥x轴于点B,
∵A的坐标为(4,3)
∴OB=4,AB=3,
在Rt△AOB中,
∴
故选:D.
本题考查求正弦值,利用坐标求出直角三角形的边长是解题的关键.
5. 菱形,矩形,正方形都具有的性质是( )
A. 四条边相等,四个角相等 B. 对角线相等
C. 对角线互相垂直 D. 对角线互相平分
【正确答案】D
【分析】根据菱形、矩形及正方形的性质可直接进行排除选项.
【详解】解:A、没有正确,矩形的四边没有相等,菱形的四个角没有相等;
B、没有正确,菱形的对角线没有相等;
C、没有正确,矩形的对角线没有垂直;
D、正确,三者均具有此性质;
故选D.
本题主要考查菱形、矩形及正方形的性质,熟练掌握菱形、矩形及正方形的性质是解题的关键.
6. 如图,在△ABC中,DE∥BC,AD=4,AE=3,CE=6,那么BD的值是( )
A. 4 B. 6 C. 8 D. 12
【正确答案】C
【详解】∵DE∥BC,
∴,
∵AD=4,AE=3,CE=6,
∴,
∴BD=8,
故选C.
7. 顺次连结矩形各边的中点,所成的四边形一定是( )
A. 菱形 B. 矩形 C. 正方形 D. 没有确定
【正确答案】A
【详解】如图,连接AC、BD,在△ABD中,∵AH=HD,AE=EB,∴EH=BD,同理FG=BD,HG=AC,EF=AC,又∵在矩形ABCD中,AC=BD,∴EH=HG=GF=FE,∴四边形EFGH为菱形.故选A.
8. 如图,从热气球P处看一栋高楼顶部M的仰角为72°,看底部N的俯角为40°,以下符合条件的示意图( )
A. B. C. D.
【正确答案】B
【详解】试题解析:根据俯角、仰角定义可以判断选项B符合条件.
故选B.
9. 如图,在边长为1的小正方形组成的网格中,建立平面直角坐标系,△ABO与△A′B′O′是以点P为位似的位似图形,它们的顶点均在格点(网格线的交点)上,则点P的坐标为( )
A. (0,0) B. (0,1) C. (﹣3,2) D. (3,﹣2)
【正确答案】C
【详解】解:如图所示:P点即为所求,故P点坐标为:(﹣3,2).
故选C.
本题考查1.位似变换;2.坐标与图形性质.
10. 在一个没有透明的布袋中装有50个黄、白两种颜色的球,除颜色外其他都相同,小红通过多次摸球试验后发现,摸到黄球的频率稳定在0.3左右,则布袋中白球可能有( )
A. 35个 B. 30个 C. 20个 D. 15个
【正确答案】A
【分析】设袋中黄球x个,根据摸到黄球的频率稳定在0.3左右可得关于x的方程,解方程即可求得x,则可求得白球的个数.
【详解】设袋中有黄球x个,由题意得=0.3,
解得x=15,
则白球可能有50-15=35(个).
故选:A.
本题考查了用频率估计概率,通过概率的计算公式用方程来解决.掌握概率公式是关键.
11. 中国“”战略给沿线国家和地区带来很大的经济效益,沿线某地区居民2016年年收入300美元,预计2018年年收入将达到1500美元,设2016年到2018年该地区居民年人均收入平均增长率为x,可列方程为( )
A. 300(1+x)2=1500 B. 300(1+2x)=1500
C. 300(1+x2)=1500 D. 300+2x=1500
【正确答案】A
【详解】解:设2016年到2018年该地区居民年人均收入平均增长率为x,
那么根据题意得2018年年收入:300(1+x)2,
列出方程为:300(1+x)2=1500.
故选A.
12. 某学校要种植一块面积为100 m2的长方形草坪,要求两边长均没有小于5 m,则草坪的一边长为y(单位:m)随另一边长x(单位:m)的变化而变化的图象可能是( )
A. B. C. D.
【正确答案】C
【详解】由草坪面积为100m2,可知x、y存在关系y=,然后根据两边长均没有小于5m,可得x≥5、y≥5,则x≤20,
故选 :C.
13. 将抛物线y=3x2﹣3向右平移3个单位长度,得到新抛物线的表达式为( )
A y=3(x﹣3)2﹣3 B. y=3x2 C. y=3(x+3)2﹣3 D. y=3x2﹣6
【正确答案】A
【分析】根据二次函数的图象平移规律:左加右减,上加下减,即可得出.
【详解】抛物线向右平移3个单位,
得到的抛物线的解析式是
故选A.
本题主要考查二次函数的图象平移规律:左加右减,上加下减.
14. 已知矩形ABCD中,AB=1,在BC上取一点E,沿AE将ΔABE向上折叠,使B点落在AD上的F点,若四边形EFDC与矩形ABCD相似,则AD=( ).
A. B. C. D. 2
【正确答案】B
【分析】可设AD=x,根据四边形EFDC与矩形ABCD相似,可得比例式,求解即可.
【详解】解:∵矩形ABCD中,AF由AB折叠而得,
∴ABEF是正方形.
又∵AB=1,
∴AF= AB=EF=1.
设AD=x,则FD=x-1.
∵四边形EFDC与矩形ABCD相似,
∴,即.
解得,(负值舍去).
经检验是原方程的解.
故选B.
考查了翻折变换(折叠问题),相似多边形的性质,本题的关键是根据四边形EFDC与矩形ABCD相似得到比例式.
15. 有3个正方形如图所示放置,阴影部分的面积依次记为S1,S2,则S1:S2等于( )
A. 1: B. 1:2 C. 2:3 D. 4:9
【正确答案】D
【分析】设小正方形的边长为x,再根据相似的性质求出S1、S2与正方形面积的关系,然后进行计算即可得出答案.
【详解】设小正方形的边长为x,根据图形可得:
∴,
∴S1=x2,
∵
∴,
∴S2=S正方形ABCD,
∴S2=x2,
∴S1:S2=x2:x2=4:9
考点:正方形的性质.
16. 二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的部分图象如图所示,其顶点坐标为(1,n),且与x轴的一个交点在(3,0)和(4,0)之间,则下列结论:
①ac
②a﹣b+c>0;
③当时,y随x的增大而增大
若(﹣,y1),(,y2)是抛物线上的两点,则y1y2;
④一元二次方程ax2+bx+c=n﹣1有两个没有相等的实数根.
其中正确结论的个数是( )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
【正确答案】C
【详解】试题解析::∵抛物线的对称轴为直线x=1,抛物线与x轴的一个交点在(3,0)和(4,0)之间,
∴抛物线与x轴的一个交点在(-2,0)和(-1,0)之间,
∴x=-1时,y>0,
即a-b+c>0,所以①正确;
∵抛物线的对称轴为x=-=1,
∴b=-2a,
∴3a+b=3a-2a=a≠0,所以②错误;
∵点(-,y1)到直线x=1的距离比点(,y2)到直线x=1的距离大,
而抛物线开口向下,
∴y1<y2,所以③正确;
∵x=1时,y有值为n,
∴抛物线与直线y=n-1有两个交点,
∴一元二次方程ax2+bx+c=n-1有两个没有相等的实数根,所以④正确.
故选C.
二、填 空 题(本大题共3个小题,共10分;17~18小题每小题3分,19题每空2分)
17. 计算:2cos60°+tan45°=____.
【正确答案】2
【详解】解:原式=.
故答案为2.
本题考查角的三角函数值.
18. 如图,在平面直角坐标系中,直线l∥x轴,且直线l分别与反比例函数y=(x>0)和y=﹣(x<0)的图象交于点P、Q,连结PO、QO,则△POQ的面积为 .
【正确答案】7
【分析】根据反比例函数比例系数k的几何意义得到S△OQM=4,S△OPM=3,然后利用S△POQ=S△OQM+S△OPM进行计算.
【详解】解:如图,
∵直线l∥x轴,
∴S△OQM=×|﹣8|=4,S△OPM=×|6|=3,
∴S△POQ=S△OQM+S△OPM=7.
故答案为7.
考点:反比例函数系数k的几何意义.
19. 如图,一段抛物线:y=-x(x-3)(0≤x≤3),记为C1,它与x轴交于点O、A1;将C1绕点A1旋转180°得C2,交x轴于点A2;将C2绕点A2旋转180°得C3,交x轴于A3;…如此进行下去,直至得C17.
(1)写出点A1的坐标__________;
(2)若P(50,m)在第17段抛物线C17上,则m=__________.
【正确答案】 ①. (3,0) ②. 2
【详解】试题解析::∵一段抛物线:y=-x(x-3)(0≤x≤3),
∴图象与x轴交点坐标:(0,0),(3,0),
∴的坐标为(3,0).
∵将C1绕点A1旋转180°得C2,交x轴于点A2;
将C2绕点A2旋转180°得C3,交x轴于点A3;
…
如此进行下去,直至得C17.
∴C17的解析式与x轴的交点坐标为(48,0),(51,0),且图象在x轴上方,
∴C13的解析式为:y13=-(x-48)(x-51),
当x=50时,m=-(50-48)×(50-51)=2.
故答案为2.
三、解 答 题(共7道大题,共68分)
20. 已知关于x的一元二次方程(k﹣1)x2+4x+1=0.
(1)若此方程的一个根为﹣1,求k的值;
(2)若此一元二次方程有实数根,求k的取值范围.
【正确答案】(1);(2)且.
【分析】(1)把x=﹣1代入原方程求k值;
(2)一元二次方程的判别式是非负数,且二次项系数没有等于0.
【详解】解:(1)将x=﹣1代入一元二次方程(k﹣1)x2+4x+1=0得,
(k﹣1)﹣4+1=0,
解得k=4;
(2)∵若一元二次方程(k﹣1)x2+4x+1=0有实数根,
∴△=16﹣4(k﹣1)≥0,且k﹣1≠0
解得k≤5且k﹣1≠0,
即k的取值范围是k≤5且k≠1.
21. 车辆润扬大桥收费站时,4个收费通道 A.B、C、D中,可随机选择其中的一个通过.
(1)一辆车此收费站时,选择 A通道通过的概率是 ;
(2)求两辆车此收费站时,选择没有同通道通过的概率.
【正确答案】(1);(2).
【详解】试题分析:(1)根据概率公式即可得到结论;
(2)画出树状图即可得到结论.
试题解析:(1)选择 A通道通过概率=,
故答案为;
(2)设两辆车为甲,乙,如图,两辆车此收费站时,会有16种可能的结果,其中选择没有同通道通过的有12种结果,∴选择没有同通道通过的概率==.
22. 如图1,研究发现,科学使用电脑时,望向荧光屏幕画面的“视线角”α约为20°,而当手指接触键盘时,肘部形成的“手肘角”β约为100°.图2是其侧面简化示意图,其中视线AB水平,且与屏幕BC垂直.
(1)若屏幕上下宽BC=20cm,科学使用电脑时,求眼睛与屏幕的最短距离AB的长;
(2)若肩膀到水平地面的距离DG=100cm,上臂DE=30cm,下臂EF水平放置在键盘上,其到地面的距离FH=72cm.请判断此时β是否符合科学要求的100°?
(参考数据:sin69°≈,cos21°≈,tan20°≈,tan43°≈,所有结果到个位)
【正确答案】(1)55;(2)没有符合要求.
【分析】(1)Rt△ABC中利用三角函数即可直接求解;
(2)延长FE交DG于点I,利用三角函数求得∠DEI即可求得β的值,从而作出判断.
【详解】解:(1)∵Rt△ABC中,tanA=,
∴AB===55(cm);
(2)延长FE交DG于点I.
则DI=DG﹣FH=100﹣72=28(cm).
在Rt△DEI中,sin∠DEI=,
∴∠DEI=69°,
∴∠β=180°﹣69°=111°≠100°,
∴此时β没有是符合科学要求的100°.
考点:解直角三角形的应用
23. 在Rt△ABC中,∠BAC=90°,D是BC的中点,E是AD的中点.过点A作AF∥BC交BE的延长线于点F.
(1)求证:△AEF≌△DEB;
(2)证明四边形ADCF是菱形;
(3)若AC=4,AB=5,求菱形ADCF 的面积.
【正确答案】(1)证明详见解析;
(2)证明详见解析; (3)10.
【分析】(1)利用平行线的性质及中点的定义,可利用AAS证得结论;
(2)由(1)可得AF=BD,条件可求得AF=DC,则可证明四边形ADCF为平行四边形,再利用直角三角形的性质可证得AD=CD,可证得四边形ADCF为菱形;
(3)连接DF,可证得四边形ABDF为平行四边形,则可求得DF的长,利用菱形的面积公式可求得答案.
【小问1详解】
证明:∵AF∥BC,
∴∠AFE=∠DBE,
∵E是AD的中点,
∴AE=DE,
在△AFE和△DBE中,
,
∴△AFE≌△DBE(AAS);
【小问2详解】
证明:由(1)知,△AFE≌△DBE,则AF=DB.
∵AD为BC边上的中线,
∴DB=DC,
∴AF=CD.
∵AF∥BC,
∴四边形ADCF是平行四边形,
∵∠BAC=90°,D是BC的中点,
∴AD=DC=BC,
∴四边形ADCF是菱形;
【小问3详解】
解:连接DF,
∵AF∥BD,AF=BD,
∴四边形ABDF是平行四边形,
∴DF=AB=5,
∵四边形ADCF是菱形,
∴S菱形ADCF=AC▪DF=×4×5=10.
本题主要考查菱形的性质及判定,全等三角形的性质与判定,平行四边形的性质与判定,直角三角形斜边上的中线,利用全等三角形的性质证得AF=CD是解题的关键,注意菱形面积公式的应用.
24. 如图,在平面直角坐标系 中,函数的图象与直线交于点A(3,m).
(1)求k、m的值;
(2)已知点P(n,n)(n>0),过点P作平行于轴的直线,交直线y=x-2于点M,过点P作平行于y轴的直线,交函数 的图象于点N.
①当n=1时,判断线段PM与PN的数量关系,并说明理由;
②若PN≥PM,函数的图象,直接写出n的取值范围.
【正确答案】(1) k的值为3,m的值为1;(2)0
【详解】分析:(1)将A点代入y=x-2中即可求出m的值,然后将A的坐标代入反比例函数中即可求出k的值.
(2)①当n=1时,分别求出M、N两点的坐标即可求出PM与PN的关系;
②由题意可知:P的坐标为(n,n),由于PN≥PM,从而可知PN≥2,根据图象可求出n的范围.
详解:(1)将A(3,m)代入y=x-2,
∴m=3-2=1,
∴A(3,1),
将A(3,1)代入y=,
∴k=3×1=3,
m的值为1.
(2)①当n=1时,P(1,1),
令y=1,代入y=x-2,
x-2=1,
∴x=3,
∴M(3,1),
∴PM=2,
令x=1代入y=,
∴y=3,
∴N(1,3),
∴PN=2
∴PM=PN,
②P(n,n),
点P在直线y=x上,
过点P作平行于x轴的直线,交直线y=x-2于点M,
M(n+2,n),
∴PM=2,
∵PN≥PM,
即PN≥2,
∴0<n≤1或n≥3
点睛:本题考查反比例函数与函数的综合问题,解题的关键是求出反比例函数与函数的解析式,本题属于基础题型.
25. 某商品的进价为每件20元,当单价是25元时,每天的量为250件,如果调整价格,单价每上涨1元,每天的量就减少10件.
①求每天所得的利润w(元)与每件涨价x(元)之间的函数关系式,并写出x的取值范围.
②求单价为多少元时,该文具每天的利润?利润是多少?
③若商场要每天获得利润2000元,同时让利于顾客,单价应定为多少元?
【正确答案】①w=﹣10x2+200x+1250( 0≤x≤25 )②当单价为35元时,该文具每天的利润,利润为2250元③商场要每天获得利润2000元,单价应定为30元
【详解】试题分析:①根据利润=(单价-进价)×量,列出函数关系式即可;
②根据(1)式列出的函数关系式,运用配方法求值;
③根据利润等于2000元,列出方程求解即可.
试题解析:①w=(25+x﹣20)(250﹣10x)
=﹣10x2+200x+1250( 0≤x≤25 );
②w=﹣10x2+200x+1250=﹣10(x﹣10)2+2250.
∵﹣10<0,
∴函数图象开口向下,w有值,
当x=10时,wmax=2250,
故当单价为35元时,该文具每天的利润,利润为2250元.
③当w=2000时,得﹣10x2+200x+1250=2000
解得:x1=5,x2=15,让利给顾客,
所以,商场要每天获得利润2000元,单价应定为30元;
26. 如图,在平面直角坐标系中,点C的坐标为(0,4),动点A以每秒1个单位长的速度,从点O出发沿x轴的正方向运动,M是线段AC的中点.将线段AM以点A为,沿顺时针方向旋转90°,得到线段AB.过点B作x轴的垂线,垂足为E,过点C作y轴的垂线,交直线BE于点D.运动时间为t秒.
(1)当点B与点D重合时,求t的值;
(2)设△BCD的面积为S,当t为何值时,S=?
(3)连接MB,当MBOA时,如果抛物线y=ax2﹣10ax的顶点在△ABM内部(没有包括边),求a的取值范围.
【正确答案】(1)t=8 (2)当t=3或3+5时,S=
(3)﹣<a<﹣
【分析】(1)由于∠CAB=90°,易证得Rt△∽Rt△ABE;当B、D重合时,BE的长已知(即OC长),根据AC、AB的比例关系,即可得到AO、BE的比例关系,由此求得t的值.
(2)求△BCD的面积时,可以CD为底、BD为高来解,那么表示出BD的长是关键;Rt△∽Rt△ABE,且知道AC、AB的比例关系,即可通过相似三角形的对应边成比例求出BE的长,进一步得到BD的长,在表达BD长时,应分两种情况考虑:①B在线段DE上,②B在ED的延长线上.
(3)首先将抛物线的解析式进行配方,可得到抛物线的顶点坐标,将其横坐标分别代入直线MB、AB的解析式中,可得到抛物线对称轴与这两条直线的交点坐标,根据这两个坐标即可判定出a的取值范围.
【小问1详解】
解:解:∵∠+∠BAE=90°,∠ABE+∠BAE=90°,
∴∠=∠ABE
∴Rt△∽Rt△ABE
∴
∴
∴t=8
【小问2详解】
解:解:由Rt△∽Rt△ABE可知:,AE=2,
当0<<8时,
∴
当时,
∴,(为负数,舍去).
当或时,
【小问3详解】
解:解:过M作MN⊥轴于N,则
当MBOA时,BE=MN=2,OA=2BE=4
∵抛物线 的顶点坐标为(5,)
∴ 它的顶点在直线x =5上移动.
∵直线x =5交MB于点(5,2),交AB于点(5,1)
∴1<<2.
∴﹣<a<﹣
考查了二次函数综合题,该题是图形的动点问题,前两问的关键在于找出相似三角形,得到关键线段的表达式,注意点在运动过程中未知数的取值范围问题.一问中,先得到抛物线的顶点坐标是简化解题的关键.
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