上海市浦东建平实验2022--2023学年九年级上学期数学期末练习

上海市浦东建平实验2022--2023学年九年级上学期数学期末练习

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题

1．如果把一个锐角三角形三边的长都扩大为原来的两倍，那么锐角A的正切值（    ）

A．扩大为原来的两倍 B．缩小为原来的

C．不变 D．不能确定

2．下列函数中，二次函数是（    ）

A．y＝﹣3x+5 B．y＝x（4x﹣3）

C．y＝2（x+4）2﹣2x2 D．y＝

3．已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，AC＝4，那么下列式子中正确的是（    ）

A．sinA＝ B．cosA＝ C．tanA＝ D．cotA＝

4．已知非零向量，，，下列条件中，不能判定向量与向量平行的是（    ）

A．∥，∥ B．||＝2|| C．＝2，＝3 D．+2＝

5．二次函数y＝ax2+bx+c的图像全部在x轴的上方，下列判断中正确的是（    ）

A．a＜0，c＜0 B．a＜0，c＞0 C．a＞0，c＜0 D．a＞0，c＞0

6．如图，∠BEC＝∠CDB，下列结论正确的是（    ）

A．EF•BF＝DF•CF B．BE•CD＝BF•CF

C．AE•AB＝AD•AC D．AE•BE＝AD•DC

二、填空题

7．已知，则＝_____．

8．已知线段的长是，点P是线段的黄金分割点，则较长线段的长是______．

9．如图，已知直线、、分别交直线于点、、，交直线于点、、，且，，，，那么线段的长等于______．

10．已知△ABC∽△A1B1C1，△ABC的周长与△A1B1C1的周长的比值是，BE、B1E1分别是它们对应边上的角平分线，且BE＝12，则B1E1＝_____．

11．计算：_____．

12．计算：3cot60°+2sin45°＝_____．

13．抛物线y＝﹣2（x﹣1）2+4的最高点坐标是_____．

14．将抛物线y＝﹣2x2+3x+1向下平移3个单位，所得的抛物线的表达式是_____．

15．如果抛物线经过点A（3，6）和点B（﹣1，6），那么这条抛物线的对称轴是直线_____．

16．已知点A（﹣7，m）、B（﹣5，n）都在二次函数y＝﹣x2+4的图像上，那么m、n的大小关系是：m_____n．（填“＞”、“＝”或“＜”）

17．如图，一架飞机在点A处测得水平地面上一个标志物M的俯角为α，tanα＝，水平飞行900米后，到达点B处，又测得标志物M的俯角为β，tanβ＝，那么此时飞机离地面的高度为_____米．

18．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝5，AB＝4，点D在边AC上，将△ABD沿着直线BD翻折得△EBD，BE交直线AC于点F，联结CE，若△BCE是等腰三角形，则AF的长是_____．

三、解答题

19．已知：在直角坐标平面内，抛物线y＝x2+bx+6经过x轴上两点A、B，点B的坐标为（3，0），与y轴相交于点C．求：

(1)抛物线的表达式及顶点坐标；

(2)△ABC的面积．

20．如图，已知在△ABC中，AD是边BC上的中线．设＝，＝．

(1)如果点E是△ABC的重心，那么＝　   　．（用向量、的式子表示）

(2)求作在、方向上的分向量．（不要求写作法，但要保留作图痕迹，并指出所作图中表示结论的分向量）

21．如图，已知在△ABC中，AC＝6，D为BC上一点，CD＝4．△ADC与△ABD的面积比为4：5．

(1)求证：△DAC∽△ABC；

(2)如果点D在AB的中垂线上，求cosB．

22．如图，已知电线杆AB上有一盏路灯A．灯光下，身高1.2米的小明在点C处时，他的影子是CD，他从C处沿BC方向行走2.1米，到点E处时，他的影子是EF．在A处测得D、F的俯角分别是53°、37°．（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75．）

(1)影子长CD、EF分别是多少米？

(2)求电线杆AB的高度．

23．已知：如图，△ABC中，AD平分∠BAC．过点B作AD的垂线，垂足为E．过点C作AD的垂线交AD的延长线于F．联结CE交FB的延长线于点P，联结AP．

(1)求证：AB•AF＝AC•AE；

(2)求证：CF∥AP．

24．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2﹣x﹣4与x轴交于点A（4，0），与y轴交于点C．点B（12，0），联结BC．

(1)求该抛物线解析式；

(2)求∠ACB的正弦值；

(3)如图，点D为抛物线上一点，直线AD交y轴于点E，交线段BC于点F．若△ECA∽△EFC，求点D的坐标．

25．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，点D为边BC上一动点（不与点B、C重合），联结AD，过点C作CF⊥AD，分别交AB、AD于点E、F，设BD＝x，＝y．

(1)当x＝3时，求tan∠BCE的值；

(2)求y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围；

(3)当x＝3时，在边AC上取点G，联结BG，分别交CE、AD于点M、N．当△MNF∽△ABC时，请直接写出AG的长．

参考答案：

1．C

【分析】由于锐角三角形三边的长都扩大为原来的两倍，所得的三角形与原三角形相似，得到锐角的大小没改变，根据正切的定义得到锐角的正切函数值也不变．

【详解】解：因为锐角三角形三边的长都扩大为原来的两倍，所得的三角形与原三角形相似，

所以锐角的大小没改变，

所以锐角的正切函数值也不变．

故选：C．

【点睛】本题考查了正切的定义，解题的关键是掌握在直角三角形中，一个锐角的正切等于它的对边与邻边的比值．

2．B

【分析】根据二次函数的定义逐个判断即可．

【详解】解：A．函数是一次函数，不是二次函数，故本选项不符合题意；

B．是二次函数，故本选项符合题意；

C．是一次函数，不是二次函数，故本选项不符合题意；

D．不是二次函数，故本选项不符合题意；

故选：B．

【点睛】本题考查了二次函数的定义，解题的关键是掌握：形如、、为常数，的函数，叫二次函数．

3．B

【分析】先利用勾股定理求出的长，然后根据锐角三角函数的定义对各选项分别进行计算，再利用排除法求解即可．

【详解】解：，，，

，

A、，故选项错误，不符合题意；

B、，故选项正确，符合题意；

C、，故选项错误，不符合题意；

D、，故选项错误，不符合题意；

故选：B．

【点睛】本题考查了锐角三角函数的定义，勾股定理的应用，解题的关键是熟记在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边，余切为邻边比对边．

4．B

【分析】根据向量的性质进行逐一判定即可．

【详解】解：A、由推知非零向量的方向相同，则，故本选项错误，不符合题意；

B、由不能确定非零向量的方向，故不能判定其位置关系，故本选项正确，符合题意；

C、由推知非零向量的方向相同，则，故本选项错误，不符合题意；

D、由推知非零向量的方向相反，则，故本选项错误，不符合题意；

故选：B．

【点睛】本题考查的是向量中平行向量的定义，解题的关键是即方向相同或相反的非零向量、叫做平行向量．

5．D

【分析】由抛物线全部在轴的上方，即可得出抛物线与轴无交点且，进而即可得出、，此题得解．

【详解】解：二次函数的图象全部在轴的上方，

，，

，

，

．

，．

故选：D．

【点睛】本题考查了二次函数的性质，解题的关键是牢记二次函数的性质．

6．C

【分析】根据条件证明出，根据性质得：，变形即可得到．

【详解】解：，

，

，

，

，

，

故选：C．

【点睛】本题考查了三角形相似的判定及性质，解题的关键是证明出．

7．﹣

【分析】根据比例的性质可直接进行求解．

【详解】解：由已知，得：，

∴，

故答案为．

【点睛】本题主要考查比例的性质，熟练掌握比例的性质是解题的关键．

8．

【分析】根据黄金分割的概念得到，把代入计算即可．

【详解】解：∵P是线段的黄金分割点，

∴，

而，

∴．

故答案为：．

【点睛】本题考查了黄金分割的概念：如果一个点把一条线段分成两条线段，并且较长线段是较短线段和整个线段的比例中项，那么就说这个点把这条线段黄金分割，这个点叫这条线段的黄金分割点；较长线段是整个线段的倍．

9．9

【分析】利用平行线分线段成比例定理得到，利用比例的性质得到，从而可计算出DE的长．

【详解】解：，

∴，即，

，即，

∴．

故答案为：9．

【点睛】本题考查了平行线分线段成比例：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．

10．9

【分析】根据相似三角形的性质求出相似比，根据相似三角形的对应角平分线的比等于相似比计算．

【详解】解：△，的周长与△的周长的比值是，

与△的相似比为，

，即，

解得，，

故答案为：9．

【点睛】本题考查的是相似三角形的性质，解题的关键是掌握相似三角形的周长的比等于相似比，相似三角形的对应角平分线比等于相似比．

11．

【分析】根据向量的线性运算法则计算即可．

【详解】解：，

故答案为：．

【点睛】本题考查了向量的线性运算，解题的关键是掌握相应的运算法则．

12．##

【分析】分别把，代入代数式计算即可．

【详解】解：原式．

故答案为：．

【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值，解题的关键是只要熟记特殊角的三角函数值即可．

13．

【分析】根据，顶点坐标是，可得答案．

【详解】解：抛物线为，

开口向下，则最高点坐标是顶点坐标，

顶点坐标．

故答案为：．

【点睛】本题考查了二次函数的性质以及顶点式，解题的关键是准确理解顶点式．

14．

【分析】根据向下平移，纵坐标要减去3，即可得到答案．

【详解】解：抛物线向下平移3个单位，

抛物线的解析式为．

故答案为：．

【点睛】主要考查了函数图象的平移，解题的关键是要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．

15．

【分析】根据点，的坐标，利用二次函数的性质可求出抛物线的对称轴，此题得解．

【详解】解：抛物线经过点和点，

抛物线的对称轴为直线．

故答案为：．

【点睛】本题考查了二次函数的性质，解题的关键是根据抛物线的对称性，找出抛物线的对称轴．

16．

【分析】先利用二次函数的性质得到抛物线的对称轴为轴，然后根据二次函数的性质解决问题．

【详解】解：二次函数可知，抛物线开口向下，抛物线的对称轴为轴，

所以当时，随的增大而增大，

，

，

故答案为：．

【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是掌握二次函数图象上点的坐标满足其解析式，也考查了二次函数的性质．

17．1200

【分析】根据题意，作出合适的辅助线，然后根据锐角三角函数即可表示出此时飞机离地面的高度．

【详解】解：作交于点，如图所示，

，，

，

，

，

故答案为：1200．

【点睛】本题考查解直角三角形的应用仰角俯角问题，解的关键是明确题意，利用锐角三角函数解答．

18．

【分析】根据题意作图如下，过作的垂线，交于，由勾股定理求得，根据翻折的性质，可得：，

若△BCE是等腰三角形，则，勾股定理求出，在证明，求出，根据，即可求出．

【详解】解：在边AC上，将△ABD沿着直线BD翻折得△EBD，BE交直线AC于点F，联结CE，根据题意作图如下，过作的垂线，交于，

在中，

，

根据翻折的性质，可得：，

当点D在边AC之间上动时，且BE交直线AC于点F，

故，

若△BCE是等腰三角形，

则，

根据等腰三角形的三线合一的性质知，

点为的中点，

，

，

，

，

，

，

，

即，

解得：，

，

故答案是：．

【点睛】本题考查了三角形的翻折、等腰三角形、勾股定理、三角形相似等知识，解题的关键是根据题意作出相应图形，利用三角形相似来求边长．

19．(1)

(2)3

【分析】（1）把点的坐标代入抛物线，即可得出抛物线的表达式；

（2）先求出，，，再利用三角形面积公式求解即可．

【详解】（1）解：把点的坐标代入抛物线，

得，

解得，

所以抛物线的表达式：；

（2）解：抛物线的表达式，

令时，，

解得：，

，

当，，

，

，

．

【点睛】本题主要考查了用待定系数法求二次函数的解析式，解题的关键是正确的设出抛物线的解析式．

20．(1)

(2)见解析

【分析】（1）由是边上的中线，得出，点E是△ABC的重心，得，即可求得；

（2）利用平行四边形法则，即可求得在，方向上的分向量．

【详解】（1）解：是边上的中线，

，

点E是△ABC的重心，

，

；

（2）解：如图，过点作，，

则、分别是在，方向上的分向量．

【点睛】此题考查了平面向量的知识，重心、解题的关键是注意掌握三角形法则与平行四边形法则的应用，注意掌握数形结合思想的应用．

21．(1)见解析

(2)

【分析】（1）作于点，，得，，证明出，结合，即可证明出；

（2）由得，求出的长，根据点D在AB的中垂线上，为等腰三角形，过点作的垂线交于，根据等腰三角形三线合一的性质，得，，最后根据余弦函数的定义可得．

【详解】（1）解：如图，作于点，

，

，

，

则，，

，

，

；

（2）解：，

，

点D在AB的中垂线上，

为等腰三角形，

，

即，

，

过点作的垂线交于，如下图：

根据等腰三角形三线合一的性质，

，且，

．

【点评】本题主要考查相似三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、三角函数的定义，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定与性质．

22．(1)，

(2)

【分析】（1）标记两点，直接利用正切函数的知识进行求解；

（2）先表示出，根据建立等式进行求解．

【详解】（1）解：如下图：

根据题意得：，

（米），

，

，

，

（米）；

（2）解：，

（米），

，

，

解得：（米）．

【点睛】本题考查了利用锐角三角函数解直角三角形的过程，解题的关键是构造直角三角形，及熟练掌握正切函数的定义，即对边与邻边的比值．

23．(1)见解析

(2)见解析

【分析】（1）由是的角平分线，过点、分别作的垂线，可得，，根据有两角对应相等的三角形相似，可得，即可证明；

（2）由（1）有，利用，，证明出，得，证明出，，通过等量代换得，根据平行线分线段成比例定理即可求证．

【详解】（1）解：证明：平分，

，

又，，

，

，

，

；

（2）解：证明：由（1）有，

，，

，

，

，

，

，

，

．

【点睛】本题考查了相似三角形的性质与判定，角平分线、以及平行线分线段成比例定理，解题的关键是数形结合思想的应用，注意仔细识图．

24．(1)抛物线的解析式为

(2)∠ACB的正弦值为

(3)点D的坐标为

【分析】（1）将A点坐标代入，求出的值，然后回代抛物线的解析式即可；

（2）根据抛物线解析式求出点的坐标，知是等腰直角三角形，求出的值，如图，延长，作，垂足为，为等腰直角三角形，求出的值，在中，，由勾股定理知，，将线段值代入求解即可；

（3）由可知，，，在中，，解得的值，得到点坐标，设过两点的直线解析式为，将两点坐标代入求得解析式，然后与抛物线解析式联立求出D点坐标即可；

【详解】（1）解：将代入中得

解得

∴抛物线的解析式为： ．

（2）解：将代入解得

∴点坐标为

∵

∴

∴是等腰直角三角形

∴

∴

∵B点坐标为

∴

如图，延长，作，垂足为

∴

∴

∴为等腰直角三角形

∴

在中，，由勾股定理知

∴

∴的正弦值为．

（3）解：∵

∴

∵，

∴

∴

∴在中，

∴解得

∴点坐标为

∴设过两点的直线解析式为

将两点坐标代入解析式得

解得

∴过两点的直线解析式为

联立一次函数解析式与抛物线解析式得

消得

解得或（舍去）

∴

∴D点坐标为．

【点睛】本题考查了二次函数解析式，等腰直角三角形的判定与性质，正弦值，勾股定理，三角形相似，一次函数与二次函数的交点坐标等知识．解题的关键在于对知识的综合灵活运用．

25．(1)

(2)y=（0＜x＜4）．

(3)．

【分析】（1）运用直角关系证明∠BCE=∠DAC即可；

（2）作EM⊥AC于M，EN⊥BC于N．利用面积法解决问题即可；

（3）作DH⊥AB于H．设BH=x，想办法求出tan∠BAD的值，再利用相似三角形的性质证明∠CBG=∠BAD即可解决问题．

【详解】（1）∵BC=4，BD=3，

∴CD=1，

∵AD⊥CE，

∴∠AFC=∠ACB=90°，

∴∠ACF+∠DCF=90°，∠ACF+∠DAC=90°，

∴∠BCE=∠DAC，

∴．

（2）作EM⊥AC于M，EN⊥BC于N．则四边形EMCN是矩形．

∵，

∵EM=CN，，

∴

∴y=（0＜x＜4）．

（3）作DH⊥AB于H．设BH=p．

∵BC=4，BD=3，

∴CD=1，

在Rt△ACD中，，

在Rt△ABC中，，

∵DH2=AD2-AH2=BD2-BH2，

∴10-（5-p）2=32-p2，

∴p=，

∴DH==，AH==，

∴，

当△MNF∽△ABC，

∴∠MNF=∠ABC，

∵∠MNF=∠ABN+∠BAD，∠ABD=∠ABN+∠CBG，

∴∠CBG=∠BAD，

∴tan∠CBG=tan∠BAD==，  

∴CG=，

∴AG=AC-CG=．

【点睛】本题考查相似形综合题、锐角三角函数、勾股定理、相似三角形的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，学会利用面积法解决问题，学会用转化的思想思考问题．