2022-2023学年上海市浦东建平实验九年级上学期数学期末考练习含详解

这是一份2022-2023学年上海市浦东建平实验九年级上学期数学期末考练习含详解，共23页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2022学年度第一学期九年级数学期末练习
一、选择题（每题4分，共24分）
1. 如果把一个锐角三角形三边的长都扩大为原来的两倍，那么锐角A的正切值（ ）
A. 扩大为原来的两倍 B. 缩小为原来的
C. 不变 D. 不能确定
2. 下列函数中，二次函数是（ ）
A. y＝﹣3x+5 B. y＝x（4x﹣3）
C. y＝2（x+4）2﹣2x2 D. y＝
3. 已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，AC＝4，那么下列式子中正确的是（ ）
A. sinA＝ B. cosA＝ C. tanA＝ D. cotA＝
4. 已知非零向量，，，下列条件中，不能判定向量与向量平行的是（ ）
A. ∥，∥ B. ||＝2|| C. ＝2，＝3 D. +2＝
5. 二次函数y＝ax2+bx+c的图像全部在x轴的上方，下列判断中正确的是（ ）
A. a＜0，c＜0 B. a＜0，c＞0 C. a＞0，c＜0 D. a＞0，c＞0
6. 如图，∠BEC＝∠CDB，下列结论正确的是（ ）

A. EF•BF＝DF•CF B. BE•CD＝BF•CF
C. AE•AB＝AD•AC D. AE•BE＝AD•DC
二、填空题（每题4分，共48分）
7. 已知，则＝_____．
8. 已知线段的长是，点P是线段的黄金分割点，则较长线段的长是______．
9. 如图，已知直线、、分别交直线于点、、，交直线于点、、，且，，，，那么线段的长等于______．

10. 已知△ABC∽△A1B1C1，△ABC的周长与△A1B1C1的周长的比值是，BE、B1E1分别是它们对应边上的角平分线，且BE＝12，则B1E1＝_____．
11. 计算：_____．
12 计算：3cot60°+2sin45°＝_____．
13. 抛物线y＝﹣2（x﹣1）2+4的最高点坐标是_____．
14. 将抛物线y＝﹣2x2+3x+1向下平移3个单位，所得的抛物线的表达式是_____．
15. 如果抛物线经过点A（3，6）和点B（﹣1，6），那么这条抛物线的对称轴是直线_____．
16. 已知点A（﹣7，m）、B（﹣5，n）都在二次函数y＝﹣x2+4图像上，那么m、n的大小关系是：m_____n．（填“＞”、“＝”或“＜”）
17. 如图，一架飞机在点A处测得水平地面上一个标志物M的俯角为α，tanα＝，水平飞行900米后，到达点B处，又测得标志物M的俯角为β，tanβ＝，那么此时飞机离地面的高度为_____米．

18. 如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝5，AB＝4，点D在边AC上，将△ABD沿着直线BD翻折得△EBD，BE交直线AC于点F，联结CE，若△BCE是等腰三角形，则AF的长是_____．

三、解答题（19-22题，每题10分，23-24题，每题12分，25题14分，共78分）
19. 已知：在直角坐标平面内，抛物线y＝x2+bx+6经过x轴上两点A、B，点B坐标为（3，0），与y轴相交于点C．求：
（1）抛物线的表达式及顶点坐标；
（2）△ABC的面积．
20. 如图，已知在△ABC中，AD是边BC上的中线．设＝，＝．

（1）如果点E是△ABC的重心，那么＝　 　．（用向量、的式子表示）
（2）求作在、方向上的分向量．（不要求写作法，但要保留作图痕迹，并指出所作图中表示结论的分向量）
21. 如图，已知在△ABC中，AC＝6，D为BC上一点，CD＝4．△ADC与△ABD的面积比为4：5．

（1）求证：△DAC∽△ABC；
（2）如果点D在AB的中垂线上，求cosB．
22. 如图，已知电线杆AB上有一盏路灯A．灯光下，身高1.2米的小明在点C处时，他的影子是CD，他从C处沿BC方向行走2.1米，到点E处时，他的影子是EF．在A处测得D、F的俯角分别是53°、37°．（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75．）

（1）影子长CD、EF分别是多少米？
（2）求电线杆AB的高度．
23. 已知：如图，△ABC中，AD平分∠BAC．过点B作AD的垂线，垂足为E．过点C作AD的垂线交AD的延长线于F．联结CE交FB的延长线于点P，联结AP．

（1）求证：AB•AF＝AC•AE；
（2）求证：CF∥AP．
24. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2﹣x﹣4与x轴交于点A（4，0），与y轴交于点C．点B（12，0），联结BC．

（1）求该抛物线解析式；
（2）求∠ACB的正弦值；
（3）如图，点D为抛物线上一点，直线AD交y轴于点E，交线段BC于点F．若△ECA∽△EFC，求点D的坐标．
25. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，点D为边BC上一动点（不与点B、C重合），联结AD，过点C作CF⊥AD，分别交AB、AD于点E、F，设BD＝x，＝y．

（1）当x＝3时，求tan∠BCE值；
（2）求y关于x函数关系式，并写出x的取值范围；
（3）当x＝3时，在边AC上取点G，联结BG，分别交CE、AD于点M、N．当△MNF∽△ABC时，请直接写出AG的长．

2022学年度第一学期九年级数学期末练习
一、选择题（每题4分，共24分）
1. 如果把一个锐角三角形三边的长都扩大为原来的两倍，那么锐角A的正切值（ ）
A. 扩大为原来的两倍 B. 缩小为原来的
C. 不变 D. 不能确定
【答案】C
【分析】由于锐角三角形三边的长都扩大为原来的两倍，所得的三角形与原三角形相似，得到锐角的大小没改变，根据正切的定义得到锐角的正切函数值也不变．
【详解】解：因为锐角三角形三边的长都扩大为原来的两倍，所得的三角形与原三角形相似，
所以锐角的大小没改变，
所以锐角的正切函数值也不变．
故选：C．
【点睛】本题考查了正切的定义，解题的关键是掌握在直角三角形中，一个锐角的正切等于它的对边与邻边的比值．
2. 下列函数中，二次函数是（ ）
A. y＝﹣3x+5 B. y＝x（4x﹣3）
C. y＝2（x+4）2﹣2x2 D. y＝
【答案】B
【分析】根据二次函数的定义逐个判断即可．
【详解】解：A．函数是一次函数，不是二次函数，故本选项不符合题意；
B．是二次函数，故本选项符合题意；
C．是一次函数，不是二次函数，故本选项不符合题意；
D．不是二次函数，故本选项不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题考查了二次函数的定义，解题的关键是掌握：形如、、为常数，的函数，叫二次函数．
3. 已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，AC＝4，那么下列式子中正确的是（ ）
A. sinA＝ B. cosA＝ C. tanA＝ D. cotA＝
【答案】B
【分析】先利用勾股定理求出的长，然后根据锐角三角函数的定义对各选项分别进行计算，再利用排除法求解即可．
【详解】解：，，，
，
A、，故选项错误，不符合题意；
B、，故选项正确，符合题意；
C、，故选项错误，不符合题意；
D、，故选项错误，不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题考查了锐角三角函数的定义，勾股定理的应用，解题的关键是熟记在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边，余切为邻边比对边．
4. 已知非零向量，，，下列条件中，不能判定向量与向量平行的是（ ）
A. ∥，∥ B. ||＝2|| C. ＝2，＝3 D. +2＝
【答案】B
【分析】根据向量性质进行逐一判定即可．
【详解】解：A、由推知非零向量的方向相同，则，故本选项错误，不符合题意；
B、由不能确定非零向量的方向，故不能判定其位置关系，故本选项正确，符合题意；
C、由推知非零向量的方向相同，则，故本选项错误，不符合题意；
D、由推知非零向量的方向相反，则，故本选项错误，不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题考查的是向量中平行向量的定义，解题的关键是即方向相同或相反的非零向量、叫做平行向量．
5. 二次函数y＝ax2+bx+c的图像全部在x轴的上方，下列判断中正确的是（ ）
A. a＜0，c＜0 B. a＜0，c＞0 C. a＞0，c＜0 D. a＞0，c＞0
【答案】D
【分析】由抛物线全部在轴的上方，即可得出抛物线与轴无交点且，进而即可得出、，此题得解．
【详解】解：二次函数的图象全部在轴的上方，
，，
，
，
．
，．
故选：D．
【点睛】本题考查了二次函数的性质，解题的关键是牢记二次函数的性质．
6. 如图，∠BEC＝∠CDB，下列结论正确的是（ ）

A. EF•BF＝DF•CF B. BE•CD＝BF•CF
C. AE•AB＝AD•AC D. AE•BE＝AD•DC
【答案】C
【分析】根据条件证明出，根据性质得：，变形即可得到．
【详解】解：，
，
，
，
，
，
故选：C．
【点睛】本题考查了三角形相似的判定及性质，解题的关键是证明出．
二、填空题（每题4分，共48分）
7. 已知，则＝_____．
【答案】﹣
【分析】根据比例的性质可直接进行求解．
【详解】解：由已知，得：，
∴，
故答案为．
【点睛】本题主要考查比例的性质，熟练掌握比例的性质是解题的关键．
8. 已知线段的长是，点P是线段的黄金分割点，则较长线段的长是______．
【答案】
【分析】根据黄金分割的概念得到，把代入计算即可．
【详解】解：∵P是线段的黄金分割点，
∴，
而，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查了黄金分割的概念：如果一个点把一条线段分成两条线段，并且较长线段是较短线段和整个线段的比例中项，那么就说这个点把这条线段黄金分割，这个点叫这条线段的黄金分割点；较长线段是整个线段的倍．
9. 如图，已知直线、、分别交直线于点、、，交直线于点、、，且，，，，那么线段的长等于______．

【答案】9
【分析】利用平行线分线段成比例定理得到，利用比例的性质得到，从而可计算出DE的长．
【详解】解：，
∴，即，
，即，
∴．
故答案为：9．
【点睛】本题考查了平行线分线段成比例：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．
10. 已知△ABC∽△A1B1C1，△ABC的周长与△A1B1C1的周长的比值是，BE、B1E1分别是它们对应边上的角平分线，且BE＝12，则B1E1＝_____．
【答案】9
【分析】根据相似三角形的性质求出相似比，根据相似三角形的对应角平分线的比等于相似比计算．
【详解】解：△，的周长与△的周长的比值是，
与△的相似比为，
，即，
解得，，
故答案为：9．
【点睛】本题考查的是相似三角形的性质，解题的关键是掌握相似三角形的周长的比等于相似比，相似三角形的对应角平分线比等于相似比．
11. 计算：_____．
【答案】
【分析】根据向量的线性运算法则计算即可．
【详解】解：，
故答案为：．
【点睛】本题考查了向量的线性运算，解题的关键是掌握相应的运算法则．
12. 计算：3cot60°+2sin45°＝_____．
【答案】##
【分析】分别把，代入代数式计算即可．
【详解】解：原式．
故答案为：．
【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值，解题的关键是只要熟记特殊角的三角函数值即可．
13. 抛物线y＝﹣2（x﹣1）2+4的最高点坐标是_____．
【答案】
【分析】根据，顶点坐标是，可得答案．
【详解】解：抛物线为，
开口向下，则最高点坐标是顶点坐标，
顶点坐标．
故答案为：．
【点睛】本题考查了二次函数的性质以及顶点式，解题的关键是准确理解顶点式．
14. 将抛物线y＝﹣2x2+3x+1向下平移3个单位，所得的抛物线的表达式是_____．
【答案】
【分析】根据向下平移，纵坐标要减去3，即可得到答案．
【详解】解：抛物线向下平移3个单位，
抛物线解析式为．
故答案为：．
【点睛】主要考查了函数图象的平移，解题的关键是要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．
15. 如果抛物线经过点A（3，6）和点B（﹣1，6），那么这条抛物线的对称轴是直线_____．
【答案】
【分析】根据点，的坐标，利用二次函数的性质可求出抛物线的对称轴，此题得解．
【详解】解：抛物线经过点和点，
抛物线的对称轴为直线．
故答案为：．
【点睛】本题考查了二次函数的性质，解题的关键是根据抛物线的对称性，找出抛物线的对称轴．
16. 已知点A（﹣7，m）、B（﹣5，n）都在二次函数y＝﹣x2+4的图像上，那么m、n的大小关系是：m_____n．（填“＞”、“＝”或“＜”）
【答案】
【分析】先利用二次函数的性质得到抛物线的对称轴为轴，然后根据二次函数的性质解决问题．
【详解】解：二次函数可知，抛物线开口向下，抛物线的对称轴为轴，
所以当时，随的增大而增大，
，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是掌握二次函数图象上点的坐标满足其解析式，也考查了二次函数的性质．
17. 如图，一架飞机在点A处测得水平地面上一个标志物M的俯角为α，tanα＝，水平飞行900米后，到达点B处，又测得标志物M的俯角为β，tanβ＝，那么此时飞机离地面的高度为_____米．

【答案】1200
【分析】根据题意，作出合适的辅助线，然后根据锐角三角函数即可表示出此时飞机离地面的高度．
【详解】解：作交于点，如图所示，

，，
，
，
，
故答案为：1200．
【点睛】本题考查解直角三角形的应用仰角俯角问题，解的关键是明确题意，利用锐角三角函数解答．
18. 如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝5，AB＝4，点D在边AC上，将△ABD沿着直线BD翻折得△EBD，BE交直线AC于点F，联结CE，若△BCE是等腰三角形，则AF的长是_____．

【答案】
【分析】根据题意作图如下，过作的垂线，交于，由勾股定理求得，根据翻折的性质，可得：，
若△BCE是等腰三角形，则，勾股定理求出，在证明，求出，根据，即可求出．
【详解】解：在边AC上，将△ABD沿着直线BD翻折得△EBD，BE交直线AC于点F，联结CE，根据题意作图如下，过作的垂线，交于，

在中，
，
根据翻折的性质，可得：，
当点D边AC之间上动时，且BE交直线AC于点F，
故，
若△BCE是等腰三角形，
则，
根据等腰三角形的三线合一的性质知，
点为的中点，
，
，
，
，
，
，
，
即，
解得：，
，
故答案是：．
【点睛】本题考查了三角形的翻折、等腰三角形、勾股定理、三角形相似等知识，解题的关键是根据题意作出相应图形，利用三角形相似来求边长．
三、解答题（19-22题，每题10分，23-24题，每题12分，25题14分，共78分）
19. 已知：在直角坐标平面内，抛物线y＝x2+bx+6经过x轴上两点A、B，点B的坐标为（3，0），与y轴相交于点C．求：
（1）抛物线的表达式及顶点坐标；
（2）△ABC的面积．
【答案】（1）
（2）3
【分析】（1）把点的坐标代入抛物线，即可得出抛物线的表达式；
（2）先求出，，，再利用三角形面积公式求解即可．
【小问1详解】
解：把点的坐标代入抛物线，
得，
解得，
所以抛物线的表达式：；
【小问2详解】
解：抛物线的表达式，
令时，，
解得：，
，
当，，
，
，
．
【点睛】本题主要考查了用待定系数法求二次函数的解析式，解题的关键是正确的设出抛物线的解析式．
20. 如图，已知在△ABC中，AD是边BC上的中线．设＝，＝．

（1）如果点E是△ABC的重心，那么＝　 　．（用向量、的式子表示）
（2）求作在、方向上的分向量．（不要求写作法，但要保留作图痕迹，并指出所作图中表示结论的分向量）
【答案】（1）
（2）见解析
【分析】（1）由是边上的中线，得出，点E是△ABC的重心，得，即可求得；
（2）利用平行四边形法则，即可求得在，方向上的分向量．
【小问1详解】
解：是边上的中线，
，
点E是△ABC的重心，
，
；
【小问2详解】
解：如图，过点作，，

则、分别是在，方向上的分向量．
【点睛】此题考查了平面向量的知识，重心、解题的关键是注意掌握三角形法则与平行四边形法则的应用，注意掌握数形结合思想的应用．
21. 如图，已知在△ABC中，AC＝6，D为BC上一点，CD＝4．△ADC与△ABD的面积比为4：5．

（1）求证：△DAC∽△ABC；
（2）如果点D在AB的中垂线上，求cosB．
【答案】（1）见解析 （2）
【分析】（1）作于点，，得，，证明出，结合，即可证明出；
（2）由得，求出的长，根据点D在AB的中垂线上，为等腰三角形，过点作的垂线交于，根据等腰三角形三线合一的性质，得，，最后根据余弦函数的定义可得．
【小问1详解】
解：如图，作于点，

，
，
，
则，，
，
，
；
【小问2详解】
解：，
，
点D在AB的中垂线上，
为等腰三角形，
，
即，
，
过点作的垂线交于，如下图：

根据等腰三角形三线合一的性质，
，且，
．
【点评】本题主要考查相似三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、三角函数的定义，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定与性质．
22. 如图，已知电线杆AB上有一盏路灯A．灯光下，身高1.2米的小明在点C处时，他的影子是CD，他从C处沿BC方向行走2.1米，到点E处时，他的影子是EF．在A处测得D、F的俯角分别是53°、37°．（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75．）

（1）影子长CD、EF分别是多少米？
（2）求电线杆AB的高度．
【答案】（1），
（2）
【分析】（1）标记两点，直接利用正切函数的知识进行求解；
（2）先表示出，根据建立等式进行求解．
【小问1详解】
解：如下图：

根据题意得：，
（米），
，
，
，
（米）；
【小问2详解】
解：，
（米），
，
，
解得：（米）．
【点睛】本题考查了利用锐角三角函数解直角三角形过程，解题的关键是构造直角三角形，及熟练掌握正切函数的定义，即对边与邻边的比值．
23. 已知：如图，△ABC中，AD平分∠BAC．过点B作AD的垂线，垂足为E．过点C作AD的垂线交AD的延长线于F．联结CE交FB的延长线于点P，联结AP．

（1）求证：AB•AF＝AC•AE；
（2）求证：CF∥AP．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
【分析】（1）由是的角平分线，过点、分别作的垂线，可得，，根据有两角对应相等的三角形相似，可得，即可证明；
（2）由（1）有，利用，，证明出，得，证明出，，通过等量代换得，根据平行线分线段成比例定理即可求证．
【小问1详解】
解：证明：平分，
，
又，，
，
，
，
；
【小问2详解】
解：证明：由（1）有，
，，
，
，
，
，
，
，
．
【点睛】本题考查了相似三角形的性质与判定，角平分线、以及平行线分线段成比例定理，解题的关键是数形结合思想的应用，注意仔细识图．
24. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2﹣x﹣4与x轴交于点A（4，0），与y轴交于点C．点B（12，0），联结BC．

（1）求该抛物线解析式；
（2）求∠ACB的正弦值；
（3）如图，点D为抛物线上一点，直线AD交y轴于点E，交线段BC于点F．若△ECA∽△EFC，求点D的坐标．
【答案】（1）抛物线的解析式为
（2）∠ACB的正弦值为
（3）点D的坐标为
【分析】（1）将A点坐标代入，求出的值，然后回代抛物线的解析式即可；
（2）根据抛物线解析式求出点的坐标，知是等腰直角三角形，求出的值，如图，延长，作，垂足为，为等腰直角三角形，求出的值，在中，，由勾股定理知，，将线段值代入求解即可；
（3）由可知，，，在中，，解得的值，得到点坐标，设过两点的直线解析式为，将两点坐标代入求得解析式，然后与抛物线解析式联立求出D点坐标即可；
【小问1详解】
解：将代入中得
解得
∴抛物线的解析式为： ．
【小问2详解】
解：将代入解得
∴点坐标为
∵
∴
∴是等腰直角三角形
∴
∴
∵B点坐标为
∴
如图，延长，作，垂足为

∴
∴
∴为等腰直角三角形
∴
在中，，由勾股定理知
∴
∴的正弦值为．
【小问3详解】
解：∵
∴
∵，
∴
∴
∴在中，
∴解得
∴点坐标
∴设过两点的直线解析式为
将两点坐标代入解析式得
解得
∴过两点的直线解析式为
联立一次函数解析式与抛物线解析式得
消得
解得或（舍去）
∴
∴D点坐标为．
【点睛】本题考查了二次函数解析式，等腰直角三角形的判定与性质，正弦值，勾股定理，三角形相似，一次函数与二次函数的交点坐标等知识．解题的关键在于对知识的综合灵活运用．
25. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，点D为边BC上一动点（不与点B、C重合），联结AD，过点C作CF⊥AD，分别交AB、AD于点E、F，设BD＝x，＝y．

（1）当x＝3时，求tan∠BCE的值；
（2）求y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围；
（3）当x＝3时，在边AC上取点G，联结BG，分别交CE、AD于点M、N．当△MNF∽△ABC时，请直接写出AG的长．
【答案】（1）
（2）y=4(4−x)9（0＜x＜4）．
（3）．
【分析】（1）运用直角关系证明∠BCE=∠DAC即可；
（2）作EM⊥AC于M，EN⊥BC于N．利用面积法解决问题即可；
（3）作DH⊥AB于H．设BH=x，想办法求出tan∠BAD的值，再利用相似三角形的性质证明∠CBG=∠BAD即可解决问题．
【小问1详解】
∵BC=4，BD=3，
∴CD=1，
∵AD⊥CE，
∴∠AFC=∠ACB=90°，
∴∠ACF+∠DCF=90°，∠ACF+∠DAC=90°，
∴∠BCE=∠DAC，
∴．
【小问2详解】
作EM⊥AC于M，EN⊥BC于N．则四边形EMCN是矩形．

∵，
∵EM=CN，，
∴
∴y=4(4−x)9（0＜x＜4）．
【小问3详解】
作DH⊥AB于H．设BH=p．

∵BC=4，BD=3，
∴CD=1，
在Rt△ACD中，，
在Rt△ABC中，，
∵DH2=AD2-AH2=BD2-BH2，
∴10-（5-p）2=32-p2，
∴p=，
∴DH==，AH==，
∴，
当△MNF∽△ABC，
∴∠MNF=∠ABC，
∵∠MNF=∠ABN+∠BAD，∠ABD=∠ABN+∠CBG，
∴∠CBG=∠BAD，
∴tan∠CBG=tan∠BAD==，
∴CG=，
∴AG=AC-CG=．
【点睛】本题考查相似形综合题、锐角三角函数、勾股定理、相似三角形的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，学会利用面积法解决问题，学会用转化的思想思考问题．