2021年上海市浦东新区九年级上学期数学期中试卷含答案

这是一份2021年上海市浦东新区九年级上学期数学期中试卷含答案，共18页。试卷主要包含了单项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

 九年级上学期数学期中试卷
一、单项选择题
1.中， ， ， ，那么 的值为〔    〕
A.                                          B.                                          C.                                          D. 
2.两个相似三角形的周长比为4：9，那么它们的面积比为〔      〕
A. 4：9                                  B. 2：3                                  C. 8：18                                  D. 16：81
3. ，以下说法中，错误的选项是〔   〕
A.                             B.                             C.                             D. 
4.△ABC中，D ， E分别是边BC ， AC上的点，以下各式中，不能判断DE∥AB的是〔　　〕
A.                   B.                   C.                   D. 
5.点C是线段AB的中点，以下结论中，正确的选项是〔　　〕
A.                    B.                    C.                    D. 
6.一段公路路面的坡度为i＝1：2.4．如果某人沿着这段公路向上行走了260m ， 那么此人升高了〔　　〕
A. 50m                                  B. 100m                                  C. 150m                                  D. 200m
二、填空题
7.如果在某建筑物的A处测得目标B的俯角为37°，那么从目标B可以测得这个建筑物的A处的仰角为________．
8.向量 与单位向量 的方向相反，且长度为2，那么用 表示       .
9.点C是线段AB的黄金分割点，且AC＞BC，假设AB＝2，那么AC＝________．
10.如果 ，那么用 表示        ．
11.梯形的上下两底长度为4和6，将两腰延长交于一点，这个交点到两底边的距离之比是________．
12.在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝α，AB＝m ， 那么边AB上的高为________．
13.在△ABC中，AB＝5，BC＝8，∠B＝60°，那么S△ABC＝________〔结果保存根号〕
14.如图，在平行四边形ABCD中，点E在边BC上，EC＝2BE ， 连接AE交BD于点F ， 假设△BFE的面积为2，那么△AFD的面积为________．

15.如图，AB⊥BD，ED⊥BD，C是线段BD的中点，且AC⊥CE，ED=1，BD=4，那么AB=________.

16.菱形ABCD的边长为6，对角线AC与BD相交于点O ， OE⊥AB ， 垂足为点E ， AC＝4，那么sin∠AOE＝________．

17.在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝kx+b〔k≠0〕的图象过点P〔1，1〕，与x轴交于点A ， 与y轴交于点B ， 且tan∠ABO＝2，那么点A的坐标是________．
18.如图，△ABC中，∠B＝90°，BC＝3，AB＝4，D是边AB上一点，DE∥BC交AC于点E ， 将△ADE沿DE翻折得到△A′DE ， 假设△A′EC是直角三角形，那么AD长为________．

三、解答题
19.计算：cos245° ＋cot230°.
20.如图， ，它们依次交直线a，b于点A、B、C和点D、E、F.

〔1〕如果 ， ， ，求DE的长.
〔2〕如果 ， ， ，求BE的长.
21.如图，E是平行四边形ABCD的边BA延长线上的一点，CE交AD于点F ， 交BD于点G ， AE：AB＝1：3，设 ＝ ， ＝ ．
〔1〕.用向量 、 分别表示以下向量：
＝       ， ＝       ， ＝      ；
〔2〕.在图中求作向量 分别在 、 方向上的分向量．〔不写作法，但要写出画图结果〕

22.如图，A ， B两地之间有一座山，汽车原来从A地到B地须经C地沿折线A﹣C﹣B行驶，全长68km ． 现开通隧道后，汽车直接沿直线AB行驶．∠A＝30°，∠B＝45°，那么隧道开通后，汽车从A地到B地比原来少走多少千米？〔结果精确到0.1km〕〔参考数据： ≈1.4， ≈1.7〕

23.：如图，四边形ABCD是菱形，点E在边CD上，点F在BC的延长线上，CF＝DE ， AE的延长线与DF相交于点G ．

〔1〕求证：∠CDF＝∠DAE；
〔2〕如果DE＝CE ， 求证：AE＝3EG ．
24.如果，△ABC ， A〔0，﹣4〕，B〔﹣2，0〕，C〔4，0〕．

〔1〕求sin∠BAC的值．
〔2〕假设点P在y轴上，且△POC与△AOB相似，请直接写出点P的坐标．
〔3〕点M在y轴上，如果∠OMB+∠OAB＝∠ACB ， 求点M的坐标．
25.如图，在△ABC中，AB=AC，BC比AB大3， ，点G是△ABC的重心，AG的延长线交边BC于点D．过点G的直线分别交边AB于点P、交射线AC于点Q.

〔1〕求AG的长；
〔2〕当∠APQ=90º时，直线PG与边BC相交于点M.求 的值；
〔3〕当点Q在边AC上时，设BP=x，AQ=y，求y关于x的函数解析式，并写出它的定义域.

答案解析局部
一、单项选择题
1.【答案】 C
【解析】【解答】解： = ，
故答案为：C.
【分析】根据三角函数的定义，正切值=对边：邻边，代入即可。
2.【答案】 D
【解析】【解答】解：∵两个相似三角形的周长比为4：9，
∴这两个相似三角形的相似比为4：9，
∴面积比为16：81．
故答案为：D．
【分析】根据相似三角形的性质：周长之比等于相似比，面积之比等于相似比的平方。
3.【答案】 C
【解析】【解答】A、如果 ，那么〔a+b〕：b=〔c+d〕：d〔b、d≠0〕．所以由 ，得 ，故该选项不符合题意；
B、如果a：b=c：d那么〔a-b〕：b=〔c-d〕：d〔b、d≠0〕．所以由 ，得 ，故该选项不符合题意；
C、由 得，5a=3b，所以a≠b；又由 得，ab+b=ab+a即a=b．故该选项符合题意；
D、由 得，5a=3b；又由 得，5a=3b．故该选项不符合题意.
故答案为：C．

【分析】A=+1
B =-1
C 不能约分
D互为倒数的两数之积为1.
4.【答案】 D
【解析】【解答】解：如图，

假设使线段DE∥AB ， 那么其对应边必成比例，
即 ＝ ， ＝ ，A、B可判定DE∥AB；
＝ ，即 ＝ ，C可判定DE∥AB；
而由 ＝ 不能判断DE∥AB ， 故D选项答案符合题意．
故答案为：D．
【分析】作图，结合图像，根据线段之比逐项判断平行即可。
5.【答案】 B
【解析】【解答】解：A、 ，故本选项不符合题意；
B、 ，故本选项符合题意；
C、 ，故本选项不符合题意；
D、 ，故本选项不符合题意．

故答案为：B．
【分析】作图，结合图像，再根据平面向量的性质逐项判断。
6.【答案】 B
【解析】【解答】解：如图，

Rt△ABC中，tanA＝ ，AB＝260米．
设BC＝x ， 那么AC＝2.4x ， 根据勾股定理，得：
x2+〔2.4x〕2＝2602 ，
解得x＝100〔负值舍去〕．
故答案为：B ．
【分析】根据坡度比设未知数，再结合勾股定理列方程求解即可。
二、填空题
7.【答案】 37°
【解析】【解答】解：如图，

∵某建筑物的A处测得目标B的俯角为37°，
∴目标B可以测得这个建筑物的A处的仰角为37°，
故答案为：37°．
【分析】根据题意画出草图，根据平行线的性质可解。
8.【答案】
【解析】【解答】解：∵向量 与单位向量 的方向相反，且长度为2，
∴ ，
故填： .
【分析】根据平面向量的定义及运算求解即可。
9.【答案】
【解析】【解答】解：由题意知： ，
∵ AB＝2，
∴ AC＝ ．
【分析】根据黄金分割的定义，列出比例式即可。
10.【答案】 ＝
【解析】【解答】解：∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ＝ ．
故答案为： ＝ ．
【分析】根据平面向量的三角形及平行四边形运算法那么进行计算即可。
11.【答案】 2：3
【解析】【解答】解：如图，

梯形ABCD中，AD∥BC ， AD＝4，BC＝6，
∴△EAD∽△EBC ，
∵EN⊥BC ，
∴EN⊥AD ，
∴EM：EN＝AD：BC＝4：6＝2：3，
即这个交点到两底边的距离之比是：2：3．
故答案为：2：3．
【分析】根据题意，可得△EAD∽△EBC，再根据相似三角形的性质：对应边成比例即可。
12.【答案】 msinαcosα
【解析】【解答】解：如下列图：

根据题意可得：AC＝mcosα，BC＝msinα，
∴ AC•BC＝ mh ， 即h＝msinαcosα，
故答案是：msinαcosα．
【分析】先根据三角函数的定义求出AC、BC的长度，再利用三角形的面积求出AB边上的高。
13.【答案】
【解析】【解答】解：∵AB＝5，∠B＝60°，
∴△ABC中，BC边上的高＝sin60°×AB＝ ×5＝ ，
∵BC＝8，
∴S△ABC＝ ×8× ＝10 ；
故答案为：10 ．
【分析】先利用三角函数求出BC边上的高，再根据三角形的面积计算即可。
14.【答案】 18
【解析】【解答】解：∵ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC ， AD＝BC ，
∴△ADF∽△EBF ，
∵EC＝2BE ，
∴BC＝3BE ， 即AD＝3BE ，
∴S△AFD＝9S△EFB＝18．
故答案为：18．
【分析】根据平行四边形的性质，可得AD//BC，AD=BC，因此△ADF∽△EBF，利用相似三角形的性质：面积之比等于相似比的平方即可。
15.【答案】 4
【解析】【解答】解：∵AB⊥BD，ED⊥BD∴∠B=∠D=90°，∠A+∠ACB=90°
∵AC⊥CE，即∠ECD+∠ACB=90°∴∠A=∠ECD∴△ABC∽△CDE∴ ∴AB=4
故答案为：4.
【分析】根据垂直定义，可得∠B=∠D=90°，利用等角的余角相等，可得∠A=∠ECD，根据两角分别相等可证△ABC∽△CDE，利用相似三角形的对应边成比例即可求出结论.
16.【答案】
【解析】【解答】解：∵菱形对角线互相垂直，
∴∠OEA＝∠AOB ，
∵∠OAE＝∠BAO ，
∴△OAE∽△ABO ，
∴∠AOE＝∠ABO ，
∵AO＝ AC＝2，AB＝6，
∴sin∠AOE＝sin∠ABO＝ ＝ ．
故答案为： ．
【分析】根据菱形的性质，可得，， 因此， 再利用余弦的定义求解即可。
17.【答案】 〔﹣1，0〕或〔3，0〕
【解析】【解答】解：

∵一次函数 的图象经过点 ，
∴ ，
即 ，
∴一次函数解析式为 ，
∴一次函数 与x轴、y轴的交点坐标为〔 ，0〕、〔0， 〕，
∴ ， ，
∵ ,
∴ 且 ，
解得， 或 ，
当 时，OA=1，此时点A在x轴负半轴上，所以点A坐标为〔﹣1，0〕，
当 时，OA=3，此时点A在x轴正半轴上，所以点A坐标为〔3，0〕，
∴A点的坐标是 或
故答案为：〔﹣1，0〕或〔3，0〕．
【分析】先将点P代入一次函数，求出k、b的等量关系式，再用含k的表达式表示出A、B点的坐标，最后利用列方程，求出k的值，再代入，求出点A的坐标。
18.【答案】 或
【解析】【解答】解：在△ABC中，∠B＝90°，BC＝3，AB＝4，
∴AC＝5，
∵DE∥BC ，
∴AD：AB＝AE：AC ， 即AD：AE＝AB：AC＝4：5，
设AD＝x ， 那么AE＝A′E＝ x ， EC＝5﹣ x ， A′B＝ ，
在Rt△A′BC中，A′C＝ ，
∵△A′EC是直角三角形，
∴①当A'落在边AB上时，∠EA′C＝90°，∠BA′C＝∠ACB ， A′B＝3×cot∠ACB＝ ，
∴AD＝ ；

②点A在线段AB的延长线上〔 〕2+〔5﹣ x〕2＝〔 x〕2 ，
解得x1＝4〔不合题意舍去〕，x2＝ ．

故AD长为 或 ．
故答案为： 或 ．
【分析】此题需分两种情况讨论，一是点A′在线段AB上，二是点A′在线段AB延长线上，再利用勾股定理列出方程进行求解。
三、解答题
19.【答案】 解：原式＝ 2 ＋( )2
＝ ＋3
＝ .
【解析】【分析】特殊角的三角函数值要记牢，代入计算即可。
20.【答案】 〔1〕解：∵ ， ，
∴AC=AB+BC=14
∵
∴
∴

〔2〕解：过D作DH∥AC，分别交BE,CF于H.

∵
∴四边形ABGD和四边形BCHG是平行四边形，
∴CH=BG=AD=9
∴FH=CF-DH=5
∵
∴
∴
∴BE=BG+GE=9+2=11.
【解析】【分析】〔1〕由果 ， ，可得AC=14，然后根据平行线等分线段定理得到 ，然后将条件代入即可求解；〔2〕过D作DH∥AC，分别交BE,CF于H，说明四边形ABGD和四边形BCHG是平行四边形，然后根据平行四边形的性质得CH=BG=AD=9；进一步说明FH=CF-DH=5，然后再按照平行线等分线段定理得到 ，最后代入条件求解即可．
21.【答案】 〔1〕；﹣ ；﹣
〔2〕解：如图，过点G作GM∥AB交BC于M，GN∥BC交AB于N，那么向量 、 是向量 分别在 ， 方向上的分向量．

【解析】【解答】解：〔1〕∵ ＝ ，AE＝ BA ，
∴ ＝ ，
∵ ＝ + ， ＝﹣ ， ＝ ，
∴ ＝ ﹣ ，
∵CD∥EB ，
∴EG：CG＝EB：CD＝4：3，
∴EG：EC＝4：7，
∴ ＝ ﹣ ，
故答案为： ， ﹣ ， ﹣ ；

【分析】〔1〕根据线段之间的关系表示出向量即可；〔2〕根据向量的运算法那么作图。
22.【答案】 解：如图，过点C作CD⊥AB，垂足为D，

设CD＝x．
在Rt△ACD中，sin∠A＝ ，AC＝ ＝2x，
在Rt△BCD中，sin∠B＝ ，BC＝ ＝ x，
∵AC+BC＝2x+ x＝68，
∴x＝ ，
在Rt△ACD中，tan∠A＝ ，AD＝ ，
在Rt△BCD中，tan∠B＝ ，BD＝ ＝20，
AB＝20 +20≈54，
AC+BC﹣AB＝68﹣54＝14.0〔km〕．
答：隧道开通后，汽车从A地到B地比原来少走14.0千米．
【解析】【分析】过点C做AB的垂线，将分成两个直角三角形，再利用解直角三角形分别求出AC、BC和AB的长度，最后用AC+BC﹣AB即可。
23.【答案】 〔1〕证明：四边形ABCD是菱形，
∴AD＝CD，AD∥BC，
∴∠ADE＝∠DCF，
在△ADE与△DCF中，
，
∴△ADE≌△DCF，
∴∠CDF＝∠DAE；

〔2〕证明：过E作EH∥BF交DF于H，

∵DE＝CE，
∴EH＝ CF，
∵△ADE≌△DCF，
∴DE＝CF＝ CD＝ AD，
∴EH＝ AD，
∵EH∥AD，
∴△GHE∽△GDA，
∴ ，
∴AE＝3EG．
【解析】【分析】〔1〕根据菱形的性质，可得AD=DC，， 再结合CF=DE，利用“SAS〞证出△ADE≌△DCF，即可证出∠CDF＝∠DAE；〔2〕此题的关键是证明AE=3EG，转化为证明4EH=AD，即证明△GHE∽△GDA。
24.【答案】 〔1〕解：∵A〔0，﹣4〕，B〔﹣2，0〕，C〔4，0〕，
∴AO＝4＝CO，BO＝2，AB＝2 ，
∴BC＝6，AC＝4 ，∠BCA＝45°，
如图1，过点B作BH⊥AC于H，

∴∠BCA＝∠CBH＝45°，
∴BH＝CH，
∴BC＝ BH＝6，
∴BH＝3 ＝HC，
∴sin∠BAC＝ ＝ ＝ ；

〔2〕点P的坐标为〔0，2〕或〔0，﹣2〕或〔0，8〕或〔0，﹣8〕时，△POC与△AOB相似；
〔3〕解：如图2：取OA的中点，记为点N，

∵OA＝OC＝4，∠AOC＝90°，
∴∠ACB＝45°，
∵点N是OA的中点，
∴ON＝2，
又∵OB＝2，
∴OB＝ON，
又∵∠BON＝90°，
∴∠ONB＝45°，
∴∠ACB＝∠ONB，
∵∠OMB+∠OAB＝∠ACB，
∠NBA+∠OAB＝∠ONB，
∴∠OMB＝∠NBA；
①当点M在点N的上方时，记为M1 ，
∵∠BAN＝∠M1AB，∠NBA＝∠OM1B，
∴△ABN∽△AM1B
∴ ，
又∵AN＝2，AB＝2 ，
∴AM1＝10，
 又∵A〔0，﹣4〕
∴M1〔0，6〕．
②当点M在点N的下方时，记为M2 ，
点M1与点M2关于x轴对称，
∴M2〔0，﹣6〕，
综上所述，点M的坐标为〔0，6〕或〔0，﹣6〕．
【解析】【解答】解：〔2〕∵点P在y轴上，
∴∠POC＝∠AOB＝90°，
当 时，那么△AOB∽△COP ，
∴ ，
∴PO＝2，
∴点P〔0，2〕或〔0，﹣2〕；
当 时，那么△AOB∽△POC ，
∴ ，
∴OP＝8，
∴点P〔0，8〕或〔0，﹣8〕，
综上所述：当点P的坐标为〔0，2〕或〔0，﹣2〕或〔0，8〕或〔0，﹣8〕时，△POC与△AOB相似；

【分析】〔1〕先根据题干求出A、B、C的坐标，再求出AB、AC、BC的长，再利用面积法求出AC边桑拿的高，在直接三角形ABH只能中，利用三角函数的定义求解即可；〔2〕根据相似三角形的性质，求P点坐标；〔3〕分类讨论：点M在点N的上方和下方，再利用∠OMB+∠OAB＝∠ACB，找三角形相似及利用其性质求解。
25.【答案】 〔1〕解：在△ABC中，∵AB=AC，点G是△ABC的重心,

∴ ，AD⊥BC.
在Rt△ADB中，∵ ,∴ .
∵ , ∴AB=15，BC=18.
∴AD="12."
∵G是△ABC的重心，∴ .

〔2〕解：在Rt△MDG,∵∠GMD+∠MGD=90°，
同理:在Rt△MPB中,∠GMD+∠B=90°,
∴∠MGD=∠B.
∴ ,
在Rt△MDG中,∵ ，
∴ ，∴
在△ABC中，∵AB=AC，AD⊥BC,∴ .
∵ ,
又∵ ,
∴ ,
又∵ ,
∴△QCM∽△QGA.
∴ .

〔3〕解：过点 作 ,过点C作 ,分别交直线 于点E、F，那么 .

∵ ,∴ ,即 ,
∴
同理可得: ,即 ,
∴ .
∵ , ,∴ .
∴ ,即 .
∴ , .
【解析】【分析】〔1〕利用及三角形重心的性质求出AG的长；〔2〕证出△QCM∽△QGA.，利用相似三角形的性质，可得：；〔3〕过点  作  ,过点C作  ,利用平行线分线段成比例，再利用比例列出等式，化简即可；再根据题意求出定义域。