中考数学二轮复习专题《等腰三角形与等边三角形》练习卷 (含答案)

中考数学二轮复习专题

《等腰三角形与等边三角形》练习卷

一              、选择题

1.如图，E是等边三角形ABC中AC边上的点，∠1＝∠2，BE＝CD，则△ADE形状是(    )

A.一般等腰三角形    B.等边三角形    C.不等边三角形    D.不能确定形状

2.如图，等边△OAB的边长为2，则点B的坐标为(　　)

A.(1，1)      B.(，1)       C.(，)     D.(1，)

3.如图，已知D、E、F分别是等边 △ABC的边AB、BC、AC上的点，且DE⊥BC、EF⊥AC、FD⊥AB，则下列结论不成立的是(　　)

A.△DEF是等边三角形          B.△ADF≌△BED≌△CFE

C.DE＝AB                                    D.S△ABC＝3S△DEF

4.如图，已知OC平分∠AOB，CD∥OB，若OD＝3 cm，则CD等于(　　)

A.3 cm　   　B.4 cm　　   C.1.5 cm　    　D.2 cm

5.如图，在△ABC中，D为BC的中点，AD⊥BC，E为AD上一点，∠ABC＝60°，∠ECD＝40°，则∠ABE＝(　　)

A.10°       B.15°       C.20°       D.25°

6.已知△ABC的三边长分别为4、4、6，在△ABC所在平面内画一条直线，将△ABC分割成两个三角形，使其中的一个是等腰三角形，则这样的直线最多可画(　　)

A.3条       B.4条       C.5条         D.6条

7.如图，△ABC中，∠A＝36°，AB＝AC，BD平分∠ABC，DE∥BC，则图中等腰三角形的个数(    )

A.1个                           B.3个                         C.4个                         D.5个

8.平面直角坐标系中，已知A(2，2)、B(4，0).若在坐标轴上取点C，使△ABC为等腰三角形，则满足条件的点C的个数是(      )

A.5                           B.6                        C.7                            D.8

二              、填空题

9.如图，在等腰三角形ABC中，AB＝AC＝12cm，∠ABC＝30°，底边上的高AD＝　    cm.

10.在边长为4的等边三角形ABC中，D为BC边上的任意一点，过点D分别作DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F，则DE＋DF＝________．

11.如图所示，在四边形ABCD中，AB∥CD，AD⊥CD，点E，F分别是AB，BC的中点，AB＝4，EF＝2，∠B＝60°，则CD的长为________．

12.如图，在△ABC中，∠B与∠C的平分线交于点O，过点O作DE∥BC，分别交AB、AC于点D、E.若AB＝5，AC＝4，则△ADE的周长是　     　.

13.等腰三角形周长为19cm，若有一边长为9cm，则等腰三角形其他两边长分别为　     　

14.如图，已知AB＝A1B，A1C＝A1A2，A2D＝A2A3，A3E＝A3A4，∠B＝20°，则∠A4＝      .

15.如图，在△ABC中，AB＝AC，BC＝6，AF⊥BC于点F，BE⊥AC于点E，且点D是AB的中点，△DEF的周长是11，则AB＝　　　　.

16.在等腰△ABC中，AD⊥BC交直线BC于点D，若AD＝BC，则△ABC的顶角的度数为_____．

三              、解答题

17.如图，△ABC是等边三角形，AD是高，并且AB恰好是DE的垂直平分线.

求证：△ADE是等边三角形.

18.如图所示，已知△ABC是边长为6cm的等边三角形，动点P、Q同时从A、B两点出发，分别沿AB、BC方向匀速运动，其中点P运动的速度是1cm/s，点Q运动的速度是2cm/s，当点Q到达点C时，P、Q两点都停止运动，设运动时间为t s，解答下列问题：

（1）当点Q到达点C时，PQ与AB的位置关系如何？请说明理由．

（2）在点P与点Q的运动过程中，△BPQ是否能成为等边三角形？若能，请求出t，若不能，请说明理由．.

19.如图，点D，E在△ABC的边BC上，连结AD，AE.

①AB＝AC；②AD＝AE；③BD＝CE.

以此三个等式中的两个作为命题的题设，另一个作为命题的结论，构成三个命题：①②⇒③；①③⇒②；②③⇒①.

(1)以上三个命题是真命题的为(直接作答)：                  ；

(2)请选择一个真命题进行证明.(先写出所选命题，然后证明)

20.如图，在△ABC中，已知点D在线段AB的反向延长线上，过AC的中点F作线段GE交∠DAC的平分线于E，交BC于G，且AE∥BC.

(1)求证：△ABC是等腰三角形；

(2)若AE＝8，AB＝10，GC＝2BG，求△ABC的周长.

21.(1)问题发现：如图①，△ACB和△DCE均为等边三角形，点A，D，E在同一直线上，连结BE.

填空：①∠AEB的度数为        ；②线段AD，BE之间的数量关系为        ；

(2)拓展探究：如图②，△ACB和△DCE均为等

腰直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°，点A，D，E在同一直线上，CM为△DCE中DE边上的高，连结BE，请判断∠AEB的度数及线段CM，AE，BE之间的数量关系，并说明理由.

参考答案

1.B.

2.D

3.D

4.A.

5.C.

6.B

7.D

8.C

9.答案为：6.

10.答案为：2.

11.答案为：2.

12.答案为：9.

13.答案为：9cm、1cm或5cm、5cm.

14.答案为：10°.

15.答案为：8.

16.答案为：90°或150°或30°.

17.证明：∵点A在DE的垂直平分线上，

∴AE＝AD，

∴△ADE是等腰三角形，

∵AB⊥DE，

∴∠ADE＝90°－∠BAD，

∵AD⊥BD，

∴∠B＝90°－∠BAD，

∵△ABC是等边三角形，

∴∠B＝60°，

∴∠ADE＝∠B＝60°，

∴△ADE是等边三角形.

18.解：（1）当点Q到达点C时，PQ与AB垂直，即△BPQ为直角三角形．

理由是：

∵AB=AC=BC=6cm，

∴当点Q到达点C时，BP=3cm，

∴点P为AB的中点．

∴QP⊥BA（等边三角形三线合一的性质）．

（2）假设在点P与点Q的运动过程中，△BPQ能成为等边三角形，

∴BP=PQ=BQ，

∴6-t=2t，解得t=2．

∴当t=2时，△BPQ是个等边三角形．

19.解：(1)①②⇒③；①③⇒②；②③⇒①；

(2)选择①③⇒②，

∵AB＝AC，

∴∠B＝∠C，

又∵BD＝CE，

∴△ABD≌△ACE，

∴AD＝AE.

20.证明：(1)∵AE∥BC，

∴∠B＝∠DAE，∠C＝∠CAE.

∵AE平分∠DAC，

∴∠DAE＝∠CAE.

∴∠B＝∠C.

∴AB＝AC.

∴△ABC是等腰三角形.

(2)∵F是AC的中点，

∴AF＝CF.

∵AE∥BC，

∴∠C＝∠CAE.

由对顶角相等可知：∠AFE＝∠GFC.

在△AFE和△CFG中

，

∴△AFE≌△CFG.

∴AE＝GC＝8.

∵GC＝2BG，

∴BG＝4.

∴BC＝12.

∴△ABC的周长＝AB＋AC＋BC＝10＋10＋12＝32.

21.解：(1)∵∠ACB＝∠DCE，∠DCB＝∠DCB，

∴∠ACD＝∠BCE，

在△ACD和△BCE中，

∴△ACD≌△BCE(SAS)，

∴AD＝BE，∠CEB＝∠ADC＝180°－∠CDE＝120°，

∴∠AEB＝∠CEB－∠CED＝60°；

(2)∠AEB＝90°，AE＝BE＋2CM，

理由如下：∵△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，

∴CA＝CB，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝90°，

∵∠ACD＋∠DCB＝90°＝∠DCB＋∠BCE，

∴∠ACD＝∠BCE，

∴△ACD≌△BCE(SAS)，

∴AD＝BE，∠ADC＝∠BEC.

∵△DCE为等腰直角三角形，

∴∠CDE＝∠CED＝45°，

∵点A，D，E在同一直线上，

∴∠ADC＝135°.

∴∠BEC＝135°，

∴∠AEB＝∠BEC－∠CED＝90°.

∵CD＝CE，CM⊥DE，

∴DM＝ME.

∵∠DCE＝90°，

∴DM＝ME＝CM，

∴AE＝AD＋DE＝BE＋2CM.