冀教版八年级下册22.6 正方形一等奖课件ppt

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鞋匠们钉鞋时常用的铁钉的横截面的形状，不像普通铁钉那样是圆的，而呈正方形，你知道其中的原因吗？
你提的问题十分有趣，为什么是正方形而不是圆形，这是正方形独特的性质所起的作用，我们只要再进一步深入接触正方形就会知道其中的道理.
做一做：用一张长方形的纸片(如图所示)折出一个正方形．
问题：什么样的四边形是正方形？
正方形(square)是我们熟悉的几何图形，它的四条边都相等，四个角都是直角.因此，正方形既是矩形，又是菱形.它既有矩形的性质，又有菱形的性质.
正方形的定义：有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形．要点精析(1)正方形的四条边都相等，说明正方形是特殊的菱形；(2)正方形的四个角都是直角，说明正方形是特殊的矩形.即：正方形既是特殊的矩形，又是特殊的菱形．
例1 如图，已知点E 是正方形ABCD 的边CD上一点，点F 是CB 的延长线上一点，且EA⊥AF. 求证：DE=BE.
本题要证明两条线段相等，而证明线段相等的方法有很多，根据题中所给的条件，由正方形ABCD，我们可以得到边相等，角相等，也可以得到平行，所以在可以得到比较多的条件的情况下，一般会想到用全等去解决，而本题中全等的条件也很充足，那么问题即可解决．
∵四边形ABCD 是正方形，∴AD=AB，∠D=∠ABF=∠BAD=90 °．∴∠BAE+∠EAD=90 °．∴EA⊥AF，∴∠BAE+∠FAB=90 °．∴∠EAD=∠FAB．∴△ABF ≌△ADE．∴DE=BF.
知道正方形就说明它的四边都相等，四个角都是直角.
如图，如果正方形ABCD 旋转后能与正方形 CFED 重合，那么图形所在的平面上可以作为旋转中心的点共有多少个？请指出它们的位置.
共3个．分别是点D、点C 和线段CD 的中点．
下面四个定义中不正确的是(　　)A．有一个角是直角的平行四边形叫做矩形B．有一组邻边相等的四边形叫做菱形C．有一组邻边相等，并且有一个角是直角的 平行四边形叫做正方形D．有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形
已知在四边形ABCD 中，∠A＝∠B＝∠C＝90°，如果添加一个条件，即可推出该四边形是正方形，那么这个条件可以是(　　)A．∠D＝90° B．AB＝CDC．AD＝BC D．BC＝CD
▱ABCD 的对角线AC 与BD 相交于点O，且AC⊥BD，请添加一个条件：________，使得▱ABCD 为正方形．
正方形的性质：具有矩形、菱形、平行四边形的一切性质，即：①边：四条边相等，邻边垂直，对边平行；②角：四个角都是直角.
例2 已知：如图，在正方形ABCD 中，对角线的交 点为O，E 是OB上的一点，DG⊥AE 于G，DG 交AO 于F，求证：EF∥AB.
要证EF∥AB，由于∠OBA＝45°，∠EOF＝90°，即需证∠OEF＝45°，即要证明OE＝OF，而OE＝OF 可通过证明△AEO ≌△DFO 获得．
∵四边形ABCD 是正方形，∴∠AOE＝∠DOF＝90°，AO＝DO，∠OBA＝45°.又∵DG⊥AE，∴∠EAO＋∠AEO＝∠EDG＋∠GED＝90°.∵∠AEO＝∠GED，∴∠EAO＝∠EDG＝∠FDO.∴△AEO ≌△DFO (ASA)．∴OE＝OF.∴∠OEF＝45°. ∴∠OEF＝∠OBA.∴EF∥AB.
通过证明三角形全等得到边和角相等，再进一步得到平行或垂直，是有关正方形中证边或角相等的最常用的方法，而正方形的四条边相等，四个角都是直角为证明三角形全等提供了条件．
1 已知：如图，四边形ABCD 和BGFE 都是正方形.求证：AE=CG.
∵四边形ABCD 是正方形，∴AB＝CB，∠ABC＝90°.∵四边形BGFE 是正方形，∴BE＝BG，∠EBG＝90°.∴∠ABC－∠EBC＝∠EBG－∠EBC，即∠ABE＝∠CBG.∴△ABE ≌△CBG.∴AE＝CG.
正方形具有而矩形不一定具有的性质是(　　)A．四个角都相等 B．四条边相等C．对角线相等 D．对角线互相平分
一个大矩形按如图方式分割成九个小矩形，且只有标号为①和②的两个小矩形为正方形，在满足条件的所有分割中，若知道九个小矩形中n 个小矩形的周长，就一定能算出这个大矩形的面积，则n 的最小值是(　　)A．3 B．4 C．5 D．6
如图，正方形ABCD 的面积为1，则以相邻两边中点连线EF 为边的正方形EFGH 的周长为(　　)　A. B．2C. ＋1 D．2 ＋1
例3 如图，正方形ABCD 的边长为1 cm，AC 为对角线， AE 平分∠BAC，EF⊥AC，求BE 的长．
线段BE 是Rt△ABE 的一边，但由于AE 未知，不能直接用勾股定理求BE，由条件可证△ABE ≌△AFE，问题转化为求EF 的长，结合已知条件易获解．
∵四边形ABCD 为正方形， ∴∠B＝90°，∠ACB＝45°，AB＝BC＝1 cm. ∵EF⊥AC，∴∠EFA＝∠EFC＝90°. 又∵∠ECF＝45°， ∴△EFC 是等腰直角三角形，∴EF＝FC. ∵∠BAE＝∠FAE，∠B＝∠EFA＝90°，AE＝AE， ∴△ABE ≌△AFE. ∴AB＝AF＝1 cm，BE＝EF，∴FC＝BE. 在Rt△ABC 中，AC ∴FC＝AC－AF＝( －1)(cm)，∴BE＝( －1) cm.
解有关正方形的问题，要充分利用正方形的四边相等、四角相等、对角线垂直平分且相等等性质，正方形的性质、等腰直角三角形的特点、勾股定理是解决正方形的相关证明与计算问题的三把钥匙．
如图，正方形ABCD 的对角线AC 为菱形AEFC 的一边.求∠FAB 的度数.
由题意可知∠CAE＝ ∠DAB＝45°.∵在菱形AEFC 中，AF 平分∠CAE，∴∠FAB＝ ∠CAE＝22.5°.
如图，E 是正方形ABCD 的边BC 的延长线上一点，且CE=BD，AE 交DC 于点F. 求∠AFC 的度数.
连接AC，在正方形ABCD 中，AC＝BD，AD∥BC，∠DAC＝∠ACD＝45°.∵BD＝CE，∴AC＝CE.∴∠CAE＝∠CEA.∵AD∥CE，∴∠DAF＝∠AEC.∴∠DAF＝∠CAE＝ ∠DAC＝22.5°.又∵∠ACF＝45°，∴∠AFC＝112.5°.
如图是边长为10 cm的正方形铁片，过两个顶点剪掉一个三角形，以下四种剪法中，裁剪线长度所标的数据(单位：cm)不正确的是(　　)
如图，在正方形ABCD 中，△ABE 和△CDF 为直角三角形，∠AEB＝∠CFD＝90°，AE＝CF＝5，BE＝DF＝12，则EF 的长是(　　)A．7 B．8 C．7 D．7
如图，正方形ABCD 的边长为4，E 为BC 上的一点，BE＝1，F 为AB上的一点，AF＝2，P 为AC上一个动点，则PF＋PE 的最小值为________．
易错点：不能将两线段和转化为一条线段而致错
如图，正方形ABCD 的边长为9，将正方形折叠，使顶点D 落在BC 边上的点E 处，折痕为GH. 若BE∶EC＝2∶1，则线段CH 的长是(　　)A．3　　　 B．4　　　 C．5　　　 D．6
我们知道：四边形具有不稳定性.如图，在平面直角坐标系中，边长为2的正方形ABCD 的边AB 在x 轴上，AB 的中点是坐标原点O，固定点A，B，把正方形沿箭头方向推，使点D 落在y 轴正半轴上点D ′处，则点C 的对应点C ′的坐标为(　　)A．( ，1) B．(2，1)C．(1， ) D．(2， )
如图，四边形ABCD 是正方形，△EBC 是等边三角形．(1)求证：△ABE ≌△DCE；(2)求∠AED 的度数．
(1)∵四边形ABCD 是正方形， ∴AB＝BC＝CD，∠ABC＝∠DCB＝90°. ∵△EBC 是等边三角形， ∴EB＝BC＝EC， ∠EBC＝∠ECB＝∠BEC＝60°. ∴∠EBA＝∠ECD＝30°. 在△ABE 和△DCE 中， ∴△ABE ≌△DCE.
(2)由(1)可知，AB＝BE，∠ABE＝30°. ∴∠BAE＝∠BEA＝75°. 同理∠CDE＝∠CED＝75°. ∴∠AED＝360°－75°－75°－60° ＝150°.
如图，在正方形ABCD 中，E，F 分别为边AD 和CD上的点，且AE＝CF，连接AF，CE 交于点G. 求证：AG＝CG.
∵四边形ABCD 是正方形，∴∠ADF＝90°，AD＝CD.∵AE＝CF，∴DE＝DF.在△ADF 和△CDE 中，∴△ADF ≌△CDE (SAS)，∴∠DAF＝∠DCE.在△AGE 和△CGF 中，∴△AGE ≌△CGF (AAS)，∴AG＝CG.
如图，正方形ABCD 中，G 为BC 边上一点，BE⊥AG 于E，DF⊥AG 于F，连接DE.(1)求证：△ABE ≌△DAF；(2)若AF＝1，四边形ABED 的面积为6，求EF 的长．
(1)在正方形ABCD 中，AB＝AD，∠BAD＝90°， ∴∠BAE＋∠DAF＝90°. ∵BE⊥AG 于E，DF⊥AG 于F， ∴∠AEB＝∠DFA＝90°， ∠ADF＋∠DAF＝90°， ∴∠BAE＝∠ADF， ∴△ABE ≌△DAF (AAS)．
(2)∵△ABE ≌△DAF， ∴BE＝AF＝1，AE＝DF， 设AE＝DF＝x，∵S四边形ABED＝S△ABE＋S△ADE， ∴6＝ AE (BE＋DF )， ∴6＝ x (1＋x )， ∴x1＝3，x2＝－4(舍去)， ∴AE＝3， ∴EF＝AE－AF＝2.
如图，在正方形ABCD 中，点G 在对角线BD 上(不与点B，D 重合)，GE⊥DC 于点E，GF⊥BC 于点F，连接AG.(1)写出线段AG，GE，GF 长度之间的等量关系，并说明理由；(2)若正方形ABCD 的边长为1，∠AGF＝105°，求线段BG 的长．
(1)AG 2＝GE 2＋GF 2.理由如下：如图，连接GC， 由正方形的性质知AD＝CD，∠ADG＝∠CDG. 在△ADG 和△CDG 中， 所以△ADG ≌△CDG，所以AG＝CG. 由题意知∠GEC＝∠GFC＝∠DCB＝90°， 所以四边形GFCE 为矩形， CG 2＝CF 2＋GF 2，所以GE＝FC. 又因为AG＝CG， 所以AG 2＝GE 2＋GF 2.
(2)如图，作AH⊥BD 于点H， 由题意易知∠AGB＝60°，∠ABG＝45°， 所以∠BAH＝45°＝∠ABG，∠GAH＝30°， 所以AH＝BH，AG＝2HG. 因为AB＝1， 所以在Rt△ABH 中，由勾股定理可得AH＝BH＝ . 在Rt△AGH 中，由勾股定理可得HG＝ . 所以BG＝ .
正方形同时具备平行四边形、菱形、矩形的所有性质，因此，正方形的四个角都是直角，四条边都相等，对角线互相垂直平分且相等，每一条对角线平分一组对角，正方形是轴对称图形，有四条对称轴．这些性质为证明线段相等、垂直，角相等提供了重要的依据．