专题26以旋转为载体的几何综合问题 -挑战2023年中考数学压轴题之学霸秘笈大揭秘（教师版含解析）

挑战2023年中考数学压轴题之学霸秘笈大揭秘(全国通用)
专题26以旋转为载体的几何综合问题

【例1】(2022·山东济南·中考真题)如图1，△ABC是等边三角形，点D在△ABC的内部，连接AD，将线段AD绕点A按逆时针方向旋转60°，得到线段AE，连接BD，DE，CE．

(1)判断线段BD与CE的数量关系并给出证明；
(2)延长ED交直线BC于点F．
①如图2，当点F与点B重合时，直接用等式表示线段AE，BE和CE的数量关系为_______；
②如图3，当点F为线段BC中点，且ED＝EC时，猜想∠BAD的度数，并说明理由．
【答案】(1)BD=CE，理由见解析
(2)①BE=AE+CE；②∠BAD=45°，理由见解析

【分析】(1)利用等边三角形的性质和旋转的性质易得到△ABD≌△ACESAS，再由全等三角形的性质求解；
(2)①根据线段AD绕点A按逆时针方向旋转60°得到AE得到△ADE是等边三角形，
由等边三角形的性质和(1)的结论来求解；②过点A作AG⊥EF于点G，连接AF，根据等边三角形的性质和锐角三角函数求值得到∠BAF=∠DAG，AGAD=AFAB，进而得到△BAD∽△FAG，进而求出∠ADB=90°，结合BD=CE，ED＝EC得到BD=AD，再用等腰直角三角形的性质求解．
(1)
解：BD=CE．
证明：∵△ABC是等边三角形，
∴AB=AC，∠BAC=60°．
∵线段AD绕点A按逆时针方向旋转60°得到AE，
∴AD=AE，∠DAE=60°，
∴∠BAC=∠DAE，
∴∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC，
即∠BAD=∠CAE．
在△ABD和△ACE中
AB=AC∠BAD=∠CAEAD=AE，
∴△ABD≌△ACESAS，
∴BD=CE；
(2)
解：①BE=AE+CE
理由：∵线段AD绕点A按逆时针方向旋转60°得到AE，
∴△ADE是等边三角形，
∴AD=DE=AE，
由(1)得BD=CE，
∴BE=DE+BD=AE+CE；
②过点A作AG⊥EF于点G，连接AF，如下图．

∵△ADE是等边三角形，AG⊥DE，
∴∠DAG=12∠DAE=30°，
∴AGAD=cos∠DAG=32．
∵△ABC是等边三角形，点F为线段BC中点，
∴BF=CF，AF⊥BC，∠BAF=12∠BAC=30°，
∴AFAB=cos∠BAF=32，
∴∠BAF=∠DAG，AGAD=AFAB，
∴∠BAF+∠DAF=∠DAG+∠DAF，
即∠BAD=∠FAG，
∴△BAD∽△FAG，
∴∠ADB=∠AGF=90°．
∵BD=CE，ED＝EC，
∴BD=AD，
即△ABD是等腰直角三角形，
∴∠BAD=45°．
【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，解直角三角形，相似三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，理解相关知识是解答关键．
【例2】(2022·山东菏泽·中考真题)如图1，在△ABC中，∠ABC=45°,AD⊥BC于点D，在DA上取点E，使DE=DC，连接BE、CE．

(1)直接写出CE与AB的位置关系；
(2)如图2，将△BED绕点D旋转，得到△B'E'D(点B'，E'分别与点B，E对应)，连接CE'、AB'，在△BED旋转的过程中CE'与AB'的位置关系与(1)中的CE与AB的位置关系是否一致?请说明理由；
(3)如图3，当△BED绕点D顺时针旋转30°时，射线CE'与AD、AB'分别交于点G、F，若CG=FG,DC=3，求AB'的长．
【答案】(1)CE⊥AB，理由见解析
(2)一致，理由见解析
(3)53

【分析】(1)由等腰直角三角形的性质可得∠ABC=∠DAB=45°，∠DCE=∠DEC=∠AEH=45°，可得结论；
(2)通过证明△ADB'≅△CDE'，可得∠DAB'=∠DCE'，由余角的性质可得结论；
(3)由等腰直角的性质和直角三角形的性质可得AB'=3AD，即可求解．
【详解】(1)如图，延长CE交AB于H，

∵∠ABC=45°，AD⊥BC，
∴∠ADC=∠ADB=90°，∠ABC=∠DAB=45°，
∵DE=CD，
∴∠DCE=∠DEC=∠AEH=45°，
∴∠BHC=∠BAD+∠AEH=90°，
∴CE⊥AB；
(2)在△BED旋转的过程中CE'与AB'的位置关系与(1)中的CE与AB的位置关系是一致的，理由如下：
如图2，延长CE'交AB'于H，

由旋转可得：CD=DE'，B'D=AD，
∵∠ADC=∠ADB=90°，
∴∠CDE'=∠ADB'，
∵CDDE'=ADDB'=1，
∴△ADB'∼△CDE',
∴∠DAB'=∠DCE'，
∵∠DCE'+∠DGC=90°，∠DGC=∠AGH，
∴∠DAB'+∠AGH=90°，
∴∠AHC=90°，
∴CE'⊥AB'；
(3)如图3，过点D作DH⊥AB'于点H，

∵△BED绕点D顺时针旋转30°，
∴∠BDB'=30°,BD'=BD=AD，
∴∠ADB'=120°,∠DAB'=∠AB'D=30°，
∵DH⊥AB',AD=B'D，
∴AD=2DH，AH=3DH=B'H，
∴AB'=3AD，
由(2)可知：△ADB'∼△CDE'，
∴∠DAB'=∠DCE'=30°，
∵AD⊥BC，CD=3，
∴DG=1，CG=2DG=2，
∴CG=FG=2，
∵∠DAB'=30°,DH⊥AB'，
∴AG=2GF=4，
∴AD=AG+DG=4+1=5，
∴AB'=3AD=53．
【点睛】本题是三角形综合题，考查了等腰三角形的性质，直角三角形的性质，旋转的性质，相似三角形的判定和性质等知识，证明三角形相似是解题的关键．
【例3】(2022·内蒙古通辽·中考真题)已知点E在正方形ABCD的对角线AC上，正方形AFEG与正方形ABCD有公共点A．

(1)如图1，当点G在AD上，F在AB上，求2CE2DG的值为多少；
(2)将正方形AFEG绕A点逆时针方向旋转α(0°