2023商丘名校高二下学期第一次联考试题（开学考试）数学含解析

2022-2023学年下期第一次联考

高二数学试题

（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）

一､选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1.设函数，则（    ）

A.    B.    C.    D.0

2.下列三个数依次成等比数列的是（    ）

A.    B.    C.    D.

3.直线，当变动时，所有直线都通过定点（    ）

A.    B.    C.    D.

4.已知命题：方程表示焦点在轴上的椭圆，则使命题成立的充分不必要条件是（    ）

A.    B.

C.    D.

5.设函数在点附近有定义，且为常数，则（    ）

A.    B.

C.    D.

6.若成等差数列，而和都分别成等比数列，则的值为（    ）

A.16    B.15    C.14    D.12

7.如图，在斜棱柱中，与的交点为点，则（    ）

A.    B.

C.    D.

8.如图所示，某拱桥的截面图可以看作双曲线的图象的一部分，当拱顶到水面的距离为4米时，水面宽为米，则当水面宽度为米时，拱顶到水面的距离为（    ）

A.4米    B.米    C.米    D.米

9.设等差数列的前项和为，数列的前项和为，已知，若，则正整数的值为（    ）

A.9    B.8    C.7    D.6

10.函数的图象如图所示，为函数的导函数，下列排序正确的是（    ）

A.

B.

C.

D.

11.如图所示，三棱锥中，为等边三角形，平面.点在线段上，且，点为线段的中点，以线段的中点为坐标原点，所在直线分别为轴，过点作的平行线为轴，建立空间直角坐标系，则下列说法不正确的是（    ）

A.直线的一个方向向量为

B.点到直线的距离为

C.平面的一个法向量为

D.点到平面的距离为1

12.几何学中，把满足某些特定条件的曲线组成的集合叫做曲线族.点是椭圆族上任意一点，如图所示，椭圆族的元素满足以下条件：①长轴长为4；②一个焦点为原点；③过定点，则的最大值是（    ）

A.5    B.7    C.9    D.11

二､填空题全科试题免费下载公众号《高中僧课堂》（本大题共4小题，每小题5分，共20分）

13.已知向量为平面的法向量，点在内，则点到平面的距离为__________.

14.函数，则曲线在处的切线方程为__________.

15.图1为一种卫星接收天线，其曲面与轴截面的交线为抛物线的一部分.如图2，已知该卫星接收天线的口径米，深度米，信号处理中心位于焦点处，以顶点为坐标原点，建立如图2所示的平面直角坐标系，则该抛物线的标准方程为__________.

16.已知数列的前项和为，且，则__________.

三､解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤）

17.（本题满分10分）在平面直角坐标系中分别求以下方程.

（1）求过两直线：的交点，且斜率为2的直线的一般式方程；

（2）在中，已知，且，求顶点的轨迹方程.

18.（本题满分12分）

记为等差数列的前项和，已知.

（1）求的通项公式和；

（2）设数列的前项和为，求.

19.（本题满分12分）

如图，线段是圆柱的母线，是圆柱下底面的内接正三角形，.

（1）劣弧上是否存在点，使得平面若存在，求出劣弧的长度；若不存在，请说明理由.

（2）求平面和平面夹角的余弦值.

20.（本题满分12分）

已知动点到定点的距离比到直线的距离小2，设动点的轨迹为曲线.

（1）求曲线的方程；

（2）设是轴上的点，曲线与直线交于，且的面积为，求点的坐标.

21.（本题满分12分）

已知数列的前项和为，满足.

（1）求证：数列是等比数列，并求数列的通项公式；

（2）若不等式对任意的正整数恒成立，求实数的取值范围.

22.（本题满分12分）

已知椭圆，过动点的直线交轴于点，交于点（在第一象限），且是线段的中点，过点作轴的垂线交于另一点，连接并延长，交于点.

（1）设直线的斜率为的斜率为，证明：为定值；

（2）设直线的倾斜角为，求的最小值.

2022-2023学年下期第一次联考

高二数学参考答案

一､选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1.D

【解析】因为为常数，所以.故选D.

2.C

【解析】选项错误；选项错误.因为，所以依次成等比数列，选项正确.选项错误.故选.

3.A

【解析】直线可化为，表示过点，斜率为的直线，所

以所有直线都通过定点.故选A.

4.B

【解析】若方程表示焦点在轴上的椭圆，则，解得：.

所以成立的充要条件是：.结合四个选项可知：成立的充分不必要条件是

，故选.

5.C

【解析】由题意得，故选C.

6.D

【解析】成等差数列，，又与都分别成等比数列，.联立解得.故选.

7.A

【解析】，.故选A.

8.D

【解析】根据题意：，故，解得，即，

当水面宽度为米时，即时，，拱顶到水面的距离为.故选D.

9.A

【解析】设等差数列的公差为，

，所以，

则，所以，所以，

所以，

因为，所以，解得.故选A.

10.C

【解析】因为分别是函数在处的切线斜率，由图可知，又，

所以，故选C.

11.C

【解析】依题意，；若，

则，则，故A正确；

，故点到直线的距离，故B正确；

设为平面的法向量，则，即，令，则为平面的一个法向量，故错误；

而，故点到平面的距离，故D正确.故选C.

12.A

【解析】如图所示，设点所在椭圆的另一焦点为，则

.故选A.

二､填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）

13.    14.    15.    16.10240

13.【解析】，点到平面的距离为.

14.【解析】由题意，

故，

则曲线在处的切线方程为：，即：

15.【解析】设抛物线方程为，

依题意，代入得，

所以抛物线标准方程为.

16.【解析】由题意得，所以，解得，

又因为，于是，

因此数列是以为首项､2为公比的等比数列，

故，于是，

因此数列是以1为首项､1为公差的等差数列，

故，故，所以.

三､解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤）

17.【解析】

（1）由可得，

所以的交点为，

故过且斜率为2的直线的方程为即.

（2）根据正弦定理由可得，

设顶点的坐标为，则

，

因为构成三角形，故，

故轨迹方程为.

18.【解析】

（1）设等差数列的公差为，由得到，解得，

得.

（2）当时，

当时，

故

所以.（不求，直接求也得分）

19.【解析】

（1）如图过点作的平行线交劣弧于点，连接，

因为平面平面，则平面

同理可证平面，且平面平面

所以平面平面，又因为平面，所以平面

故存在点满足题意.

因为为底面的内接正三角形，

所以，即，

又因为，

所以的半径为，

所以劣弧的长度为.

（2）如图取的中点为，连接，以为轴，为轴，过作平行线为轴，建立空间直角坐标系，

又因为，设中点为.

故，

，易知平面的法向量

设平面的法向量为，

又因为

故即，

令得

易知平面和平面夹角为锐角，

所以平面和平面大角的余弦值为

20.【解析】

（1）依题意动点到定点的距离等于动点到直线的距离，

由抛物线的定义可知，动点的轨迹是以点为焦点，直线为准线的抛物线，所以曲线的方程为.

（2）联立方程，整理得.

设，则有.

于是.

设到直线的距离为，因为，

由点到直线的距离公式得.

又，所以，

于是.

解得或，.

故点的坐标为或.

21.【解析】

（1）①

②

①-②得，即，

变形可得，.

又，得

故数列是以-1为首项，为公比的等比数列，

由等比数列的通项公式可得，

.

（2）令，则.

.

当或时，，

当时，

又，

因为不等式对任意的正整数恒成立，

解得.

22.【解析】

（1）设直线，显然，

令，得，则，

因为是线段的中点，

所以，

所以，

又

所以为定值.

（2）联立，消去并整理得，

则，则，

根据韦达定理可得，所以，

所以，

所以，

由（1）知，，

所以直线的方程为，

联立，消去并整理得，

则，则，

根据韦达定理可得，

所以，

所以，

所以，

所以

，

因为，所以，当且仅当时取等号，

所以；即的最小值为.