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    2023浙江省名校协作体高二下学期开学联考适应性考试数学试题含解析
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    2023浙江省名校协作体高二下学期开学联考适应性考试数学试题含解析

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    2022学年第二学期浙江省名校协作体适应性试题
    高二年级数学学科
    一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
    1. 已知全集为,集,,则( )
    A. B. C. D.
    【答案】C
    【解析】
    【分析】根据一元二次不等式的解法及补集的运算可得,再根据并集的运算求解即可.
    【详解】,
    ∴.
    ∴.
    故选:C.
    2. 若随机事件A,B互斥,A,B发生的概率均不等于0,且,,则实数a的取值范围是(  )
    A. B. C. D.
    【答案】D
    【解析】
    【分析】根据互斥事件的知识列不等式,由此求得的取值范围.
    【详解】由于互斥,且发生的概率均不为,
    所以,解得,
    所以的取值范围是.
    故选:D
    3. 设复数满足,则在复平面内对应的点位于( )
    A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
    【答案】D
    【解析】
    【分析】先利用复数的运算得到,利用题意可得到,则,即可得到答案
    【详解】因为,
    所以可得,解得,
    所以,对应点为,位于第四象限,
    故选:D
    4. 如图所示的是函数的图像,则函数可能是( )

    A. B. C. D.
    【答案】C
    【解析】
    【分析】由图象确定函数的性质,验证各选项是否符合要求即可.
    【详解】由图可知:是非奇非偶函数,且在y轴右侧,先正后负.
    若,则,所以函数为偶函数,
    与条件矛盾,A错,
    若,则,所以函数为奇函数,与条件矛盾,B错,
    若,则,
    当时,,与所给函数图象不一致,D错,
    若,则,
    当时,,
    又, ,所以函数为非奇非偶函数,与所给函数图象基本一致,
    故选:C.
    5. 已知为单位向量,则“”是“存在,使得”的( )
    A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件
    C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
    【答案】B
    【解析】
    【分析】对于前者是否能推出后者,我们举出反例即可,对于后者是否推前者,由后者可得共线且同方向,则,即后者能推出前者,最后即可判断.
    【详解】若,则,但此时不存在,使得,
    故不存在,使得,故前者无法推出后者,
    若存在,使得,则共线且同方向,
    此时,故后者可以推出前者,
    故“”是“存在,使得的必要不充分条件”,
    故选:B.
    6. 已知,,,则a,b,c的大小关系为( )
    A. B.
    C. D.
    【答案】D
    【解析】
    【分析】对已知等式两边分别取对数求出a,b,c,然后通过换底公式并结合基本不等式比较a,b的大小,从而得到a,b,c的大小关系.
    【详解】分别对,,两边取对数,得,,.

    由基本不等式,得:

    所以,
    即,所以.
    又,所以.
    故选:D.
    7. 已知抛物线,F是抛物线C的焦点,M是抛物线C上一点,O为坐标原点,,的平分线过FM的中点,则点M的坐标为( )
    A. B. C. D.
    【答案】A
    【解析】
    【分析】
    设线段FM的中点为Q,作轴于点N,轴于点,交C的准线l于点,
    则,故,过点Q作于点T,可得重合,设可得出的坐标满足,再与抛物线方程联立,可求出的坐标.
    【详解】设线段FM的中点为Q,作轴于点N,轴于点,交C的准线l于点,
    则,故.
    过点Q作于点T,由是的角平分线.
    则,由垂线段的唯性知,重合,
    可得,则M在以线段PF为直径的圆上.设,
    则由,得,将代入得
    ,易知,所以,即,
    得,所以.故M的坐标为.
    故选:A

    【点睛】本题考查抛物线的方程与几何性质、圆的方程、角平分线的性质定理等知识,考查数形结合思想、化归与转化思想,属于中档题.
    8. 设数列满足,则下列结论中不可能的是( )
    注:和分别表示,,…中的最小值和最大值.
    A. 数列从某一项起,均有
    B. 数列从某一项起,均有
    C. 数列从某一项起,均有
    D. 数列从某一项起,均有
    【答案】D
    【解析】
    【分析】考虑,,,,,几种情况,计算出数列,再对比选项得到答案.
    【详解】当,时,,,,;
    当,时,,,,;
    当,时,,,,
    ,,,,AC可能;
    当,时,,,,,,,,,AC可能;
    当,时,,,,,;
    当,时,,,,,, ,,B可能;
    故选:D.
    【点睛】分类讨论的取值情况是本题的关键
    二、多选题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求,全部选对的得5分,选对但不全的得2分,有选错的或不选的得0分.
    9. 若直线与圆相切,则下列说法正确的是( )
    A. B. 数列等比数列
    C. 数列的前10项和为23 D. 圆不可能经过坐标原点
    【答案】AC
    【解析】
    【分析】先求得圆心和半径,根据点到直线的距离公式、等差等比数列、圆等知识进行分析,从而确定正确答案.
    【详解】圆的圆心为,半径,
    由直线与圆相切得,,
    ∴,,
    ∴是首项为,公差为的等差数列,
    前10项和为;
    令,解得,此时圆C经过坐标原点.
    综上所述,AC选项正确,BD选项错误.
    故选:AC
    10. 如图,正方体的棱长为,,,分别为,,的中点,则( )

    A. 直线与直线垂直
    B. 直线与平面平行
    C. 平面截正方体所得的截面面积为
    D. 点与点到平面的距离相等
    【答案】BC
    【解析】
    【分析】(1)利用空间向量的坐标运算确定直线与直线的位置关系;(2)根据面面平行来证明线面平行;(3)先根据四点共面确定截面,进而算截面面积;(4)利用等体积法思想证明求解.
    【详解】对于选项A,以点为坐标原点,
    ,,所在的直线分别为,,轴,建立空间直角坐标系,

    则,,,.
    从而,,
    从而,所以直线与直线不垂直,选项错误;
    对于选项,取的中点为,连接,,则易知,

    又平面,平面,故平面,
    又,平面,平面,
    所以平面,
    又,,平面,
    故平面平面,
    又平面,从而平面,选项正确;
    对于选项C,连接,,如图所示,

    ∵正方体中,∴,,,四点共面,
    ∴四边形为平面截正方体所得的截面四边形,且截面四边形为梯形,
    又由勾股定理可得,,,
    ∴梯形为等腰梯形,高为,
    ∴,选项C正确;
    对于选项D,由于,,
    而,,
    ∴,即,
    点到平面的距离为点到平面的距离的2倍,选项错误.
    故选:BC.
    11. 已知定义在上的奇函数,且当时,,则( )
    A. B. 有三个零点
    C. 在上为减函数 D. 不等式的解集是
    【答案】ABC
    【解析】
    【分析】令求解判断A;由题得在上是减函数,进而结合奇函数性质,结合函数图像平移变换判断BC;令,进而得,函数在均为单调递减函数,再分,,,,五种情况讨论求解即可.
    【详解】解:令,得,所以,选项A正确.
    ,且,则,,
    所以,,
    所以在上是减函数,
    又为上的奇函数,,
    所以有三个零点,将的图像向右平移2个单位长度得到的图像,
    所以有三个零点,选项B正确.
    由于为奇函数,所以在上也是减函数,选项C正确.
    由于的图像向右平移2个单位长度得到的图像,即,
    则,函数在均为单调递减函数,
    所以,当时,;时,;
    当时,;时,;
    所以,
    所以,当时,;时,;时,;
    当时,;时,.
    所以,不等式的解集是,故D错误.
    故选:ABC.
    12. 已知直线l:与椭圆交于A,B两点,点为椭圆的右焦点,则下列结论正确的是( )
    A. 当时,存在使得
    B. 当时,的最小值为
    C. 当时,存在使得
    D. 当时,的最小值为
    【答案】ABC
    【解析】
    【分析】联立,消去并整理得,由,得,设、,得到和,对于A,当时,直线过左焦点,求出,由以及,求出,可知A正确;对于B,当时,得到,利用换元法可求出取最小值,故B正确;对于C,当时,求出,可知C正确;对于D,当时,求出的最小值为,可知D不正确.
    【详解】由得,所以,
    联立,消去并整理得,
    ,即,
    设、,
    则,,
    所以

    对于A,当时,过椭圆的左焦点,
    此时,
    若,则由,得,
    所以,解得,,
    所以存在,使得,故A正确;
    对于B,当时,,,
    所以


    令,则,
    则,
    因为,所以当,即,时,取最小值,故B正确;
    对于C,当时,,此时存在使得,故C正确;
    对于D,当时,,

    所以


    因为且,所以,所以,
    所以当时,取最小值,.故D不正确.
    故选:ABC
    【点睛】方法点睛:利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下:
    (1)设直线方程,设交点坐标为;
    (2)联立直线与圆锥曲线的方程,得到关于(或)的一元二次方程,必要时计算;
    (3)列出韦达定理;
    (4)将所求问题或题中的关系转化为、(或、)的形式;
    (5)代入韦达定理求解.
    三、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.把答案填在答题卡中的横线上.
    13. 若函数在区间上单调递增,写出满足条件的一个的值__________.
    【答案】(答案不唯一)
    【解析】
    【分析】利用三角恒等变换公式化简函数,再借助正弦型函数性质推理作答.
    【详解】依题意,,
    当时,,因函数在区间上单调递增,
    而函数上单调递增,因此,,
    于是得:,,解得,
    取,得.
    故答案为:(答案不唯一)
    14. 把一个骰子连续抛掷两次,得到的点数依次为,,则使得关于的方程有2个互不相等的实数根的概率为________.
    【答案】
    【解析】
    【分析】依据古典概型去求解即可解决.
    【详解】若方程有2个互不相等的实数根,则,
    一个骰子连续抛掷两次,得到的点数依次为,,记为,所有可能共36种,
    其中满足题意的有,,,,,,,,,,,,,,,,,共17种.
    故使得关于的方程有2个互不相等的实数根的概率为.
    故答案为:
    15. 已知,则的最大值为________.
    【答案】##
    【解析】
    【分析】根据题意得,设,所以,所以,求出的范围,所以,分析求最值即可.
    【详解】,所以,
    当时,设,
    代入,则有,看成关于的一元二次方程,
    若方存在,则关于的一元二次方程必须有解,
    所以判别式或,
    所以或
    又函数在上单调递增,
    所以

    当且仅当时取得等号,此时,;
    当时,,此时;
    所以的最大值为.
    故答案为:.
    【点睛】求函数最值和值域的常用方法:
    (1)单调性法:先确定函数的单调性,再由单调性求最值;
    (2)图象法:先作出函数的图象,再观察其最高点、最低点,求出最值;
    (3)基本不等式法:先对解析式变形,使之具备“一正二定三相等”的条件后用基本不等式求出最值;
    (4)导数法:先求导,然后求出在给定区间上的极值,最后结合端点值,求出最值;
    (5)换元法:对比较复杂的函数可通过换元转化为熟悉的函数,再用相应的方法求最值.
    16. 已知及其边上的一点满足,,且以,为焦点可以作一个椭圆同时经过,两点,求椭圆的离心率______.
    【答案】
    【解析】
    【分析】利用椭圆定义,结合余弦定理、椭圆的离心率公式进行求解即可.
    【详解】设,所以,
    设该椭圆长半轴长为,由椭圆的定义可知:

    所以,,
    在中,显然有,
    所以,
    设,
    由余弦定理可知:

    因此椭圆的焦距为,
    所以椭圆的离心率为:,
    故答案为:
    【点睛】关键点睛:利用椭圆的定义、余弦定理是解题的关键.
    四、解答题:本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
    17. 已知数列满足,数列为等差数列,,前4项和.
    (1)求数列,的通项公式;
    (2)求和:.
    【答案】(1),;
    (2).
    【解析】
    【分析】(1)根据等比数列的定义,结合等差数列的基本量,即可容易求得数列,的通项公式;
    (2)根据(1)中所求,构造数列,证明其为等比数列,利用等比数列的前项和即可求得结果.
    【小问1详解】
    因为数列满足,
    故可得数列为等比数列,且公比,则;
    数列为等差数列,,前4项和,设其公差为,
    故可得,解得,则;
    综上所述,,.
    【小问2详解】
    由(1)可知:,,故,
    又,又,则是首项1,公比为的等比数列;
    则.
    18. 新型冠状病毒感染的肺炎治疗过程中,需要某医药公司生产的某种药品.此药品的年固定成本为250万元,每生产千件需另投入成本为.当年产量不足80千件时,(万元).当年产量不小于80千件时,(万元).每件商品售价为0.05万元,在疫情期间,该公司生产的药品能全部售完.
    (Ⅰ)写出年利润(万元)关于年产量(千件)的函数解析式;
    (Ⅱ)该公司决定将此药品所获利润的用来捐赠防疫物资.当年产量为多少千件时,在这一药品的生产中所获利润最大?此时可捐赠多少万元的物资款?
    【答案】(Ⅰ);(Ⅱ)当年产量为100千件时,该厂在这一药品生产中所获利润最大,可捐赠10万元物资款.
    【解析】
    【分析】
    (Ⅰ)根据题意得千件药品销售额为万元,进而得;
    (Ⅱ)当时,由二次函数性质得当时,取得最大值万元,当时,由基本不等式得当时,取得最大值1000万元,进而得年产量为100千件时,该厂在这一药品生产中所获利润最大,可捐赠10万元物资款.
    【详解】(Ⅰ)因为每件药品售价为0.05万元,则千件药品销售额为万元,
    依题意得:
    当时,.
    当时,.
    所以.
    (Ⅱ)当时,.
    此时,当时,取得最大值万元.
    当时,.
    此时,即时,取得最大值1000万元.
    由于,所以当年产量为100千件时,该厂在这一药品生产中所获利润最大,
    此时可捐赠10万元物资款.
    【点睛】关键点点睛:本题考查数学应用题,解决问题的关键是根据题意,建立数学模型,将实际问题数学化,再根据数学二次函数最值与基本不等式的知识求解得答案,最后回归实际应用问题,作答,考查知识迁移应用能力,数学建模能力,是中档题.
    19. 如图,在以A,B,C,D,E,F为顶点的六面体中(其中平面EDC),四边形ABCD是正方形,平面ABCD,,且平面平面 .

    (1)设 为棱 的中点,证明:四点共面;
    (2)若,求平面与平面的夹角的余弦值.
    【答案】(1)见解析 (2)
    【解析】
    【分析】(1)根据线面垂直以及面面垂直性质证明平面,平面,进而证明,即可求解,
    (2)建立空间直角坐标系,根据平面法向量以及向量的夹角即可求解平面夹角.
    【小问1详解】
    连接,由于四边形ABCD是正方形,所以,
    又平面,平面,所以 ,
    平面,所以平面,
    由于为棱的中点,,所以 ,
    又平面平面,平面平面,平面,
    所以平面 ,
    因此,所以四点共面,

    【小问2详解】
    由于两两垂直,故建立如图所示的空间直角坐标系,
    ,,设,
    由(1)知,故,解得,故,
    ,
    设平面,的法向量分别为则
    即,取,则 ,
    即,取,则 ,
    设平面与平面的夹角为,则
    20. 已知函数为偶函数.
    (1)求实数a的值;
    (2)判断的单调性,并证明你的判断;
    (3)是否存在实数,使得当时,函数值域为.若存在,求出的取值范围;若不存在说明理由.
    【答案】(1);(2)在上为增函数,在上为减函数,证明见解析;(3)存在,.
    【解析】
    【分析】
    (1)由偶函数的定义即可求得a的值;
    (2)用函数单调性的定义即可判断并证明;
    (3)假设存,根据题意列出方程,解出即可.
    【详解】(1)函数为偶函数,

    即,

    (2)当时,,
    则函数在上为增函数,在上为减函数,
    证明:设,
    则,

    ,,

    即,
    故在上为增函数;
    同理可证在上为减函数;
    (3)函数在上为增函数,
    若存在实数,使得当时,
    函数的值域为,
    则满足,即,
    即m,n是方程的两个不等的正根,
    则满足,
    解得,
    故存在,使得结论成立.
    【点睛】易错点点睛: ,所以m,n是方程的两个不等的正根,注意.
    21. 中,,是边上的点,,且.
    (1)若,求面积的取值范围;
    (2)若,,平面内是否存在点,使得?若存在,求;若不存在,说明理由.
    【答案】(1);
    (2).
    【解析】
    【分析】(1)根据条件可得,建立平面直角坐标系,从而可得在一个定圆上运动变化,从而可求的边上的高的范围,故可得面积的取值范围.
    (2)根据题设条件可判断该三角形为直角三角形,利用正弦定理和余弦定理可求的值.
    小问1详解】
    由面积公式可得:


    因为,故,
    由可得即,
    建立如图所示的平面直角坐标系,则 ,则,

    则,整理得到:,
    故的边上的高的范围为,故其面积的取值范围为:
    【小问2详解】

    因为,故,故,
    故为直角三角形且
    如图,设,则,故,
    同理,
    故,而,故,
    在中,由余弦定理可得:,
    整理得到:
    所以,
    整理得到:,解得或,
    但为锐角,故,故
    故存在且.
    22. 已知椭圆的左、右顶点分别为、,上、下顶点分别为、,记四边形的内切圆为,过椭圆上一点T引圆的两条切线(切线斜率存在且不为0),分别交椭圆于点P、Q.
    (1)试探究直线TP与TQ斜率之积是否为定值,并说明理由;
    (2)记点O为坐标原点,求证:P、O、Q三点共线.
    【答案】(1)直线TP与TQ斜率之积为定值,理由见解析
    (2)证明过程见解析
    【解析】
    【分析】(1)先求出:,不妨取,则,利用点到直线距离等于半径,得到,得到,将代入可得直线TP与TQ斜率之积为;
    (2)设直线,得到,直线与椭圆联立,根据韦达定理得到,同理设出直线,联立后得到,从而,同理可得,证明出P、O、Q三点共线.
    【小问1详解】
    由题意得:,
    直线方程为,即,
    原点到直线的距离为,
    故内切圆的半径为,由对称性可知圆心为,
    所以:,
    不妨取,则,
    此时切线方程为,
    则,
    整理得:,
    设过点引圆的两条切线斜率分别为,
    则,
    由得:,将其代入上式中,

    故直线TP与TQ斜率之积为;
    【小问2详解】
    设直线,
    则,解得:,
    与椭圆联立得:,
    设,则,
    将代入,可得:,
    设直线,
    则,整理得:,
    与椭圆联立得:,
    设,则,
    将代入可得:,
    显然,
    设直线,则,解得:,
    与椭圆联立得:,
    设,则,
    将代入得:,
    设直线,则,解得:,
    与椭圆联立得:,
    设,则,
    将代入得:,
    故,
    所以P、O、Q三点共线.
    【点睛】定值问题常见方法:(1)从特殊入手,求出定值,再证明这个值与变量无关;
    (2)直接推理计算,并在计算推理的过程中消去变量,从而得到定值.

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