2022-2023学年河南省商丘名校高二下学期期末联考数学试题含答案

2022-2023学年河南省商丘名校高二下学期期末联考数学试题

一、单选题

1．已知集合，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】先化简集合B，再利用集合的并集运算求解.

【详解】解：由，即，解得，

所以，

所以．

故选：A．

2．函数的图象在点处的切线方程为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】根据函数在某点处的切线方程求解步骤，可得答案.

【详解】，，，易得切线方程为，

故选：C．

3．北斗七星自古是我国人民辨别方向判断季节的重要依据，北斗七星分别为天枢、天璇、天玑、天权、玉衡、开阳、摇光，其中玉衡最亮，天权最暗．一名天文爱好者从七颗星中随机选三颗进行观测，则玉衡和天权都未被选中的概率为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】根据题意，由古典概型的概率计算公式，即可得到结果.

【详解】玉衡和天权都没有被选中的概率为，

故选：D．

4．“”是“”的（    ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】A

【分析】根据充分必要条件的定义判断．

【详解】，充分性成立，，时无意义，不成立，必要性不成立，因此应是充分不必要条件．

故选：A．

【点睛】本题考查充分必要条件的判断，解题时需判断两个命题的真假．

5．设随机变量，其中，则的值为（    ）

A．0 B． C．1 D．的不确定值

【答案】C

【分析】根据正态分布曲线的对称性，可得，可得答案.

【详解】由题正态曲线关于直线对称，因为，，

根据对称性可得，即，

故选：C．

6．现有完全相同的甲，乙两个箱子（如图），其中甲箱装有2个黑球和4个白球，乙箱装有2个黑球和3个白球，这些球除颜色外完全相同．某人先从两个箱子中任取一个箱子，再从中随机摸出一球，则摸出的球是黑球的概率是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据条件概率的定义，结合全概率公式，可得答案.

【详解】记事件A表示“球取自甲箱”，事件表示“球取自乙箱”，事件B表示“取得黑球”，

则，

由全概率公式得．

故选：B．

7．代数式的展开式中的系数为（    ）

A．20 B． C．10 D．

【答案】A

【分析】利用，结合二项展开式的通项分析.

【详解】，

故需要求展开式中的和的系数，

则含的项应为：，

所以系数为.

故选：A

8．已知，则（    ）

A．2 B．3 C． D．

【答案】C

【分析】根据题意，构造函数，由其单调性可得，然后代入计算，即可得到结果.

【详解】由题意可知，，

可设，则，

即单调递增，

由，

由，

所以，

于是有，又，

故，

所以，

故选：C．

二、多选题

9．某服装公司对1-5月份的服装销量进行了统计，结果如下：

若与线性相关，其线性回归方程为，则下列说法正确的是（    ）

A．线性回归方程必过 B．

C．相关系数 D．6月份的服装销量一定为272.9万件

【答案】AB

【分析】对于A，由回归直线过样本中心点判断，对于B，将样本中心点代入回归方程求解，对于C，由的值分析判断，对于D，将代入回归方程求解.

【详解】对于A，因为，所以线性回归方程必过，所以A正确；

对于B，由线性回归直线必过，所以，解得，所以B正确；

对于C，因为，所以相关系数，所以C错误；

对于D，当时，，所以可预测6月份的服装销量约为272.9万件，所以D错误．

故选：AB．

10．若在定义域上不单调，则实数的值可能是（    ）

A． B． C． D．

【答案】CD

【分析】设，由题意可知，在上有两个零点，根据二次函数的零点分布可得出关于实数的不等式组，由此可解得实数的取值范围，即可得出合适的选项.

【详解】由，则可知在上有变号零点，

设，则函数有两个零点，设其零点分别为、，则，

又因为、至少一个为正数，从而可知、都为正数，且，

因为，则只要，解得，

故选：CD.

11．通过随机询问相同数量的不同性别的大学生在购买食物时是否看营养说明，得知有的男大学生“不看”，有的女大学生“不看”，若有的把握认为性别与是否看营养说明之间有关，则调查的总人数可能为（    ）

附：，其中．

A．150 B．170 C．192 D．210

【答案】CD

【分析】设男女大学生各有人，依题意得到列联表，计算出卡方，即可得到不等式，解得的取值范围，即可判断.

【详解】设男女大学生各有人，根据题意画出列联表，如下图：

所以，

因为有的把握认为性别与对产品是否满意有关，所以，解得，结合选项，可知CD符合题意．

故选：CD

12．已知，且，则下列不等式一定成立的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】ACD

【分析】对于AB，利用基本不等式结合分析判断即可，对于C，由指数函数的单调性分析判断，对于D，先利用基本不等式求出的最小值，再利用基本不等式可求得结果.

【详解】对于A，因为，且，所以，当且仅当时等号成立，故A正确；

对于B，，故，

当且仅当时等号成立，故B不正确；

对于C，，所以，故C正确；

对于D，因为，

当且仅当时取等号，所以，

当且仅当时取等号．故D正确；

故选：ACD．

三、填空题

13．将6本不同的书分成两堆，每堆至少两本，则不同的分堆方法共有         种．

【答案】25

【分析】由题意可得，有两种分组方法，然后分别计算，即可得到结果.

【详解】由题知，共有两种分法：这种分法数为种；这种分法数为种，所以，共有25种．

故答案为：

14．函数的最大值为          ．

【答案】1

【分析】根据题意，求导得到其极大值，即最大值，即可得到结果.

【详解】易知时，时，，

在单增，单减，则在取得极大值，即最大值，

．

故答案为：

15．若命题“函数无极值”为真命题，则实数的取值范围是         ．

【答案】

【分析】因为，无极值，则可得恒成立，即可求解.

【详解】，因为函数无极值，

所以方程恒成立，

所以只需，解得，即．

故答案为：

16．已知函数，若且，则最小值是        ．

【答案】/

【分析】根据题意，求导得到与相切并且与平行的直线方程，然后代入计算，即可得到结果.

【详解】  

由得，令得，得切点坐标，

则可得切线方程为，即，

再令，得，于是符合题意的，因此：．

故答案为：.

四、解答题

17．已知函数．

(1)当时，求不等式的解集；

(2)当时，不等式恒成立，求实数的取值范围．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）由得到求解；

（2）将时，不等式恒成立，转化为对都成立求解.

【详解】（1）解：当时，得，

解得或，

所以此不等式的解集为．

（2）当时，不等式恒成立，

可得对都成立，

由于，当且仅当即时等号成立，

所以，即，

故实数的取值范围是．

18．已知函数在内有且只有一个零点．

(1)求；

(2)求曲线在点处的切线方程．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）求函数的导数，根据参数的取值范围，分类讨论函数的单调性，由题意，建立方程，可得答案；

（2）根据函数在某点处的切线方程的步骤，可得答案.

【详解】（1）由题得，

当时，当时，，

函数在区间内单调递增，且，

所以函数在内无零点；

当时，当时，，当时，，

则在区间内单调递减，在区间内单调递增．

故只需，解得．

（2）由（1）可知，，

由，所以切点为，又，

故切线方程为，

化简得：.

19．为加强环境保护，治理空气污染，环境监测部门对某市空气质量进行调研，随机抽查了100天空气中的PM2.5和浓度（单位：），得下表：

(1)估计事件“该市一天空气中PM2.5浓度不超过75，且浓度不超过150”的概率；

(2)根据所给数据，完成下面的列联表：

并依据小概率值的独立性检验，能否推断该市一天空气中PM2.5浓度与浓度有关？

附：，

【答案】(1)

(2)列联表见解析，有关

【分析】（1）根据题意，由古典概型概率公式，代入计算，即可得到结果；

（2）根据题意，得到列联表，通过计算，即可判断.

【详解】（1）根据抽查数据，该市100天空气中的PM2.5浓度不超过75，且浓度不超过150的天数为，因此该市一天空气中PM2.5浓度不超过75，且浓度不超过150的概率的估计值为．

（2）根据抽查数据，可得列联表：

零假设为：该市一天空气中PM2.5浓度与浓度无关．由列联表中的数据得：．

由于，所以依据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，即认为该市一天空气中PM2.5浓度与浓度有关．

20．已知函数．

(1)求函数的最小值；

(2)若函数有个极值点，求实数的取值范围．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）利用导数分析函数的单调性，即可求得函数的最小值；

（2）求得，令，分析可知直线与的图象有个交点，利用导数分析函数的单调性与极值，数形结合可得出实数的取值范围，再结合极值点的定义验证即可.

【详解】（1）解：因为，且该函数的定义域为，所以，

当时，，单调递减，

当时，，单调递增，

所以当时，函数取得最小值．

（2）解：函数的定义域为，，

设，则，由，得，列表如下：

当时，；当时，.

作出函数与的大致图象，如图，

当时，直线与的图象有个交点，

设这两个交点的横坐标分别为、，且，

数形结合可知：当或时，，

当时，，此时函数有个极值点．

所以的取值范围是.

【点睛】方法点睛：利用导数解决函数零点问题的方法：

（1）直接法：先对函数求导，根据导数的方法求出函数的单调区间与极值，根据函数的基本性质作出图象，然后将问题转化为函数图象与轴的交点问题，突出导数的工具作用，体现了转化与化归思想、数形结合思想和分类讨论思想的应用；

（2）构造新函数法：将问题转化为研究两函数图象的交点问题；

（3）参变量分离法：由分离变量得出，将问题等价转化为直线与函数的图象的交点问题.

21．某校开展“学习二十大，永远跟党走”网络知识竞赛．每人可参加多轮答题活动，每轮答题情况互不影响、每轮比赛共有两组题，每组都有两道题，只有第一组的两道题均答对，方可进行第二组答题，否则本轮答题结束．已知甲同学第一组每道题答对的概率均为，第二组每道题答对的概率均为，两组题至少答对3题才可获得一枚纪念章．

(1)记甲同学在一轮比赛中答对的题目数为，请写出的分布列，并求；

(2)若甲同学进行了4轮答题，求甲同学恰好获得2枚纪念章的概率．

【答案】(1)分布列见解析，

(2)

【分析】（1）先确定的可能取值，再求取各值的概率，由此可得分布列，利用期望公式求；

（2）先求甲同学每一轮获得纪念章的概率，进而可得，结合独立重复试验概率公式求甲同学恰好获得2枚纪念章的概率.

【详解】（1）由题意，X可取0，1，2，3，4．

，

，

，

，

，

则的分布列为：

．

（2）每一轮获得纪念章的概率为，

设4轮答题获得纪念章的数量为，则，

，

即甲同学则获得2枚纪念章的概率是．

22．已知函数．

(1)讨论函数的单调性；

(2)若关于的方程有两个相异实根，求实数的取值范围．

【答案】(1)答案见解析

(2)

【分析】（1）先求函数的定义域，再对函数求导，然后分，两种情况讨论导数的正负，从而可求出函数的单调区间；

（2）方程要化为，令，则可得关于的方程有两个不等的实根，即有两个不等的实根，令，利用导数求出其单调区间，画出图象结合图象求解即可.

【详解】（1）定义域为，

由，得，

①当时，恒有，得在上单调递减；

②当时，由，得，在上，有单调递增；

在上，有单调递减．

综上可得：当时，在上单调递减；当时，在上单调递增，在上单调递减；

（2）方程可化为，

即．

令，易知函数在上单调递增，

结合题意，关于的方程有两个不等的实根．

又因为不是方程的实根，所以方程可化为．

令，则．

易得函数在和上单调递减，在上单调递增．

数形结合可知，实数的取值范围是．

【点睛】关键点点睛：此题考查导数的综合应用，考查利用导数求解函数的单调性，考查利用导数解决函数零点问题，解题的关键是将问题转化为的方程有两个不等的实根，其中，再次转化为的图象与直线有两个不同的交点问题，然后利用图象求解即可，考查数学转给思想和计算能力，属于较难题.