2023上海闵行区高三上学期一模试题（1月）数学含解析

数学练习卷

一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分）同学们应在答题纸的相应位置直接填写结果．

1. 若集合，，则______．

【答案】

【解析】

【分析】先解得集合，再根据交集的运算即可求得.

【详解】集合，

因为，所以，

故答案为：.

2. 若x满足（其中i为虚数单位），则x＝______．

【答案】##

【解析】

【分析】根据复数除法计算求解.

【详解】由可得，

故答案为：

3. 双曲线的离心率为______．

【答案】

【解析】

【分析】由双曲线的标准方程求得，从而求得双曲线的离心率.

【详解】因为双曲线，

所以，则，

所以双曲线的离心率为.

故答案为：

4. 在中，已知边，角，，则边______．

【答案】

【解析】

【分析】利用正弦定理即可得解.

【详解】因为在中，，，，

所以由正弦定理得，即，解得，

所以.

故答案为：.

5. 已知正实数x、y满足，，则______．

【答案】

【解析】

【分析】根据指对互化求，再根据指数运算求解.

【详解】，所以.

故答案为：

6. 将一颗骰子连掷两次，每次结果相互独立，则第一次点数小于3且第二次点数大于3的概率为______．

【答案】

【解析】

【分析】利用古典概型的概率求法，先求出总的基本事件的件数，再列举出满足条件的基本事件，从而得解.

【详解】依题意，将一颗骰子连掷两次的基本事件的件数为，

而第一次点数小于3且第二次点数大于3（记为事件）的基本事件有，共6件，

所以.

故答案为：.

7. 如图，对于直四棱柱，要使，则在四边形中，满足的条件可以是______．（只需写出一个正确的条件）

【答案】（只要使得即可）.

【解析】

【分析】利用线面垂直的判定定理及线面垂直的定义可得出结论.

【详解】连接，如下图所示：

因为平面，平面，则，

若，，、平面，平面，

平面，.

故答案为：（只要使得即可）.

8. 若曲线和直线的某一条平行线相切，则切点的横坐标是______．

【答案】1

【解析】

【分析】对函数求导得，令，求解即可.

【详解】解：因为，

所以，

又因为直线的斜率为，

所以，

解得：，

即切点的横坐标为：1.

故答案为：1

9. 已知二次函数的值域为，则函数的值域为______．

【答案】

【解析】

【分析】由二次函数的值域为，分析求出参数，然后代入中求出值域即可

【详解】由二次函数的值域为得：

解得：或（舍去）

所以

因为

所以函数的值域为：

故答案为：.

10. 已知、是圆上的两个不同的动点，且，则的最大值为______．

【答案】

【解析】

【分析】由已知，根据题意，写出圆的参数方程，然后将A、B两点坐标表示成参数方程形式，并根据的关系，找到两个点参数形式的角度关系，然后带入求解的式子，利用三角函数化简即可求解最大值.

【详解】由已知，圆的参数方程为：（为参数），

因为、是圆上的两个不同的动点，

可令（），（），且，

所以、，

由可得：，

又因为，所以，

所以

所以，当时，取得最大值.

故答案为：.

11. 已知函数在区间上的值域为，且，则的值为______．

【答案】##

【解析】

【分析】根据函数值域满足，结合正弦函数的图象可知时满足题意，得解.

【详解】，令，

,,

，作出函数的图象，如图，

由图可知，以为中心，当变大时，若，函数最大值，最小值，不满足，若时，函数最大值，所以只需要确定函数最小值，因为，需函数最小值为，所以当时，即时，

函数值域为，满足，当时，函数最小值，此时不满足， 综上.

故答案为：.

12. 已知平面向量、、和实数满足，，，则的取值范围是______．

【答案】

【解析】

【分析】根据，可得，利用平面直角坐标系取则，设，结合已知条件可得，，利用平面向量的坐标运算可得，故可得的取值范围.

【详解】解：因为，所以，

则，所以，于是有，

因为，所以

则如图所示，在平面直角坐标系中，

则，设，

因，所以，则，即，

因为，所以

则，即，解得，

则

因为

所以在上单调递减，在上单调递增

所以，当时，，当时，，所以

故的取值范围是.

故答案为：.

二、选择题（本大题共有4题，全科免费下载公众号《高中僧课堂》满分18分，第13、14题每题4分，第15、16题每题5分）每题有且只有一个正确选项，同学们应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑．

13. 下列不等式中，解集为的是（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】对于ABD，举反例排除即可；

对于C，利用分式不等式的解法求解即可.

【详解】对于A，令，则，满足，所以其解集不为，故A错误；

对于B，令，则，满足，所以其解集不为，故B错误；

对于D，令，则，满足，所以其解集不为，故D错误；

对于C，由得，

即，解得，故其解集为，故C正确.

故选：C.

14. “”是“的二项展开式中存在常数项”的（    ）

A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件

C. 充要条件 D. 既非充分也非必要条件

【答案】A

【解析】

【分析】计算二项展开式中存在常数项的等价条件，根据充分条件和必要条件的定义分别进行判断即可．

【详解】二项式的通项为，

的二项展开式中存在常数项为正偶数，

为正偶数，

n为正偶数推不出

∴是的二项展开式中存在常数项的充分不必要条件．

故选：A

15. 已知函数与它的导函数的定义域均为R，现有下述两个命题：

①“为奇函数”是“为偶函数”的充分非必要条件；

②“为严格增函数”是“为严格增函数”的必要非充分条件．

则说法正确的选项是（    ）

A. 命题①和②均为真命题 B. 命题①为真命题，命题②为假命题

C. 命题①为假命题，命题②为真命题 D. 命题①和②均为假命题

【答案】B

【解析】

【分析】根据函数的奇偶性和单调性的性质根据函数的充分性和必要性进行判断即可.

【详解】解：由题意得：

命题①：

奇函数

为奇函数

对两边求导可得： ，即

又导函数的定义域为R，它关于原点对称

所以函数的定义域为R上的偶函数

所以“为奇函数”是“为偶函数”的充分条件；

 ，其定义域为R，关于原点对称，且

其原函数（C为常数），若是非奇非偶函数

故“为奇函数”是“为偶函数”的非必要条件；

所以命题①为真命题；

命题②：

令函数，其定义域为R，在定义域上是严格的增函数

而其导函数是常数函数，定义域R上不是严格的增函数

所以“为严格增函数”是“为严格增函数”的非充分条件；

令函数，其定义域为R，在定义域上是严格的增函数

而其原函数为二次函数在定义域R上不是严格的增函数

所以“为严格增函数”是“为严格增函数”的非必要条件

所以“为严格增函数”是“为严格增函数”的即非充分又非必要条件；

所以命题②为假命题；

故选:B

16. 已知数列满足，，如果，那么（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】由可得，再由题意结合基本不等式与数列得单调性求出的范围，即可求解

【详解】因为，

所以，

所以，

所以，

由即可归纳得，

所以，

所以数列为递增数列，

又，

则，

所以，

所以，

所以，

所以，

所以，

故选：A

三、解答题（本大题满分78分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．

17. 在等差数列中，，，、、成等比数列，的前n项和为．

（1）求数列的通项公式；

（2）求的最大值．

【答案】（1）；   

（2）169.

【解析】

【分析】（1）由已知可知，公差.根据等比中项的性质，可得，解得，即得数列的通项公式；

（2）经化简可求出，即可得到最大值.

【小问1详解】

设公差为，因为，所以.

则由、、成等比数列可得，即，

整理可得，又，所以，

又，所以，.

【小问2详解】

由（1）知，，，

所以，

所以，当时，有最大值，为169.

18. 如图，已知圆柱的底面半径为1，正△ABC内接于圆柱的下底面圆O，点是圆柱的上底面的圆心，线段是圆柱的母线．

（1）求点C到平面的距离；

（2）在劣弧上是否存在一点D，满足平面？若存在，求出∠BOD的大小；若不存在，请说明理由．

【答案】（1）   

（2）存在，

【解析】

【分析】（1）先作出点C到平面的距离，再解三角形去求的长即可解决；

（2）利用面面平行性质定理去作出点D，再利用等边三角形的性质去求∠BOD的大小

【小问1详解】

连接CO并延长交AB于M，

又正△ABC内接于圆柱下底面圆O，则，

又平面ABC，平面ABC

则，又，,平面,平面

则平面，则点C到平面的距离为

由圆柱的底面半径为1，可得，则

则

【小问2详解】

连接，平面ABC内过点O作交劣弧于D，连接

由，平面，平面，可得平面

由，平面，平面，可得平面

又，平面，平面

则平面平面，又平面，则平面，

连接OB，则

19. 2022年，第二十二届世界杯足球赛在卡塔尔举行，某国家队26名球员的年龄分布茎叶图如图所示：

（1）该国家队25岁的球员共有几位？求该国家队球员年龄的第75百分位数；

（2）从这26名球员中随机选取11名球员参加某项活动，求这11名球员中至少有一位年龄不小于30岁的概率．

【答案】（1）3位；第75百分位数是30   

（2）

【解析】

【分析】（1）根据茎叶图和百分位数公式，即可计算结果；

（2）根据对立事件和组合数公式求概率.

【小问1详解】

由茎叶图可知，25岁的球员共有3位球员；

因为，所以第75百分位数是第20位，由茎叶图可知，年龄从小到大排列，第20位球员的年龄是30；

【小问2详解】

11名球员没有年龄不小于30的概率,

所以这11名球员中至少有一位年龄不小于30岁的概率.

20. 如图，点A、B、C分别为椭圆的左、右顶点和上顶点，点P是上在第一象限内的动点，直线AP与直线BC相交于点Q，直线CP与x轴相交于点M．

（1）求直线BC的方程；

（2）求证：；

（3）已知直线的方程为，线段QM的中点为T，是否存在垂直于y轴的直线，使得点T到和的距离之积为定值？若存在，求出的方程；若不存在，说明理由．

【答案】（1）；   

（2）见解析；    （3）存在，.

【解析】

【分析】(1)由题意可得，由截距式写出直线的方程，再化成一般式即可；

(2) 设,可得直线的方程，从而可解得点的坐标，再根据向量数量积的坐标运算求出的值即可得证；

(3)由题意可得T的坐标，设的方程为，设点T到和的距离分别为，，利用点到线的距离公式表示出，，进而可得的代数式，再判断当为定值时是否有解，即可判断.

【小问1详解】

解：由题意可得，

所以直线的方程的截距式为，

即为；

【小问2详解】

证明：设,

因为，

所以直线的方程为：；

联立，得，

即；

直线的方程为：，

即，

当时，，

即，

所以==，

又因为，

所以，

所以===.

得证；

【小问3详解】

解：不存在，理由如下：

由题(2)可知，不妨令，则，

则，

所以点T到的距离，

设的方程为：，

则点T到的距离，

所以当时，，

所以存在满足条件的.

21. 定义：如果函数和的图像上分别存在点M和N关于x轴对称，则称函数和具有C关系．

（1）判断函数和否具有C关系；

（2）若函数和不具有C关系，求实数a的取值范围；

（3）若函数和在区间上具有C关系，求实数m的取值范围．

【答案】（1）是    （2）   

（3）

【解析】

【分析】（1）根据C关系的理解，令，解得，从而得以判断；

（2）利用换元法，结合二次函数的性质得到在上恒成立，分类讨论与，利用基本不等式即可求得a的取值范围；

（3）构造函数，将问题转化为在上存在零点，分类讨论与，利用导数与函数的关系证得时，在上有零点，从而得解.

【小问1详解】

与是具有C关系，理由如下：

根据定义，若与具有C关系，则在与的定义域的交集上存在，使得，

因为，，，

所以，

令，即，解得，

所以与具有C关系.

【小问2详解】

令，

因为，，所以，

令，则，故，

因为与不具有C关系，所以在上恒为负或恒为正，

又因为开口向下，所以在上恒为负，即在上恒成立，

当时，显然成立；

当时，在上恒成立，

因为，当且仅当，即时，等号成立，

所以，所以，

综上：，即.

【小问3详解】

因为和，

令，则，

因为与在上具有C关系，所以在上存在零点，

因为，

当且时，因为，所以，

所以在上单调递增，则，

此时在上不存在零点，不满足题意；

当时，显然当时，，

当时，因为在上单调递增，且，

故在上存在唯一零点，设为，则，

所以当；当；又当时，，

所以在上单调递减，在上单调递增，在上存在唯一极小值点，

因为，所以，

又因为，所以在上存在唯一零点，

所以函数与在上具有C关系，

综上：，即.

【点睛】关键点睛：本题解题的关键是理解新定义，得到与具有C关系，则在定义域上存在，使得，从而得解.