人教A版 (2019)必修 第一册5.5 三角恒等变换第2课时随堂练习题

第2课时　两角和与差的正弦、余弦、正切公式

课后篇巩固提升

合格考达标练

1.(2021黑龙江哈尔滨香坊高一期末)化简cos 16°cos 44°-cos 74°sin 44°的值为(　　)

A. B.- C. D.-

答案C

解析cos 16°cos 44°-cos 74°sin 44°=cos 16°cos 44°-sin 16°sin 44°=cos(16°+44°)=cos 60°=,故选C.

2.化简:sinx++sinx-=(　　)

A.-sin x B.sin x C.-cos x D.cos x

答案B

解析sinx++sinx-=sin x+cos x+sin x-cos x=sin x.

3.若sin=cos,则tan α=(　　)

A.-1 B.0 C. D.1

答案A

解析由已知得cos α-sin α=cos α-sin α,因此sin α=cos α,于是tan α=-1.

4.(2021新疆维吾尔自治区哈密伊州高一期末)已知tanα-=,则tan α=(　　)

A. B.-

C.5 D.-5

答案B

解析tanα-=,解得tan α=-,故选B.

5.(2021天津和平高一期末)已知tan A=2tan B,sin(A+B)=,则sin(A-B)=(　　)

A. B. C. D.-

答案C

解析由tan A=2tan B得,

即sin Acos B=2cos Asin B,

∵sin(A+B)=,∴sin Acos B+cos Asin B=,

得sin Acos B=,cos Asin B=.

则sin(A-B)=sin Acos B-cos Asin B=.故选C.

6.已知cos(α+β)=,cos(α-β)=-,则cos αcos β=　　　　　. 

答案0

解析由已知得cos αcos β-sin αsin β=,cos αcos β+sin αsin β=-,两式相加得2cos αcos β=0,故cos αcos β=0.

7.化简:=　　　　　. 

答案-1

解析原式=

==-1.

8.化简求值:

(1)sin(α+β)cos(α-β)+cos(α+β)sin(α-β);

(2)cos(70°+α)sin(170°-α)-sin(70°+α)cos(10°+α);

(3)cos 21°·cos 24°+sin 159°·sin 204°.

解(1)原式=sin(α+β+α-β)=sin 2α.

(2)原式=cos(70°+α)sin(10°+α)-sin(70°+α)cos(10°+α)

=sin [(10°+α)-(70°+α)]=sin(-60°)=-.

(3)原式=cos 21°cos 24°+sin(180°-21°)sin(180°+24°)=cos 21°cos 24°-sin 21°sin 24°=cos(21°+24°)=cos 45°=.

等级考提升练

9.若tan(α+β)=,tan(α-β)=,则tan 2α=(　　)

A. B. C. D.

答案D

解析tan 2α=tan [(α+β)+(α-β)]=.

10.设α∈,β∈,且tan α=,则 (　　)

A.3α-β= B.3α+β=

C.2α-β= D.2α+β=

答案C

解析由tan α=,得,得sin αcos β-cos αsin β=cos α,sin(α-β)=sin.

又α∈,β∈,

故α-β=-α,即2α-β=.

11.(2021北京朝阳高一期末)已知tanα-=2,tan(α+β)=-3,则tanβ+=(　　)

A.1 B.2 C.3 D.4

答案A

解析因为α-+β+=α+β,

所以tan(α+β)=tanα-+β+==-3,整理解得tanβ+=1.故选A.

12.在△ABC中,tan A+tan B+tan C=3,tan2B=tan A·tan C,则角B等于(　　)

A.30° B.45° C.120° D.60°

答案D

解析由公式变形得

tan A+tan B=tan(A+B)(1-tan Atan B)

=tan(180°-C)(1-tan Atan B)

=-tan C(1-tan Atan B)

=-tan C+tan Atan Btan C,

∴tan A+tan B+tan C

=-tan C+tan Atan Btan C+tan C

=tan Atan Btan C=3.∵tan2B=tan Atan C,

∴tan3B=3,∴tan B=,则B=60°.故选D.

13.(多选题)下面各式中,正确的是(　　)

A.sin=sincoscos

B.cossin-coscos

C.cos-=coscos

D.cos=cos-cos

答案ABC

解析∵sin=sincos+cossin=sincoscos,∴A正确;∵cos=-cos=-cos=sin-coscos,∴B正确;

∵cos-=cos=coscos,∴C正确;

∵cos=cos≠cos-cos,∴D不正确.

14.(多选题)在△ABC中,C=120°,tan A+tan B=,下列各式正确的是(　　)

A.A+B=2C B.tan(A+B)=-

C.tan A=tan B D.cos B=sin A

答案CD

解析∵C=120°,∴A+B=60°,∴2(A+B)=C,

∴tan(A+B)=,∴选项A,B错误;

∵tan A+tan B=(1-tan A·tan B)=,

∴tan A·tan B=, ①

又tan A+tan B=, ②

∴联立①②解得tan A=tan B=,

∴cos B=sin A,故选项C,D正确.

15.已知锐角α,β满足(tan α-1)(tan β-1)=2,则tan(α+β)=　　　　　,α+β=　　　　　. 

答案-1　

解析因为(tan α-1)(tan β-1)=2,

所以tan α+tan β=tan αtan β-1.

因此tan(α+β)==-1,

因为α+β∈(0,π),所以α+β=.

16.若cos α=-,sin β=-,α∈,π,β∈,2π,则sin(α+β)的值为　　　　　. 

答案

解析∵cos α=-,α∈,π,∴sin α=.∵sin β=-,β∈,2π,

∴cos β=.

∴sin(α+β)=sin αcos β+cos αsin β

=+-×-=.

17.已知α,β均为锐角,且tan β=,求tan(α+β)的值.

解tan β==tan,

因为α,β均为锐角,

所以--α<,0<β<,

又y=tan x在上是单调递增,

所以β=-α,即α+β=,tan(α+β)=1.

新情境创新练

18.在锐角三角形ABC中,若sin A=2sin Bsin C,则tan Atan Btan C的取值范围是　　　　. 

答案[8,+∞)

解析由已知条件sin A=2sin Bsin C,sin(B+C)=2sin Bsin C,

sin Bcos C+cos Bsin C=2sin Bsin C,

两边同除以cos Bcos C,tan B+tan C=2tan Btan C,

∵-tan A=tan(B+C)=,

∴tan Atan Btan C=tan A+tan B+tan C.

∴tan Atan Btan C=tan A+2tan Btan C

≥2,

令tan Atan Btan C=x>0,

即x≥2,即x≥8,或x≤0(舍去),∴x的最小值为8.

当且仅当tan B=2+,tan C=2-,tan A=4(或tan B,tan C互换)时取等号,此时A,B,C均为锐角.可得tan Atan Btan C的取值范围是[8,+∞).