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初中数学中考复习 专题13 一元一次不等式（组）及其应用（解析版）
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这是一份初中数学中考复习 专题13 一元一次不等式（组）及其应用（解析版），共1页。试卷主要包含了不等式的定义，不等式的解，一元一次不等式的定义，不等式的性质，一元一次不等式组的解法，求不等式组解集的规律等内容，欢迎下载使用。
1．不等式的定义：用不等号“＜”“＞”“≤”“≥”表示不相等关系的式子叫做不等式。
2．不等式的解：使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解。一个含有未知数的不等式的所有解，组成这个不等式的解集。
3．一元一次不等式的定义：不等式的左、右两边都是整式，只有一个未知数，并且未知数的最高次数是1，
像这样的不等式，叫做一元一次不等式。
4.一元一次不等式组：一般地，关于同一未知数的几个一元一次不等式合在一起，就组成了一个一元一次不等式组。
5．不等式的性质：
性质1：不等式的两边都加上（或减去）同一个数，不等号的方向不变。
性质2：不等式的两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变。
性质3：不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变。
6.一元一次不等式的解法的一般步骤：
（1）去分母；（2）去括号；（3）移项；（4）合并同类项；（5）系数化为1.
7．一元一次不等式组的解法
（1）分别求出不等式组中各个不等式的解集
（2）利用数轴求出这些不等式的解集的公共部分，即这个不等式组的解集。
8．求不等式组解集的规律：
不等式解集在数轴上的表示方法：含≥或≤，用实心圆点，含＞或＜用空心圆圈。
不等式组的解集有四种情况:
若a>b，
（1）当时,则不等式的公共解集为x>a;
（2）时,不等式的公共解集为b（3）时,不等式的公共解集为x（4）当时,不等式组无解.
9.中考出现一元一次不等式（组）试题类型总结：
类型一：一元一次不等式的解集问题。
类型二：一元一次不等式组无解的情况。
类型三：明确一元一次不等式组的解集求范围。
类型四：一元一次不等式组有解求未知数的范围。
类型五：一元一次不等式组有整数解求范围。
类型六：一元一次不等式（组）应用题。
【例题1】（2020贵州黔西南）不等式组的解集为________．
【答案】－6＜x≤13
【解析】根据不等式组分别求出x的取值，然后画出数轴，数轴上相交的点的集合就是该不等式的解集．若没有交集，则不等式无解．
【详解】，解得
在坐标轴上表示为：
∴不等式组的解集为﹣6＜≤13
【点拨】本题考查了一元一次不等式组的解题问题，熟练掌握其解法及表示方法是解题的关键．
【对点练习】（2019广西北部湾）解不等式组，并利用数轴确定不等式组的解集.
【答案】见解析。
【解析】本题主要考查了解一元一次不等式组，分别解两个不等式得到x＜3和x≥-2，再根据大小小大中间找确定不等式组的解集．然后利用数轴表示其解集．
解：
解①得x＜3，
解②得x≥-2，
所以不等式组的解集为-2≤x＜3．
用数轴表示为：
【例题2】（2020•天水）若关于x的不等式3x+a≤2只有2个正整数解，则a的取值范围为（ ）
A．﹣7＜a＜﹣4B．﹣7≤a≤﹣4C．﹣7≤a＜﹣4D．﹣7＜a≤﹣4
【答案】D
【解析】先解不等式得出x≤2-a3，根据不等式只有2个正整数解知其正整数解为1和2，据此得出2≤2-a3＜3，解之可得答案．
∵3x+a≤2，
∴3x≤2﹣a，
则x≤2-a3，
∵不等式只有2个正整数解，
∴不等式的正整数解为1、2，
则2≤2-a3＜3，
解得：﹣7＜a≤﹣4
【对点练习】（2020湖北黄石模拟）若关于的不等式组有实数解，则的取值范
围是 _______.
【答案】a＜4．
【解析】分别求出各不等式的解集，再根据不等式组有实数解即可得到关于a的不等式，求出a的取值范围即可．
2x＞3x-3 ……①
3x-a＞5 ……②
由①得，x＜3，由②得，x＞5+a 3 ，
∵此不等式组有实数解，
∴5+a/3 ＜3，解得a＜4．
【点拨】本题考查的是解一元一次不等式组，根据不等式组有实数解得出关于a的不等式是解答此题的关键．
【例题3】（2020•苏州）如图，“开心”农场准备用50m的护栏围成一块靠墙的矩形花园，设矩形花园的长为a（m），宽为b（m）．
（1）当a＝20时，求b的值；
（2）受场地条件的限制，a的取值范围为18≤a≤26，求b的取值范围．
【答案】见解析。
【分析】（1）由护栏的总长度为50m，可得出关于b的一元一次方程，解之即可得出结论；
（2）由a的取值范围结合a＝50﹣2b，即可得出关于b的一元一次不等式，解之即可得出结论．
【解析】（1）依题意，得：20+2b＝50，
解得：b＝15．
（2）∵18≤a≤26，a＝50﹣2b，
∴50-2b≥1850-2b≤26，
解得：12≤b≤16．
答：b的取值范围为12≤b≤16．
【对点练习】（2019•湖南衡阳）某商店购进A、B两种商品，购买1个A商品比购买1个B商品多花10元，并且花费300元购买A商品和花费100元购买B商品的数量相等．
（1）求购买一个A商品和一个B商品各需要多少元；
（2）商店准备购买A、B两种商品共80个，若A商品的数量不少于B商品数量的4倍，并且购买A、B商品的总费用不低于1000元且不高于1050元，那么商店有哪几种购买方案？
【答案】见解析。
【解析】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组．
（1）设购买一个B商品需要x元，则购买一个A商品需要（x+10）元，
依题意，得：＝，
解得：x＝5，
经检验，x＝5是原方程的解，且符合题意，
∴x+10＝15．
答：购买一个A商品需要15元，购买一个B商品需要5元．
（2）设购买B商品m个，则购买A商品（80﹣m）个，
依题意，得：，
解得：15≤m≤16．
∵m为整数，∴m＝15或16．
∴商店有2种购买方案，方案①：购进A商品65个、B商品15个；
方案②：购进A商品64个、B商品16个．
一、选择题
1．（2020•贵阳）已知a＜b，下列式子不一定成立的是（ ）
A．a﹣1＜b﹣1B．﹣2a＞﹣2b
C．12a+1＜12b+1D．ma＞mb
【答案】D
【解析】根据不等式的基本性质进行判断．
A.在不等式a＜b的两边同时减去1，不等号的方向不变，即a﹣1＜b﹣1，原变形正确，故此选项不符合题意；
B.在不等式a＜b的两边同时乘以﹣2，不等号方向改变，即﹣2a＞﹣2b，原变形正确，故此选项不符合题意；
C.在不等式a＜b的两边同时乘以12，不等号的方向不变，即12a＜12b，不等式12a＜12b的两边同时加上1，不等号的方向不变，即12a+1＜12b+1，原变形正确，故此选项不符合题意；
D.在不等式a＜b的两边同时乘以m，不等式不一定成立，即ma＞mb，或ma＜mb，或ma＝mb，原变形不正确，故此选项符合题意．
2．（2020•衢州）不等式组3(x-2)≤x-43x＞2x-1的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】分别解两个不等式，然后求它们的公共部分即可得到原不等式组的解集，再在数轴上表示出来即可求解．
3(x-2)≤x-4①3x＞2x-1②，
由①得x≤1；
由②得x＞﹣1；
故不等式组的解集为﹣1＜x≤1，
在数轴上表示出来为：
．
3.不等式组的解集为（ ）
A．x≤2 B．x＜4 C．2≤x＜4 D．x≥2
【答案】C．
【解析】先求出每个不等式的解集，再根据口诀：大小小大中间找确定不等式组的解集即可．
解不等式x﹣3＜1，得：x＜4，
解不等式3x+2≤4x，得：x≥2，
∴不等式组的解集为：2≤x＜4。
4.（2020湖北随州）不等式组的解集表示在数轴上，正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：大小小大中间找确定不等式组的解集，再根据“大于向右，小于向左，包括端点用实心，不包括端点用空心”的原则分析选项可得答案．
解不等式x﹣1≤7﹣x，得：x≤4，
解不等式5x﹣2＞3（x+1），得：x＞，
∴不等式组的解集为：＜x≤4
5．对于不等式组,下列说法正确的是（ ）
A．此不等式组无解
B．此不等式组有7个整数解
C．此不等式组的负整数解是﹣3，﹣2，﹣1
D．此不等式组的解集是﹣＜x≤2
【答案】B．
【解析】本题考查了一元一次不等式组的整数解：利用数轴确定不等式组的解（整数解）．解决此类问题的关键在于正确解得不等式组或不等式的解集，然后再根据题目中对于解集的限制得到下一步所需要的条件，再根据得到的条件进而求得不等式组的整数解．
分别解两个不等式得到x≤4和x＞﹣2.5，利用大于小的小于大的取中间可确定不等式组的解集，再写出不等式组的整数解，然后对各选项进行判断．
，
解①得x≤4，
解②得x＞﹣2.5，
所以不等式组的解集为﹣2.5＜x≤4，
所以不等式组的整数解为﹣2，﹣1，0，1，2，3，4．
6.（2020重庆市）从﹣3，﹣1，，1，3这五个数中，随机抽取一个数，记为a，若数a使关于x的不等式组无解，且使关于x的分式方程﹣=﹣1有整数解，那么这5个数中所有满足条件的a的值之和是（ ）
A．﹣3B．﹣2C．﹣D．
【答案】B．
【解析】根据不等式组无解，求得a≤1，解方程得x=，于是得到a=﹣3或1，即可得到结论．
解：得，
∵不等式组无解，
∴a≤1，
解方程﹣=﹣1得x=，
∵x=为整数，a≤1，
∴a=﹣3或1，
∴所有满足条件的a的值之和是﹣2
【点拨】本题考查了解分式方程，解一元一次不等式组，熟练掌握解分式方程和一元一次不等式组的方法是解题的关键．
7.（2019四川省雅安市）不等式组的解集为（ ）
A．6≤x＜8 B．6＜x≤8 C．2≤x＜4 D．2＜x≤8
【答案】B
【解析】分别求出不等式组中的两个不等式的解集，再找它们的公共部分，由第1个不等式得x>6，由第2 个不等式得x≤8，它们的公共部分是6＜x≤8 ，故选B．
8.（2019•山东省德州市）不等式组的所有非负整数解的和是（ ）
A．10B．7C．6D．0
【答案】A
【解析】不等式组的非负整数解。分别求出每一个不等式的解集，即可确定不等式组的解集，继而可得知不等式组的非负整数解．
，
解不等式①得：x＞﹣2.5，
解不等式②得：x≤4，
∴不等式组的解集为：﹣2.5＜x≤4，
∴不等式组的所有非负整数解是：0，1，2，3，4，
∴不等式组的所有非负整数解的和是0+1+2+3+4＝10
9.（2019•江苏无锡）某工厂为了要在规定期限内完成2160个零件的任务，于是安排15名工人每人每天加工a个零件（a为整数），开工若干天后，其中3人外出培训，若剩下的工人每人每天多加工2个零件，则不能按期完成这次任务，由此可知a的值至少为（ ）
A．10B．9C．8D．7
【答案】B
【解析】根据15名工人的前期工作量+12名工人的后期工作量＜2160列出不等式并解答．
设原计划n天完成，开工x天后3人外出培训，
则15an＝2160，
得到an＝144．
所以15ax+12（a+2）（n﹣x）＜2160．
整理，得4x+4an+8n﹣8x＜720．
∵an＝144．
∴将其代入化简，得ax+8n﹣8x＜144，即ax+8n﹣8x＜an，
整理，得8（n﹣x）＜a（n﹣x）．
∵n＞x，
∴n﹣x＞0，
∴a＞8．
∴a至少为9．
10．（2019•浙江宁波）不等式＞x的解为（ ）
A．x＜1B．x＜﹣1C．x＞1D．x＞﹣1
【答案】A
【解析】去分母、移项，合并同类项，系数化成1即可．
＞x，
3﹣x＞2x，
3＞3x，
x＜1
11.(2019黑龙江绥化)不等式组的解集在数轴上表示正确的是( )
【答案】B
【解析】解不等式组,用数轴表示不等式组的解集
解①得,x≥1,
解②得,x<2,
∴原不等式组的解集为1≤x<2,故选B.
12．（2019•绵阳）红星商店计划用不超过4200元的资金，购进甲、乙两种单价分别为60元、100元的商品共50件，据市场行情，销售甲、乙商品各一件分别可获利10元、20元，两种商品均售完．若所获利润大于750元，则该店进货方案有（ ）
A．3种B．4种C．5种D．6种
【答案】C
【解析】设该店购进甲种商品x件，则购进乙种商品（50﹣x）件，根据“购进甲乙商品不超过4200元的资金、两种商品均售完所获利润大于750元”列出关于x的不等式组，解之求得整数x的值即可得出答案．
设该店购进甲种商品x件，则购进乙种商品（50﹣x）件，
根据题意，得：，
解得：20≤x＜25，
∵x为整数，
∴x＝20、21、22、23、24，
∴该店进货方案有5种。
二、填空题
13．（2020•黔西南州）不等式组2x-6＜3x，x+25-x-14≥0的解集为 ．
【答案】﹣6＜x≤13．
【解析】首先分别计算出两个不等式的解集，再确定不等式组的解集即可．
2x-6＜3x①x+25-x-14≥0②，
解①得：x＞﹣6，
解②得：x≤13，
不等式组的解集为：﹣6＜x≤13
14．（2020•黔东南州）不等式组5x-1＞3(x+1)12x-1≤4-13x的解集为 ．
【答案】2＜x≤6．
【解析】先根据解不等式的基本步骤求出每个不等式的解集，再根据“大小小大中间找”可确定不等式组的解集．
解不等式5x﹣1＞3（x+1），得：x＞2，
解不等式12x﹣1≤4-13x，得：x≤6，
则不等式组的解集为2＜x≤6
15.（2020广东模拟）不等式组的解集是 ．
【答案】﹣1＜x≤2．
【解析】，
解不等式①得，x＞﹣1，
解不等式②得，x≤2，
所以不等式组的解集是﹣1＜x≤2．
16.（2020四川内江模拟）任取不等式组的一个整数解，则能使关于x的方程：2x＋k＝－1的解为非负数的概率为______．
【答案】
【解析】不等式组的解集为－＜k≤3，其整数解为k＝－2，－1，0，1，2，3．
其中，当k＝－2，－1时，方程2x＋k＝－1的解为非负数．
所以所求概率P＝＝．
17.（2019•河南）不等式组的解集是 ．
【答案】x≤﹣2．
【解析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．
解不等式≤﹣1，得：x≤﹣2，
解不等式﹣x+7＞4，得：x＜3，
则不等式组的解集为x≤﹣2
18.(2019内蒙古包头市)已知不等式组的解集为x＞-1，则k的取值范围是_________.
【答案】k≤-2.
【解析】
不等式组
解不等式①得，x＞-1;
解不等式②得，x＞k+1;
∵原不等式组的解集为x＞-1，
∴k+1≤-1
解得，k≤-2.
19.(2019黑龙江大庆)已知x＝4是不等式ax－3a－1<0的解,x＝2不是不等式ax－3a－1<0的解,则实数a的取值范围是______.
【答案】a≤－1
【解析】∵x＝4是不等式ax－3a－1<0的解,所以4a－3a－1<0,a<1,
因为x＝2不是不等式ax－3a－1<0的解,
所以2a－3a－1≥0,所以a≤－1,所以a≤－1.
20.（2019•铜仁）如果不等式组的解集是x＜a﹣4，则a的取值范围是 ．
【答案】a≥﹣3．
【解析】解这个不等式组为x＜a﹣4，
则3a+2≥a﹣4，
解这个不等式得a≥﹣3
故答案a≥﹣3．
三、解答题
21．（2020•枣庄）解不等式组4(x+1)≤7x+13，x-4＜x-83，并求它的所有整数解的和．
【答案】见解析。
【解析】先求出两个不等式的解集，再求其公共解，然后找出整数求和即可．
4(x+1)≤7x+13①x-4＜x-83②，
由①得，x≥﹣3，
由②得，x＜2，
所以，不等式组的解集是﹣3≤x＜2，
所以，它的整数解为：﹣3，﹣2，﹣1，0，1，
所以，所有整数解的和为﹣5．
22．（2020•哈尔滨）昌云中学计划为地理兴趣小组购买大、小两种地球仪，若购买1个大地球仪和3个小地球仪需用136元；若购买2个大地球仪和1个小地球仪需用132元．
（1）求每个大地球仪和每个小地球仪各多少元；
（2）昌云中学决定购买以上两种地球仪共30个，总费用不超过960元，那么昌云中学最多可以购买多少个大地球仪？
【答案】见解析。
【分析】（1）设每个大地球仪x元，每个小地球仪y元，根据条件建立方程组求出其解即可；
（2）设大地球仪为a台，则每个小地球仪为（30﹣a）台，根据要求购买的总费用不超过960元，列出不等式解答即可．
【解析】（1）设每个大地球仪x元，每个小地球仪y元，根据题意可得：
x+3y=1362x+y=132，
解得：x=52y=28，
答：每个大地球仪52元，每个小地球仪28元；
（2）设大地球仪为a台，则每个小地球仪为（30﹣a）台，根据题意可得：
52a+28（30﹣a）≤960，
解得：a≤5，
答：最多可以购买5个大地球仪．
23．（2020•辽阳）某校计划为教师购买甲、乙两种词典．已知购买1本甲种词典和2本乙种词典共需170元，购买2本甲种词典和3本乙种词典共需290元．
（1）求每本甲种词典和每本乙种词典的价格分别为多少元？
（2）学校计划购买甲种词典和乙种词典共30本，总费用不超过1600元，那么最多可购买甲种词典多少本？
【答案】见解析。
【分析】（1）设每本甲种词典的价格为x元，每本乙种词典的价格为y元，根据“购买1本甲种词典和2本乙种词典共需170元，购买2本甲种词典和3本乙种词典共需290元”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设学校购买甲种词典m本，则购买乙种词典（30﹣m）本，根据总价＝单价×数量结合总费用不超过1600元，即可得出关于m的一元一次不等式，解之取其中的最大值即可得出结论．
【解析】（1）设每本甲种词典的价格为x元，每本乙种词典的价格为y元，
依题意，得：x+2y=1702x+3y=290，
解得：x=70y=50．
答：每本甲种词典的价格为70元，每本乙种词典的价格为50元．
（2）设学校购买甲种词典m本，则购买乙种词典（30﹣m）本，
依题意，得：70m+50（30﹣m）≤1600，
解得：m≤5．
答：学校最多可购买甲种词典5本．
24.（2020福州模拟）某次知识竞赛共有20道题，每一题答对得5分，答错或不答都扣3分．
(1) 小明考了68分，那么小明答对了多少道题？
(2) 小亮获得二等奖(70～90分)，请你算算小亮答对了几道题？
【答案】见解析。
【解析】(1) 设小明答对了x道题，
依题意得：5x－3(20－x)＝68．
解得：x＝16．
答：小明答对了16道题．
(2) 设小亮答对了y道题，
依题意得：eq \b\lc\{(\a\al\c(5y－3(20－y)≥70,5y－3(20－y)≤90))．
因此不等式组的解集为16 eq \f(1,4)≤y≤18 eq \f(3,4)．
∵ y是正整数，
∴ y＝17或18．
答：小亮答对了17道题或18道题．
25.（2019广西省贵港市）解不等式组：，并在数轴上表示该不等式组的解集．
【答案】见解析。
【解析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．
解不等式，得：，
解不等式，得：，
则不等式组的解集为，
将不等式组的解集表示在数轴上如下：
26.（2019北京市）解不等式组：
【答案】.
【解析】先求出每个不等式的解集，再取两个不等式解集的公共部分，就是不等式组的解集.取公共部分按照“大大取大，小小取小，大小小大取中间，大大小小无处找”原则即可.
由①得
由②得
①和②的公共部分由“小小取小”得原不等式组解集为.
27.（2019•江苏扬州）解不等式组，并写出它的所有负整数解．
【答案】﹣3≤x＜2，所有负整数解为﹣3、﹣2、﹣1．
【解析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．
解不等式4（x+1）≤7x+13，得：x≥﹣3，
解不等式x﹣4＜，得：x＜2，
则不等式组的解集为﹣3≤x＜2，
所以不等式组的所有负整数解为﹣3、﹣2、﹣1．
28.（2019贵州省安顺市）先化简（1+）÷，再从不等式组的整数解中选一个合适的x的值代入求值．
【答案】见解析。
【解析】首先进行分式的加减运算，进而利用分式的混合运算法则进而化简，再解不等式组，得出x的值，把已知数据代入即可．
原式＝×＝
解不等式组得﹣2＜x＜4，
∴其整数解为﹣1，0，1，2，3，
∵要使原分式有意义，
∴x可取0，2．∴当x＝0 时，原式＝﹣3，
（或当x＝2 时，原式＝﹣）．
29．（2019•新疆）解不等式组：并把解集在数轴上表示出来．
【答案】见解析。
【解析】先求出每个不等式的解集，再求出不等式组的解集，即可得出答案．
解不等式①得：x＜2，
解不等式②得：x＞1，
∴不等式组的解集为1＜x＜2，
在数轴上表示不等式组的解集为：
．
30.（2019四川巴中）在“扶贫攻坚”活动中，某单位计划选购甲、乙两种物品慰问贫困户．已知甲物品的单价比乙物品的单价高10元，若用500元单独购买甲物品与450元单独购买乙物品的数量相同．
①请问甲、乙两种物品的单价各为多少？
②如果该单位计划购买甲、乙两种物品共55件，总费用不少于5000元且不超过5050元，通过计算得出共有几种选购方案？
【答案】见解析。
【解析】①设乙种物品单价为x元，则甲种物品单价为（x+10）元，由题意得：
＝
解得x＝90
经检验，x＝90符合题意
∴甲种物品的单价为100元，乙种物品的单价为90元．
②设购买甲种物品y件，则乙种物品购进（55﹣y）件
由题意得：5000≤100y+90（55﹣y）≤5050
解得5≤y≤10 ,∴共有6种选购方案．
31.（2019▪湖北黄石）若点P的坐标为（，2x﹣9），其中x满足不等式组，求点P所在的象限．
【答案】点P在的第四象限．
【解析】先求出不等式组的解集，进而求得P点的坐标，即可求得点P所在的象限．
，
解①得：x≥4，
解②得：x≤4，
则不等式组的解是：x＝4，
∵＝1，2x﹣9＝﹣1，
∴点P的坐标为（1，﹣1），∴点P在的第四象限．
32．（2019•遵义）某校计划组织240名师生到红色教育基地开展革命传统教育活动．旅游公司有A，B两种客车可供租用，A型客车每辆载客量45人，B型客车每辆载客量30人．若租用4辆A型客车和3辆B型客车共需费用10700元；若租用3辆A型客车和4辆B型客车共需费用10300元．
（1）求租用A，B两型客车，每辆费用分别是多少元；
（2）为使240名师生有车坐，且租车总费用不超过1万元，你有哪几种租车方案？哪种方案最省钱？
【答案】见解析。
【解析】（1）设租用A，B两型客车，每辆费用分别是x元、y元，
，
解得，，
答：租用A，B两型客车，每辆费用分别是1700元、1300元；
（2）设租用A型客车a辆，租用B型客车b辆，
，
解得，，，，
∴共有三种租车方案，
方案一：租用A型客车2辆，B型客车5辆，费用为9900元，
方案二：租用A型客车4辆，B型客车2辆，费用为9400元，
方案三：租用A型客车5辆，B型客车1辆，费用为9800元，
由上可得，方案二：租用A型客车4辆，B型客车2辆最省钱．
1．不等式的定义：用不等号“＜”“＞”“≤”“≥”表示不相等关系的式子叫做不等式。
2．不等式的解：使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解。一个含有未知数的不等式的所有解，组成这个不等式的解集。
3．一元一次不等式的定义：不等式的左、右两边都是整式，只有一个未知数，并且未知数的最高次数是1，
像这样的不等式，叫做一元一次不等式。
4.一元一次不等式组：一般地，关于同一未知数的几个一元一次不等式合在一起，就组成了一个一元一次不等式组。
5．不等式的性质：
性质1：不等式的两边都加上（或减去）同一个数，不等号的方向不变。
性质2：不等式的两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变。
性质3：不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变。
6.一元一次不等式的解法的一般步骤：
（1）去分母；（2）去括号；（3）移项；（4）合并同类项；（5）系数化为1.
7．一元一次不等式组的解法
（1）分别求出不等式组中各个不等式的解集
（2）利用数轴求出这些不等式的解集的公共部分，即这个不等式组的解集。
8．求不等式组解集的规律：
不等式解集在数轴上的表示方法：含≥或≤，用实心圆点，含＞或＜用空心圆圈。
不等式组的解集有四种情况:
若a>b，
（1）当时,则不等式的公共解集为x>a;
（2）时,不等式的公共解集为b
9.中考出现一元一次不等式（组）试题类型总结：
类型一：一元一次不等式的解集问题。
类型二：一元一次不等式组无解的情况。
类型三：明确一元一次不等式组的解集求范围。
类型四：一元一次不等式组有解求未知数的范围。
类型五：一元一次不等式组有整数解求范围。
类型六：一元一次不等式（组）应用题。
【例题1】（2020贵州黔西南）不等式组的解集为________．
【答案】－6＜x≤13
【解析】根据不等式组分别求出x的取值，然后画出数轴，数轴上相交的点的集合就是该不等式的解集．若没有交集，则不等式无解．
【详解】，解得
在坐标轴上表示为：
∴不等式组的解集为﹣6＜≤13
【点拨】本题考查了一元一次不等式组的解题问题，熟练掌握其解法及表示方法是解题的关键．
【对点练习】（2019广西北部湾）解不等式组，并利用数轴确定不等式组的解集.
【答案】见解析。
【解析】本题主要考查了解一元一次不等式组，分别解两个不等式得到x＜3和x≥-2，再根据大小小大中间找确定不等式组的解集．然后利用数轴表示其解集．
解：
解①得x＜3，
解②得x≥-2，
所以不等式组的解集为-2≤x＜3．
用数轴表示为：
【例题2】（2020•天水）若关于x的不等式3x+a≤2只有2个正整数解，则a的取值范围为（ ）
A．﹣7＜a＜﹣4B．﹣7≤a≤﹣4C．﹣7≤a＜﹣4D．﹣7＜a≤﹣4
【答案】D
【解析】先解不等式得出x≤2-a3，根据不等式只有2个正整数解知其正整数解为1和2，据此得出2≤2-a3＜3，解之可得答案．
∵3x+a≤2，
∴3x≤2﹣a，
则x≤2-a3，
∵不等式只有2个正整数解，
∴不等式的正整数解为1、2，
则2≤2-a3＜3，
解得：﹣7＜a≤﹣4
【对点练习】（2020湖北黄石模拟）若关于的不等式组有实数解，则的取值范
围是 _______.
【答案】a＜4．
【解析】分别求出各不等式的解集，再根据不等式组有实数解即可得到关于a的不等式，求出a的取值范围即可．
2x＞3x-3 ……①
3x-a＞5 ……②
由①得，x＜3，由②得，x＞5+a 3 ，
∵此不等式组有实数解，
∴5+a/3 ＜3，解得a＜4．
【点拨】本题考查的是解一元一次不等式组，根据不等式组有实数解得出关于a的不等式是解答此题的关键．
【例题3】（2020•苏州）如图，“开心”农场准备用50m的护栏围成一块靠墙的矩形花园，设矩形花园的长为a（m），宽为b（m）．
（1）当a＝20时，求b的值；
（2）受场地条件的限制，a的取值范围为18≤a≤26，求b的取值范围．
【答案】见解析。
【分析】（1）由护栏的总长度为50m，可得出关于b的一元一次方程，解之即可得出结论；
（2）由a的取值范围结合a＝50﹣2b，即可得出关于b的一元一次不等式，解之即可得出结论．
【解析】（1）依题意，得：20+2b＝50，
解得：b＝15．
（2）∵18≤a≤26，a＝50﹣2b，
∴50-2b≥1850-2b≤26，
解得：12≤b≤16．
答：b的取值范围为12≤b≤16．
【对点练习】（2019•湖南衡阳）某商店购进A、B两种商品，购买1个A商品比购买1个B商品多花10元，并且花费300元购买A商品和花费100元购买B商品的数量相等．
（1）求购买一个A商品和一个B商品各需要多少元；
（2）商店准备购买A、B两种商品共80个，若A商品的数量不少于B商品数量的4倍，并且购买A、B商品的总费用不低于1000元且不高于1050元，那么商店有哪几种购买方案？
【答案】见解析。
【解析】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组．
（1）设购买一个B商品需要x元，则购买一个A商品需要（x+10）元，
依题意，得：＝，
解得：x＝5，
经检验，x＝5是原方程的解，且符合题意，
∴x+10＝15．
答：购买一个A商品需要15元，购买一个B商品需要5元．
（2）设购买B商品m个，则购买A商品（80﹣m）个，
依题意，得：，
解得：15≤m≤16．
∵m为整数，∴m＝15或16．
∴商店有2种购买方案，方案①：购进A商品65个、B商品15个；
方案②：购进A商品64个、B商品16个．
一、选择题
1．（2020•贵阳）已知a＜b，下列式子不一定成立的是（ ）
A．a﹣1＜b﹣1B．﹣2a＞﹣2b
C．12a+1＜12b+1D．ma＞mb
【答案】D
【解析】根据不等式的基本性质进行判断．
A.在不等式a＜b的两边同时减去1，不等号的方向不变，即a﹣1＜b﹣1，原变形正确，故此选项不符合题意；
B.在不等式a＜b的两边同时乘以﹣2，不等号方向改变，即﹣2a＞﹣2b，原变形正确，故此选项不符合题意；
C.在不等式a＜b的两边同时乘以12，不等号的方向不变，即12a＜12b，不等式12a＜12b的两边同时加上1，不等号的方向不变，即12a+1＜12b+1，原变形正确，故此选项不符合题意；
D.在不等式a＜b的两边同时乘以m，不等式不一定成立，即ma＞mb，或ma＜mb，或ma＝mb，原变形不正确，故此选项符合题意．
2．（2020•衢州）不等式组3(x-2)≤x-43x＞2x-1的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】分别解两个不等式，然后求它们的公共部分即可得到原不等式组的解集，再在数轴上表示出来即可求解．
3(x-2)≤x-4①3x＞2x-1②，
由①得x≤1；
由②得x＞﹣1；
故不等式组的解集为﹣1＜x≤1，
在数轴上表示出来为：
．
3.不等式组的解集为（ ）
A．x≤2 B．x＜4 C．2≤x＜4 D．x≥2
【答案】C．
【解析】先求出每个不等式的解集，再根据口诀：大小小大中间找确定不等式组的解集即可．
解不等式x﹣3＜1，得：x＜4，
解不等式3x+2≤4x，得：x≥2，
∴不等式组的解集为：2≤x＜4。
4.（2020湖北随州）不等式组的解集表示在数轴上，正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：大小小大中间找确定不等式组的解集，再根据“大于向右，小于向左，包括端点用实心，不包括端点用空心”的原则分析选项可得答案．
解不等式x﹣1≤7﹣x，得：x≤4，
解不等式5x﹣2＞3（x+1），得：x＞，
∴不等式组的解集为：＜x≤4
5．对于不等式组,下列说法正确的是（ ）
A．此不等式组无解
B．此不等式组有7个整数解
C．此不等式组的负整数解是﹣3，﹣2，﹣1
D．此不等式组的解集是﹣＜x≤2
【答案】B．
【解析】本题考查了一元一次不等式组的整数解：利用数轴确定不等式组的解（整数解）．解决此类问题的关键在于正确解得不等式组或不等式的解集，然后再根据题目中对于解集的限制得到下一步所需要的条件，再根据得到的条件进而求得不等式组的整数解．
分别解两个不等式得到x≤4和x＞﹣2.5，利用大于小的小于大的取中间可确定不等式组的解集，再写出不等式组的整数解，然后对各选项进行判断．
，
解①得x≤4，
解②得x＞﹣2.5，
所以不等式组的解集为﹣2.5＜x≤4，
所以不等式组的整数解为﹣2，﹣1，0，1，2，3，4．
6.（2020重庆市）从﹣3，﹣1，，1，3这五个数中，随机抽取一个数，记为a，若数a使关于x的不等式组无解，且使关于x的分式方程﹣=﹣1有整数解，那么这5个数中所有满足条件的a的值之和是（ ）
A．﹣3B．﹣2C．﹣D．
【答案】B．
【解析】根据不等式组无解，求得a≤1，解方程得x=，于是得到a=﹣3或1，即可得到结论．
解：得，
∵不等式组无解，
∴a≤1，
解方程﹣=﹣1得x=，
∵x=为整数，a≤1，
∴a=﹣3或1，
∴所有满足条件的a的值之和是﹣2
【点拨】本题考查了解分式方程，解一元一次不等式组，熟练掌握解分式方程和一元一次不等式组的方法是解题的关键．
7.（2019四川省雅安市）不等式组的解集为（ ）
A．6≤x＜8 B．6＜x≤8 C．2≤x＜4 D．2＜x≤8
【答案】B
【解析】分别求出不等式组中的两个不等式的解集，再找它们的公共部分，由第1个不等式得x>6，由第2 个不等式得x≤8，它们的公共部分是6＜x≤8 ，故选B．
8.（2019•山东省德州市）不等式组的所有非负整数解的和是（ ）
A．10B．7C．6D．0
【答案】A
【解析】不等式组的非负整数解。分别求出每一个不等式的解集，即可确定不等式组的解集，继而可得知不等式组的非负整数解．
，
解不等式①得：x＞﹣2.5，
解不等式②得：x≤4，
∴不等式组的解集为：﹣2.5＜x≤4，
∴不等式组的所有非负整数解是：0，1，2，3，4，
∴不等式组的所有非负整数解的和是0+1+2+3+4＝10
9.（2019•江苏无锡）某工厂为了要在规定期限内完成2160个零件的任务，于是安排15名工人每人每天加工a个零件（a为整数），开工若干天后，其中3人外出培训，若剩下的工人每人每天多加工2个零件，则不能按期完成这次任务，由此可知a的值至少为（ ）
A．10B．9C．8D．7
【答案】B
【解析】根据15名工人的前期工作量+12名工人的后期工作量＜2160列出不等式并解答．
设原计划n天完成，开工x天后3人外出培训，
则15an＝2160，
得到an＝144．
所以15ax+12（a+2）（n﹣x）＜2160．
整理，得4x+4an+8n﹣8x＜720．
∵an＝144．
∴将其代入化简，得ax+8n﹣8x＜144，即ax+8n﹣8x＜an，
整理，得8（n﹣x）＜a（n﹣x）．
∵n＞x，
∴n﹣x＞0，
∴a＞8．
∴a至少为9．
10．（2019•浙江宁波）不等式＞x的解为（ ）
A．x＜1B．x＜﹣1C．x＞1D．x＞﹣1
【答案】A
【解析】去分母、移项，合并同类项，系数化成1即可．
＞x，
3﹣x＞2x，
3＞3x，
x＜1
11.(2019黑龙江绥化)不等式组的解集在数轴上表示正确的是( )
【答案】B
【解析】解不等式组,用数轴表示不等式组的解集
解①得,x≥1,
解②得,x<2,
∴原不等式组的解集为1≤x<2,故选B.
12．（2019•绵阳）红星商店计划用不超过4200元的资金，购进甲、乙两种单价分别为60元、100元的商品共50件，据市场行情，销售甲、乙商品各一件分别可获利10元、20元，两种商品均售完．若所获利润大于750元，则该店进货方案有（ ）
A．3种B．4种C．5种D．6种
【答案】C
【解析】设该店购进甲种商品x件，则购进乙种商品（50﹣x）件，根据“购进甲乙商品不超过4200元的资金、两种商品均售完所获利润大于750元”列出关于x的不等式组，解之求得整数x的值即可得出答案．
设该店购进甲种商品x件，则购进乙种商品（50﹣x）件，
根据题意，得：，
解得：20≤x＜25，
∵x为整数，
∴x＝20、21、22、23、24，
∴该店进货方案有5种。
二、填空题
13．（2020•黔西南州）不等式组2x-6＜3x，x+25-x-14≥0的解集为 ．
【答案】﹣6＜x≤13．
【解析】首先分别计算出两个不等式的解集，再确定不等式组的解集即可．
2x-6＜3x①x+25-x-14≥0②，
解①得：x＞﹣6，
解②得：x≤13，
不等式组的解集为：﹣6＜x≤13
14．（2020•黔东南州）不等式组5x-1＞3(x+1)12x-1≤4-13x的解集为 ．
【答案】2＜x≤6．
【解析】先根据解不等式的基本步骤求出每个不等式的解集，再根据“大小小大中间找”可确定不等式组的解集．
解不等式5x﹣1＞3（x+1），得：x＞2，
解不等式12x﹣1≤4-13x，得：x≤6，
则不等式组的解集为2＜x≤6
15.（2020广东模拟）不等式组的解集是 ．
【答案】﹣1＜x≤2．
【解析】，
解不等式①得，x＞﹣1，
解不等式②得，x≤2，
所以不等式组的解集是﹣1＜x≤2．
16.（2020四川内江模拟）任取不等式组的一个整数解，则能使关于x的方程：2x＋k＝－1的解为非负数的概率为______．
【答案】
【解析】不等式组的解集为－＜k≤3，其整数解为k＝－2，－1，0，1，2，3．
其中，当k＝－2，－1时，方程2x＋k＝－1的解为非负数．
所以所求概率P＝＝．
17.（2019•河南）不等式组的解集是 ．
【答案】x≤﹣2．
【解析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．
解不等式≤﹣1，得：x≤﹣2，
解不等式﹣x+7＞4，得：x＜3，
则不等式组的解集为x≤﹣2
18.(2019内蒙古包头市)已知不等式组的解集为x＞-1，则k的取值范围是_________.
【答案】k≤-2.
【解析】
不等式组
解不等式①得，x＞-1;
解不等式②得，x＞k+1;
∵原不等式组的解集为x＞-1，
∴k+1≤-1
解得，k≤-2.
19.(2019黑龙江大庆)已知x＝4是不等式ax－3a－1<0的解,x＝2不是不等式ax－3a－1<0的解,则实数a的取值范围是______.
【答案】a≤－1
【解析】∵x＝4是不等式ax－3a－1<0的解,所以4a－3a－1<0,a<1,
因为x＝2不是不等式ax－3a－1<0的解,
所以2a－3a－1≥0,所以a≤－1,所以a≤－1.
20.（2019•铜仁）如果不等式组的解集是x＜a﹣4，则a的取值范围是 ．
【答案】a≥﹣3．
【解析】解这个不等式组为x＜a﹣4，
则3a+2≥a﹣4，
解这个不等式得a≥﹣3
故答案a≥﹣3．
三、解答题
21．（2020•枣庄）解不等式组4(x+1)≤7x+13，x-4＜x-83，并求它的所有整数解的和．
【答案】见解析。
【解析】先求出两个不等式的解集，再求其公共解，然后找出整数求和即可．
4(x+1)≤7x+13①x-4＜x-83②，
由①得，x≥﹣3，
由②得，x＜2，
所以，不等式组的解集是﹣3≤x＜2，
所以，它的整数解为：﹣3，﹣2，﹣1，0，1，
所以，所有整数解的和为﹣5．
22．（2020•哈尔滨）昌云中学计划为地理兴趣小组购买大、小两种地球仪，若购买1个大地球仪和3个小地球仪需用136元；若购买2个大地球仪和1个小地球仪需用132元．
（1）求每个大地球仪和每个小地球仪各多少元；
（2）昌云中学决定购买以上两种地球仪共30个，总费用不超过960元，那么昌云中学最多可以购买多少个大地球仪？
【答案】见解析。
【分析】（1）设每个大地球仪x元，每个小地球仪y元，根据条件建立方程组求出其解即可；
（2）设大地球仪为a台，则每个小地球仪为（30﹣a）台，根据要求购买的总费用不超过960元，列出不等式解答即可．
【解析】（1）设每个大地球仪x元，每个小地球仪y元，根据题意可得：
x+3y=1362x+y=132，
解得：x=52y=28，
答：每个大地球仪52元，每个小地球仪28元；
（2）设大地球仪为a台，则每个小地球仪为（30﹣a）台，根据题意可得：
52a+28（30﹣a）≤960，
解得：a≤5，
答：最多可以购买5个大地球仪．
23．（2020•辽阳）某校计划为教师购买甲、乙两种词典．已知购买1本甲种词典和2本乙种词典共需170元，购买2本甲种词典和3本乙种词典共需290元．
（1）求每本甲种词典和每本乙种词典的价格分别为多少元？
（2）学校计划购买甲种词典和乙种词典共30本，总费用不超过1600元，那么最多可购买甲种词典多少本？
【答案】见解析。
【分析】（1）设每本甲种词典的价格为x元，每本乙种词典的价格为y元，根据“购买1本甲种词典和2本乙种词典共需170元，购买2本甲种词典和3本乙种词典共需290元”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设学校购买甲种词典m本，则购买乙种词典（30﹣m）本，根据总价＝单价×数量结合总费用不超过1600元，即可得出关于m的一元一次不等式，解之取其中的最大值即可得出结论．
【解析】（1）设每本甲种词典的价格为x元，每本乙种词典的价格为y元，
依题意，得：x+2y=1702x+3y=290，
解得：x=70y=50．
答：每本甲种词典的价格为70元，每本乙种词典的价格为50元．
（2）设学校购买甲种词典m本，则购买乙种词典（30﹣m）本，
依题意，得：70m+50（30﹣m）≤1600，
解得：m≤5．
答：学校最多可购买甲种词典5本．
24.（2020福州模拟）某次知识竞赛共有20道题，每一题答对得5分，答错或不答都扣3分．
(1) 小明考了68分，那么小明答对了多少道题？
(2) 小亮获得二等奖(70～90分)，请你算算小亮答对了几道题？
【答案】见解析。
【解析】(1) 设小明答对了x道题，
依题意得：5x－3(20－x)＝68．
解得：x＝16．
答：小明答对了16道题．
(2) 设小亮答对了y道题，
依题意得：eq \b\lc\{(\a\al\c(5y－3(20－y)≥70,5y－3(20－y)≤90))．
因此不等式组的解集为16 eq \f(1,4)≤y≤18 eq \f(3,4)．
∵ y是正整数，
∴ y＝17或18．
答：小亮答对了17道题或18道题．
25.（2019广西省贵港市）解不等式组：，并在数轴上表示该不等式组的解集．
【答案】见解析。
【解析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．
解不等式，得：，
解不等式，得：，
则不等式组的解集为，
将不等式组的解集表示在数轴上如下：
26.（2019北京市）解不等式组：
【答案】.
【解析】先求出每个不等式的解集，再取两个不等式解集的公共部分，就是不等式组的解集.取公共部分按照“大大取大，小小取小，大小小大取中间，大大小小无处找”原则即可.
由①得
由②得
①和②的公共部分由“小小取小”得原不等式组解集为.
27.（2019•江苏扬州）解不等式组，并写出它的所有负整数解．
【答案】﹣3≤x＜2，所有负整数解为﹣3、﹣2、﹣1．
【解析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．
解不等式4（x+1）≤7x+13，得：x≥﹣3，
解不等式x﹣4＜，得：x＜2，
则不等式组的解集为﹣3≤x＜2，
所以不等式组的所有负整数解为﹣3、﹣2、﹣1．
28.（2019贵州省安顺市）先化简（1+）÷，再从不等式组的整数解中选一个合适的x的值代入求值．
【答案】见解析。
【解析】首先进行分式的加减运算，进而利用分式的混合运算法则进而化简，再解不等式组，得出x的值，把已知数据代入即可．
原式＝×＝
解不等式组得﹣2＜x＜4，
∴其整数解为﹣1，0，1，2，3，
∵要使原分式有意义，
∴x可取0，2．∴当x＝0 时，原式＝﹣3，
（或当x＝2 时，原式＝﹣）．
29．（2019•新疆）解不等式组：并把解集在数轴上表示出来．
【答案】见解析。
【解析】先求出每个不等式的解集，再求出不等式组的解集，即可得出答案．
解不等式①得：x＜2，
解不等式②得：x＞1，
∴不等式组的解集为1＜x＜2，
在数轴上表示不等式组的解集为：
．
30.（2019四川巴中）在“扶贫攻坚”活动中，某单位计划选购甲、乙两种物品慰问贫困户．已知甲物品的单价比乙物品的单价高10元，若用500元单独购买甲物品与450元单独购买乙物品的数量相同．
①请问甲、乙两种物品的单价各为多少？
②如果该单位计划购买甲、乙两种物品共55件，总费用不少于5000元且不超过5050元，通过计算得出共有几种选购方案？
【答案】见解析。
【解析】①设乙种物品单价为x元，则甲种物品单价为（x+10）元，由题意得：
＝
解得x＝90
经检验，x＝90符合题意
∴甲种物品的单价为100元，乙种物品的单价为90元．
②设购买甲种物品y件，则乙种物品购进（55﹣y）件
由题意得：5000≤100y+90（55﹣y）≤5050
解得5≤y≤10 ,∴共有6种选购方案．
31.（2019▪湖北黄石）若点P的坐标为（，2x﹣9），其中x满足不等式组，求点P所在的象限．
【答案】点P在的第四象限．
【解析】先求出不等式组的解集，进而求得P点的坐标，即可求得点P所在的象限．
，
解①得：x≥4，
解②得：x≤4，
则不等式组的解是：x＝4，
∵＝1，2x﹣9＝﹣1，
∴点P的坐标为（1，﹣1），∴点P在的第四象限．
32．（2019•遵义）某校计划组织240名师生到红色教育基地开展革命传统教育活动．旅游公司有A，B两种客车可供租用，A型客车每辆载客量45人，B型客车每辆载客量30人．若租用4辆A型客车和3辆B型客车共需费用10700元；若租用3辆A型客车和4辆B型客车共需费用10300元．
（1）求租用A，B两型客车，每辆费用分别是多少元；
（2）为使240名师生有车坐，且租车总费用不超过1万元，你有哪几种租车方案？哪种方案最省钱？
【答案】见解析。
【解析】（1）设租用A，B两型客车，每辆费用分别是x元、y元，
，
解得，，
答：租用A，B两型客车，每辆费用分别是1700元、1300元；
（2）设租用A型客车a辆，租用B型客车b辆，
，
解得，，，，
∴共有三种租车方案，
方案一：租用A型客车2辆，B型客车5辆，费用为9900元，
方案二：租用A型客车4辆，B型客车2辆，费用为9400元，
方案三：租用A型客车5辆，B型客车1辆，费用为9800元，
由上可得，方案二：租用A型客车4辆，B型客车2辆最省钱．
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