初中数学中考复习 专题09 解直角三角形（解析版）

专题09  解直角三角形

一  选择题

1.（上海浦东新区一模）在Rt△ABC中，∠C＝90°，如果BC＝5，AB＝13，那么sinA的值为（　　）

A． B． C． D．

【解析】：如图：

在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝5，AB＝13，

sinA＝＝．

故选：A．

2.(上海市杨浦区一模)在Rt△ABC中，∠C＝90°，如果AC＝2，cosA＝，那么AB的长是（　　）

A． B． C． D．

【解析】：在Rt△ABC中，∵∠C＝90°，AC＝2，

又∵cosA＝＝，

∴AB＝，

故选：B．

3.(绍兴市一模)若小王沿坡度i＝3：4的斜坡向上行走10m，则他所在的位置比原来的位置升高了（　　）

A．3m B．4m C．6m D．8m

【解析】：∵斜坡的坡度i＝3：4，

∴正切值为：tanα＝，

设两直角边为3x，4x，则（3x）2+（4x）2＝102，

解得：x＝2，

故3x＝6（m），

答：他所在的位置比原来的位置升高了6m．

故选：C．

 4.（上海浦东新区一模））如图，传送带和地面所成斜坡的坡度为1：3，它把物体从地面点A处送到离地面3米高的B处，则物体从A到B所经过的路程为（　　）

A．3米 B．2米 C．米 D．9米

【解析】：∵BC：AC＝1：3，

∴3：AC＝1：3，

∴AC＝9，

∴AB＝＝＝3，

∴物体从A到B所经过的路程为3，

故选：A．

5.(绍兴市一模)如图，一块矩形木板ABCD斜靠在墙边（OC⊥OB，点A，B，C，D，O在同一平面内），已知AB＝a，AD＝b，∠BCO＝x，则点A到OC的距离等于（　　）

A．asinx+bsinx B．acosx+bcosx 

C．asinx+bcosx D．acosx+bsinx

【解析】：作AE⊥OC于点E，作AF⊥OB于点F，

∵四边形ABCD是矩形，

∴∠ABC＝90°，

∵∠ABC＝∠AEC，∠BCO＝x，

∴∠EAB＝x，

∴∠FBA＝x，

∵AB＝a，AD＝b，

∴FO＝FB+BO＝a•cosx+b•sinx，

故选：D．

6．(沈阳市一模)如图，在距离铁轨200米的B处，观察由南宁开往百色的“和谐号”动车，当动车车头在A处时，恰好位于B处的北偏东60°方向上；10秒钟后，动车车头到达C处，恰好位于B处的西北方向上，则这时段动车的平均速度是（　　）米/秒．

A．20（+1） B．20（﹣1） C．200 D．300

【解析】：作BD⊥AC于点D．

∵在Rt△ABD中，∠ABD＝60°，∴AD＝BD•tan∠ABD＝200（米），

同理，CD＝BD＝200（米）．则AC＝200+200（米）．

则平均速度是＝20（+1）米/秒．

故选：A．

7.(济南市槐荫区一模)如图，某建筑物的顶部有一块标识牌CD，小明在斜坡上B处测得标识牌顶部C的仰角为45°，沿斜坡走下来在地面A处测得标识牌底部D的仰角为60°，已知斜坡AB的坡角为30°，AB＝AE＝10米．则标识牌CD的高度是（　　）米．

A．15﹣5 B．20﹣10 C．10﹣5 D．5﹣5

【解析】：过点B作BM⊥EA的延长线于点M，过点B作BN⊥CE于点N，如图所示．

在Rt△ABE中，AB＝10米，∠BAM＝30°，

∴AM＝AB•cos∠BAM＝5米，BM＝AB•sin∠∠BAM＝5米．

在Rt△ACD中，AE＝10米，∠DAE＝60°，

∴DE＝AE•tan∠DAE＝10米．

在Rt△BCN中，BN＝AE+AM＝（10+5）米，∠CBN＝45°°，

∴CN＝BN•tan∠CBN＝（10+5）米，

∴CD＝CN+EN﹣DE＝10+5+5﹣10＝（15﹣5）米．

故选：A．

二 填空题

8.(绍兴市一模)如图，在△ABC中，sinB＝，tanC＝，AB＝3，则AC的长为　   　．

【解析】：过A作AD⊥BC，

在Rt△ABD中，sinB＝，AB＝3，

∴AD＝AB•sinB＝1，

在Rt△ACD中，tanC＝，

∴＝，即CD＝，

根据勾股定理得：AC＝＝＝，

故答案为：

9.（南通市崇川区启秀中学一模）某数学研究性学习小组制作了如下的三角函数计算图尺：在半径为1的半圆形量角器中，画一个直径为1的圆，把刻度尺CA的0刻度固定在半圆的圆心O处，刻度尺可以绕点O旋转．从图中所示的图尺可读出的值是______．

【解析】：如图，把刻度尺与圆的另一个交点记作D，连接AD．

是直径，
，
，，
，
由刻度尺可知，，
，
故答案为：．

10．(绍兴市一模)如图，∠MAN＝60°，若△ABC的顶点B在射线AM上，且AB＝2，点C在射线AN上运动，当△ABC是锐角三角形时，BC的取值范围是　   　．

【解析】：如图，过点B作BC1⊥AN，垂足为C1，BC2⊥AM，交AN于点C2

在Rt△ABC1中，AB＝2，∠A＝60°，

∴∠ABC1＝30°

∴AC1＝AB＝1，由勾股定理得：BC1＝，

在Rt△ABC2中，AB＝2，∠A＝60°

∴∠AC2B＝30°

∴AC2＝4，由勾股定理得：BC2＝2，

当△ABC是锐角三角形时，点C在C1C2上移动，此时＜BC＜2．

故答案为：＜BC＜2．

11.(上海市杨浦区一模)如图，某商店营业大厅自动扶梯AB的倾斜角为31°，AB的长为12米，则大厅两层之间的高度为　　米．（结果保留一位小数）【参考数据：sin31°＝0.515，cos31°＝0.867，tan31°＝0.601】

【分析】根据题意和锐角三角函数可以求得BC的长，从而可以解答本题．

【解析】：在Rt△ABC中，

∵∠ACB＝90°，

∴BC＝AB•sin∠BAC＝12×0.515≈6.2（米），

答：大厅两层之间的距离BC的长约为6.2米．

故答案为：6.2．

三 简答题

12.（芜湖市一模）如图是某斜拉桥引申出的部分平面图，AE，CD是两条拉索，其中拉索CD与水平桥面BE的夹角为72°，其底端与立柱AB底端的距离BD为4米，两条拉索顶端距离AC为2米，若要使拉索AE与水平桥面的夹角为35°，请计算拉索AE的长．（结果精确到0.1米）（参考数据：sin35°≈，cos35°≈，tan35°≈，sin72°≈，cos72°≈，tan72°≈）

【解析】：由题意可得：tan72°＝＝＝，

解得：BC＝，

则AB＝BC+AC＝+2＝（m），

故sin35°＝＝＝，

解得：AE≈26.2，

答：拉索AE的长为26.2m．

13.（南通市崇川区启秀中学一模）京杭大运河是世界文化遗产．综合实践活动小组为了测出某段运河的河宽岸沿是平行的，如图，在岸边分别选定了点A、B和点C、D，先用卷尺量得，，再用测角仪测得，，求该段运河的河宽CH的长．
 

【解析】：过D作，可得四边形CHED为矩形，
，
设，
在中，，
，
在中，，
，
由，得到，
解得：，即，
则该段运河的河宽为

14.（宿州市一模）（10分）如图，在笔直的公路AB上观察点C，在A点观察是北偏东60°，在B点观察是北偏西45°，已知A、B两点距离为10千米，求点C到AB的最短距离．（结果保留根号）

【解析】：如图，过点C作CD⊥AB，垂足为D，

在Rt△BCD中，∠CBD＝45°，

∴BD＝CD，

在Rt△CAD中，tan∠ACD＝，

∴AD＝CD•tan∠ACD＝CD，

由题意得，CD+CD＝10，

解得，CD＝5﹣5，

答：点C到AB的最短距离为（5﹣5）千米．

15.(上海市杨浦区一模)某校九年级数学兴趣小组的学生进行社会实践活动时，想利用所学的解直角三角形的知识测量教学楼的高度，他们先在点D处用测角仪测得楼顶M的仰角为30°，再沿DF方向前行40米到达点E处，在点E处测得楼项M的仰角为45°，已知测角仪的高AD为1.5米．请根据他们的测量数据求此楼MF的高．（结果精到0.1m，参考数据：≈1.414，≈1.732，≈2.449）

【解析】：设MC＝x，

∵∠MAC＝30°，

∴在Rt△MAC中，AC＝＝＝x．

∵∠MBC＝45°，

∴在Rt△MCB中，MC＝BC＝x，

又∵AB＝DE＝40，

∴AC﹣BC＝AB＝40，即x﹣x＝40，

解得：x＝20+20≈54.6，

∴MF＝MC+CF＝54.6+1.5＝56.1（米），

答：楼MF的高56.1米．

16.(合肥168中一模)身高米的兵兵在建筑物前放风筝，风筝不小心挂在了树上．在如图所示的平面图形中，矩形CDEF代表建筑物，兵兵位于建筑物前点B处，风筝挂在建筑物上方的树枝点G处点G在FE的延长线上经测量，兵兵与建筑物的距离米，建筑物底部宽米，风筝所在点G与建筑物顶点D及风筝线在手中的点A在同一条直线上，点A距地面的高度米，风筝线与水平线夹角为．
求风筝距地面的高度GF；
在建筑物后面有长5米的梯子MN，梯脚M在距墙3米处固定摆放，通过计算说明：若兵兵充分利用梯子和一根5米长的竹竿能否触到挂在树上的风筝？
参考数据：，，
 

【解析】：过A作于点P．
则，，，
在中，，
兵兵与建筑物的距离米，
米，
米；
由题意可知米，米，
在直角中，米，
，，
能触到挂在树上的风筝．

17.（合肥市天鹅湖教育集团一模）很多交通事故是由于超速行驶导致的，为集中治理超速现象，高速交警在距离高速路40米的地方设置了一个测速观察点，现测得测速点的西北方向有一辆小型轿车从B处沿西向正东方向行驶，2秒钟后到达测速点北偏东的方向上的C处，如图．

（1）求该小型轿车在测速过程中的平均行驶速度约是多少千米/时（精确到1千米/时）？

（参考数据：）

（2）我国交通法规定：小轿车在高速路行驶，时速超过限定速度10%以上不到50%的处200元罚款，扣3分；时速超过限定速度50%以上不到70%的处1500元罚款，扣12分；时速超过限定时速70%以上的处1500元罚款，扣12分．若该高速路段限速120千米/时，你认为该小轿车驾驶员会受到怎样的处罚．

【解析】（1）过点A作AD⊥BC于点D，则AD=40m，

∵∠BAD=45°，

∴∠ABD=45°，

∴BD=AD=40m，

∵∠DAC=60°，

∴CD=AD×tan60°=40m，

∴BC=40+40≈109.28m，∴小轿车速度=（千米/小时），

答：该小型轿车在测速过程中的平均行驶速度约是197千米/时；

（2）（197-120）÷120≈0.64=64％，

∵50％＜64％＜70％，

∴小轿车的驾驶员会受到1500元罚款，扣12分的处罚．

18.（天津市河北区一模）如图，已知一居民楼AD前方30m处有一建筑物BC，小敏在居民楼的顶部D处和底部A处分别测得建筑物顶部B的仰角为19°和41°，求居民楼的高度AD和建筑物的高度BC（结果取整数）．（参考数据：tan19°≈0.34，tan41°≈0.87）

【解析】：过点D作DE⊥BC于点E，则DE＝AC＝30，AD＝EC，

由题意得，∠BDE＝19°，∠BAC＝41°，

在Rt△ABC中，

BC＝AC•tan∠BAC＝30×tan41°≈26.1≈26，

在Rt△BDE中，

BE＝DE•tan∠BDE＝30×tan19°≈10.2，

∴AD＝BC﹣BE＝26.1﹣10.2＝15.9≈16．

答：居民楼的高度AD约为16米，建筑物的高度BC约为26米．

19.（淮北市名校联考一模）如图，一艘船由A港沿北偏东方向航行以海里时的速度航行2小时达到小岛B处，稍作休整，然后再沿北偏西方向航行至C港，C港在A港北偏东方向，求A，C两港之间的距离．精确到1海里参考数据：，
 

【解析】：作于D，
由题意得，，

，，
，
在中，，
，
在中，，
，
答：A，C两港之间的距离约为95海里．

20.（珠海市香洲区一模)如图，一名滑雪爱好者先从山脚下A处沿登山步道走到点B处，再沿索道乘坐缆车到达顶部C．已知在点A处观测点C，得仰角为35°，且A，B的水平距离AE＝1000米，索道BC的坡度i＝1：1，长度为2600米，求山的高度（即点C到AE的距离）（参考数据：sin35°≈0.57，cos35°≈0.82，tan35°≈0.70，≈1.41，结果保留整数）

【解析】：如图，作CD⊥AE于点D，BF⊥CD于点F．

又∵BE⊥AD，

∴四边形BEDF是矩形．

在Rt△BCF中，∵BC的坡度i＝1：1，

∴∠CBF＝45°．

∵BC＝2600米，

∴米．

∴米．

∵A，B的水平距离AE＝1000米，

∴米．

∵∠CAD＝35°，

∴（米）．

答：山高CD约为1983米．

21.（唐山市遵化市一模）图1是某浴室花洒实景图，图2是该花洒的侧面示意图．已知活动调节点B可以上下调整高度，离地面CD的距离设花洒臂与墙面的夹角为，可以扭动花洒臂调整角度，且花洒臂长假设水柱AE垂直AB直线喷射，小华在离墙面距离处淋浴．

当时，水柱正好落在小华的头顶上，求小华的身高DE．
如果小华要洗脚，需要调整水柱AE，使点E与点D重合，调整的方式有两种：
其他条件不变，只要把活动调节点B向下移动即可，移动的距离BF与小华的身高DE有什么数量关系？直接写出你的结论；
活动调节点B不动，只要调整的大小，在图3中，试求的度数．
参考数据：，，，

【解析】：过点A作的延长线于点G，交DE的延长线于点H，
，
四边形GCDH为矩形，
，，，
在中，
，，
，
，
，
，
又，
，
；
如图，
在中，
，
，
，
在中，．
，
，
，
．