初中数学中考复习 专题09 相似三角形（解析版）

《2020中考数学考前重难点限时训练》

专题09  相似三角形

（限时：45分钟）

一、选择题（本大题共5道小题）

1. 如图，将图形用放大镜放大，应该属于 (　　)

A.平移变换        B.相似变换

C.旋转变换        D.对称变换
【答案】B

[解析]图形放大是相似变换，只改变图形的大小，未改变其形状.　
2. 如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC边上的点，DE∥BC，若AD=2，AB=3，DE=4，则BC等于 (　　)

A.5     B.6     C.7     D.8
【答案】B　

[解析]∵DE∥BC，

∴△ADE∽△ABC，

∴=，即=，解得BC=6，故选B.
3. 如图平行四边形ABCD中，F为BC中点，延长AD至E，使DE∶AD=1∶3，连接EF交DC于点G，则S△DEG∶S△CFG=              (　　)

A.2∶3    B.3∶2    C.9∶4    D.4∶9
【答案】D　

[解析]因为四边形ABCD是平行四边形，所以AD=BC.因为DE∶AD=1∶3，F为BC中点，所以DE∶CF=2∶3，因为平行四边形ABCD中，DE∥CF，所以△DEG∽△CFG，相似比为2∶3，所以S△DEG∶S△CFG=4∶9.故选D.
4. 如图，每个小正方形的边长均为1，则下列图形中的三角形(阴影部分)与△A1B1C1相似的是 (　　)

【答案】B　

[解析]根据勾股定理分别表示出已知三角形的各边长，同理利用勾股定理表示出四个选项中阴影三角形的各边长，利用三边长对应成比例的两个三角形相似可得结果，△A1B1C1各边长分别为1，，选项A中阴影三角形三边长分别为:，3，三边不与已知三角形各边对应成比例，故两三角形不相似;选项B中阴影三角形三边长分别为:，2，，三边与已知三角形的各边对应成比例，故两三角形相似;选项C中阴影三角形三边长分别为:1，，2，三边不与已知三角形各边对应成比例，故两三角形不相似;选项D中阴影三角形三边长分别为:2，，三边不与已知三角形各边对应成比例，故两三角形不相似，故选B.
5. 如图①，长、宽均为3，高为8的长方体容器，放置在水平桌面上，里面盛有水，水面高为6，绕底面一棱进行旋转倾斜后，水面恰好触到容器口边缘，图②是此时的示意图，则图②中水面高度为              (　　)

A.     B.     C.    D.
【答案】A　

[解析]如图所示.设DM=x，则CM=8-x，

根据题意得:(8-x+8)×3×3=3×3×6，解得x=4，∴DM=4.

∵∠D=90°.                            

∴由勾股定理得:

BM===5.

过点B作BH⊥水平桌面于H，∵∠HBA+∠ABM=∠ABM+∠DBM=90°，

∴∠HBA=∠DBM，

∵∠AHB=∠D=90°，

∴△ABH∽△MBD，∴=，即=，解得BH=，即水面高度为.
二、填空题（本大题共4道小题）

6. 如图，在△ABC中，∠ACD=∠B，若AD=2，BD=3，则AC长为　　　　. 

【答案】　

[解析]∵∠ACD=∠B，∠CAD=∠BAC，∴△ACD∽△ABC，

∴=，即=，

∴AC=或AC=-(舍去).
7. 在某一时刻，测得一根高为1.8 m的竹竿的影长为3 m，同时同地测得一栋楼的影长为90 m，则这栋楼的高度为　　　　m. 
【答案】54
[解析]根据相似三角形对应边成比例有：，楼高=54米

8. 《九章算术》是我国古代数学名著，书中有下列问题:“今有勾五步，股十二步，问勾中容方几何?”其意思为:“今有直角三角形，勾(短直角边)长为5步，股(长直角边)长为12步，问该直角三角形能容纳的正方形边长最大是多少步?”该问题的答案是　　　　步. 

【答案】　

[解析]如图①，∵四边形CDEF是正方形，∴CD=ED=CF.

设ED=x，则CD=x，AD=12-x.

∵DE∥CF，∴∠ADE=∠C，∠AED=∠B，

∴△ADE∽△ACB，

∴=，∴=，∴x=.

如图②，四边形DGFE是正方形，过C作CP⊥AB于P，交DG于Q，∵S△ABC=AC·BC=AB·CP，则12×5=13CP，∴CP=.

设ED=y，同理得:△CDG∽△CAB，∴=，

∴=，y=<，

∴该直角三角形能容纳的正方形边长最大是步，故答案为:.
9. 如图，△OAB与△OCD是以点O为位似中心的位似图形，相似比为3∶4，∠OCD=90°，∠AOB=60°，若点B的坐标是(6，0)，则点C的坐标是　　　　. 

【答案】(2，2)　

[解析]如图，作AE⊥x轴于E，

∵∠OCD=90°，∠AOB=60°，

∴∠ABO=∠OAE=30°.

∵点B的坐标是(6，0)，∴AO=OB=3，

∴OE=OA=，

∴AE===，

∴A.

∵△OAB与△OCD是以点O为位似中心的位似图形，相似比为3∶4，

∴点C的坐标为，即(2，2).

三、解答题（本大题共4道小题）

10. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=10，BC=6，CD∥AB，∠ABC的平分线BD交AC于点E，求DE的长.

【答案】.

[解析]∵BD平分∠ABC，∴∠ABD=∠CBD.

∵AB∥CD，∴∠D=∠ABD，∴∠CBD=∠D，∴CD=BC=6.

在Rt△ABC中，AC===8.

∵AB∥CD，∴△ABE∽△CDE，

∴====，

∴CE=AE，DE=BE，即CE=AC=×8=3.

在Rt△BCE中，BE===3，

∴DE=BE=×3=.
11. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC.P为△ABC内部一点，且∠APB=∠BPC=135°.

(1)求证:△PAB∽△PBC;

(2)求证:PA=2PC;

(3)若点P到三角形的边AB，BC，CA的距离分别为h1，h2，h3，求证:=h2·h3.

【答案】

证明:(1)在△ABP中，∠APB=135°，

∴∠ABP+∠BAP=45°，

又△ABC为等腰直角三角形，∴∠ABC=45°，即∠ABP+∠CBP=45°，

∴∠BAP=∠CBP，

又∠APB=∠BPC=135°，∴△PAB∽△PBC.

(2)由(1)知△PAB∽△PBC，

∴===，

∴=·=2，即PA=2PC.

(3)方法一:如图①，过点P作边AB，BC，CA的垂线，垂足分别为Q，R，S，则PQ=h1，

PR=h2，PS=h3，

在Rt△CPR中，=tan∠PCR==，

∴=，即h3=2h2.

又由△PAB∽△PBC，且=，得:=，即h1=h2，

∴=h2·h3.

方法二:如图②，过点P作边AB，BC，CA的垂线，垂足分别为Q，R，S，连接SQ，SR，RQ，易知四边形ASPQ，四边形BRPQ都有外接圆，

∴∠PSQ=∠PAQ，∠PQR=∠PBR，         

由(1)可知∠PAB=∠PBC，

∴∠PSQ=∠PQR.

又∵∠SPQ=∠QPR=180°-45°=135°，

∴△PSQ∽△PQR，

∴=，即PQ2=SP·PR，∴=h2·h3.
12. 如图，四边形ABCD和四边形ACED都是平行四边形，点R为DE的中点，BR分别交AC，CD于点P，Q.

(1)求证:△ABP∽△DQR;

(2)求的值.

【答案】

解:(1)证明:∵四边形ABCD和四边形ACED都是平行四边形，

∴AB∥CD，AC∥DE，

∴∠BAC=∠ACD，∠ACD=∠CDE，

∴∠BAC=∠QDR.

∵AB∥CD，∴∠ABP=∠DQR，

∴△ABP∽△DQR.

(2)∵四边形ABCD和四边形ACED都是平行四边形，∴AD=BC，AD=CE，∴BC=CE.

∵CP∥RE，∴BP=PR，∴CP=RE.

∵点R为DE的中点，∴DR=RE，∴=.∵CP∥DR，∴△CPQ∽△DRQ，

∴==，

∴=，

由(1)得:△ABP∽△DQR，

∴===.
13. 如图，△ABC为锐角三角形，AD是BC边上的高，正方形EFGH的一边FG在BC上，顶点E，H分别在AB，AC上，已知BC=40 cm，AD=30 cm.

(1)求证:△AEH∽△ABC;

(2)求这个正方形的边长与面积.

【答案】

[解析](1)根据EH∥BC即可证明.

(2)设AD与EH交于点M，首先证明四边形EFDM是矩形，设正方形边长为x，利用△AEH∽△ABC，得=，列出方程即可解决问题.

解:(1)证明:∵四边形EFGH是正方形，

∴EH∥BC，

∴∠AEH=∠B，∠AHE=∠C，

∴△AEH∽△ABC.

(2)如图，设AD与EH交于点M.

∵∠EFD=∠FEM=∠FDM=90°，

∴四边形EFDM是矩形，

∴EF=DM.

设正方形EFGH的边长为x cm，

∵△AEH∽△ABC，

∴=，∴=，

∴x=，

∴正方形EFGH的边长为 cm，

面积为 cm2.