2023 华师大版数学九年级下册开学测试卷（一）

这是一份2023 华师大版数学九年级下册开学测试卷（一），文件包含2023华师大版数学九年级下册开学测试卷一解析版docx、2023华师大版数学九年级下册开学测试卷一原卷版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共36页， 欢迎下载使用。
开学测试卷一
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（3分）要使二次根式有意义，则x的取值范围是（　　）
A．x≥﹣1 B．x＞﹣1且x≠0 C．x≠0 D．x≥﹣1且x≠0
2．（3分）下列语句中，表示不可能事件的是（　　）
A．绳锯木断 B．杀鸡取卵 C．钻木取火 D．水中捞月
3．（3分）如图，点P是矩形ABCD内一点，连接PA、PB、PC、PD，已知AB＝3，BC＝4，设△PAB、△PBC、△PCD、△PDA的面积分别为S1、S2、S3、S4，以下判断：
①PA+PB+PC+PD的最小值为10；②若△PAB≌△PCD，则△PAD≌△PBC；
③若S1＝S2，则S3＝S4；④若△PAB∽△PDA，则PA＝2.4．其中正确的是（　　）

A．①②③ B．②③④ C．②③ D．①②③④
4．（3分）如图，某学校有一块长35米、宽20米的长方形试验田，为了便于管理，现要在中间开辟一横两纵三条等宽的小道，要使种植面积为600平方米．设小道的宽为x米，根据题意可列方程为（　　）

A．（35﹣x）（20﹣2x）＝600
B．35×20﹣35x﹣20x+2x2＝600
C．（35﹣2x）（20﹣x）＝600
D．35x+2×20x﹣2x2＝600
5．（3分）在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝1，AB＝4，则sinB的值是（　　）
A． B． C． D．
6．（3分）若关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0的两根分别为x1＝﹣2，x2＝4，则二次函数y＝a2+bx+c的对称轴为（　　）
A．x＝﹣3 B．x＝3 C．x＝1 D．x＝﹣1
7．（3分）如图，AB是⊙O的直径，点C，D为⊙O上的点．若∠D＝120°，则∠CAB的度数为（　　）

A．30° B．40° C．50° D．60°
8．（3分）把抛物线y＝5x2向左平移2个单位，再向上平移3个单位，得到的抛物线是（　　）
A．y＝5（x﹣2）2+3 B．y＝5（x+2）2﹣3
C．y＝5（x+2）2+3 D．y＝5（x﹣2）2﹣3
9．（3分）如图，已知点D、E是△ABC中AB边上的点，△CDE是等边三角形，∠ACB＝120°，则下列结论中错误的是（　　）

A．AC2＝AD•AB B．BC2＝BE•AB
C．DE2＝AD•BE D．AC•BC＝AE•BD
10．（3分）如图，折叠矩形ABCD的一边AD，使点D落在BC边的点F处，已知折痕AE＝10cm，且tan∠CEF＝，那么矩形ABCD的面积为（　　）cm2．

A．280 B．300 C．320 D．360
二．填空题（共5小题，满分15分，每小题3分）
11．（3分）已知x＝，那么2x2+6x﹣3的值是 　 　．
12．（3分）在7瓶饮料中，有4瓶已过了保质期，从这7瓶饮料中任取1瓶，取到已过保质期饮料的概率为 　 　（结果用分数表示）．
13．（3分）如图，劣弧与的度数之差为20°，弦AB与CD交于点E，∠CEB＝60°，求∠CAB的度数　 　．

14．（3分）如图，△ABC的顶点都是正方形网格中的格点，则tan∠ABC＝　 　．

15．（3分）已知△ABC中，，过点A作BC边上的高，垂足为D，且BD：CD＝2：1，则△ABC的面积为 　 　．
三．解答题（共8小题，满分75分）
16．（10分）（1）计算：÷﹣×﹣．
（2）解方程：（x﹣2）（x﹣3）＝6．
17．（9分）如图，△ABC的三个顶点的坐标分别为A（3，1），B（1，2），C（4，3）．
（1）以原点O为位似中心，在第一象限内将△ABC放大为原来的2倍得到△A1B1C1，作出△A1B1C1，写出A1，B1，C1的坐标；
（2）四边形AA1B1B的面积为 　 　．

18．（8分）不透明的盒子中有四个形状、大小、质地完全相同的小球，标号分别为1，2，3，4．
（1）从盒子中随机摸出一个小球，标号是奇数的概率是 　 　；
（2）先从盒子中随机摸出一个小球，放回后摇匀，再随机摸出一个小球，记两次摸出球的标号之和为m，则m可能取2～8中的任何一个整数，分析哪个整数出现的可能性最大．
19．（8分）阅读材料：
关于三角函数有如下的公式：
sin（α+β）＝sinαcosβ+cosαsinβ，
sin（α﹣β）＝sinαcosβ﹣cosαsinβ，
tan（α+β）＝，
tan（α﹣β）＝，
利用这些公式可以将一些不是特殊角的三角函数转化为特殊角的三角函数来求值．
例：tan15°＝tan（45°﹣30°）＝＝＝＝．
请根据上述材料，结合你所学的知识选择适当的公式解答下面问题：
（1）计算：sin15°；sin75°；
（2）为了纪念红军长征胜利五十周年，1986年1月1日彝海结盟纪念碑在西昌市中心顺利落成，成为西昌市标志性建筑物之一（图1），某校课外兴趣活动小组学生用所学知识来测量该建筑物的高度，如图2，某同学站在离纪念碑底A距离3米的C处，测得纪念碑顶点B的仰角为75°，该同学的眼睛D点离地面的距离DC为1.6米，请帮助他求出纪念碑的高度．（精确到0.1米，参考数据≈1.41）

20．（8分）我市某楼盘准备以每平方米8000元的均价对外销售，由于国务院有关房地产的新政策出台后，购房者持币观望，房地产开发商为了加快资金周转，对价格经过两次下调后，决定以每平方米6480元的均价开盘销售
（1）求平均每次下调的百分率．
（2）某人准备以开盘价均价购买一套100平方米的住房，开发商给予以下两种优惠方案以供选择：
①打9.8折销售；
②不打折，一次性送装修费每平方米80元．
试问哪种方案更优惠？
21．（8分）如图，⊙O的直径AB的长为10，弦AC的长为6，∠ACB的平分线交⊙O于点D．
（1）求弦BC的长；
（2）求弦BD的长；
（3）求CD的长．

22．（12分）在等边△ABC中，AB＝6，BD⊥AC，垂足为D，点E为AB边上一点，点F为直线BD上一点，连接EF．
（1）将线段EF绕点E逆时针旋转60°得到线段EG，连接FG．
①如图1，当点E与点B重合，且GF的延长线过点C时，连接DG，求线段DG的长；
②如图2，点E不与点A，B重合，GF的延长线交BC边于点H，连接EH，求证：BE+BH＝BF；
（2）如图3，当点E为AB中点时，点M为BE中点，点N在边AC上，且DN＝2NC，点F从BD中点Q沿射线QD运动，将线段EF绕点E顺时针旋转60°得到线段EP，连接FP，当NP+MP最小时，直接写出△DPN的面积．

23．（12分）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝x2+bx+c交x轴于A（﹣1，0），B（3，0）两点，交y轴于点C．
（1）如图1，求抛物线的解析式；
（2）如图2，点P是第一象限抛物线上的一个动点，连接CP交x轴于点E，过点P作PK∥x轴交抛物线于点K，交y轴于点N，连接AN、EN、AC，设点P的横坐标为t，四边形ACEN的面积为S，求S与t之间的函数关系式（不要求写出自变量t的取值范围）；
（3）如图3，在（2）的条件下，点F是PC中点，过点K作PC的垂线与过点F平行于x轴的直线交于点H，KH＝CP，点Q为第一象限内直线KP下方抛物线上一点，连接KQ交y轴于点G，点M是KP上一点，连接MF、KF，若∠MFK＝∠PKQ，MP＝AE+GN，求点Q坐标．


开学测试卷一
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（3分）要使二次根式有意义，则x的取值范围是（　　）
A．x≥﹣1 B．x＞﹣1且x≠0 C．x≠0 D．x≥﹣1且x≠0
【分析】直接利用二次根式有意义的条件得出答案．
【解答】解：要使二次根式有意义，
则x+1≥0，且x≠0，
故x的取值范围是：x≥﹣1且x≠0．
故选：D．
【点评】此题主要考查了二次根式有意义的条件，注意分母不为零是解题关键．
2．（3分）下列语句中，表示不可能事件的是（　　）
A．绳锯木断 B．杀鸡取卵 C．钻木取火 D．水中捞月
【分析】直接根据随机事件的概念进行判断即可得到答案．
【解答】解：A、绳锯木也可能断，也可能不断，故是随机事件，不符合题意；
B、杀鸡取卵，是随机事件，不符合题意；
C、钻木取火是随机事件，不符合题意；
D、水中捞月是不可能事件，符合题意．
故选：D．
【点评】此题考查的是随机事件，掌握随机事件的概念是解决此题关键．
3．（3分）如图，点P是矩形ABCD内一点，连接PA、PB、PC、PD，已知AB＝3，BC＝4，设△PAB、△PBC、△PCD、△PDA的面积分别为S1、S2、S3、S4，以下判断：
①PA+PB+PC+PD的最小值为10；②若△PAB≌△PCD，则△PAD≌△PBC；
③若S1＝S2，则S3＝S4；④若△PAB∽△PDA，则PA＝2.4．其中正确的是（　　）

A．①②③ B．②③④ C．②③ D．①②③④
【分析】①当点P是矩形ABCD两对角线的交点时，PA+PB+PC+PD的值最小，根据勾股定理可得PA+PB+PC+PD的最小值，即可判断；
②根据全等三角形的性质可得PA＝PC，PB＝PD，那么P在线段AC、BD的垂直平分线上，即P是矩形ABCD两对角线的交点，易证△PAD≌△PBC，即可判断；
③易证S1+S3＝S2+S4，所以若S1＝S2，则S3＝S4，即可判断；
④根据相似三角形的性质可得∠PAB＝∠PDA，∠PAB+∠PAD＝∠PDA+∠PAD＝90°，利用三角形内角和定理得出∠APD＝180°﹣（∠PDA+∠PAD）＝90°，同理可得∠APB＝90°，那么∠BPD＝180°，即B、P、D三点共线，根据三角形面积公式可得PA＝2.4，即可判断．
【解答】解：①当点P是矩形ABCD两对角线的交点时，PA+PB+PC+PD的值最小，根据勾股定理得，AC＝BD＝5，所以PA+PB+PC+PD的最小值为10，故①正确；
②若△PAB≌△PCD，则PA＝PC，PB＝PD，所以P在线段AC、BD的垂直平分线上，即P是矩形ABCD两对角线的交点，所以△PAD≌△PBC，故②正确；
③如图，若S1＝S2，
过点P作PH⊥BC于H，HP的延长线交AD于G，
则PG⊥AD．
∴四边形ABHG是矩形，
∴GH＝AB，
∴S2+S4＝AD•PG+BC•PH＝BC•（PH+PG）＝BC•GH＝BC•AB，
过点P作PM⊥AB于M，MP的延长线交CD于N，
同理S1+S3＝BC•AB，
∴S1+S3＝S2+S4，则S3＝S4，故③正确；
④若△PAB∽△PDA，则∠PAB＝∠PDA，∠PAB+∠PAD＝∠PDA+∠PAD＝90°，∠APD＝180°﹣（∠PDA+∠PAD）＝90°，同理可得∠APB＝90°，那么∠BPD＝180°，B、P、D三点共线，PA是直角△BAD斜边上的高，根据面积公式可得PA＝2.4，故④正确．
故选：D．

【点评】本题考查了轴对称﹣最短路线问题，全等三角形、相似三角形的性质，勾股定理，矩形的性质，线段垂直平分线的判定等知识，掌握相关的判定定理和性质定理是解题的关键．
4．（3分）如图，某学校有一块长35米、宽20米的长方形试验田，为了便于管理，现要在中间开辟一横两纵三条等宽的小道，要使种植面积为600平方米．设小道的宽为x米，根据题意可列方程为（　　）

A．（35﹣x）（20﹣2x）＝600
B．35×20﹣35x﹣20x+2x2＝600
C．（35﹣2x）（20﹣x）＝600
D．35x+2×20x﹣2x2＝600
【分析】若设小道的宽为x米，则剩余部分可合成长（35﹣2x）米，宽（20﹣x）米的长方形，根据使种植面积为600平方米，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．
【解答】解：若设小道的宽为x米，则剩余部分可合成长（35﹣2x）米，宽（20﹣x）米的长方形，
依题意得：（35﹣2x）（20﹣x）＝600．
故选：C．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
5．（3分）在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝1，AB＝4，则sinB的值是（　　）
A． B． C． D．
【分析】根据勾股定理求出AC，根据余弦的定义计算即可．
【解答】解：由勾股定理得，AC＝＝＝
则sinB＝＝，
故选：C．
【点评】本题考查的是锐角三角函数的定义，掌握锐角A的邻边b与斜边c的比叫做∠A的余弦是解题的关键．
6．（3分）若关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0的两根分别为x1＝﹣2，x2＝4，则二次函数y＝a2+bx+c的对称轴为（　　）
A．x＝﹣3 B．x＝3 C．x＝1 D．x＝﹣1
【分析】根据两根之和公式可以求出对称轴公式．
【解答】解：∵一元二次方程ax2+bx+c＝0的两个根为﹣2和4，
∴x1+x2＝﹣＝2．
∴二次函数y＝a2+bx+c的对称轴为x＝﹣＝×2＝1．
故选：C．
【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点．要求熟悉二次函数与一元二次方程的关系和两根之和公式，并熟练运用．
7．（3分）如图，AB是⊙O的直径，点C，D为⊙O上的点．若∠D＝120°，则∠CAB的度数为（　　）

A．30° B．40° C．50° D．60°
【分析】利用圆内接四边形的性质求出∠B＝60°，再求出∠CAB即可．
【解答】解：∵∠D+∠B＝180°，∠D＝120°，
∴∠B＝60°，
∵AB是直径，
∴∠ACB＝90°，
∴CAB＝90°﹣∠B＝30°，
故选：A．
【点评】本题考查圆周角定理，圆内接四边形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
8．（3分）把抛物线y＝5x2向左平移2个单位，再向上平移3个单位，得到的抛物线是（　　）
A．y＝5（x﹣2）2+3 B．y＝5（x+2）2﹣3
C．y＝5（x+2）2+3 D．y＝5（x﹣2）2﹣3
【分析】按照“左加右减，上加下减”的规律进行解题．
【解答】解：将抛物线y＝5x2向左平移2个单位，再向上平移3个单位得到函数解析式是：y＝5（x+2）2+3．
故选：C．
【点评】此题考查了抛物线的平移以及抛物线解析式的变化规律：左加右减，上加下减．
9．（3分）如图，已知点D、E是△ABC中AB边上的点，△CDE是等边三角形，∠ACB＝120°，则下列结论中错误的是（　　）

A．AC2＝AD•AB B．BC2＝BE•AB
C．DE2＝AD•BE D．AC•BC＝AE•BD
【分析】由等边三有形的性质，邻补角的性质，相似三角形的判定与性质证明答案A、B、C的结论都正确，D答案结论错误，故选D．
【解答】解：如图所示：

∵△CDE是等边三角形，
∴∠CDE＝60°，
又∵∠ADC+∠CDE＝180°，
∴∠ADC＝120°，
又∵∠ACB＝120°，
∴∠ADC＝∠ACB，
在△ADC和△ACB中，
，
∴△ADC∽△ACB（AA），
∴，
∴AC2＝AB•AD，
即答案A正确；
同理可证：△CEB∽△ACB（AA），
∴，
∴BC2＝AB•BE，
即答案B正确；
∵∠ACD＝∠B，∠ADC＝∠CEB＝120°，
∴△ACD∽△CBE（AA），
∴，
∴CD•CE＝AD•BE，
又∵CD＝DE＝EC，
∴DE2＝AD•BE，
即答案C正确；
∵△ACE与△BDC不相似，
∴AC•BC＝AE•BD不成立，
即答案D错误．
故选：D．
【点评】本题综合考查了相似三角形的判定与性质，等边三角形的性质，邻补角的性质，等量代换等相关知识点，重点掌握相似三角形的判定与性质．
10．（3分）如图，折叠矩形ABCD的一边AD，使点D落在BC边的点F处，已知折痕AE＝10cm，且tan∠CEF＝，那么矩形ABCD的面积为（　　）cm2．

A．280 B．300 C．320 D．360
【分析】由tan∠CEF＝＝，设CE＝3k，则CF＝4k，DE＝EF＝5k，DC＝AB＝8k，根据∠AFB+∠EFC＝90°，∠CEF+∠EFC＝90°，得∠AFB＝∠CEF，即知tan∠AFB＝＝，即＝，可得BF＝6k，AF＝AD＝BC＝10k，在Rt△AFE中，（10k）2+（5k）2＝（10）2，可解得AB＝8k＝16，AD＝10k＝20，从而可得答案．
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B＝∠C＝∠D＝90°，
由折叠的性质得：∠AFE＝∠D＝90°，EF＝ED，AF＝AD，
又tan∠CEF＝＝，设CE＝3k，则CF＝4k，
由勾股定理得DE＝EF＝＝5k，
∴DC＝AB＝8k，
∵∠AFB+∠EFC＝90°，∠CEF+∠EFC＝90°，
∴∠AFB＝∠CEF，
∴tan∠AFB＝＝tan∠CEF＝，即＝，
∴BF＝6k，AF＝AD＝BC＝10k，
在Rt△AFE中，AF2+EF2＝AE2，
∴（10k）2+（5k）2＝（10）2，
解得：k＝2或k＝﹣2（舍去），
∴AB＝8k＝16，AD＝10k＝20，
∴矩形ABCD的面积＝AB•AD＝320（cm2），
故选：C．
【点评】此题考查了翻折变换的性质、矩形的性质、勾股定理、三角函数定义等知识，解答本题关键是根据三角函数定义，表示出相关线段的长度，然后利用勾股定理进行解答．
二．填空题（共5小题，满分15分，每小题3分）
11．（3分）已知x＝，那么2x2+6x﹣3的值是 　﹣5　．
【分析】整理关于x的等式后两边平方，先求出2x2+6x的值，再整体代入．
【解答】解：∵x＝，
∴2x+3＝．
两边平方，得4x2+12x+9＝5，
整理，得2x2+6x＝﹣2，
∴2x2+6x﹣3
＝﹣2﹣3
＝﹣5．
故答案为：﹣5．
【点评】本题考查了二次根式及完全平方公式，求出2x2+6x的值是解决本题的关键．
12．（3分）在7瓶饮料中，有4瓶已过了保质期，从这7瓶饮料中任取1瓶，取到已过保质期饮料的概率为 　　（结果用分数表示）．
【分析】由在7瓶饮料中，有4瓶已过了保质期，直接利用概率公式求解即可求得答案．
【解答】解：∵在7瓶饮料中，有4瓶已过了保质期，
∴从这7瓶饮料中任取1瓶，取到已过保质期饮料的概率为：．
故答案为：．
【点评】此题考查了概率公式的应用．熟练掌握概率＝所求情况数与总情况数之比是解题的关键．
13．（3分）如图，劣弧与的度数之差为20°，弦AB与CD交于点E，∠CEB＝60°，求∠CAB的度数　35°　．

【分析】根据圆周角定理，可得：∠A﹣∠C＝10°；根据三角形外角的性质，可得∠CEB＝∠A+∠C＝60°；联立两式可求得∠A的度数．
【解答】解：由题意，弧BC与弧AD的度数之差为20°，
∴两弧所对圆心角相差20°，
∴2∠A﹣2∠C＝20°，
∴∠A﹣∠C＝10°…①；
∵∠CEB是△AEC的外角，
∴∠A+∠C＝∠CEB＝60°…②；
①+②，得：2∠A＝70°，即∠A＝35°．
故答案为：35°．
【点评】本题主要考查圆周角定理，三角形外角的性质等知识，解题的关键是熟练掌握圆周角定理，属于中考常考题型．
14．（3分）如图，△ABC的顶点都是正方形网格中的格点，则tan∠ABC＝　　．

【分析】根据正切：锐角A的对边a与邻边b的比叫做∠A的正切，记作tanA，利用网格计算即可．
【解答】解：tan∠ABC＝＝，
故答案为：．
【点评】此题主要考查了锐角三角函数，关键是掌握锐角三角函数的定义．
15．（3分）已知△ABC中，，过点A作BC边上的高，垂足为D，且BD：CD＝2：1，则△ABC的面积为 　8或24　．
【分析】分两种情况，根据已知条件确定高AD的长，然后根据三角形面积公式即可求得．
【解答】解：如图1所示：
∵BC＝6，BD：CD＝2：1，
∴BD＝4，
∵AD⊥BC，tanB＝，
∴＝，
∴AD＝BD＝，
∴S△ABC＝BC•AD＝×6×＝8；
如图2所示：∵BC＝6，BD：CD＝2：1，
∴BD＝12，
∵AD⊥BC，tanB＝，
∴＝，
∴AD＝BD＝8，
∴S△ABC＝BC•AD＝×6×8＝24；
综上，△ABC面积的所有可能值为8或24，
故答案为8或24．


【点评】本题考查了解直角三角形，以及三角函数的定义，三角形面积，分类讨论思想的运用是本题的关键．
三．解答题（共8小题，满分75分）
16．（10分）（1）计算：÷﹣×﹣．
（2）解方程：（x﹣2）（x﹣3）＝6．
【分析】（1）二次根式的混合运算，先算乘除，然后算加减；
（2）将原方程变形为一元二次方程的一般形式，然后用因式分解法解一元二次方程．
【解答】解：（1）原式＝4﹣﹣2
＝4﹣3；
（2）整理，得：x2﹣5x＝0，
x（x﹣5）＝0，
x＝0或x﹣5＝0，
∴x1＝0，x2＝5．
【点评】本题考查二次根式的混合运算和解一元二次方程，掌握二次根式的混合运算顺序和计算法则，因式分解法解一元二次方程的步骤是解题关键．
17．（9分）如图，△ABC的三个顶点的坐标分别为A（3，1），B（1，2），C（4，3）．
（1）以原点O为位似中心，在第一象限内将△ABC放大为原来的2倍得到△A1B1C1，作出△A1B1C1，写出A1，B1，C1的坐标；
（2）四边形AA1B1B的面积为 　7.5　．

【分析】（1）两条位似变换的性质分别作出A，B，C的对应点A1，B1，C1即可；
（2）把四边形面积看成矩形面积减去周围四个三角形面积即可．
【解答】解：（1）如图，△A1B1C1即为所求作．A1（6，2），B1（2，4），C1（8，6）；

（2）四边形AA1B1B的面积＝3×5﹣×1×2﹣×1×3﹣×2×4﹣×1×2＝7.5．
故答案为：7.5
【点评】本题考查作图﹣位似变换，四边形的面积等知识，解题的关键是掌握位似变换的性质，属于中考常考题型．
18．（8分）不透明的盒子中有四个形状、大小、质地完全相同的小球，标号分别为1，2，3，4．
（1）从盒子中随机摸出一个小球，标号是奇数的概率是 　　；
（2）先从盒子中随机摸出一个小球，放回后摇匀，再随机摸出一个小球，记两次摸出球的标号之和为m，则m可能取2～8中的任何一个整数，分析哪个整数出现的可能性最大．
【分析】（1）直接由概率公式求解即可；
（2）画树状图，共有12种等可能的结果，其中结果为5的结果有4种，最多，即可得出结论．
【解答】解：（1）从盒子中随机摸出一个小球，标号是奇数的概率是＝，
故答案为：；
（2）画树状图如下：

共有12种等可能的结果，其中结果为5的结果有4种，最多，
∴整数5出现的可能性最大．
【点评】此题考查了树状图法以及概率公式，正确画出树状图是解题的关键，用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
19．（8分）阅读材料：
关于三角函数有如下的公式：
sin（α+β）＝sinαcosβ+cosαsinβ，
sin（α﹣β）＝sinαcosβ﹣cosαsinβ，
tan（α+β）＝，
tan（α﹣β）＝，
利用这些公式可以将一些不是特殊角的三角函数转化为特殊角的三角函数来求值．
例：tan15°＝tan（45°﹣30°）＝＝＝＝．
请根据上述材料，结合你所学的知识选择适当的公式解答下面问题：
（1）计算：sin15°；sin75°；
（2）为了纪念红军长征胜利五十周年，1986年1月1日彝海结盟纪念碑在西昌市中心顺利落成，成为西昌市标志性建筑物之一（图1），某校课外兴趣活动小组学生用所学知识来测量该建筑物的高度，如图2，某同学站在离纪念碑底A距离3米的C处，测得纪念碑顶点B的仰角为75°，该同学的眼睛D点离地面的距离DC为1.6米，请帮助他求出纪念碑的高度．（精确到0.1米，参考数据≈1.41）

【分析】（1）根据题意代入公式计算，即可求出结果；
（2）解直角三角形求出BE的长，即可求解．
【解答】解：（1）sin15°＝sin（45°﹣30°）
＝sin45°cos30°﹣cos45°sin30°
＝×﹣×
＝；
sin75°＝sin（45°+30°）
＝sin45°cos30°+cos45°sin30°
＝×+×
＝；
（2）由题意得：AE＝CD＝1.6米，DE＝AC＝3米，
在Rt△BDE中，∠BED＝90°，∠BDE＝75°，
∴∠DBE＝90°﹣75°＝15°，
∵tan∠DBE＝，
∴BE＝＝＝3（2+）＝（6+3）米，
∴AB＝AE+BE＝（1.6+6+3）米≈12.8米，
答：纪念碑的高度约为12.8米．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题以及实数的运算，由锐角三角函数定义求出BE的长是解题的关键．
20．（8分）我市某楼盘准备以每平方米8000元的均价对外销售，由于国务院有关房地产的新政策出台后，购房者持币观望，房地产开发商为了加快资金周转，对价格经过两次下调后，决定以每平方米6480元的均价开盘销售
（1）求平均每次下调的百分率．
（2）某人准备以开盘价均价购买一套100平方米的住房，开发商给予以下两种优惠方案以供选择：
①打9.8折销售；
②不打折，一次性送装修费每平方米80元．
试问哪种方案更优惠？
【分析】（1）设出平均每次下调的百分率为x，利用准备每平方米销售价格×（1﹣每次下调的百分率）2＝开盘每平方米销售价格，列方程解答即可；
（2）分别利用两种销售方式求出房子的优惠价，进而得出答案．
【解答】解：（1）设平均每次下调的百分比为x，
由题意得：8000（1﹣x）2＝6480，
解得：x1＝0.1＝10%，x2＝1.9（不合题意，舍去），
所以平均每次下调的百分率为10%；

（2）方案①购房优惠：6480×100×（1﹣0.98）＝12960（元）；
方案②可优惠：80×100＝8000（元）．
故选择方案①更优惠．
【点评】此题考查了一元二次方程的应用，基本数量关系：准备每平方米销售价格×（1﹣每次下调的百分率）2＝开盘每平方米销售价格．
21．（8分）如图，⊙O的直径AB的长为10，弦AC的长为6，∠ACB的平分线交⊙O于点D．
（1）求弦BC的长；
（2）求弦BD的长；
（3）求CD的长．

【分析】（1）利用勾股定理求解即可．
（2）证明△ABD是等腰直角三角形，可得结论．
（3）作BH⊥CD于H，如图，求出CH，DH，可得结论．
【解答】
解：（1）∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
在Rt△ACB中，AB＝10，AC＝6，
∴BC＝＝＝8；

（2）∵AB为⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
∵∠ACB的平分线交⊙O于D，
∴∠ACD＝∠BCD，
∴AD＝BD，
∴△ABD为等腰直角三角形，
∴BD＝AB＝5；


（3）作BH⊥CD于H，如图，
∵∠BCH＝45°，
∴△BCH为等腰直角三角形，
∴BH＝CH＝BC＝4，
在Rt△BDH中，DH＝＝3，
∴CD＝CH+DH＝4+3＝7．

【点评】本题考查了圆周角定理，等腰直角三角形的判定与性质以及勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．
22．（12分）在等边△ABC中，AB＝6，BD⊥AC，垂足为D，点E为AB边上一点，点F为直线BD上一点，连接EF．
（1）将线段EF绕点E逆时针旋转60°得到线段EG，连接FG．
①如图1，当点E与点B重合，且GF的延长线过点C时，连接DG，求线段DG的长；
②如图2，点E不与点A，B重合，GF的延长线交BC边于点H，连接EH，求证：BE+BH＝BF；
（2）如图3，当点E为AB中点时，点M为BE中点，点N在边AC上，且DN＝2NC，点F从BD中点Q沿射线QD运动，将线段EF绕点E顺时针旋转60°得到线段EP，连接FP，当NP+MP最小时，直接写出△DPN的面积．

【分析】（1）①过D作DH⊥GC于H，先证明△BGF是等边三角形，求出CD长度，再证明BF＝CF＝GF，从而在Rt△BDC中，求出CF＝＝＝2，即得GF，在Rt△CDH中，求出DH＝CD•sin30°＝和CH＝CD•cos30°＝，可得GH＝GF+FH＝，Rt△GHD中，即可得到DG＝＝；
②过E作EP⊥AB交BD于P，过H作MH⊥BC交BD于M，连接PG，作BP中点N，连接EN，由∠ABC+∠EFH＝180°，得B、E、F、H共圆，可得∠FBH＝∠FEH，从而可证HF＝GF，由E、P、F、G共圆可得∠BMH＝∠GPF＝60°，故△GFP≌HFM，PF＝FM，可得NF＝MH，BF＝MH+EP，在Rt△BEP中，EP＝BE•tan30°＝BE，Rt△MHB中，MH＝BH•tan30°＝BH，即可得到BE+BH＝BF；
（2）以M为顶点，MP为一边，作∠PML＝30°，ML交BD于G，过P作PH⊥ML于H，设MP交BD于K，Rt△PMH中，HP＝MP，NP+MP最小即是NP+HP最小，此时N、P、H共线，而将线段EF绕点E顺时针旋转60°得到线段EP，可得∠QKP＝∠FEP＝60°，从而可证ML∥AC，四边形GHND是矩形，由DN＝2NC，得DN＝GH＝2，由等边△ABC中，AB＝6，点E为AB中点时，点M为BE中点，可得BM＝，BD＝AB•sinA＝3，Rt△BGM中，MG＝BM＝，BG＝BM•cos30°＝，可求MH＝MG+GH＝，GD＝BD﹣BG＝，Rt△MHP中，可得HP＝，从而可得PN＝HN﹣HP＝GD﹣HP＝，故S△DPN＝PN•DN＝．
【解答】解：（1）①过D作DH⊥GC于H，如图：

∵线段EF绕点E逆时针旋转60°得到线段EG，点E与点B重合，且GF的延长线过点C，
∴BG＝BF，∠FBG＝60°，
∴△BGF是等边三角形，
∴∠BFG＝∠DFC＝60°，BF＝GF，
∵等边△ABC，AB＝6，BD⊥AC，
∴∠DCF＝180°﹣∠BDC﹣∠DFC＝30°，∠DBC＝∠ABC＝30°，CD＝AC＝AB＝3，
∴∠BCG＝∠ACB﹣∠DCF＝30°，
∴∠BCG＝∠DBC，
∴BF＝CF，
∴GF＝CF，
Rt△FDC中，CF＝＝＝2，
∴GF＝2，
Rt△CDH中，DH＝CD•sin30°＝，CH＝CD•cos30°＝，
∴FH＝CF﹣CH＝，
∴GH＝GF+FH＝，
Rt△GHD中，DG＝＝；
②过E作EP⊥AB交BD于P，过H作MH⊥BC交BD于M，连接PG，作BP中点N，连接EN，如图：

∵EF绕点E逆时针旋转60°得到线段EG，
∴△EGF是等边三角形，
∴∠EFG＝∠EGF＝∠GEF＝60°，∠EFH＝120°，EF＝GF，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC＝60°，
∴∠ABC+∠EFH＝180°，
∴B、E、F、H共圆，
∴∠FBH＝∠FEH，
而△ABC是等边三角形，BD⊥AC，
∴∠DBC＝∠ABD＝30°，即∠FBH＝30°，
∴∠FEH＝30°，
∴∠FHE＝180°﹣∠EFH﹣∠FEH＝30°，
∴EF＝HF＝GF①，
∵EP⊥AB，∠ABD＝30°，
∴∠EPB＝60°，∠EPF＝120°，
∴∠EPF+∠EGF＝180°，
∴E、P、F、G共圆，
∴∠GPF＝∠GEF＝60°，
∵MH⊥BC，∠DBC＝30°，
∴∠BMH＝60°，
∴∠BMH＝∠GPF②，
而∠GFP＝∠HFM③，
由①②③得△GFP≌△HFM（AAS），
∴PF＝FM，
∵EP⊥AB，BP中点N，∠ABD＝30°，
∴EP＝BP＝BN＝NP，
∴PF+NP＝FM+BN，
∴NF＝BM，
Rt△MHB中，MH＝BM，
∴NF＝MH，
∴NF+BN＝MH+EP，即BF＝MH+EP，
Rt△BEP中，EP＝BE•tan30°＝BE，
Rt△MHB中，MH＝BH•tan30°＝BH，
∴BF＝BE+BH，
∴BE+BH＝BF；
（2）以M为顶点，MP为一边，作∠PML＝30°，ML交BD于G，过P作PH⊥ML于H，设MP交BD于K，如图：

Rt△PMH中，HP＝MP，
∴NP+MP最小即是NP+HP最小，此时N、P、H共线，
∵将线段EF绕点E顺时针旋转60°得到线段EP，
∴F在射线QF上运动，则P在射线MP上运动，根据“瓜豆原理”，F为主动点，P是从动点，E为定点，∠FEP＝60°，则F、P轨迹的夹角∠QKP＝∠FEP＝60°，
∴∠BKM＝60°，
∵∠ABD＝30°，
∴∠BMK＝90°，
∵∠PML＝30°，
∴∠BML＝60°，
∴∠BML＝∠A，
∴ML∥AC，
∴∠HNA＝180°﹣∠PHM＝90°，
而BD⊥AC，
∴∠BDC＝∠HNA＝∠PHM＝90°，
∴四边形GHND是矩形，
∴DN＝GH，
∵等边△ABC中，AB＝6，BD⊥AC，
∴CD＝3，
又DN＝2NC，
∴DN＝GH＝2，
∵等边△ABC中，AB＝6，点E为AB中点时，点M为BE中点，
∴BM＝，BD＝AB•sinA＝6×sin60°＝3，
Rt△BGM中，MG＝BM＝，BG＝BM•cos30°＝，
∴MH＝MG+GH＝，GD＝BD﹣BG＝，
Rt△MHP中，HP＝MH•tan30°＝，
∴PN＝HN﹣HP＝GD﹣HP＝，
∴S△DPN＝PN•DN＝．
【点评】本题考查等边三角形性质及应用，涉及旋转变换、解直角三角形、三角形全等的判定及性质、矩形的判定及性质等知识，难度较大，解题的关键是构造辅助线．
23．（12分）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝x2+bx+c交x轴于A（﹣1，0），B（3，0）两点，交y轴于点C．
（1）如图1，求抛物线的解析式；
（2）如图2，点P是第一象限抛物线上的一个动点，连接CP交x轴于点E，过点P作PK∥x轴交抛物线于点K，交y轴于点N，连接AN、EN、AC，设点P的横坐标为t，四边形ACEN的面积为S，求S与t之间的函数关系式（不要求写出自变量t的取值范围）；
（3）如图3，在（2）的条件下，点F是PC中点，过点K作PC的垂线与过点F平行于x轴的直线交于点H，KH＝CP，点Q为第一象限内直线KP下方抛物线上一点，连接KQ交y轴于点G，点M是KP上一点，连接MF、KF，若∠MFK＝∠PKQ，MP＝AE+GN，求点Q坐标．

【分析】（1）函数的表达式为：y＝（x+1）（x﹣3），即可求解；
（2）tan∠PCH＝＝＝，求出OE＝，利用S＝S△NCE+S△NAC，即可求解；
（3）证明△CNP≌△KRH，求出点P（4，5）确定tan∠QKP＝＝＝4﹣m＝tan∠QPK＝＝NG，最后计算KT＝MT＝（+），FT＝4﹣（+），
tan∠MFT＝＝4﹣m，即可求解．
【解答】解：（1）函数的表达式为：y＝（x+1）（x﹣3）＝x2﹣2x﹣3；
（2）过点P作PH⊥y轴交于点H，设点P（t，t2﹣2t﹣3），

CN＝t2﹣2t﹣3+3＝t2﹣2t，
∴tan∠PCH＝＝＝，
，解得：OE＝，
S＝S△NCE+S△NAC＝AE×CN＝t2+t；
（3）过点K作KR⊥FH于点R，

∵KH＝CP，∠NCP＝∠H，∠R＝∠PNC＝90°，
∴△CNP≌△KRH，∴PN＝KR＝NS，
∵点F是PC中点，SF∥NP，
∴PN＝KR＝NS＝CN，即t＝（t2﹣2t﹣3+3），
解得：t＝0或4（舍去0），点P（4，5），
点K、P时关于对称轴的对称点，故点K（﹣2，5），
∵OE∥PN，则，故OE＝，同理AE＝，
设点Q（m，m2﹣2m﹣3），过点Q作WQ⊥KP于点W，
WQ＝5﹣（m2﹣2m﹣3）＝﹣m2+2m+8，WK＝m+2，
tan∠QKP＝＝＝4﹣m＝tan∠QPK＝＝NG，
则NG＝8﹣2m，
MP＝AE+GN＝+（8﹣2m）＝﹣m+，
KM＝KP﹣MP＝+，
过点F作FL⊥KP于点L，点F（2，1），
则FL＝LK＝4，则∠LKF＝45°，
∵∠MFK＝∠PKQ，
tan∠MFK＝tan∠QKP＝4﹣m，
过点M作MT⊥FK于点T，则KT＝MT＝（+），
FT＝4﹣（+），
tan∠MFT＝＝4﹣m，
解得：m＝11或（舍去11），
故点Q（，）．
【点评】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数、三角形全等、图形的面积计算、解直角三角形等，其中（3），运用函数的观点，求解点的坐标，难度很大．

日期：2022/2/7 0:13:41；用户：初中账号6；邮箱：；学号：39888718