2022-2023学年四川省泸州市泸县一中高二（上）期末数学试卷（文科）(含答案解析)

2022-2023学年四川省泸州市泸县一中高二（上）期末数学试卷（文科）

1.  若直线：与直线：平行，则a的值为(    )

A.  B. 3 C. 3或 D. 或6

2.  某高校组织大学生知识竞赛，共设有5个版块的试题，分别是“中华古诗词”“社会主义核心价值观”“科学实践观”“中国近代史”及“创新发展能力”．某参赛队从中任选2个版块作答，则“创新发展能力”版块被该队选中的概率为(    )

A.  B.  C.  D.

3.  如图所示的茎叶图记录了甲、乙两名员工连续5天内的日产量数据单位：箱已知这两组数据的平均数分别为，，若这两组数据的中位数相等，则(    )

A.  B.
C.  D. ，的大小关系不确定

4.  双曲线的渐近线方程是(    )

A.
B.
C.
D.

5.  已知O为坐标原点，，则以OA为直径的圆方程为(    )

A.
B.
C.
D.

6.  圆M：与圆N：的位置关系为(    )

A. 相离
B. 外切
C. 内切
D. 相交

7.  曲线(    )

A. 关于x轴对称
B. 关于y轴对称
C. 关于原点对称
D. 不具有对称性

8.  若下面的程序框图输出的S是30，则条件①可为(    )

A.  B.  C.  D.

9.  已知直线与圆相交于点A，B，点P为圆上一动点，则面积的最大值是(    )

A.  B.  C.  D.

10.  已知抛物线C：的焦点为F，抛物线C上有一动点P，，则的最小值为(    )

A. 5 B. 6 C. 7 D. 8

11.  2022年卡塔尔世界杯是第22届世界杯足球赛，比赛于2022年11月21日至12月18日在卡塔尔境内7座城市中的12座球场举行．已知某足球的表面上有四个点A、B、C、P满足，，，则该足球的表面积为(    )

A.  B.  C.  D.

12.  已知，是双曲线的左、右焦点，点M是过坐标原点O且倾斜角为的直线l与双曲线C的一个交点，且则双曲线C的离心率为(    )

A. 2 B.  C.  D.

13.  抛物线的焦点到准线的距离等于______.

14.  从圆外一点向圆引切线，则此切线的长为______.

15.  已知函数，若实数a，b满足，且，则的取值范围是______.

16.  设，分别是椭圆C：的左、右焦点，点M为椭圆C上一点且在第一象限，若为等腰三角形，则M的坐标为______.

17.  某学校进行体检，现得到所有男生的身高数据，从中随机抽取50人进行统计已知这50人身高介于155cm到195cm之间，现将抽取结果按如下方式分成八组：第一组第二组…，第八组，并按此分组绘制如图所示的频率分布直方图，其中第六组和第七组还没有绘制完成，已知第一组与第八组人数相同，第六组和第七组人数的比为5：
补全频率分布直方图；
根据频率分布直方图估计这50位男生身高的中位数；
用分层抽样的方法在身高为内抽取一个容量为5的样本，从样本中任意抽取2位男生，求这两位男生身高都在内的概率．

18.  已知函数
若关于x的不等式的解集为，求a，b的值；
当时，解关于x的不等式

19.  已知以点为圆心的圆与直线：相切，过点的直线l与圆A相交于M，N两点，Q是MN的中点，
求圆A的标准方程；
求直线l的方程．

20.  如图四棱锥中，四边形ABCD为等腰梯形，，平面平面PCD，，，，
证明：平面PEB；
若Q在线段PC上，且，求三棱锥的体积．

21.  已知抛物线C：上一点到焦点F的距离为
求抛物线C的标准方程；
过焦点F的直线l与抛物线C交于不同的两点A，B，O为坐标原点，设直线OA，OB的斜率分别为，，求证：为定值．

22.  已知椭圆的左右焦点分别为，，抛物线与椭圆有相同的焦点，点P为抛物线与椭圆在第一象限的交点，且
求椭圆的方程；
过F作两条斜率不为0且互相垂直的直线分别交椭圆于A，B和C，D，线段AB的中点为M，线段CD的中点为N，证明：直线MN过定点，并求出该定点的坐标．

答案和解析

1.【答案】B 

【解析】解：直线：与直线：平行，
则，解得或，
当时，直线与不重合，符合题意，
当时，直线与重合，不符合题意，
综上所述，a的值为
故选：
根据已知条件，结合直线平行的性质，即可求解．
本题主要考查直线平行的性质，属于基础题．
 

2.【答案】B 

【解析】解：从5个板块中任选2个版块作答共有种选法，
“创新发展能力”版块被该队选中共有种选法，
所以所求事件的概率为，
故选：
分别求出总的选取个数以及所求事件的选取个数，然后根据古典概型的概率计算公式即可求解．
本题考查了古典概型的概率计算公式的应用，属于基础题．
 

3.【答案】C 

【解析】解：由题意得两组数据的中位数为83，则，
则，，
故选：
由中位数与平均数的概念求解．
本题主要考查了茎叶图的应用，考查了中位数和平均数的定义，属于基础题．
 

4.【答案】C 

【解析】解：双曲线，可得双曲线的渐近线方程为：
故选：
利用双曲线的标准方程，转化求解即可．
本题考查双曲线的简单性质的应用，考查转化首项以及计算能力．
 

5.【答案】B 

【解析】解：设OA中点为M，则由题可得，以OA为直径的圆圆心为，半径为，
故以OA为直径的圆方程为：
故选：
根据OA为直径可求得圆心坐标和半径，直接写出圆的标准方程即可．
本题考查圆的标准方程的求法，属于基础题．
 

6.【答案】C 

【解析】解：圆M：的圆心为，半径为，
圆N：即的圆心为，半径为，
故，，
所以圆M与圆N内切．
故选：
根据两圆的圆心距以及圆的半径和和半径差的大小关系确定两圆的位置关系．
本题主要考查了圆与圆的位置关系，属于基础题．
 

7.【答案】C 

【解析】解：对于A，将点代入曲线方程得：，
所以曲线不关于x轴对称，故A错误；
对于B，将点代入曲线方程得：，
所以曲线不关于y轴对称，故B错误；
对于C，将点代入曲线方程得：，
所以曲线关于原点对称，C正确，D错误．
故选：
将点，，分别代入方程，即可检验对称性．
本题主要考查了曲线的对称性，属于基础题．
 

8.【答案】B 

【解析】解：循环前，，，
第1次判断后循环，，，
第2次判断并循环，，，
第3次判断并循环，，，
第4次判断并循环，，，
第5次判断不满足条件①并退出循环，
输出条件①应该是或
故选：
用列举法，通过循环过程直接得出S与n的值，当时，此时，退出循环，从而可得判断框的条件．
本题考查循环结构，判断框中退出循环是解题的关键，考查计算能力，属于基础题．
 

9.【答案】A 

【解析】解：因为圆，所以圆心为，半径为，如图，

所以圆心到直线的距离，
则，
又点P到直线的距离的最大值为，
所以面积的最大值
故选：
先利用点线距离公式算得圆心到直线的距离，从而利用弦长公式求得，再利用圆上动点到直线的距离的最值求法求得点P到直线的最大距离，由此可求得面积的最大值．
本题考查了直线与圆的位置关系，属于中档题．
 

10.【答案】C 

【解析】解：抛物线C：的焦点为，准线l的方程为，
如图，过P作于M，

由抛物线的定义可知，所以
则当Q，P，M三点共线时，最小为
所以的最小值为
故选：
抛物线的准线l的方程为，过P作于M，根据抛物线的定义可知，则当Q，P，M三点共线时，可求得最小值，答案可得．
本题考查抛物线的定义及其性质，考查运算求解能力，属于基础题．
 

11.【答案】D 

【解析】解：因为，，，所以可以把A，B，C，P四点放到长方体的四个顶点上，
将四面体放入长方体中，四面体各边可看作长方体各面的对角线，如图所示：

则该足球的表面积为四面体外接球的表面积，即为长方体外接球的表面积，
设长方体棱长为a，b，c，则有，，，
设长方体外接球半径为R，则有，解得，
所以外接球的表面积为：
故选：
把四面体外接球问题扩展到长方体中，求出长方体外接球半径为R，进而求出结果．
本题主要考查球的表面积的求法，考查转化思想与运算求解能力，属于中档题．
 

12.【答案】C 

【解析】解：不妨设点M在第一象限，
由题意得：，
即，
，，又O为的中点，
，
又，为等边三角形，
，，
由双曲线定义可知：，
，

故选：
由，可得，从而，再结合，求出，从而可得，最后利用双曲线定义得到方程，从而可求出离心率．
本题考查平面向量的数量积的运算，双曲线的几何性质，属中档题．
 

13.【答案】 

【解析】解：抛物线化成标准方程，可得
抛物线的开口向上，且，可得
抛物线的焦点坐标为，准线方程为：
因此抛物线的焦点到准线的距离是
故答案为：
将抛物线方程化成标准形式得：，所以抛物线的焦点坐标为，准线方程为：，由此得到该抛物线的焦点坐标．
本题给出一个抛物线的方程，要我们化成标准形式并且求焦点到准线的距离，着重考查了抛物线的标准方程与基本概念，属于基础题．
 

14.【答案】2 

【解析】解：根据题意，圆，其圆心，半径1，
设，，
则切线长为
故答案为：
根据题意，分析圆的圆心和半径，由直线与圆的位置关系分析可得答案．
本题考查直线与圆的位置关系，涉及切线长的计算，属于基础题．
 

15.【答案】 

【解析】解：两段函数均为单调函数，实数a，b满足，且，
，
，
，
，，
，
令 ，任取，
则，
，
，，
，
函数在上单调递增，
，即
故答案为：
根据已知条件，结合对数函数的单调性，以及不等式的性质，即可求解．
本题主要考查对数函数的性质，属于基础题．
 

16.【答案】 

【解析】解：椭圆C：，，，，
在椭圆上，，
在第一象限，故，
为等腰三角形，则，
，
由余弦定理可得，
过M作轴于A，则，
，即M的横坐标为，，
的坐标为
故答案为：
根据M位置可知，根据椭圆定义可求出，，利用余弦定理解，然后求解即可．
本题考查椭圆的简单性质，三角形的解法，属于基础题．
 

17.【答案】解：第6组和第7组的频率和为
，
且第6组和第7组人数的比为5：2，
第6组的频率为，纵坐标为；
第7组的频率为，纵坐标为；
补全频率分布直方图如图所示；
设身高的中位数是x，则

，
解得，
估计这50位男生身高的中位数为；
由第4、5组的频率之比为2：3，
按分层抽样用方法，
第4组应抽取2人，记为A、B；
第5组应抽取3人，记为c、d、e，
则所有可能的情况有：
AB、Ac、Ad、Ae、Bc、Bd、Be、cd、ce、de共10种；
满足2位男生身高都在内的基本事件为cd、ce、de共3种，
故所求的概率为 

【解析】计算第6组和第7组的频率，求出，
补全频率分布直方图即可；
利用中位数两边频率相等，求出中位数的值；
按分层抽样方法求出第4、5组应抽取的人数，
用列举法求出基本事件数，计算所求的概率．
本题考查了频率分布直方图的应用问题，也考查了中位数列举法求概率的问题，是基础题．
 

18.【答案】解：由条件知，关于x的方程的两个根为2和3，
所以，得，
当时，，即，
当时，即时，解得或；
当时，即时，解得；
当时，即时，解得或
综上可知，当时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为 

【解析】根据一元二次不等式解法可知2，3为方程的两个根，然后利用韦达定理求解即可；
化简，讨论a的取值分别求解不等式即可．
本题考查一元二次不等式的应用，属于基础题．
 

19.【答案】解：设圆A的半径为R，因为圆A与直线：相切，
，圆A的方程为
①当直线l与x轴垂直时，易知符合题意；
②当直线l与x轴不垂直时，设直线的方程为，即
连接AQ，则，，，
则由得，直线l为：，
故直线l的方程为或 

【解析】利用圆心到直线的距离公式求圆的半径，从而求解圆的方程；
根据相交弦长公式，求出圆心到直线的距离，设出直线方程，再根据点到直线的距离公式确定直线方程
本题考查圆的标准方程及直线与圆的相交弦长问题，属于中档题．
 

20.【答案】解：四边形ABCD为等腰梯形，且，
，又，
，
，，，
又，，PE，平面PEB，
平面PEB；
，平面平面PCD，平面平面，平面PCD，
平面ABCD，
由题意可得为等腰直角三角形，，
又，
三棱锥的体积 

【解析】根据题意结合余弦定理可求得，由勾股定理可证，结合线面垂直的判定定理可证；
根据题意结合面面垂直的性质定理可得平面ABCD，利用锥体的体积公式运算求解．
本题考查线面垂直的判定定理，三棱锥的体积的求解，属中档题．
 

21.【答案】解：由抛物线C：的焦点为，准线方程为，
点到焦点F距离为4，
，解得，
故抛物线C的方程为；
证明：由得抛物线C的方程为，则焦点，
由题意设直线l方程为，
联立抛物线C和直线l的方程得，整理得，则，
设，，
，
又，，
，
故为定值 

【解析】根据抛物线的定义即可求得，即可得出答案；
由得抛物线C的方程为，则焦点，设直线l的方程为，联立抛物线方程，设，，则，又，化简即可证明结论．
本题考查抛物线的性质和直线与抛物线的综合应用，考查转化思想和方程思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
 

22.【答案】解：抛物线焦点坐标为，故
设，由抛物线定义得：点P到直线的距离为
，由余弦定理，得
整理，得，解得或舍去
由椭圆定义，得，
，
椭圆的方程为；
证明：设：，，
联立，可得，
即，
，代入直线方程得，
，
同理可得，
，
，
令，得，
所以直线MN过定点 

【解析】根据抛物线的焦点坐标，结合余弦定理、抛物线和椭圆的定义进行求解即可；
直线方程与椭圆方程联立，根据一元二次方程根与系数关系，结合中点坐标公式进行求解即可．
本题考查椭圆的标准方程及其性质，考查直线与椭圆的综合运用，考查运算求解能力，属于中档题．